高等数学考研模拟试卷及答案
考研数学一(高等数学)模拟试卷140(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷140(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．求(x＋1)ln2(x＋1)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学2．求定积分：(I)J＝min｛2，x2｝dx；(II)J＝(1一｜t｜)dt，x≥一1．正确答案：(Ⅰ)min｛2，x2｝＝于是涉及知识点：高等数学3．设n为正整数，利用已知公式，其中，求下列积分：(I)Jn＝sinxndx；(II)Jn ＝(x2－1)ndx．正确答案：涉及知识点：高等数学4．设函数f(x)在(一∞，＋∞)内满足f(x)＝f(x一π)＋sinx且f(x)＝x，x∈[0，π)，求f(x)dx．正确答案：解析：由于题目只给出了f(x)在区间[0，π)上的具体表达式，为计算在[π，3一π]上的积，就应该通过换元法使其积分区间落到[0，π)上．另外，也可以通过f(x)＝f(x—π)＋sinx及f(x)在[0，π)上的表达式，求出f(x)在[π，3π)上的表达式，然后再求积．这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算．知识模块：高等数学5．求无穷积分．正确答案：J＝[ln(1＋x)—lnx—]dx，而∫[ln(1＋x)—lnx＝]dx＝∫[ln(1＋x)—lnx]dx—＝x[ln(1＋x)—lnx]—dx—＝xln＋C，因此涉及知识点：高等数学6．设f(x)＝求f(x)的不定积分．正确答案：当x＜0时，f(x)＝∫sin2xdx＝cos2x＋C1当x＞0时，f(x)＝∫ln(2x ＋1)dx＝xln(2x＋1)—＝xln(2x＋1)—∫dx＋＝xln(2x＋1)—x＋ln(2x＋1)＋C2，为了保证F(x)在x＝0点连续，必须C2＝＋C1 (*)特别，若取C1＝0，C2＝就是f(x)的一个原函数．因此∫f(x)dx＝F(x)＋C＝解析：本题的被积函数是分段定义的连续函数，则f(x)存在原函数，相应的原函数也应该分段定义．然而按照原函数的定义，F’(x)＝f(x)，即F(x)必须是可导的，而且导数是f(x)．这样，F(x)首先就应该连续，下面就是按照这一要求，利用连续拼接法把分段定义的原函数黏合在一起，构成一个整体的原函数．知识模块：高等数学7．设f’(x)＝arcsin(x一1)2，f(0)＝0，求．正确答案：∫01f(x)dx＝∫01f(x)d(x—1)＝(x—1)f(x)｜01-∫01(x—1)f’(x)dx ＝f(0)—∫01(x—1)f’(x)dx＝-∫01(x—1)arcsin(x—1)2dx＝arcsin(x—1)2d(x—12) 涉及知识点：高等数学8．设a＞0，f(x)在(－∞，＋∞)上有连续导数，求极限[f(t＋a)－f(t－a)]．正确答案：【解法一】记I(a)＝[f(t＋a)—f(t—a)]dt，由积分中值定理可得I(a)＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]·2a＝[f(ξ＋a)—f(ξ—a)]，—a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)＝f’(η)·2a＝f’(η)，ξ—a＜η＜ξ＋a．于是＝f’(0)．【解法二】涉及知识点：高等数学9．求[φ(x)－1]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．正确答案：＝φ’(x)f(t)dt＋φ(x)f[φ(x)]φ’(x)—φ(x)f[φ(x)]φ’(x)＝φ’(x)f(t)dt 涉及知识点：高等数学10．设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．正确答案：(I)由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x＝0处连续，只要F(x)＝A．而故令A＝0即可．(Ⅱ)当x≠0时F’(x)＝在x＝0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(一∞，＋∞)上连续．涉及知识点：高等数学11．设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)＝，求f(x)．正确答案：因f(x)＝f2(x)＝dt，(*)由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’＝2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)＝f(x)·2xf’(x)＝x．在(*)式中令x＝0可得f(0)＝0．于是(*)式两边积分得涉及知识点：高等数学12．求函数f(x)＝在区间[e，e2]上的最大值．正确答案：若f(x)在[a，b]上连续，其最大(小)值的求法是：求出f(x)在(a，b)内的驻点及不可导点处的函数值，再求出f(a)与f(b)，上述各值中最大(小)者即最大(小)值；若f(x)单调，则最大(小)值必在端点处取得．由可知f(x)在[e，e2]上单调增加，故涉及知识点：高等数学13．求星形线(a＞0)所围区域的面积A．正确答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：0≤x≤x，0≤y≤，涉及知识点：高等数学14．求下列旋转体的体积V：(I)由曲线y＝x2，x＝y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体：(II)由曲线x＝a(t—sint)，y＝a(1一cost)(O≤t≤2π)，y＝0所围图形绕y轴旋转的旋转体．正确答案：(I)如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为(Ⅱ)如图3．3，所求体积为V＝2π∫02πayxdx＝2π∫02πaa(1＝cost)a(t—sint)a(1—cost)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2(t—sint)dt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt—2πa3∫-ππ(1—cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1—cost)2tdt[1—cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa3∫-ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫-ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．