第3章力矩与平面力偶系
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工程力学I-第3章 力矩与平面力偶系
D
x
§3-2 关于力偶的概念
力偶：一对等值、反向而不共线的平行力，用 符号（F ,F′）表示。
力偶臂：两个力作用
线之间的垂直距离d。
F’
F
力偶的作用面：两个 力作用线所决定的平 面
§3-2 关于力偶的概念
F F
d
d
F
d
F
F
F
转动游戏方向盘
拧水龙头
扳手拧螺母
§3-2 关于力偶的概念
Q AABD AABC 显然， 并注意到力偶矩的转向也相同， 则有M ( F , F ) M ( P, P) P
M (P 1, P 1 ) M ( P, P ) 显然， 1, P 1) 从而有M ，( F , F ) M ( P
P1
力偶等效
M ( F , F ) M ( P 1, P 1)
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。 *（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 （4）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。
Mo(F)＝±Fd
§3-1 关于力矩的概念及其计算
合力矩定理：
y Fy
(3)将力P和P’沿各自的作用 线移至任意点A’，B’，根 据力的可传性原理，有 (P,P’) =(P1,P1’) 。
§3-2 关于力偶的概念
(4) A′
P1′ b F′ A A F B Q′ D P′ B′ C
M (F , F ) AB BD 2 AABD ,
M（P, P'） AB BC 2 AABC
第三章 力偶与平面力偶理论)
M 0 F F h
力对点之矩（力矩）是一个代数量，它的绝 对值等于力的大小与力臂的乘积；
它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负。 常用单位为 N· m 或 kN· m。 注意：力矩在下列几种情况下等于零 （1）力的大小等于零；
（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零；
（3） 互成平衡的二力对同一点之矩为零。
78.93N m
按合力矩定理 M O F M O Ft M O Fr
F cos θ r 78.93N m
例3-2 已知：q,l； 求： 合力及合力作用线位置. 解： 取微元如图
x q q l l x 1 P q dx ql 0 l 2
M Mi Mi
i 1 n
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
Mi
0
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力 偶矩的代数和等于零。
例3-1
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
求: M O F .
解:直接按定义
MO
F F h F r cos θ
M1 F1 d M2 F2 d
M1 F1d
M 2 F2d
Mn Fn d
M n Fnd
=
=
FR F1 F2 Fn
F1 F2 Fn FR
=
=
=
M FRd F1d F2d Fnd M1 M 2 M n
定理：同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶 彼此等效。 推论： 任一力偶可在它的作用面内任意转移，而不改变它对刚体 的作用。因此力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无 关。 只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小与 力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变.
第三章-力矩和平面力偶系-第四章-平面任意力系
例3－1 试计算力对A点之矩。
解 本题有两种解法。 方法一： 按力矩的定义计算 由图中几何关系有：
d=ADsinα =(AB-DB)sinα =(AB- BCctgα)sinα =(a- bctgα)sinα =asinα-bcosα
所以
mA(F)=F•d =F(asinα-bcosα)
方法二：
解：
图（a）：
MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN · m
MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
▪ 一、力偶 力偶矩
▪
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，
但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如
2．力偶矩：
▪ 作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，
用m或m( F ,F′)表示。在平面问题中，将力偶中
的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图：
即m(F)＝F•d=±2ΔABC
通常规定：力偶使物体逆时针方 向转动时，力偶矩为正，反之为 负。
在国际单位制中，力矩的单位 是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米 （kN•m）。
▪
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的
力偶矩的代数值相等，则这两个力偶相等。这
就是平面力偶的等效条件。
▪ 根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
▪ 推论1 力偶可在其作用面内任意移动和转动， 而不会改变它对物体的效应。
▪ 推论2 只要保持力偶矩不变，可同时改变力 偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它 对物体的作用效应。
