四川省成都七中高二数学上学期入学考试试题
成都七中2013-2014学年高二上学期入学考试
数学试题
一、选择题：(每小题5分，共50分)
1. 在∆ABC 中,下列名式一定成立的是( )
A.a=bsinA cosB
B.b=asinA
sinB
C.c=acosB+bcosA
D.b=csinC
sinB
2. 在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1,a 99是方程x 2
-10x+16=0的两个实数根,则a 40a 50a 60=( )
A.32
B.64
C.256
D.±64 3. 不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( )
A.{x|0≤x<1}
B.{x|x<0且x ≠-1}
C.{x|-1<x<1}
D.{x|x<1且x ≠-1} 4. 若数列{a n }满足a n+1=1- 1
a n
,且a 1=2,则a 2013=( )
A.-1
B.- 12
C. 32
D. 1
2
5. 若一个等差数列{a n }的前3项和为34,最后三项和为146,其所有项的和为390,则这个数
列有( )
A. 10项
B.12项
C.13项
D.14项
6. 若S n =1-2+3-4+⋯+(-1)n-1n(n ∈N *
),则S 17+S 33+S 50等于( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
7. 若过点M(-1,0),且斜率为k 的直线与圆x 2+4x+y 2
-5=0在第四象限内的圆弧有交点,则k
的取值范围是( ) A.0<k<5 B. 0<k<13 C. 0<k< 5 D.-5<k<0 8. 在数列{a n }中,a n =43-3n,则当S n 取最大值时,n=( )
A.13
B.14
C.15
D.14或15 9. 把直线3x-y+1=0绕点(0,1)旋转30︒,得到的直线方程为( )
A.x-3y+1=0
B.x-3y+3=0
C. x-3y+1=0或x=0
D. x-3y+3=0或x=0
10. 若点P(a,b)在直线x+y-4=0上运动,则a 2+b 2
的最小值为( )
A.4
B.4 2
C.8
D.8 2 二、填空题：(每小题5分，25分)
11. 已知圆x 2+y 2
=4,直线L:y=x+b,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则b=___; 12. 若集合A={(x,y)|⎩⎨⎧x-y+1≥0
x+y-4≤0
x ≥0y ≥0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)≤0},M=A ∩B,则M 的面积为=_____;
13. 已知x>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则(a+b)
2
cd 的最小值等于=______;
14. 设点P 为直线x-2y-1=0上的动点,过点P 作圆(x+6)2
+(y-4)2=5的切线,则切线长的最小
值是____;
15. 下列结论中正确的有____________.
在∆ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,(a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2
)sin(A-B),则
∆ABC 的形状是等腰直角三角形;
● 在∆ABC 中,a=33,b=3, ∠B=30︒,则∠C=30︒ ;
● 已知直线L 1:2x-y+1=0,L 2:3x-y=0,则直线L 2关于L 1对称的直线的方程为
13x-9y+14=0;
● 圆x 2+y 2+2x+2y-2=0与圆x 2+y 2
-4x-6y+4=0有3条公切线;
● 已知函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点
A,mn>0,则1m +2
n
的最小值等于8.
三、解答题：(共75分)
16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,第一种钢板可截得A 规格2块,B
规格1块,C 规格1块,第二种钢板可截得A 规格1块,B 规格2块,C 规格3块,今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品,且使用钢板张数最少?
17. (12分)已知点P(x 0,y 0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P 到直线L 的距离公式.
18. (12分)已知三角形的三边为a 、b 、c,设p=1
2
(a+b+c),S 为三角形的面积,r 为三角形的
内切圆半径,证明:
(1) 秦九韶—海伦公式:S=p(p-a)(p-b)(p-c); (2) 三角形内切圆半径公式:r=p(p-a)(p-b)(p-c)
p
.
19.(12分)选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择.
调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A种菜.用a n,b n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,如果a1=300,求a n.
20.(13分)已知数列{a n}满足:a1=3,a n=2a n-1+2n-1(n≥2).
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求{a n}的前n项和S n.
21.(14分)已知圆C的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.
(1)求实数a组成的集合A.
(2)圆C是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.
(3)求证:当a1,a2∈A,且a1≠a2时,对应的圆C1与圆C2相切.
(4)求证:存在直线L,使与圆C中的所有圆都相切.