涉及知识点：高等数学15．设两点A(1，0，0)与B(0，1，1)的连线绕z轴旋转一周而成的旋转面为S，求曲面S与z＝0，z＝1围成的立体的体积．正确答案：直线方程：上任意点(x，y，z)与z轴的距离的平方为：x2＋y2＝(1一t)2＋t2＝z2＋(1一z)2，则S(z)＝π[z2＋(1—z)2]，从而V＝S(z)dz＝π[z2＋(1—z)2]dz＝π．解析：这是截面积已知的立体．与z轴垂直的平面截此旋转体所得截面即此平面与的交点绕z轴旋转所得的圆，其面积记为S(x)，则V＝S(z)dz．关键求方程，再求上点与z轴的距离．知识模块：高等数学16．求双纽线，r2＝a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．正确答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，]．面积由r2＝a2cos2θ涉及知识点：高等数学17．求功：(I)设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?(II)半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?正确答案：(I)方法1 (微元法)．以球心为原点，x轴垂直向上，建立坐标系．取下半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][一1，0]，相应的球体小薄片，其重量(即体积)为π(1一x2)dx，在水中浮力与重力相符，当球从水中移出时，此薄片移动距离为(1＋x)，故需做功dw1＝(1＋x)π(1一x2)dx．因此，对下半球做的功w1＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx取上半球中的微元薄片，即取小区间[x，x＋dx][0，1]，相应的小薄片，其重量为π(1一x2)dx，当球从水中移出时，此薄片移动距离为1．所受力为重力，故需做功dw2＝π(1一x2)dx．因此，对上半球做的功w2＝∫01π(1—x2)dx．于是，对整个球做的功为w＝w1＋w2＝∫-10π(1＋x)(1—x2)dx＋∫01π(1—x2)dx＝∫-1-1π(1—x2)dx＋∫-10πx(1—x2)dx方法2 把球的质量集中于球心．球从水中取出作的功可以看成质量为的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力＝球的体积，球受的浮力＝沉在水中的球的体积，它们的合力＝球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功(Ⅱ)建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x ＋dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2—x2)dx，又比重ρ＝1，于是把这层水抽出需做功dw＝πx(R2一x2)dx．因此，所求的功涉及知识点：高等数学18．求引力：(I)在x轴上有一线密度为常数μ，长度为l的细杆，在杆的延长线上离杆右端为口处有一质量为m的质点P，求证：质点与杆间的引力为F ＝(M为杆的质量)．(II)设有以O为心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，＝b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式．正确答案：(I)如图3．7建立坐标系，取杆的右端为原点，x轴正向指向质点P．任取杆的一段[x，x＋dx]，它对质点P的引力为因此，杆与质点P间的引力大小为其中M是杆的质量．(Ⅱ)如图3．8，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s＋d5的一段微元，它的质量为，到P点的距离为与的夹角为θ，cosθ＝，则微元对P点的引力沿方向的分力为dF ＝k，于是整个圆环对P点的引力为涉及知识点：高等数学19．过曲线y＝x2(x≥0)上某点A作一切线，使之与曲线及x轴围成图形面积为，求：(I)切点A的坐标；(II)过切点A的切线方程；(III)由上述图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．正确答案：如图3．9．(I)设点A(x0，x02)，点A处的切线方程y＝x02＋2x0(x —x0)，即y＝2x0x—x02．令y＝0截距x＝．按题意解得x0＝1A(1，1)．(Ⅱ)过A点的切线y＝2x一1．(Ⅲ)旋转体体积涉及知识点：高等数学20．设常数a≤α＜β≤b，曲线P：y＝(x∈[α，β])的弧长为1．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求定积分．正确答案：(Ⅰ)г：y2＝(x—a)(b—x)＝—x2＋(a＋b)x—ab，两边对x求导得2yy’＝—2x＋a＋b，y2(1＋y’2)＝＋y2＝x2＋y2—(a＋b)x＋(Ⅱ)曲线г：是以为圆心，半径为的半圆周．由题(Ⅰ)：α＝a，β＝，则对应的г长涉及知识点：高等数学21．设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)f(x－t)dt＝sin4x，求f(x)在[0，]上的平均值．正确答案：令x—t＝u，则，于是两边积分，故f(x)在[0，]上的平均值为．涉及知识点：高等数学22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点P(1，2)，且在该点与圆相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数a．b．c．正确答案：圆的半径为，所以在圆上任何一点的曲率为．由于点P(1，2)是下半圆上的一点，可知曲线在点P(1，2)处为凹的，所以由确定的连续函数y＝y(x)在P(1，2)处的y’’＞0．又经过计算，可知在点P(1，2)处的y’＝1．由题设条件知，抛物线经过点P(1，2)，于是有a＋b＋c＝2．抛物线与圆在点P(1，2)相切，所以在点P(1，2)处y’＝1，即有2a＋b＝1．又抛物线与圆在点P(1，2)有相同的曲率半径及凹凸性，因此有解得a＝2，从而b＝一3，c＝2一a一b＝3．涉及知识点：高等数学23．设a＞0，f(x)在(0，＋∞) 连续，求证：正确答案：(I)按要证的等式，将等式左端改写可得(II)按题设，对左端作变换涉及知识点：高等数学24．设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且f(x)dx＝0，求证：在[a，b]上f(x)＝0．正确答案：由定积分的性质涉及知识点：高等数学25．证明，其中n为自然数．正确答案：利用被积函数的结合性，原式改写成In＝cosn—1xcosxsinnxdx，两式相加得2In＝cosnn—1(cosxsinnx一sinxcosnx)dxcosnn—1xsin(n—1)xdx＝现得递推公式令Jn＝2nIn，得．由此进一步得涉及知识点：高等数学。
