2020年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含解析)

2020年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A ＝{x|x 2−2x −3<0}，B ＝{x|log 2x <2}，则集合A ∩B ＝（ ）A.{x|−1<x <4}B.{x|0<x <3}C.{x|0<x <2}D.{x|0<x <1}2.设复数z 满足|z +i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ） A.(x +1)2+y 2＝1B.(x −1)2+y 2＝1C.x 2+(y +1)2＝1D.x 2+(y −1)2＝13.已知a =312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则（ ）A.a >b >cB.b >c >aC.c >b >aD.b >a >c4.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ¯，方差为s 2，则（ ） A.x ¯=70，s 2<75 B.x ¯=70，s 2 >75 C.x ¯>70，s 2<75 D.x ¯<70，s 2 >755.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x =π3对称，则|φ|的最小值为（ ） A.π12 B.π6C.5π6D.5π126.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+……(a 2013a 2015−a 20142)＝（ ）A.1B.0C.1007D.−10067.已知变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0 ，则z ＝−2x +y 的取值范围为（ ）A.[−2, 2]B.(−∞, −2)C.(−∞, 2]D.[2, +∞)8.已知三个向量a →，b →，c →共面，且均为单位向量，a →⋅b →=0，则|a →+b →−c →|的取值范围是（ ） A.[√2−1, √2+1] B.[1, √2] C.[√2, √3]D.[√2−1, 1]9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，PF 2分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ，|PF 1|=2|PF 2|，且∠MF 2N =60∘，则双曲线C 的离心率为() A.√2 B.√3 C.√7 D.2√3310.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=e x ．若对任意的x ∈[a, a +1]，不等式f(x +a)≥f 2(x)恒成立，则实数a 的最大值是（ ） A.−32B.−23C.−34D.211.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90∘，则三棱锥O −ABC 体积的最大值是（ ） A.√3 B.1C.12D.√34x+1（1）函数f(x)在其定义域上为增函数；（2）对于任意的a >0，a ≠1，都有f(a)=−f(1a )成立；（3）f(x)有且仅有两个零点；（4）若f(x 0)＝0，则y ＝lnx 在点(x 0, lnx 0)处的切线与y ＝e x 在点(−lnx 0,1x 0)处的切线为同一直线． 其中所有正确的结论有（ ） A.(1)(2)(3) B.(1)(3) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在(x −1)(x +1)8的展开式中，x 5的系数是________．14.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2=3a 1，则S10S 5=________．15.已知点A(0, 1)，B(1, 0)，C(t, 0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD →|≤2|BD →|恒成立，则最小正整数t ＝________．16.已知点F 是抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），与y 轴的正半轴相交于点N ，点Q 是抛物线不同于A ，B 的点，若2QA →=QN →+QF →，则|BF|:|BA|:|BN|＝________．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA−2cosCcosB=2c−a b．（1）求ca 的值；（2）若cosB =14，b ＝2，求△ABC 的面积S ．18.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为a的菱形，PA⊥面ABCD，∠BAD ＝120∘，E，F分别是CD，PC的中点．（1）求证：平面AEF⊥平面PAB；（2）M是PB上的动点，EM与平面PAB所成的最大角为45∘，求二面角F−AE−D的余弦值．19.已知椭圆x 24+y2＝1，P是椭圆的上顶点，过P作斜率为k(k≠0)的直线l 交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B．（1）求△PAB面积的最大值；（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围．20.设函数f(x)=e x−ax−a2(x∈R，实数a∈[0, +∞)，e＝2.71828…是自然对数的底数，√e=1.64872⋯)．(Ⅰ)若f(x)≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若e x≥lnx+m对任意x>0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．