高二上期入学考试题(答案)
一、选择题：(每小题5分，共50分)
二、填空题：(每小题5分，25分)
11. 已知圆x 2+y 2
=4,直线L:y=x+b,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则b=___; 12. 若集合A={(x,y)|³£³³y0x0
},B={(x,y)|(y-x)(y+x)
0},M=A ∩B,则M 的面积为=_____;2
13. 已知x>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则cd a+b2
的最小值等于=______;4 14. 设点P 为直线x-2y-1=0上的动点,过点P 作圆(x+6)2
+(y-4)2
=5的切线,则切线长的最小
值是____;
15. 下列结论中正确的有____________.③④⑤
二、 ABC 中,a,b,c A,B,C 的对边,(a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2
)sin(A-B),则
ABC 的形状是等腰直角三角形;
三、 ABC 中,a=3,b=3, B=30,C=30 ; 四、 已知直线L 1:2x-y+1=0,L 2:3x-y=0,则直线L 2关于L 1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;
五、 圆x 2+y 2+2x+2y-2=0与圆x 2+y 2
-4x-6y+4=0有3条公切线; 六、 已知函数y=log a (x+3)-1(a>0,a 1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,
则m 1+n 2
的最小值等于8.
三、解答题：(共75分) 16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,第一种钢板可截得A 规格2块,B
规格1块,C 规格1块,第二种钢板可截得A 规格1块,B 规格2块,C 规格3块,今需要A 、
B、C三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三
种规格成品,且使用钢板张数最少?
17. (12分)已知点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P到直线L的距离公式.
18. (理)(12分)已知三角形的三边为a 、b 、c,设p=21
(a+b+c),S 为三角形的面积,r 为三角
形的内切圆半径,证明: (1) 秦九韶—海伦公式:S=; (2) 三角形内切圆半径公式:r=p p-c
.
(文)(12分)ABC 中, A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c,c=27
,
C=60
,S
ABC
=23
,求a+b 的
值. 211
19. (12分)选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A 、B 两种菜可供选择.
调查资料表明,凡是在星期一选A 种菜的,下星期一有20%改选B 种菜;而选B 种菜的,下星期一会有30%改选A 种菜.用a n ,b n 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数,如果a 1=300,求a n .
20. (13分)已知数列{a n }满足:a 1=3,a n =2a n-1+2n
-1(n
2).
(1) 求证:{2n an-1
}是等差数列,并求{a n }的通项公式;
(2) 求{a n }的前n 项和S n .
(1)a n =n 2n
+1;
(2)S n =(n-1)2n+1
+n+2.
21. (14分)已知圆C 的方程是x 2+y 2
-2ax+2(a-2)y+2=0.
(1) 求实数a 组成的集合A.
(2) 圆C 是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由. (3) 求证:当a 1,a 2A,且a 1a 2时,对应的圆C 1与圆C 2相切. (4) 求证:存在直线L,使与圆C 中的所有圆都相切.。
2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷附答案解析
2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷2023.10总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．直线112y x =-+的一个方向向量是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,2D ．()2,12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）A ．()PB =710B ．()0P A B =C ．()7100P B C ⋂=D ．()910P A B ⋃=3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为（）A ．14，14B ．12，14C ．14，15.5D ．12，15.54．{},,a b c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）A ．a ，a b + ，a b -B ．b ，a b +，a b - C ．c ，a b + ，a b - D ．2a b +，a b + ，a b- 5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（）A ．等于5aB ．和EF 的长度有关C ．等于D ．和点Q 的位置有关6．设直线l 的方程为66cos 130x y β-+=，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A ．[]0,πB ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．πππ3π,4224⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ ，D ．π4,3π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 对立C ．事件A 与事件B 相互独立D ．()56P A B +=8．在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC= ，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）A ．746B ．845C ．745D ．445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．[多选题]下列命题是真命题的是（）．A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB 与CD是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB 与CD不是共线向量C ．若向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB 与AC 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满足1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r，则下列说法正确的是（）A ．点A 到直线BEB ．点O 到平面11ABC D 的距离为24C ．平面1A BD 与平面11B CD 间的距离为D ．点P 到直线AB 的距离为353611．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，π3DAB ∠=，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则（）A ．PA BD⊥B ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PCD ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为7712．如图，在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）A ．对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面B ．