考研数学一(高等数学)模拟试卷33(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷33(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若a·b=a·c，则A．b=c．B．a⊥b且a⊥c．C．a=0或b一c=0．D．a⊥(b一c)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学2．设c=(b×a)-b，则A．a垂直于b+c．B．a平行于b+c．C．b垂直于c．D．b平行于c．正确答案：A 涉及知识点：高等数学3．若直线相交，则必有A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：高等数学4．通过直线x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直线x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程为A．x—z—2=0．B．x+z=0．C．x一2y+z=0．D．x+y+z=1．正确答案：A 涉及知识点：高等数学5．原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+121=0对称的点为A．(12，8，3)．B．(一4，1，3)．C．(2，4，8)．D．(一12，一4，18)．正确答案：D 涉及知识点：高等数学6．设，则f(0，0)点处A．不连续．B．偏导数不存在．C．偏导数存在但不可微．D．偏导数存在且可微．正确答案：C 涉及知识点：高等数学7．若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是A．连续．B．偏导数存在．C．偏导数连续．D．切平面存在．正确答案：C 涉及知识点：高等数学8．函数在(0，0)点处A．不连续．B．偏导数存在．C．任一方向的方向导数存在．D．可微．正确答案：C 涉及知识点：高等数学9．设fx’(0，0)=1，fy’(0，0)=2，则A．f(x，y)在(0，0)点连续．B．C．=cosα+2cosβ，其中cosα，cosβ为l的方向余弦．D．f(x，y)在(0，0)点沿x轴负方向的方向导数为一1．正确答案：D 涉及知识点：高等数学10．函数f(x，y)=x2y3在点(2，1)沿方向l=i+j的方向导数为A．16．B．C．28．D．正确答案：B 涉及知识点：高等数学填空题11．已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=____________．正确答案：涉及知识点：高等数学12．已知｜a｜=2，｜b｜=，且a·b=2，则｜a×b｜=______________．正确答案：2 涉及知识点：高等数学13．过点(一1，2，3)，垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是_____________正确答案：涉及知识点：高等数学14．若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程a·x=一8，则向量x=___________．正确答案：一4i+2j-4k 涉及知识点：高等数学15．平行于平面5x一14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为____________．正确答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0 涉及知识点：高等数学16．设，f(u)可导，则=__________正确答案：z涉及知识点：高等数学17．设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由z+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学18．设f(x，y)=xy，则=___________正确答案：xy-1+yxy-1lnx涉及知识点：高等数学19．设=___________正确答案：dx-dy涉及知识点：高等数学20．设z=z(x，y)由方程x—mz=φ(y—nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则=__________正确答案：1涉及知识点：高等数学21．函数u=xy+yz+xz在点P(1，2，3)处沿P点向径方向的方向导数为__________．正确答案：涉及知识点：高等数学22．函数z=2x2+y2在点(1，1)处的梯度为___________．正确答案：4i+2j 涉及知识点：高等数学23．曲面3x2+y2一z2=27在点(3，1，1)处的切平面方程为__________．正确答案：9x+y-z-27=0 涉及知识点：高等数学24．曲线的平行于平面x+3y+2z=0的切线方程为__________．正确答案：涉及知识点：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷120(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷120(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．=A．0．B．－∞．C．+∞．D．不存在但也不是∞．正确答案：D解析：因为et=+∞，et=0，故要分别考察左、右极限．由于因此应选(D)．知识模块：高等数学2．设f(x)=x－sinxcosxcos2x，g(x)=则当x→0时f(x)是g(x)的A．高阶无穷小．B．低价无穷小．C．同阶非等价无穷小．D．