21.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n ∈N ∗)份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．(Ⅰ)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．(Ⅱ)现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2 (ⅰ)试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p 关于k 的函数关系式p ＝f(k)；(ⅱ)若p =1−√e 3，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918（二）选考题：共10分[选考4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．[选考4-5：不等式选讲]23.已知定义域在R 上的函数f(x)=|x +1|+|x −2|的最小值为a ． (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 为正实数，且p +q +r =a ，求证：p 2+q 2+r 2≥3．2020年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A ＝{x|x 2−2x −3<0}，B ＝{x|log 2x <2}，则集合A ∩B ＝（ ）A.{x|−1<x <4}B.{x|0<x <3}C.{x|0<x <2}D.{x|0<x <1}【解答】集合A ＝{x|x 2−2x −3<0}＝{x|−1<x <3}， B ＝{x|log 2x <2}＝{x|0<x <4}， 则集合A ∩B ＝{x|0<x <3}．2.设复数z 满足|z +i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x, y)，则（ ） A.(x +1)2+y 2＝1B.(x −1)2+y 2＝1C.x 2+(y +1)2＝1D.x 2+(y −1)2＝1 【解答】设z ＝x +yi(x, y ∈R)，由|z +i|＝1，得|x +(y +1)i|＝1， 即√x 2+(y +1)2=1，∴z 在复平面内对应的点的轨迹为x 2+(y +1)2＝1． 3.已知a =312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则（ ）A.a >b >cB.b >c >aC.c >b >aD.b >a >c【解答】a =312=√3>1，b ＝log 1312∈(0, 1)，c ＝log 213<0，∴a >b >c ．4.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ¯，方差为s 2，则（ ）C.x ¯>70，s 2<75 D.x ¯<70，s 2 >75【解答】根据题意，两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，则这些数据的总和不变，则在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ¯不变，即x ¯=70， 但数据的波动变小了，故s 2<75；5.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x =π3对称，则|φ|的最小值为（ ） A.π12 B.π6C.5π6D.5π12【解答】解：由题意，得ω=2πT=2，所以f(x)=Asin(2x +φ)．因为函数f(x)的图象关于直线x =π3对称， 所以2×π3+φ=kπ+π2(k ∈Z)， 即φ=kπ−π6(k ∈Z)， 当k =0时，|φ|取得最小值π6． 故选B ．6.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，……，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+……(a 2013a 2015−a 20142)＝（ ）A.1B.0C.1007D.−1006【解答】由于a 1a 3−a 22＝1×2−1＝1， a 2a 4−a 32＝1×322＝−1， a 3a 5−a 42＝2×5−32＝1．所以：(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+……(a 2013a 2015−a 20142)＝1+(−1)+1+(−1)+...+1＝1．7.已知变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0 ，则z ＝−2x +y 的取值范围为（ ）A.[−2, 2]B.(−∞, −2)C.(−∞, 2]D.[2, +∞)【解答】画出变量x ，y 满足{x −y ≥−2x +y ≥−2x ≥0表示的平面区域：将目标函数变形为z ＝−2x +y ，作出目标函数对应的直线， 直线过A(0, 2)时，直线的纵截距最大，z 最大，最大值为2； 则目标函数z ＝−2x +y 的取值范围是(−∞, 2]．8.已知三个向量a →，b →，c →共面，且均为单位向量，a →⋅b →=0，则|a →+b →−c →|的取值范围是（ ） A.[√2−1, √2+1] B.[1, √2] C.[√2, √3]D.[√2−1, 1]【解答】三个向量a →，b →，c →共面，且均为单位向量，a →⋅b →=0， 可设a →=(1, 0)，b →=(0, 1)，c →=(x, y)，则a →+b →−c →=(1−x, 1−y)，|c →|=√x 2+y 2=1；∴|a →+b →−c →|=√(1−x)2+(1−y)2=√(x −1)2+(y −1)2，它表示单位圆上的点到定点P(1, 1)的距离，其最大值是PN ＝r +|OP|＝1+√2，最小值是|OP|−r =√2−1， ∴|a →+b →−c →|的取值范围是[√2−1, √2+1]．