尺规作图：画等角、垂线及平行线
如何画出平行线和垂直线
如何画出平行线和垂直线？
画出平行线和垂直线是数学中基本的几何作图技巧，它们有着特定的构造方法。
下面将介绍如何画出平行线和垂直线的步骤。
一、平行线的画法：
1. 给定一条直线l和一点P，在点P处作一条不与直线l相交的直线m。
2. 使用直尺在直线l上任选一点A，然后将直尺放在点A上，调整直尺的位置，使之与直线m相交于点B。
3. 在点B处作一条与直线l平行的直线n。
4. 直线n与直线l就是平行线。
二、垂直线的画法：
1. 给定一条直线l和一点P，在点P处作一条不与直线l相交的直线m。
2. 使用直尺在直线l上任选一点A，并将直尺放在点A上。
3. 使用量角器，在直线m上在点P处作一个角，使之与直尺上的直线l相交于点B。
4. 在点B处作一条与直线l垂直的直线n。
5. 直线n与直线l就是垂直线。
需要注意的是，为了画出准确的平行线和垂直线，需要使用准确的工具（如直尺、量角器）和仔细的操作。
另外，还可以利用已知的平行线或垂直线来画出新的平行线或垂直线。
例如，已知两条平行线l和m，可以通过作一条与l垂直的直线来得到与m平行的线。
熟练掌握画平行线和垂直线的方法，可以更好地解决与几何相关的问题。
画平行线和垂直线是几何学中重要的基本技巧，也是学习更高级几何学和应用数学的基础。
通过实际操作和练习，可以提高准确性和效率。
最新中考数学尺规作图专题复习(含答案)教学文稿
中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。
1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。
五种基本的尺规作图
在建筑设计中，尺规作图被广泛 应用于绘制平面图、立面图和剖 面图等，以确保建筑的准确性和
美观性。
机械工程
在机械制图中，尺规作图是绘制精 确零件图和装配图的重要工具，有 助于提高机械制造的精度和效率。
艺术设计
在美术、设计等艺术领域，尺规作 图也被用于创作具有几何美感的作 品，展现出独特的艺术魅力。
技巧分享
分享一些在尺规作图中常用的技巧和注意事项，如如何准确确定切点、如何绘制 垂直直线等，以提高作图的准确性和效率。同时，也可以介绍一些在实际应用中 可能会遇到的特殊情况和处理方法。
06 综合应用与拓展
五种基本尺规作图的综合应用
作一条已知线段的垂直平分线
利用直尺和圆规，可以准确作出已 知线段的垂直平分线，这在几何作 图中非常有用。
技巧分享
在绘制大圆时，可以将圆规两脚间距离调整得稍大一些，以提高绘制效率；在绘制小圆时 ，则需要更加精细地调整圆规两脚间距离，以确保绘制出的圆足够准确。
注意事项
在实例演示和技巧分享中，要强调保持圆规两脚间距离不变的重要性，以及注意调整圆规 两脚间距离的方法。同时，还可以分享一些在绘制过程中可能遇到的问题和解决方法，例 如如何避免圆规针尖滑动导致绘制出的圆不准确等问题。
五种基本的尺规作图
目 录
• 五种基本尺规作图概述 • 直线与角平分线作图 • 垂直平分线与平行线作图 • 圆的作图 • 圆弧连接与切线作图 • 综合应用与拓展
01 五种基本尺规作图概述
定义与分类
定义
尺规作图是指使用无刻度的直尺和圆 规进行作图的方法，是几何学中的基 本作图技能之一。
分类
五种基本的尺规作图包括作一条线段 等于已知线段、作一个角等于已知角 、作已知角的平分线、作线段的垂直 平分线以及作已知线段的中点。
初中几何尺规作图总结归纳
初中几何尺规作图总结归纳在初中数学学习中，几何部分是一个复杂而又有趣的内容。
其中，几何尺规作图是一个重要的知识点，通过使用尺规和直尺进行各种图形的构建和分析。
在本文中，我将对初中几何尺规作图进行总结和归纳，从理论到实践，为大家提供一个全面的了解。
理论基础几何尺规作图的基础是尺规和直尺。
在进行尺规作图时，我们需要使用一支尺子和一根没有刻度的直尺。
尺规的长度一般为15cm或30cm，在作图时要注意尺规的摆放和固定，以确保精确度和准确性。
作图步骤尺规作图的步骤一般分为三个部分：已知条件、构图、证明。
已知条件：根据题目给出的已知条件，我们首先要明确图形的特征和要求。
这是解决问题的起点，只有明确了已知条件，我们才能正确地进行后续的构图和证明。
构图：根据已知条件，我们需要使用尺规和直尺进行图形的构建。
构图时，要注意使用正确的工具和技巧，例如画垂线、平行线等。
同时，要保持手的稳定和准确的测量，以确保最终的作图结果正确无误。
证明：在完成构图后，我们需要对所得图形进行证明。
证明的过程中，需要运用尺规作图的基本原理和性质，进行推理和论证。
通过合理的推导过程，我们可以得出图形的性质和结论，进一步巩固和应用几何知识。
基本作图方法1. 作点：通过特定的条件，我们可以通过尺规作图的方式，在平面上标出一个点。
常见的作点方法有：作单位线段、作等分线段、作垂直平分线等。
2. 作线段：通过已知条件，我们可以使用尺规和直尺作出特定长度的线段。
作线段的方法包括：作单位线段的倍数、作等线段、作半线段等。