等价无穷小．正确答案：C解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得因此选(C)．知识模块：高等数学填空题3．设有定义在(－∞，+∞)上的函数：(A)f(x)= (B)g(x)=(C)h(x)= (D)m(x)=则(I)其中在定义域上连续的函数是____________；(II)以x=0为第二类间断点的函数是____________．正确答案：(I)B(Ⅱ)D解析：(I)当x＞0与x＜0时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续．从而只需再考察哪个函数在点x=0处连续．注意到若f(x)=，其中g(x)在(－∞，0]连续h(x)在[0，+∞)连续．因f(x)=g(x)(x∈(－∞，0])f(x)在x=0左连续．若又有g(0)=h(0)f(x)=h(x)(x∈[0，+∞))f(x)在x=0右连续．因此f(x)在x=0连续．(B)中的函数g(x)满足：sinx｜x=0=(cosx－1)｜x=0，又sinx，cosx－1均连续g(x)在x=0连续．因此，(B)中的g(x)在(－∞，+∞)连续．应选(B)．(Ⅱ)关于(A)：由x=0是f(x)的第一类间断点(跳跃间断点)．关于(C)：由e≠h(0)=0是h(x)的第一类间断点(可去间断点)．已证(B)中g(x)在x=0连续．因此选(D)．或直接考察(D)．由=+∞x=0是m(x)的第二类间断点．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷105(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷105(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列命题中正确的是( )A．有界函数乘无界函数仍是无界函数．B．无界函数乘无穷大量仍是无穷大量．C．无穷小量乘任一个实数仍是无穷小量．D．两个无穷大量之和仍是无穷大量．正确答案：C解析：(反例排除法) 取f(x)=，g(x)=x，则当x→∞时f(x)是有界函数，g(x)是无界函数，但，排除A．取f(x)=xsinx，g(x)=x，则当x→∞时f(x)是无界函数，g(x)是无穷大量，但不是无穷大量，排除B．取f(x)=x，g(x)=-x，则当x→∞时f(x)，g(x)都是无穷大量，但[f(x)+g(x)]=(x-x)=0，排除D．知识模块：高等数学2．函数f(x)=的可去间断点的个数为( )A．1．B．2．C．3．D．无穷多个．正确答案：C解析：由f(x)的表达式知，x=0，±1，±2，…是间断点，由于当x0=±2，±3，…时，，所以只需考虑x=0，-1，1三点即可，因为所以x=0，-1，1都是f(x)的可去间断点．故应选C．知识模块：高等数学3．已知函数y=y(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，则f’’(0)等于( )A．-2．B．2．C．-3．D．3．正确答案：A解析：这是一个二元方程所确定的一元隐函数的二阶导数问题．将x=0代入已知方程，得y=0．已知方程两边对x求导，得eyy’+6y+6xy’+2x=0，所以于是y’(0)=0．进一步，故y’’(0)=-2．知识模块：高等数学4．设f(x)在[0，1]二阶可导，且f’’(x)＜0，则下列命题正确的是( )-A．f’(1)＜f’(0)＜f(1)-f(0)．B．f’(1)＜f(1)-f(0)＜f’(0)．C．f(1)-f(0)＜f’(1)＜f’(0)．D．f’(1)＜f(0)-f(1)＜f’(0)．正确答案：B解析：f(x)在[0，1]上用拉格朗日中值定理，得f(1)-f(0)=f’(ξ)(1-0)，即f(1)-f(0)=f’(ξ)，其中0＜ξ＜1．因为f’’(x)＜0，所以f’(x)单调减少．由0＜ξ＜1得f’(1)＜f’(ξ)＜f’(0)，即f’(1)＜f(1)-f(0)＜f’(0)．知识模块：高等数学5．设f(lnx)=x+ln2x，则∫f’(x)dx等于( )A．ex+x3+C．B．ex+22+C．C．lnx+x3+C．D．lnx+x2+C．正确答案：B解析：令lnx=t，则x=et，从而f(t)=et+t2，故∫f’(x)dx=f(x)+C=ex+x2+C．知识模块：高等数学6．等于( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题既是无界函数的反常积分，又是无穷限的反常积分．知识模块：高等数学7．设a，b，c均为单位向量，且a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a等于( )A．1．B．C．D．-1．正确答案：B解析：由a+b+c=0，有(a+b+c).(a+b+c)=0，即 a.a+b.b+c.c+2(a.b+ b.c+c.a)=0，由于a，b，c均为单位向量，所以a.a=b.b=c.c=1，故a.b+b.c+c.a= 知识模块：高等数学8．设函数z=z(x，y)由方程确定，其中F为可微函数，且F’z≠0，则=( ) A．x．B．z．C．-x．D．-z．正确答案：B解析：这是一个三元方程所确定的二元隐函数的变形问题，本题采用公式法．知识模块：高等数学9．设f(x，y)是连续函数，则二次积分可写成( )A．B．C．D．正确答案：C解析：这是一个直角坐标下交换积分次序问题，其方法是根据所给定的积分次序，画出积分区域图，根据积分区域图，写出另一种积分次序．由已知二次积分知，积分区域D由直线x=-1，x=0，y=x+1及曲线y=围成，如图24所示，其Y型区域由两部分构成{(x，y)｜0≤y≤1，-1≤x≤y-1}，知识模块：高等数学10．设L为曲线y=1-｜1-x｜(0≤x≤2)，则沿x增长方向，曲线积分∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：本题主要考查第二类曲线积分的计算方法．(利用直接计算法) 曲线L可写成：如图29所示，根据曲线积分对积分曲线的可加性，有∫L(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=∫L1(x2+y2)dx+(x2-y2)dy +∫L2(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=(x2+x2)dx+([x2+(2-x)2]-[x2-(2-x)2]}dx 知识模块：高等数学11．设an＞0，n=1，2，…，且( )A．必发散．B．必收敛，且其和为0．C．必收敛，且其和为D．所给条件尚不足以确定敛散性．