主矩： Mo=m1+m2+···+mn
力矩与平面力偶系
变化规律
在非平衡状态下，平面力偶中的两个力将不再保持大小相等、方向相反的关系。它们的大小和方向将发生变化， 以适应物体转动的需要。同时，随着物体转动的进行，作用于物体的力矩也将发生变化，以满足物体转动加速度 的要求。
04
实际应用案例分析
工程领域应用举例
桥梁设计
在桥梁设计中，力矩与平面力偶系的概念对于确定桥梁结构的稳定性和安全性至关重要。 通过计算和分析桥梁各部分的受力情况，工程师可以确保桥梁能够承受各种荷载和外部环 境因素的影响。
当平面力偶系处于平衡状态时，若受到微小扰动而偏离平衡位置，若系统能自动 恢复到原平衡状态，则称该系统是稳定的；若不能自动恢复，则称该系统是不稳 定的。稳定性与系统的结构、刚度、阻尼等因素有关。
03
力矩与平面力偶系关系探讨
相互作用原理阐述
力矩与平面力偶相互作用
力矩是力对物体产生的转动效应，而平面力偶是一对大小相等、方向相反且作用线平行的力，它们共 同作用在物体上，使物体产生转动。
力矩方向判断步骤
首先确定力的作用点和方向，然后确定转动轴的位置，最后根据右手螺旋定则 判断力矩的方向。
02
平面力偶系简介
定义及性质
定义
平面力偶系是由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成的力系。
性质
力偶系中的两个力不产生合力，只产生转动效应，即力偶矩 。力偶矩的大小与两力的大小和两力之间的距离有关，而与 力的作用点位置无关。
力矩与平面力偶系
汇报人：XX
contents
目录
• 力矩基本概念 • 平面力偶系简介 • 力矩与平面力偶系关系探讨 • 实际应用案例分析 • 实验设计与操作演示 • 知识拓展与前沿动态
01
力矩基本概念
在非平衡状态下，平面力偶中的两个力将不再保持大小相等、方向相反的关系。它们的大小和方向将发生变化， 以适应物体转动的需要。同时，随着物体转动的进行，作用于物体的力矩也将发生变化，以满足物体转动加速度 的要求。
04
实际应用案例分析
工程领域应用举例
桥梁设计
在桥梁设计中，力矩与平面力偶系的概念对于确定桥梁结构的稳定性和安全性至关重要。 通过计算和分析桥梁各部分的受力情况，工程师可以确保桥梁能够承受各种荷载和外部环 境因素的影响。
当平面力偶系处于平衡状态时，若受到微小扰动而偏离平衡位置，若系统能自动 恢复到原平衡状态，则称该系统是稳定的；若不能自动恢复，则称该系统是不稳 定的。稳定性与系统的结构、刚度、阻尼等因素有关。
03
力矩与平面力偶系关系探讨
相互作用原理阐述
力矩与平面力偶相互作用
力矩是力对物体产生的转动效应，而平面力偶是一对大小相等、方向相反且作用线平行的力，它们共 同作用在物体上，使物体产生转动。
力矩方向判断步骤
首先确定力的作用点和方向，然后确定转动轴的位置，最后根据右手螺旋定则 判断力矩的方向。
02
平面力偶系简介
定义及性质
定义
平面力偶系是由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力 组成的力系。
性质
力偶系中的两个力不产生合力，只产生转动效应，即力偶矩 。力偶矩的大小与两力的大小和两力之间的距离有关，而与 力的作用点位置无关。
力矩与平面力偶系
汇报人：XX
contents
目录
• 力矩基本概念 • 平面力偶系简介 • 力矩与平面力偶系关系探讨 • 实际应用案例分析 • 实验设计与操作演示 • 知识拓展与前沿动态
01
力矩基本概念
第三章_力对点的矩_平面力偶系
4
平面力偶系的合成和平衡条件
平面力偶系的合成
平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。 平面力偶系：作用在同一平面内的一群力偶。
=
FR = F1 + F2 + Fn
=
=
′ FR = F1′ + F2′ + Fn′
平面力偶系合成的结果是一个合力偶， 平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和 中各力偶矩的代数和。 偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。
力对点的矩
F
h
O
M 0 ( F ) = ± Fh
力对点的矩是一个代数量，它的绝对值 绝对值等于力的大小 力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定， 正负可按下法确定 与力臂的乘积，它的正负可按下法确定，力使物体绕 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 矩心逆时针转向时为正，反之为负。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 力矩表示力使物体绕某点旋转的量度。 量度
A α M1
OBBiblioteka M2DB 解： 因为杆AB为二力杆，故其反力F 和F 只 因为杆AB为二力杆 故其反力FAB 为二力杆， BA A
α
M1 M2
D
能沿A 能沿A，B的连线方向。 的连线方向。 分别取杆OA和DB为研究对象 分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能 为研究对象。 与力偶平衡，所以支座O 与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO 和FD 只 的约束力F ∴ 能分别平行于F 能分别平行于FAB 和FBA ，且与其方向相反。 且与其方向相反。 B 写出杆OA和DB的平衡方程 写出杆OA和DB的平衡方程： ∑M = 0 的平衡方程：
力对点的矩
工程力学第三章力矩与平面力偶系_图文
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ）与 之平衡。
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
例题讲解
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用 有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶 （ ， ） 与之平衡。 由平衡方程