存在点M ，N ，使得MN 与BC 垂直C ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC共面D ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．点(1,2,5)P -到xOy 平面的距离.14．已知过点()2,A m -和点(),4B m 的直线为1l，2l ：21y x =-+，3l ：11y x n n =--，若12l l ∥，23l l ⊥，则m n +的值为.15．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则二面角P BD Q --余弦值的取值范围是．16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，3AB AD CD ===，π3ABC ∠=，PA =，M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．18．（1）已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -，若点D 在线段AB （包括端点）上移动时，求直线CD 的斜率k 的取值范围；（2）求函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R 的值域.19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)证明：1AC BD ⊥；(2)求1BD 与AC 所成角的余弦值.20．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．21．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为2211Y Y T TY Y T T --=--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y 表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为1Y时，等级分为1T ，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间；(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.22．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.(1)求证：OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =.①求二面角C AE B --所成平面角的正弦值；②在线段CE 上是否存在一点M ，使得直线MO 与平面BCP 所成角为30︒？1．B【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．【详解】直线112y x =-+的斜率为12-，则选项中()2,1-是直线的一个方向向量，即B 正确．故选：B ．2．C【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及频率与频数的关系，即可求解．【详解】解：由题意可知，A ，B ，C 为互斥事件，()0P A B = ，()0P B C ⋂=，故B 正确，C 错误，抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，则()2011005P A ==，()70710010P B ==，故A 正确，()()()()179051010P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-=，故D 正确．故选：C ．3．A【分析】把给定数据按由小到大排列，再结合众数、中位数的定义求解作答.【详解】把这组数据按由小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其众数为14，中位数为14.故选：A 4．C【分析】确定()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ ，()()31222a b a b a b +=+--排除ABD ，得到答案.【详解】对选项A ：()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C ：假设()()c a b a bλμ=++- ，即()()c a bλμλμ=++- ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对选项D ：()()31222a b a b a b+=+-- ，向量共面，故不能构成基底，错误；故选：C 5．A【分析】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，利用线面平行判断出选项B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.【详解】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，则//PG CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又11//A B 平面PGCD ，所以点1A 到平面PGCD 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2a C a D A a a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(0,,0)DC a = ，1(,0,)DA a a =，,0,2a DP a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设(,,)n x y z = 是平面PGCD 的法向量，则由0,0,n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得0,20,a x az ay ⎧+=⎪⎨⎪=⎩令1z =，则2,0x y =-=，所以(2,0,1)n =- 是平面PGCD 的一个法向量．设点Q 到平面PEF 的距离为d，则155||DA n d n ⋅=，A 对，C 错．故选：A ．【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.6．D【分析】当cos 0β=时，可得倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解．【详解】当cos 0β=时，方程为6130+=x ，直线的倾斜角π2α=，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos αβ==k ，[]cos 1,1β∈- ，且cos 0β≠，),1(1,[]k ∴∈-∞-+∞ ，即)tan ,1]1,([α∈-∞-+∞ ，又[0,π)α∈，ππ[,)(,422π3π4α∴∈ ，综上，倾斜角α的范围是3π[,4π].4故选：D ．7．C【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1()2P A =,B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为1()3P B =,事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为1()6P AB =,由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故()4263P A B +==，D 错误，故选：C 8．B【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD=，由锥体体积公式，求出P AEF P ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即可得P AEFG P ABCDV V --的值.【详解】如图所示，设PG PD λ=，由A 、E 、F 、G 四点共面，设AF x AE y AG =+ ，则()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD APλλ++-=+-++- ，得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又AP ，AB ，AD 不共面，则203312033103x y y xy λλ⎧--+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC =，所以1229P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，12P ABC P ABCDV V --=，19P AEF P ABCD V V --=，同理，215P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=⋅⋅=，12P ADC P ABCDV --=，115P AGF P ABCD V V --=，11891545P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=+==则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为845.