正确答案：C解析：级数的部分和知识模块：高等数学12．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个特解，如果常数a，b使ay1+by2是该方程的解，ay1-by2是该方程对应的齐次方程的解，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因为y1，y2是微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个特解，所以y’i+P(x)yi=Q(x) (i=1，2)，因为ay1+by2是该方程的解，所以(ay’1+by’2)+P(x)(ay1+by2)=Q(x)，即a[y’1+P(x)y1]+b[y’2+P(x)y2]=Q(x)，aQ(x)+bQ(a)=Q(x)，于是a+b=1．又因为ay1-by2是该方程对应的齐次方程的解，所以(ay’1-by’2)+P(x)(ay1-by2)=0，即a[y’1+P(x)y1]-b[y’2+P(x)y2]=0，aQ(x)-bQ(x)=0，于是a-b=0．解关于a，b的方程组，得知识模块：高等数学13．某商品的需求量Q对价格P的弹性的绝对值为Pln3，已知该商品的最大需求量为1000，则需求量Q关于价格P的函数关系是( )A．Q=1000e-P．B．Q=1000×3-P．C．Q=1000e-2P．D．Q=1000×3-3P．正确答案：B解析：由已知条件知，即等式两边积分，得lnQ=-Pln3+ln｜C｜，即Q=C.3-P．由于已知商品的最大需求量为1000，即Q(0)=1000，由此得C=1000，于是Q=1000×3-P．知识模块：高等数学填空题14．设f(x)在点x=0处连续，如果=______.正确答案：2解析：这是已知一个极限，求另一个极限问题．由知识模块：高等数学15．设曲线f(x)=x2n在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，则=______．正确答案：e-1解析：f’(x)=2nx2n-1，由导数的几何意义知，曲线f(x)=x2n在点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=2n．于是切线方程为y-1=2n(x-1)．令y=0，得xn=从而知识模块：高等数学16．d(arctan e2x)=_________dex．正确答案：解析：直接求d(arctan e2x)=______dex空中的表达式非常困难，但如果将问题转化为=_______，即转化为求两个函数的微分的商，问题迎刃而解．知识模块：高等数学17．=_______.正确答案：解析：这是一个型未定式的极限，可先考虑用等价无穷小替换化简，然后再进行计算．因为当x→0，arctanx～x，e-ecosx=ecosx(e1-cosx-1)～ecosx(1-cosx)～ecosx.x2．所以知识模块：高等数学18．设可导函数x=x(t)由方程确定，其中可导函数φ(u)＞0，且φ(0)-φ’(0)=1，则x’’(0)=________．正确答案：-3解析：这是一个隐函数求导问题，只要注意到方程表达式中积分上限函数的导数与方程中各个变量的含义，不要弄混淆就行了．方程两边对t求导，得cost-φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，所以进一步当t=0时，由已知方程得，因为φ(u)＞0，所以x(0)=0．从而x’(0)=2，x’’(0)=-3．知识模块：高等数学19．由曲线y=e2x与该曲线过原点的切线及x轴所围成的平面图形的面积为_________．正确答案：解析：如图36所示，要求平面图形的面积，应先求切线方程．设切点为A(x0，e2x0)，由导数的几何意义有于是x0=，从而切线方程为y-e=即y=2ex．所以所求平面图形的面积为知识模块：高等数学20．空间曲线т：的参数方程为______．正确答案：解析：将y=z代入到方程x2+y2+z2=9中，得x2+2y2=9，即令x=3cosθ，y=，则空间曲线г的参数方程为知识模块：高等数学21．函数z=x2+y3-3xy的极小值为_______．正确答案：-1解析：本题考查二元函数z=f(x，y)的极值问题．首先求出二元函数的驻点，在每一个驻点处，用极值的充分条件判断驻点是否是极(大、小)值点．令解得驻点为(0，0)，(1，1)．在驻点(0，0)处，，B2-AC-9＞0，故驻点(0，0)不是极值点．在驻点(1，1)处，，B2-AC=-27＜0，而A=6＞0，故驻点(1，1)是极小值点，极小值为z(1，1)=-1．知识模块：高等数学22．设f(x，y)=其中D={(x，y)｜x2+y2≥2x}，则f(x，y)dxdy=________．正确答案：解析：积分区域D是圆x2+y2=2x之外的无界区域，但是在区域D1={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x}之外，被积函数f(x，y)=0，所以二重积分的有效积分区域应是D与D1相交部分，设其为D2，如图51所示，则D2={(x，y}｜1≤x≤，≤y≤x}这是一个X型区域，于是知识模块：高等数学23．均匀曲面的质心的竖坐标为________．正确答案：解析：本题考查曲面的质心坐标公式与第一类曲面积分的计算．由曲面的质心坐标公式知，所求曲面质心的竖坐标为知识模块：高等数学24．已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，则级数fn(x)的和为________．正确答案：-exln(1-x)，x∈[-1，1)解析：本题主要考查一阶微分方程的解与幂级数的和函数．首先求一阶微分方程的解．由已知条件知fn(x)满足的微分方程可写成这是一阶线性微分方程的初值问题，可以用一阶线性微分方程的通解公式求其通解，也可以用下面简便方法：将方程两边乘以e-x，得f’n(x)e-x-e-xfn(x)=xn-1，于是[fn(x)e-x]’=xn-1，等式两边积分，得fn(x)e-x=∫xn-1dx，即fn(x)ex=xn+C，fn(x)=ex由fn(1)=，得C=0．故fn(x)=xnex．其次求级数fn(x)的和．令s(x)=，则等式两边从0到x积分，得即s(x)=-ln(1-x)，x∈(-1，1)．因为当x=-1时，s(x)=-ln(1-x)连续，而收敛，所以知识模块：高等数学25．已知连续函数f(x)满足条件，则f(x)=________．正确答案：3e3x-2e2x解析：因为f(x)是连续函数，所以积分上限函数+e2x知f(x)可导．将已知方程两边对x求导数，得f’(x)=3f(x)+2e2x，即f’(x)-3f(x)=2e2x，这是一个一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程通解公式求解，也可以用下面的简便方法求解．将方程f’(x)-3f(x)=2e2x两边乘以e-3x，得[f(x)e-3x]’=2e-x，等式两边积分，得f(x)e-3x=-2e-x+C，所以f(x)=Ce3x-2e2x，在已知等式中，取x=0，得f(0)=1，代入上式得C=3，于是f(x)=3e3x-2e2x．知识模块：高等数学。