() RA 、RB为正值，说明图中所示RA 、RB 的指向正确。
力臂d
=
1m
×
sinα
=
1m
×
。 sin45 =
m
MB(F)=+F×d= +15kN×0.5 m = +7.5 kN ·m
注意：负号必须标注，正号可标也可不标。一般不标注。
§3-1力矩的概念和计算
（二）合力矩定理
表达式： 证明： 由图得
而 则
Fy
F
A
Fx
()
§3-1力矩的概念和计算
()
若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ 、 、 ），则可将每个力对 o 点之矩相加，有
2. 力偶的三要素 （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
3. 力偶的性质 （1）力偶在任何坐标轴上的投影等于零；
（2）力偶不能合成为一力，或者说力 偶没有合 力，即它不能与一个力等效， y
因而也不能被一个力平衡；
（3）力偶对物体不产生移动效应，只 产生转动 效应，既它可以也只能改变物
体的转动状 态。
例题讲解
【例题5】在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等 直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
根据平面力偶系平衡方程有:
由力偶只能与力偶平衡的性质 ，力NA与力NB组成一力偶。
例题讲解
工程力学03-力矩 平面力偶系
力偶只能与力偶平衡！
例 题 1
FA
M1 M3 M2
M1=M2=10 N.m， M3=20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l=200 mm 。求两个光滑螺 柱所受的水平力。
A
解：选工件为研究对象，因为力偶只能与
力偶平衡，所以，力FA与FB构成一力 偶，故FA= FB 。列写平衡方程 FB
B
由∑M = 0， F l M M M 0 A 1 2 3
A FA M B
FB
例 题 2
A l D
M B A
FA
M B
45
FB
列平衡方程：
M 0,
M FA l cos 45 0
M 2M 解得： FA FB l cos 45 l
例 题 3 如图所示的铰接四连杆机构，杆重不计，已知
OA=r，DB=2r，α=30°，试求平衡时力偶M1和M2 关系。
§3-2 力偶与力偶矩
2. 平面力偶的性质 性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基 本力学量。
力和力偶是静力学的两个基本要素
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶
矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体 的效应用力偶矩度量。
力偶矩的三个要素： 力偶矩的大小、力偶的转向、力偶的作用平面
A F
M Mi
平衡条件：
d
B
Mi 0
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
§3-4 平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系的合成
的代数和。
M Mi
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
平面力偶系的平衡条件
于零。
Mi 0
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
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第三章 力矩与平面力偶系
§3- 1 关于力矩的概念与计算 §3- 2 关于力偶的概念 §3- 3 平面力偶系的合成与平衡
本章研究关于 力矩和力偶的概念, 力偶的性 质, 平面力偶系的合成与平衡
它们是研究平面一般力系的基础.
§3-1 关于力矩的概念与计算
一、力对点之矩的概念
l A
d F
O 点：矩心 垂直距离 d :力臂
M O(F) x F y y F x M O(F) x F y y F x
汇交力系的合力
F Rx F x, F Ry F y
M
O
(F
ห้องสมุดไป่ตู้
R)
x
F
Ry
y
F
Rx
x
F
y
y
F
x
y
Fn
F1
FR
xA
y
F2
x o
M
O
(
F
R)
M
O(
F
)
平面汇交力系 的合力矩投影定理: 平面汇交力系 的合力对平面上任 一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A点的矩 .
A l
F
300
B
F
Fy
A
300
B Fx
l
用合力矩定理
M A(F) M A(F x) M A(F y) 0 (F sin 300 4) 4kN.m
x A
r
y
o
d
Fx x
M O (F) Fd Fr sin( ) Fr(sin cos sin cos)
F sin F y , F cos F x r cos x, r sin y
MO(F) x F y y Fx
MO(F) x F y y Fx
二, 同一平面内力偶的等效定理 同一平面内两个力偶等效的必要与充分条件：两个力偶矩相等。
推论1：力偶矩矢保持不变，力偶可以在其作用面内任意转移，而 不会改变它对刚体的转动效应。
F1 d
F'1
F'1
=
d
F1
推论2：在保持力偶矩大小不变的条件下，可以同时相应的改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。
M O (F) Fd
(3) 互相平衡的二力对同一点之的代数和为零
F
F F
d
O
F
M O (F) M O (F) Fd Fd 0
(4) 同一力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB 梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A 点的矩 .