9.已知双曲线C:x 2a −y 2b =1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为右支于另一点M，N，|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60∘，则双曲线C的离心率为()A.√2B.√3C.√7D.2√33【解答】解：由题意，|PF1|=2|PF2|，|PF1|−|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∵∠MF2N=60∘，由四边形PF1MF2为平行四边形，∴∠F1PF2=60∘，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2−2⋅4a⋅2a⋅cos60∘，∴c=√3a，∴e=ca=√3．故选B.10.设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=e x．若对任意的x∈[a, a+1]，不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立，则实数a的最大值是（）A.−32B.−23C.−34D.2【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴不等式f(x+a)≥f2(x)恒成立等价为f(|x+a|)≥f2(|x|)恒成立，∵当x≥0时，f(x)=e x．∴不等式等价为e|x+a|≥(e|x|)2=e2|x|恒成立，即|x+a|≥2|x|在[a, a+1]上恒成立，平方得x2+2ax+a2≥4x2，即3x2−2ax−a2≤0在[a, a+1]上恒成立，设g(x)=3x2−2ax−a2，则满足{g(a)≤0g(a+1)≤0，∴{g(a)=3a2−2a2−a2≤0g(a+1)=3(a+1)2−2a(a+1)−a2≤0，即{0≤04a+3≤0，∴a≤−34，故实数a的最大值是−34．11.已知P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心，PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90∘，则三棱锥O −ABC 体积的最大值是（ ） A.√3 B.1C.12D.√34【解答】如图，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，O 为球心， PA ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90∘，∴P 到平面ABC 上的射影G 是△ABC 的外心，即AC 中点， 则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝ℎ，则OG ＝2−ℎ，∴OB 2−OG 2＝PB 2−PG 2，∴4−(2−ℎ)2＝4−ℎ2，解得ℎ＝1， ∴AG ＝CG ＝BG =√3，∴三棱锥O −ABC 体积取最大值时，BG ⊥AC ， ∴三棱锥O −ABC 体积的最大值为： V =13S △ABC ⋅ℎ=13×12×2√3×√3×1=1．12.已知函数f(x)=lnx −x+1x−1，对于函数f(x)有下述四个结论： （1）函数f(x)在其定义域上为增函数；（2）对于任意的a >0，a ≠1，都有f(a)=−f(1a )成立； （3）f(x)有且仅有两个零点；（4）若f(x 0)＝0，则y ＝lnx 在点(x 0, lnx 0)处的切线与y ＝e x 在点(−lnx 0,1x 0)处的切线为同一直线． 其中所有正确的结论有（ ） A.(1)(2)(3) B.(1)(3) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)【解答】f(x)＝lnx −1+2x−1，f′(x)=1x −2(x−1)=[x−(2−√3)][x−(2+√3)]x(x−1)，可得函数f(x)在(0, 2−√3)，(2+√3, +∞)上单调递增；在(2−√3, 1)，(1, 2+√3)上单调递减．因此函数f(x)在其定义域上为增函数，不正确； 对于任意的a >0，a ≠1，−f(1a )＝−(ln 1a −1a +11a−1)＝lna −1+aa−1=f(a)，因此：对于任意的a >0，a ≠1，都有f(a)=−f(1a )成立；正确．如图所示，分别画出函数y＝lnx，y=x+1x−1的图象．f(x)有且仅有两个零点，正确；若f(x0)＝0，即lnx0＝1+2x0−1，y＝lnx的导数为：y′=1x ，在点(x0, lnx0)处的切线的斜率为：1x0，所以切线方程为：y−lnx0=1x0(x−x0)=1x0x−1，即y−1−2x0−1=1x0x−1，即y−2x0−1=1x0x，与y＝e x的导数为：y′＝e x，在点(−lnx0,1x0)处的切线的斜率为：1x0，切线方程为：y−1x0=1x0(x+lnx0)，即y=1x0x+1x0(1+x0+1x0−1)=1x0x+2x0−1，为同一直线．所以（4）正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在(x−1)(x+1)8的展开式中，x5的系数是________．【解答】∵(x−1)(x+1)8＝x(x+1)8−(x+1)8∴(x−1)(x+1)8展开式中x5的系数等于(x+1)8展开式的x4的系数减去x5的系数，∵(x+1)8展开式的通项为T r+1=C8r x r∴展开式中x5的系数是C84−C85＝14，14.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2=3a1，则S10S5=________．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1≠0，a2=3a1可得，d=2a1，∴S10S5=10(a1+a10)×12 5(a1+a5)×12=2(2a 1+9d)2a 1+4d=2(2a 1+18a 1)2a 1+8a 1=4. 