考研数学一(高等数学)模拟试卷159(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷159(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：因为f(0＋0)=，所以f(x)在x=0处连续；=0，即f＋’(0)=0，=0，即f －’=0，因为f＋’=f－’=0，所以f(x)在x=0处可导，应选(D)．知识模块：高等数学2．设在区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0，f’’(x)＞0，令S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b 一a)，S3=[f(a)+f(b)]，则( )．A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1正确答案：B解析：因为函数辅导f(x)在[a，b]上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S2＜S1＜S3，选(B)．知识模块：高等数学3．f(x)在x0处可导，则｜f(x)｜在x0处( )．A．可导B．不可导C．连续但不一定可导D．不连续正确答案：C解析：由f(x)在x0处可导得｜f(x)｜在x0处连续，但｜f(x)｜在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，选(C)．知识模块：高等数学4．设f(x，y)=，则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：知识模块：高等数学5．设f(x)=ancosnπx(n=0，1，2…；一∞＜x＜+∞)，其中an=2∫01f(x)cosn πxdx，则S()为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：对函数f(x)进行偶延拓，使f(x)在(一1，1)上为偶函数，再进行周期为2的周期延拓，然后把区间延拓和周期延拓后的函数展开成傅里叶级数，傅里叶级数的和函数为S(x)，则，选(C)．知识模块：高等数学填空题6．设a≠，则=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．曲面z—ex+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．正确答案：切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0解析：曲面z—ez+2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为n={2y，2x，1一ez}(1，2．0)=｛4，2，0｝，则切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0．知识模块：高等数学8．f(x)为以2π周期的函数，当一π≤x＜π时，f(x)=，设其傅里叶级数的和函数为S(x)，则S(11π)=_________．正确答案：解析：因为f(x)的间断点为x=(2k+1)π(k∈Z)，所以知识模块：高等数学9．设f(x)可导，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=________．正确答案：e－x解析：由∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1，整理得f(x)+∫0xf(μ)dμ=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce－x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e－x．知识模块：高等数学10．设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷199(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷199(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处( )。
A．可导B．不可导C．连续但不一定可导D．不连续正确答案：C解析：由f(x)在x0处可导得|f(x)|在x0处连续，但|f(x)|在x0处不一定可导，如f(x)=x在x=0处可导，但|f(x)|=|x|在x=0处不可导，选(C)．知识模块：高等数学2．设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为( )．A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：B解析：因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f”(ξ)／2!(x－a)2≥f(a)+(x－a)2，其中ξ介于a与x之间．而(x－a)2=+∞，故f(x)=+∞，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f”(x)≥k(k ＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．知识模块：高等数学3．设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．为零D．取值与x有关正确答案：A解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫－ππesintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsint－e－sintsint)dt=∫0π(esint－e－sint)sintdt，又(esint－e－sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选(A)．