故选：B【点睛】方法点睛：点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.9．AD【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB ，CD 的方向相同或相反，因此AB 与CD 是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD是否共线；C 项为假命题，因为AB ，CD两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB 与AC是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．故选：AD ．10．BC【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得．【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系：则(0A ,0,0)，(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，1(0A ,0,1)，1(1C ,1,1)，1(0D ,1,1)，1(,0,1)2E ．所以(1,0,0)BA =-uu r ，1(,0,1)2BE =- ，则A 到直线BE的距离15d =，故A 不正确；易知111111(,,0)222C O C A ==-- ，又1(0,1,1)DA =-uuu r ，()()11,0,0,1,1,1AB AC == ，所以1110,0DA AB DA AC ⋅=⋅= ，则平面11ABC D 的一个法向量为1(0,1,1)DA =-uuu r，则点O 到平面11ABC D的距离1121124DA C O d DA ⋅=，故B 正确；1(1,0,1)A B =-uuu r ，1(0,1,1)A D =-uuu r ，11(0,1,0)A D =uuuu r ．设平面1A BD 的法向量为()n x y z =++，则1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =，所以点1D 到平面1A BD 的距离1133A D n d n ⋅==．因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1A BD 与平面11B CD 间的距离等于点1D 到平面1A BD的距离，即为，故C 正确；因为1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以312(,,)423AP = ，(1,0,0)AB = ，则34||AP AB AB ⋅=uu u r uu u ruu u r ，所以点P 到AB的距离56d =，故D 不正确．故选：BC ．11．ABC【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解．【详解】对于选项A ，因为π3DAB ∠=，2AB AD =，由余弦定理可得BD AD =，从而222BD AD AB +=，即BD AD ⊥，由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，可得BD PD ⊥，又,,AD PD D AD PD ⋂=⊂面PAD ，即BD ⊥面PAD ，又PA ⊂面PAD ，即PA BD ⊥，故选项A 正确；对于选项B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角，又3tan 3PD PBD BD ∠==，即π6PBD ∠=，故选项B 正确；对于选项C ，显然PCD ∠为异面直线AB 与PC 所成的角，易得25cos 5CD PCD PC ∠==，故选项C 正确；对于选项D ，建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD =，则(0D ,0,0)，(1A ,0,0)，(0B 30)，(1C -30)，(0P ,0,1)，设平面PAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11113030x y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则113x z ==即(3,1,3)n =，设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z =，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，则222300z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，则20x =，23z =3)m =，则27cos ,7m n m n m n ⋅==，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27，故选项D 不正确.故选：ABC ．12．ACD【分析】A 选项，首先MN 不可能与AD 相交，其次证明AD 与MN 不可能平行，故A 正确；B 选项，证明出BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故B 错误；C 选项，作出辅助线，得到存在0λ≠，使得()1MN AD BCλλ=+- ，由空间向量性质可知C 正确；D 选项，作出辅助线，对于任意点M ，找到点N ，得到MN 与AD ，BC 所成的角，利用相似和余弦定理得到MN 与AD ，BC 所成的角相等.【详解】A 选项，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，故MN 不可能与AD 相交，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，MN 与ME 相交，故AD 与MN 不可能平行，综上：对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面，A正确；B 选项，取BC 中点F ，连接AF ，DF ，因为四面体ABCD 为正四面体，所以AF ⊥BC ，DF ⊥BC ，因为AF DF F ⋂=，所以BC ⊥平面ADF ，因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故BC 不可能与MN 垂直，B 错误；C 选项，对于任意点M ，作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点E 作EN ∥BC 交CD 于点N ，连接MN ，此时MN ME EN =+u u u u r u u u r u u u r，故存在0λ≠，使得()1MN AD BC λλ=+- ，所以对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 共面，C 正确；D 选项，对任意的点M ，在CD 上取点N ，使得CN=AM ，则BM DN =，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点N 作NF ∥BC 交BD 于点F ，则NME ∠为MN 与AD 形成的角，∠MNF 为MN 与BC 形成的角，且FN=EM ，DE=BF ，由BM=DN ，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF 得：△BMF ≌△DNE ，所以MF=EN ，由余弦定理得：222cos 2MN NF MF MNF MN NF +-∠=⋅，222cos 2MN ME EN NME MN ME +-∠=⋅，由于三边对应相等，故∠MNF=∠NMF ，对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等，D 正确.故选：ACD【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.13．5【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.