故答案为：4.15.已知点A(0, 1)，B(1, 0)，C(t, 0)，点D 是直线AC 上的动点，若|AD →|≤2|BD →|恒成立，则最小正整数t ＝________． 【解答】设D(x, y)，由D 在AC 上，得：xt +y ＝1，即x +ty −t ＝0， 由|AD →|≤2|BD →|，得：(x −43)2+(y +13)2≥89，依题意，线段AD 与圆(x −43)2+(y +13)2=89，至多有一个公共点， ∴|43−43t|√2≥√89，解得：t ≥2+√3，或t ≤2−√3，∵t 是使|AD →|≤2|BD →|恒成立的最小正整数， ∴t ＝4，16.已知点F 是抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），与y 轴的正半轴相交于点N ，点Q 是抛物线不同于A ，B 的点，若2QA →=QN →+QF →，则|BF|:|BA|:|BN|＝________． 【解答】由题可知，点F(p2,0)，设直线AB 的方程为y =k(x −p2)， 令x ＝0，则y =−kp 2，∴点N(0,−kp 2)，∵2QA →=QN →+QF →，∴点A 是线段NF 的中点，∴点A(p4,−kp 4)，联立{y 2=2px y =k(x −p 2) ，得k 2x 2−(k 2p +2p)x +k 2p 24=0，∴x A ⋅x B =p 24，∴x B =p 24×4p =p ，由抛物线的定义可知，|BF|=x B +p2=p +p2=32p ，|BA|=x A +x B +p =p4+p +p =94p ， |BN|＝|BA|+|AN|＝|BA|+|AF|=94p +p4+p2=3p ，∴|BF|:|BA|:|BN|=32p:94p:3p=2:3:4．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA−2cosCcosB =2c−ab．（1）求ca的值；（2）若cosB=14，b＝2，求△ABC的面积S．【解答】由正弦定理可得，cosA−2cosCcosB =2c−ab=2sinC−sinAsinB，整理可得，sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosB+2sinBcosC，所以sin(A+B)＝2sin(B+C)，即sinC＝2sinA由正弦定理可得，ca =sinCsinA=2，由余弦定理可得，cosB=14=a2+4a2−44a，解可得，a＝1，c＝2，b＝2，又因为sinB=√1−cos2B=√154，所以△ABC的面积S=12acsinB=12×1×2×√154=√154．18.四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为a的菱形，PA⊥面ABCD，∠BAD ＝120∘，E，F分别是CD，PC的中点．（1）求证：平面AEF⊥平面PAB；（2）M是PB上的动点，EM与平面PAB所成的最大角为45∘，求二面角F−AE−D的余弦值．【解答】证明：底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝120∘，故∠ADE ＝60∘，DE =12a ，AD ＝a ，由AE 2＝AD 2+DE 2−2AD ⋅DEcos60∘＝a 2+14a 2−2a ⋅12a ⋅12=34a 2， 所以AE 2+DE 2＝AD 2，故Rt △ADE ，AE ⊥ED ， 又AB // CD ，所以AE ⊥AB ， 又PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以AE ⊥PA ，又AB ∩PA ＝A ， 所以AE ⊥平面PAB ，又AE ⊂平面AEF ， 故平面AEF ⊥平面PAB ；连接AM ，则由（1）知，AE ⊥平面PAB ， 则∠AME 为直线EM 与平面PAB 所成的角， 在Rt △AME 中，tan∠AME =AEAM ，当AM 最小时，即AM ⊥PB 时，∠AME 取得最大值45∘，此时AE ＝AM ， 设PA ＝x ，则由PA ⋅AB ＝PB ⋅AM 得， ax =√32a ⋅√a 2+x 2，解得x =√3a ，根据题意，以AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则B(a, 0, 0)，E(0, √32a, 0)，C(a 2, √32a, 0)，P(0, 0, √3a)，F(a 4,√3a 4,√3a 2)， AE →=(0,√32a,0)，AF→=(a 4,√3a 4,√3a2)， 设平面AEF 的法向量为m →=(x,y,z)，由{m →⋅AE →=√32ay =0m →⋅AF →=a4x +√32ay +√32az =0，得m →=(−2√3,0,1)，又平面AED 的法向量为n →=(0,0,1)， 由cos <m →,n →>=√3⋅0+0+1√13=√1313， 因为二面角F −AE −D 为钝角， 所以二面角F −AE −D 的余弦值为−√1313．19.已知椭圆x 24+y2＝1，P是椭圆的上顶点，过P作斜率为k(k≠0)的直线l 交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B．（1）求△PAB面积的最大值；（2）设线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围．【解答】由题意设直线l的方程：y＝kx+1，代入抛物线方程整理得：(1+4k2)x2+8kx＝0，所以x=−8k1+4k2，所以y=1−4k 21+4k2所以A的坐标(−8k1+4k2, 1−4k21+4k2)，由题意得B的坐标(8k1+4k2, 4k2−11+4k2)，所以三角形PAB的面积S=12|OP|⋅|x A−x B|=12|16k1+4k|因为k≠0，所以S△PAB＝8⋅|14k+1k |≤8⋅2√4=2（当且仅当k=12时取到等号），所以△PAB面积的最大值为：2；由（1）得：k PB=4k2−11+4k2−18k1+4k2=−14k，且PB的中点坐标(4k1+4k, 4k21+4k)，所以线段PB的中垂线方程为：y−4k 21+4k2=4k(x−4k1+4k2)，令x＝0，得y=−12k 21+4k，由题意得|y|<1，所以12k 21+4k2<1，解得：8k2<1，所以：−√24<k<√24，且k≠0，所以斜率的取值范围为(−√24, 0)∪(0, √24)．