知识模块：高等数学填空题4．设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则正确答案：0解析：－1～1／2f2(x)，∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncosc(x－t)d(x－t)=∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，知识模块：高等数学5．正确答案：解析：知识模块：高等数学6．正确答案：解析：知识模块：高等数学7．两异面直线L1：之间的距离为_______．正确答案：7解析：s1={4，－3，1}，s2={－2，9，2}，n={4，－3，1}×{－2，9，2}={－15，－10，30}，过直线L2且与L1平行的平面方程为π：－15x－10(y+7)+30(z －2)=0，即π：3x+2y－6z+26=0，知识模块：高等数学8．设f(u，v)一阶连续可偏导，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，则f(1，2)=_______．正确答案：3解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)两边对t求导数得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．知识模块：高等数学9．正确答案：2(1－ln2)解析：令S(x)=xn+1(－1＜x＜1)，知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷151(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷151(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)=，则x=0是f(x)的( )．A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：知识模块：高等数学2．设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为( )．A．一1B．0C．1D．2正确答案：D解析：知识模块：高等数学填空题3．设a＞0，且=1，则a=________，b=________．正确答案：a=4，b=1解析：知识模块：高等数学4．设f(x)二阶连续可导，且=1，f’’(0)=e，则=_________．正确答案：解析：知识模块：高等数学5．∫1＋∞=________．正确答案：解析：∫1＋∞知识模块：高等数学6．设L1：，L2：，则过L1平行于L2的平面方程为_________．正确答案：所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0 解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．知识模块：高等数学7．设f(x，y)可微，且f1’(一1，3)=一2，f2’(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=_________．正确答案：-7dx＋3dy解析：知识模块：高等数学8．设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==_________．正确答案：2πf(0，0)解析：知识模块：高等数学9．级数的收敛域为________，和函数为________．正确答案：[-2，2)，S(x)=解析：知识模块：高等数学10．微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解为_________．正确答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2解析：令y’=p，则dx，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．知识模块：高等数学11．设f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx’(1，2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．正确答案：47解析：因为φ’(x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．知识模块：高等数学12．=__________．正确答案：解析：知识模块：高等数学13．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：y’’’一3y’+4y’一2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ－1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y’’’一3y’+4y’一2y=0．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(高等数学)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学一（高等数学）模拟试卷90(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是( ) ①φ[f(x)]必有间断点。
②[φ(x)]2必有间断点。
③f[φ(X)]没有间断点。
A．0。
B．1。
C．2。
D．3。
正确答案：A解析：①错误。
举例：设φ(x)=f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。
②错误。
举例：设φ(x)=则[φ(x)]2=9在R上处处连续。
③错误。
举例：设φ(x)=在x=0处间断。
因此选A。
知识模块：高等数学2．设f(x)=｜x｜sin2x，则使导数存在的最高阶数n=( )A．0。
B．l。
C．2。
D．3。
正确答案：C解析：故f(3)(0)不存在。
因此n=2，选C。
知识模块：高等数学3．设f(x)=aretanx-(x≥1)，则( )A．fx(x)在[1，+∞)单调增加。
B．f(x)在[1，+∞)单调减少。
C．f(x)在[1，+∞)为常数D．f(x)在[1，+∞)为常数0。
正确答案：C解析：按选项要求，先求f’(x)。