l A
d F
用力 F 的大小与 O 点到力 F 作用线的垂直距离 d 的乘积，再冠以 适当的正负号，表示 F 对O 点的矩。
用以作为力 F 使物体绕 O 点转动效应的度量。
l A
+
F
d
O
F
-
d
M O (F) Fd
平面力矩为代数量
大小：F·d
符号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，顺时针转动为负
如果作用在 A 点上的是一个汇交力系 ( F1, F2, , Fn ) , 则由上式求 出每一个力对矩心 O 的矩 , 加在一起可得
y
Fn
F1
xA
y
F2
x
o
M O(F) xF y yF x x F y y F x
y
F Ry
Fn
F1
FR
xA
y
F Rx
F2
x
o
力矩的单位: N.m , kN.m
F
o.
A
d
M O (F) Fd M O (F) Fd 2AOAB
AOAB 为三角形OAB的面积
F
o.
A
d
M O (F) Fd
F
(1) 当力沿其作用线滑移时，并不改变力对点之矩。
(2) 力作用线通过矩心时, 则力矩为零。反之, 如果一个力其大小 不为零, 而它对某点之矩等于零, 则此力的作用线必通过该点
例3-2 用合力矩定理计算力 F 对 O点之矩
y
x
A
Fx
600
Fy
F=200N
M O(F) M O(F x) M O(F y)
F x F cos 600, F y F sin 600 M O (F ) 0 F y l F sin 600 0.4 69.3N.m
F
d
F
n
(-)
(+)
力偶没有合力，因此力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平 衡。力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡。
（2）力偶中两力对力偶作用面内任一点的矩恒等于力偶矩 ，而与 所选矩心的位置无关。
F O
F' d
x
M O M O (F) M O (F) Fx F(x d) Fd M (F, F)
F1
d1
F'1
F2
d2
F'2
F1d1 F2d2
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
一，合成 (1) 两个力偶的合成
F1′
d1
F1
M1 F1d1
F2′ d2
M2 F2d2
F2
F1
F1′
d1
F2′ d2
F22′
F2 F11
d
F22 F11′
练习题：已知 F，a，b， 。用合力矩定理求力 F 对 O 点之矩。
F
Fy
b A
B
Fx
a
O
M
O
(F
)
M
O
(
F
x)
M
O
(
F
y)
F
cos
a
F
sin
b
§3-2 关于力偶的概念
一，力偶 1，力偶：大小相等 ，方向相反而不共线的一对平行力称为力偶。
F B
A F´
(F, F)
力偶对物体产生纯转动效应.
F
(-)
B
A
d
F´
力偶作用面
d 称为力偶臂
2，力偶三要素
（1）力偶的大小称为力偶矩
M (F, F) Fd
符号的规定：使物体逆时针转动为正号，反之负为号。
（2）力偶作用面的方位. （3）在力偶作用面内，力偶的转向
3，力偶的性质
（1）力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和等于零。
A
d l
F
300
B
解: 用定义
M O (F) Fd
M A(F) Fd 2 4sin 300 4kN.m
例题：已知 F，a, 。求 F 力对 O 点之矩。
F
A
a d
解：由定义式：
O
M O (F) Fd Fasin
二，合力矩定理
y
Fy
F
§3- 1 关于力矩的概念与计算 §3- 2 关于力偶的概念 §3- 3 平面力偶系的合成与平衡
本章研究关于 力矩和力偶的概念, 力偶的性 质, 平面力偶系的合成与平衡
它们是研究平面一般力系的基础.
§3-1 关于力矩的概念与计算
一、力对点之矩的概念
l A
d F
O 点：矩心 垂直距离 d :力臂
M O(F) x F y y F x M O(F) x F y y F x
汇交力系的合力
F Rx F x, F Ry F y
M
O
(F
ห้องสมุดไป่ตู้
R)
x
F
Ry
y
F
Rx
x
F
y
y
F
x
y
Fn
F1
FR
xA
y
F2
x o
M
O
(
F
R)
M
O(
F
)
平面汇交力系 的合力矩投影定理: 平面汇交力系 的合力对平面上任 一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A点的矩 .