3. 作角：在几何尺规作图中，我们可以通过作线段和作弧的方式来构建特定的角度。
常见的作角方法有：作等角、作垂直角、作等分角等。
4. 作垂线和平行线：作垂线和平行线是几何尺规作图中常用的方法之一。
通过作垂线和平行线，我们可以解决很多与角度和线段有关的问题。
几何尺规作图的应用几何尺规作图在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们可以通过几何尺规作图来绘制房屋的平面图和立体图。
平行线的性质及尺规作图(基础)知识讲解
平行线的性质及尺规作图（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点三、尺规作图1. 定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．2.八种基本作图（有些今后学到）：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．（6）已知一角、一边做等腰三角形．（7）已知两角、一边做三角形．（8）已知一角、两边做三角形．【典型例题】类型一、平行线的性质1．已知：如图，AB∥DC，点E是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE⊥DE．【思路点拨】过E作EF∥AB，再由条件AB∥DC，可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠1=∠5，∠4=∠6，然后可得∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，进而得到结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥AB∥CD，∴∠1=∠5，∠4=∠6，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5+∠6=∠BEF+∠FEC=90°，∴AE⊥DE．【总结升华】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．举一反三：【变式】如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2= ．【答案】140°．【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣40°=140°．故答案为140°．类型二、两平行线间的距离2．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则( ) ．A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不确定【答案】B【解析】因为l1∥l2，所以C、D两点到l2的距离相等．同时△ABC和△ABD有共同的底AB，所以它们的面积相等．【总结升华】三角形等面积问题常与平行线间距离处处相等相结合．举一反三：【变式】如图，在两个一大一小的正方形拼成的图形中，小正方形的面积是10平方厘米，阴影部分的面积为平方厘米．【答案】5 (提示：连接BF，则BF∥AC)类型三、尺规作图3．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路点拨】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案与解析】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD 的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．类型四、平行的性质与判定综合应用4．如图所示，AB∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝( )A．180° B．270° C．360° D．540°【答案】C【解析】过点C作CD∥AB，∵ CD∥AB，∴∠BAC＋∠ACD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵ EF∥AB∴ EF∥CD．（平行公理的推论）∴∠DCE＋∠CEF＝180°(两直线平行，同旁内角互补)又∵∠ACE＝∠ACD＋∠DCE∴∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝∠BAC＋∠ACD＋∠DCE＋∠CEF＝180°＋180°＝360°【总结升华】这是平行线性质与平行公理的推论的综合应用，利用“两直线平行，同旁内角互补，”可以得到∠BAC ＋∠ACE＋∠CEF＝360°．举一反三：【变式】如图所示，如果∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°，则AB与EF的位置关系．【答案】平行。