又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=。
故选C。
知识模块：高等数学4．若f(x)的导函数是sinx，则f(x)有一个原函数为( )A．1+sinx。
B．1-sinx。
C．1+cosx。
D．1-cosx。
正确答案：B解析：由f’(x)=sinx，得∫(x)=∫f’(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C1，所以f(x)的原函数是F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2，令C1=0，C2=1得F(x)=1-sinx。
故选B。
知识模块：高等数学5．在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线( ) A．只有一条。
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《高等数学》考研模拟试卷及答案
一.填空题（每小题4分，共20分） 1.=->-x
x x 10)sin 1(lim __________________________ （e /1） 2.曲线x
x x y +=在)6,2(处的切线方程为_______ （)2)(2ln 45(6-+=-x y 或2ln 84)2ln 45(--+=x y ） 3.=-⎰dx e xe x x
1_____________________
（ C e e e x x x x +-+---1arctan 41412 ）
4.半径R ，圆心角θ2的均质扇形薄片的质心距圆心的距离为____________________ （
θ
θ3sin 2R ） 5.⎰-x dt t x dx d 03)arctan(=______________________ （ 3arctan x ） 二.选择题（每小题4分，共分20分）
1.设⎰+==x
x x x g dt t x f sin 0432)(,)sin()(，则当0→x 时，)()(x g x f 是的（ B ）
A)等价无穷小 B)同阶但非等价无穷小 C)高阶无穷小 D)低阶无穷小
2.若曲线3
212xy y b ax x y +-=++=和在点)1,1(-处相切，其中b a ,为常数，则（ D ）
A)2,0-==b a B)3,1-==b a C)1,3=-=b a D)1,1-=-=b a 3.内有在则，
且在)0,()(,0)('',0)(')0(),()(-∞>>∞+--=x f x f x f x f x f （ C ） A)0)('',0)('<<x f x f B)0)('',0)('><x f x f
C)0)('',0)('<>x f x f D)0)('',0)('>>x f x f
4.二元函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 当)0,0(),(→y x 时的极限（ C ）
A)为0 B)不为0 C)不存在 D)无法判断
5.当x
x y x 1sin 0=>时，曲线 （ A ）
A)有且仅有水平渐进线 B)有且仅有铅垂渐进线
C)水平渐进线与铅垂渐进线都有 D)不存在水平和铅垂渐进线
三.若函数1)2
1
(,0)1()0()10(]10[)(===f f f x f 上可微，且，上连续，在，在。
求证在 1)(')1,0(=ξξf ，使得内至少存在一点。
(10分)
证明：
20
2/1)0()2/1()('),2/10()2/10(]2/10[)(11=--=
∈∃∴f f f x f ξξ，上可微，上连续，在，在
22
/11)2/1()1()('),1,2/1()1,2/1(]1,2/1[)(22-=--=
∈∃∴f f f x f ξξ上可微上连续，在在 1)('),1,0(),(],[)('2121=∍⊂∈∃∴∈ξξξξξξf C x f
四.求曲线)6,2(ln 在x y =内的一条切线，使得该切线与直线6,2==x x 和x y ln =所围图
形的面积最小。
(10分)
解：设切点为)ln ,(a a ，则切线为)(1ln a x a a y -=
-即1ln 1-+=a x a
y
12ln 241404162ln 26ln 6ln 416|ln ln 21)ln 1ln 1(262622-+=∴=∴=+-=+-+=-+=--+=⎰x y a a a da dS a a
x x a x x a dx x a x a S 切线为：
五.设函数)(),(2222z xyf z y x y x z z =++=由所确定，求y
z x z ∂∂∂∂,（10分） 解：令u z =2，等式两边
对x 求导：)
1(22222'/u u xyf z x yf x z x z z xyf yf x z z x --=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂+ 等式两边对y 求导：)1(22222'/u u xyf z y xf y z y z z xyf xf y z z
y --=∂∂⇒∂∂⋅+=∂∂+ 六.求在曲面14
2:2
22=++z y x S 上平行于平面0522:=+++z y x π的切平面方程（10分）
解：切平面法向为⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===∴t x t y t x t z t y t x 222/222},1,2,2{代入曲线方程：
2
112222±
=∴=++t t t t 切点为)1,21,1(或)1,2
1,1(--- 切平面为01)2
1(2)1(2=-+-+-z y x 即0422=-++z y x 或01)21(2)1(2=+++++z y x 即0422=+++z y x 七.求解下列常微分方程（每题10分，共20分）
1.x e
x y y y 4)1(6'5''+=+- 2.x e y xy =+' 解：(1)令x e y λ=1代入齐次方程：3,2065212==⇒=+-λλλλ，齐次方程解：x x e c e c y 32211+=
令x e B Ax y 42)(+=代入非齐次方程：41,21)1()223(44-==
⇒+=++B A e x Ax B A e x x 方程解：x x x e x e c e
c y 43221)4121(-++= (2)x e x
y x y 11'=+ 令C e x c e c x c xc y x x c e x c y x x dx x +=∴=∴-=∴=⎰=-)(''')()(21
，故
x C e y x +=。