20.设函数f(x)=e x−ax−a2(x∈R，实数a∈[0, +∞)，e＝2.71828…是自然对数的底数，√e=1.64872⋯)．(Ⅰ)若f(x)≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若e x≥lnx+m对任意x>0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．【解答】（1）∵f(x)=e x−ax−a2，f(x)≥0在x∈R上恒成立，∴a≤e xx+12，设ℎ(x)=e xx+12，∴ℎ′(x)=e x(x−12)(x+12)2，令ℎ′(x)＝0，解得x=12，当x>12，即ℎ′(x)>0，函数单调递增，当x<12，即ℎ′(x)<0，函数单调递减，∴ℎ(x)min＝ℎ(12)=√e，∴0<a≤√e，故a的取值范围为[0,√e]；（2）设g(x)=√ex+√e2−lnx(x>0)，∴g′(x)=√e−1x (x>0)，g′(x)>0，可得x>√e；g′(x)<0，可得0<x<e．∴g(x)在(√e 上单调递增；在√e)上单调递减．∴g(x)≥g(√e )=3+√e2，∵√e=1.64872⋯，∴√e>1.6，∴g(x)>2.3．由(Ⅰ)可得e x>√ex+√e2，∴e x−lnx的最小值大于2.3，故若e x≥lnx+m对任意x>0恒成立，则m的最大值一定大于2.3．21.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n(n ∈N ∗)份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p <1)．(Ⅰ)假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．(Ⅱ)现取其中k(k ∈N ∗且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2 (ⅰ)试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p 关于k 的函数关系式p ＝f(k)；(ⅱ)若p =1−√e 3，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918 【解答】 （1）P =∁21∁31A32A 54=310，……………∴恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为310⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (2)(ⅰ)由已知得Eξ1＝k ，ξ2的所有可能取值为1，k +1． ∴P(ξ2=1)=(1−p)k ，P(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ，∴Eξ2=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k ………… 若Eξ1＝Eξ2，则k ＝k +1−k(1−p)k ，∴k(1−p)k＝1(1−p)k=1k ∴1−p =(1k )1k ∴p =1−(1k )1k ∴p 关于k 的函数关系式p =1−(1k )1k (k ∈N ∗且k ≥2)…………… (ⅱ)由题意可知Eξ2<Eξ1，得1k <(1−p)k ， ∵p =1−√e3，∴1k <(√e3)k ，∴lnk >13k ，设f(x)=lnx −13x(x >0)⋯⋯⋯⋯⋯，∴当x >3时，f ′(x)<0，即f(x)在(3, +∞)上单调递减，又ln4≈1.3863，43≈1.3333，∴ln4>43，ln5≈1.6094，53≈1.6667，∴ln5<53．∴k 的最大值为4．……………（二）选考题：共10分[选考4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2ρsin(θ+π3)=3√3，射线OM:θ=π3与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 【解答】解：（1）利用cos 2φ+sin 2φ=1，把圆C 的参数方程{x =1+cosφy =sinφ（φ为参数）化为(x −1)2+y 2=1， ∴ρ2−2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）设(ρ1, θ1)为点P 的极坐标，由{ρ1=2cosθ1θ1=π3，解得{ρ1=1θ1=π3． 设(ρ2, θ2)为点Q 的极坐标，由{ρ2(sinθ2+√3cosθ2)=3√3θ2=π3，解得{ρ2=3θ2=π3． ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1−ρ2|=2． ∴|PQ|=2．[选考4-5：不等式选讲]23.已知定义域在R 上的函数f(x)=|x +1|+|x −2|的最小值为a ． (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 为正实数，且p +q +r =a ，求证：p 2+q 2+r 2≥3． 【解答】(1)解：∵|x +1|+|x −2|≥|(x +1)−(x −2)|=3， 当且仅当−1≤x ≤2时，等号成立， ∴f(x)的最小值为3，即a =3；(2)证明：由(1)知，p +q +r =3，又p ，q ，r 为正实数，∴由柯西不等式得，(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=32=9，即p2+q2+r2≥3．。