A l
F
300
B
F
Fy
A
300
B Fx
l
用合力矩定理
M A(F) M A(F x) M A(F y) 0 (F sin 300 4) 4kN.m
x A
r
y
o
d
Fx x
M O (F) Fd Fr sin( ) Fr(sin cos sin cos)
F sin F y , F cos F x r cos x, r sin y
MO(F) x F y y Fx
MO(F) x F y y Fx
二, 同一平面内力偶的等效定理 同一平面内两个力偶等效的必要与充分条件：两个力偶矩相等。
推论1：力偶矩矢保持不变，力偶可以在其作用面内任意转移，而 不会改变它对刚体的转动效应。
F1 d
F'1
F'1
=
d
F1
推论2：在保持力偶矩大小不变的条件下，可以同时相应的改变力 偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的转动效应。
M O (F) Fd
(3) 互相平衡的二力对同一点之的代数和为零
F
F F
d
O
F
M O (F) M O (F) Fd Fd 0
(4) 同一力对不同点的矩一般不同，因此必须指明矩心。
例题, 悬臂梁 AB 的自由端 B , 作用一个在 xOy 平面内, 与 x方向夹 角 300 的力 F = 2kN. AB 梁的跨度 l = 4m . 求力 F 对 A 点的矩 .
l A
d F
用力 F 的大小与 O 点到力 F 作用线的垂直距离 d 的乘积，再冠以 适当的正负号，表示 F 对O 点的矩。
用以作为力 F 使物体绕 O 点转动效应的度量。
l A
+
F
d
O
F
-
d
M O (F) Fd
平面力矩为代数量
大小：F·d
符号规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动为正，顺时针转动为负
如果作用在 A 点上的是一个汇交力系 ( F1, F2, , Fn ) , 则由上式求 出每一个力对矩心 O 的矩 , 加在一起可得
y
Fn
F1
xA
y
F2
x
o
M O(F) xF y yF x x F y y F x
y
F Ry
Fn
F1
FR
xA
y
F Rx
F2
x
o
力矩的单位: N.m , kN.m
F
o.
A
d
M O (F) Fd M O (F) Fd 2AOAB
AOAB 为三角形OAB的面积
F
o.
A
d
M O (F) Fd
F
(1) 当力沿其作用线滑移时，并不改变力对点之矩。
(2) 力作用线通过矩心时, 则力矩为零。反之, 如果一个力其大小 不为零, 而它对某点之矩等于零, 则此力的作用线必通过该点
例3-2 用合力矩定理计算力 F 对 O点之矩
y
x
A
Fx
600
Fy
F=200N
M O(F) M O(F x) M O(F y)
F x F cos 600, F y F sin 600 M O (F ) 0 F y l F sin 600 0.4 69.3N.m
F
d
F
n
(-)
(+)
力偶没有合力，因此力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平 衡。力偶只能与力偶等效，也只能与力偶平衡。
（2）力偶中两力对力偶作用面内任一点的矩恒等于力偶矩 ，而与 所选矩心的位置无关。
F O
F' d
x
M O M O (F) M O (F) Fx F(x d) Fd M (F, F)
F1
d1
F'1
F2
d2
F'2
F1d1 F2d2
§3-3 平面力偶系的合成与平衡
一，合成 (1) 两个力偶的合成
F1′
d1
F1
M1 F1d1
F2′ d2
M2 F2d2
F2
F1
F1′
d1
F2′ d2
F22′
F2 F11
d
F22 F11′
练习题：已知 F，a，b， 。用合力矩定理求力 F 对 O 点之矩。
F
Fy
b A
B
Fx
a
O
M
O
(F
)
M
O
(
F
x)
M
O
(
F
y)
F
cos
a
F
sin
b
§3-2 关于力偶的概念
一，力偶 1，力偶：大小相等 ，方向相反而不共线的一对平行力称为力偶。
F B
A F´
(F, F)
力偶对物体产生纯转动效应.
F
(-)
B
A
d
F´
力偶作用面
d 称为力偶臂
2，力偶三要素
（1）力偶的大小称为力偶矩
M (F, F) Fd
符号的规定：使物体逆时针转动为正号，反之负为号。
（2）力偶作用面的方位. （3）在力偶作用面内，力偶的转向
3，力偶的性质
（1）力偶中的两个力在任一轴上投影的代数和等于零。
A
d l
F
300
B
解: 用定义
M O (F) Fd
M A(F) Fd 2 4sin 300 4kN.m
例题：已知 F，a, 。求 F 力对 O 点之矩。
F
A
a d
解：由定义式：
O
M O (F) Fd Fasin
二，合力矩定理
y
Fy
F