《用尺规作角》平行线与相交线
相交线的性质
相交线有两个重要的性质，即垂直和平行。垂直是指两条直线相交成90度的角，平行是指两条直线在同一平面上 且不相交。
相交线的尺规作图方法
使用直尺和圆规，先确定两个点，然 后连接这两个点，得到一条直线。
VS
如果需要作另一条与这条直线相交的 直线，只需要在直线上任取一点，然 后使用圆规和直尺分别在这两条直线 上找出距离相等的两个点，连接这两 个点，即可得到与原直线相交的直线 。
电路设计
在电路设计中，平行线和相交线是描述电路 元件和信号传输的基础。例如，导线和元件 之间通常是平行线连接，而信号的传输则是 在导线和元件之间按照特定的时序进行相交
线连接。
05
总结与展望
Chapter
总结平行线和相交线的尺规作图方法及其应用
平行线的尺规作图方法 准备工具：直尺、圆规、铅笔、橡皮 确定已知直线和任意一点，作为画平行线的基准
对于平行线和相交线的判定方法和技巧，也需要不断探索 和创新，以解决更为复杂和实际的几何问题。
随着科技的不断进步和创新，平行线和相交线的应用前景 也越来越广阔。
在人工智能、机器学习、图像处理等领域中，平行线和相 交线也扮演着重要的角色，对于提高算法的精度和效率具 有重要作用。
THANKS
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平行线的性质
平行线具有传递性、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质。
平行线的尺规作图方法
确定已知直线
首先确定一条已知直线，作为基 础直线。
01
02
确定距离
在垂线上确定与已知直线距离相 等的两点，这个距离就是平行线 的宽度。
03 04
找到已知直线的垂线
(完整版)中考数学尺规作图专题复习(含答案)
中考尺规作图专题复习（含答案）尺规作图定义：用无刻度的直尺和圆规画图，中考中常见画的图是线段的垂线，垂直平分线，角平分线、画等长的线段，画等角。
1.直线垂线的画法：【分析】：以点C为圆心，任意长为半径画弧交直线与A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线l两侧于点M，N，连接MN，则MN即为所求的垂线2.线段垂直平分线的画法【分析】：作法如下：分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，分别交直线AB两侧于点C，D，连接CD，则CD即为所求的线段AB的垂直平分线.3.角平分线的画法【分析】1.选角顶点O为圆心，任意长为半径画圆，分别交角两边A，B点，再分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，交H点，连接OH，并延长，则射线OH即为所求的角平分线.4.等长的线段的画法直接用圆规量取即可。
5.等角的画法【分析】以O为圆心，任意长为半径画圆，交原角的两边为A,B两点，连接AB；画一条射线l，以上面的那个半径为半径，l的顶点K为圆心画圆，交l与L，以L为圆心，AB 为半径画圆，交以K为圆心，KL为半径的圆与M点，连接KM，则角LKM即为所求.备注：1.尺规作图时，直尺主要用作画直线，射线，圆规主要用作截取相等线段和画弧；2.求作一个三角形，其实质是依据三角形全等的基本事实或判定定理来进行的；3.当作图要满足多个要求时，应逐个满足，取公共部分.例题讲解例题1.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.解：作法如下:①作线段BC=a；（先作射线BD，BD截取BC=a）.②分别以B、C为圆心，以a半径画弧，两弧交于点A；③连接AB、AC.则△ABC 要求作三角形.例2.已知线段a 和∠α，求作△ABC ，使AB=AC=a ，∠A=∠α.解：作法如下：①作∠MAN=∠α；②以点A 为圆心，a 为半径画弧，分别交射线AM ，AN 于点B ，C. ③连接B ，C.△ABC 即为所求作三角形.例3.(深圳中考)如图，已知△ABC ，AB <BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得PA ＋PC ＝BC ，则下列选项中，正确的是(D )【解析】由题意知，做出AB 的垂直平分线和BC 的交点即可。
尺规作图与平行线
铁路是
交通运输 建设的重点，便于国计民生，成为国民经济
发展的动脉。 2．出现 1881年，中国自建的第一条铁路——唐山 路建成通车。 1888年，宫廷专用铁路落成。 至胥各庄铁 开平
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
尺规作图与平行线
基本作图归纳：
1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作角的平分线；
4、作线段的中垂线；
5、过直线上一点作直线的垂线；
过直线外一点作直线的垂线.
典型例题： 例1:如图,有一破残的轮片,现要制作一 个与原轮片同样大小的圆形零件,请你 根据所学的有关知识,设计一种方案,确 定这个圆形零件的半径.
4.已知△ABC(如图)，∠B=∠C=30°。请设计 三种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形， 使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相 似但不全等的直角三角形．请画出分割线段， 标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角 度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。 分法二：分割后所得的四个三角形中 △_____≌△____，Rt△_____∽ Rt△______
★★★ 典题精讲
例4 如图，已知：∠ADE=∠B, FG⊥AB, ∠EDC=∠GFB, 求证：CD⊥AB
4.已知△ABC(如图)，∠B=∠C=30°。请设计 三种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形， 使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相 似但不全等的直角三角形．请画出分割线段， 标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角 度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。 分法一：分割后所得的四个三角形中 △_____≌△____，Rt△_____∽ Rt△______
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a
2、设计一个漂亮的图案。
①过P作PQ⊥a于Q，
a
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
P
如，过P点作直线a的平行线。
解：作法， ①过P作PQ⊥a于Q，
a
Q
②过P作直线b⊥PQ于P，
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
且∠2=∠1的同位角，
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
A’
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
复习2：过一点画已知直线的垂线；
P a
a P
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
5 教学活动
教学内容：(P32-33)
1、运用平行线判定方法来画平行线； 2、运用平移的方法来设计美丽的图案．
复习1：画一个等于已知角的角？
B
O
A O’
A’
复习1：画一个等于已知角的角？
B
O
A O’
A’
复习1：画一个等于已知角的角？
B
O
A O’
A’
复习1：画一个等于已知角的角？
B
B’
O
A O’
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
P
如，过P点作直线a的平行线。
解：作法，
①过P作PQ⊥a于Q，
a
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直 线互相平行”.
P
如，过P点作直线a的平行线。
解：作法，
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
且∠2=∠1的同位角，
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
方法1：运用平行线的判定定理1.
2
如，过P点作直线a的平行线。
P
c
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，且∠2=∠1的同位角，源自图中直线c∥a，就是所求。
P
如，过P点作直线a的平行线。
解：作法， ①过P作PQ⊥a于Q，
a
Q
②过P作直线b⊥PQ于P，
活动1：你有多少种画平行线的方法？
方法2：根据“同一平面内，垂直同一直线的两条直
线互相平行”.
如，过P点作直线a的平行线。
P
b
解：作法， ①过P作PQ⊥a于Q，
a
Q
②过P作直线b⊥PQ于P，
图中直线b∥a，就是所求。
且∠2=∠1的同位角，
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
P
解：作法， ①过P直线b与a相交，
a
1
②以P为顶点，作∠1的同位角∠2，
且∠2=∠1的同位角，
活动1：你有多少种画平行线的方法？ b
方法1：运用平行线的判定定理1.
如，过P点作直线a的平行线。
自学：(P32)张明和王玲的作法。 你还有其他方法吗？动手试一试，与同学们交流。
活动2：设计美丽的图案 图中的每一匹马是怎样得到的？ 整幅图画是怎样得到的？ 你还能用平移设计一些图案吗？
归纳小结
通过本节课的学习，你学会了哪几种画平行线的 方法？
【布置作业】
1、利用尺规作图，用至少两种方法画已 知直线的平行线。