【详解】点(1,2,5)P -在平面xOy 上的射影是(1,2,0)P '-，则点(1,2,5)P -在平面xOy 距离为5PP '=.故答案为：514．10-【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可.【详解】因为12l l ∥，所以422AB m k m -==-+，解得8m =-，又23l l⊥，所以1((2)1n -⨯-=-，解得2n =-，所以10m n +=-.故答案为：10-.15．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP ，证明出A D '⊥平面ABC D ''，可知点Q 的轨迹为线段BC '，由二面角的定义可知二面角P BD Q --的平面角为POC '∠，求出cos POC '∠的最小值和最大值，即可得解.【详解】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP，如下图所示：因为//AB C D ''且AB C D ''=，则四边形ABC D ''为平行四边形，因为四边形AA D D ''为正方形，则AD A D '⊥'，因为AB ⊥平面AA D D ''，A D '⊂平面AA D D ''，则ADAB '⊥，因为AB AD A ⋂'=，AB 、AD '⊂平面ABC D ''，所以，A D '⊥平面ABC D ''，因为BC '⊂平面ABC D ''，所以，BC A D ''⊥，因为Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，所以，点Q 的轨迹为线段BC '，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2，则BC BD C D ''===因为四边形ABCD 为正方形，AC BD O = ，则O 为BD 的中点，且OC BD '⊥，由勾股定理可得PB PD ==，则OP BD ⊥，所以，二面角P BD Q--的平面角为POC'∠，由图可知，当点P与点A重合时，POC'∠最大，sin60OC BC''==1122OC AC==⨯=因为CC'⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则CC AC'⊥，此时，()cos cosπcos3OCPOC COC COCOC'''∠=-∠=-∠=-=--'；当P与点A'重合时，POC'∠最小，此时，()221 cos cosπ2cos212cos123POC COC COC COC''''∠=-∠=-∠=-∠=-⨯=⎝⎭，又因为函数cosy x=在[]0,π上单调递减，所以，31cos33POC'≤∠≤，因此，二面角P BD Q--的余弦值的取值范围13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.16．13或23【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC，如图，因为//AD BC，3AB AD CD===，π3ABC∠=，则2π3BAD ADC∠=∠=，π6CAD∠=，于是π2BAC∠=，取BC中点1O，连接11,O A O D，则111O A O B O C==，得11,AO B CO D均为正三角形，即有1111O A O B O C O D ===，即1O 是梯形ABCD 外接圆圆心，而O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，因此1O O ⊥平面ABCD ，又PA ⊥平面ABCD ，则1//O O PA ，而PA 为球O 的弦，则过点O 垂直于PA 的平面必过PA 的中点E ，连接,OE OA ，于是OE PA ⊥，而1O A PA⊥，即有1//O A OE，四边形1O AEO为矩形，112O O AE PA ===，因此球O 的半径R OA ==M 的球O 的最小截面圆所在平面必垂直于OM ，而此截面圆半径为，则3OM ==，连接1O M ，在1Rt O OM △中，1O M ==在1AMO 中，1π3BAO ∠=，22211112cos AM O A AM O A BAO O M +-⋅∠=，即有2937AM AM +-=，解得1AM =或2AM =，所以13λ=或23λ=.故答案为：13或23【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)证明见解析；【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【详解】（1）证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；（2）解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-=⋅==，可取)n =，则cos ,n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB所成角的正弦值为18．【小问1】1k ≤-或53k ≥【小问2】3333⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）求出直线AC ，BC 的斜率，数形结合可得答案；（2）利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线AC 的斜率235033AC k --==-，直线BC 的斜率2210(4)BC k --==---，如图所示，点D 在线段AB （包括端点）上移动时，BC k k ≤或AC k k ≤，故直线CD 的斜率的取值范围是：1k ≤-或53k ≥.（2）由sin cos 2y θθ=+，得2cos sin y y θθ+=，所以2sin cos sin()y y θθθϕ=--，其中cos ϕϕ则sin()θϕ-=，由|sin 1()|θϕ≤-1≤，即231y ≤，解得y ≤，所以函数sin cos 2y θθ=+，θ∈R的值域为⎡⎢⎣⎦.19．(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据向量的线性运算和数量积的运算性质，得到10AC BD ⋅= ，即可得证；（2）求出11||,||,BD AC BD AC⋅ ，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】（1） 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，1166cos 6018AA AB AA AD AD AB ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，1111111()()())(AC BD AA A B B C AD AB AA AB AD AD AB ∴⋅=++⋅-=++⋅-2211AA AD AA AB AB AD AB AD AD AB =⋅-⋅+⋅+--⋅181836360=--+=，1.AC BD ∴⊥（2）111BD AD DD AB AD AA AB =+-=+- ，AC AB BC AB AD =+=+，1||BD ∴====||AC ==== 11()()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 22113636181836AD AB AA AB AA AD =-+⋅+⋅=-++=，111cos ,6||||BD AC BD AC BD AC ⋅∴===⋅，则异面直线1BD与AC所成角的余弦值为620．（1）（2）25【详解】甲校的男教师用A 、B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E 、F 表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，有（AD ），（AE ），（AF ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），共9种；其中性别相同的有（AD ）（BD ）（CE ）（CF ）四种；则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，有（AB ）（AC ）（AD ）（AE ）（AF ）（BC ）（BD ）（BE ）（BF ）（CD ）（CE ）（CF ）（DE ）（DF ）（EF ）共15种；其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．21．(1)73(2)[85,98](3)91分【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a ，由频率分布直方图中平均数的概念求解平均数；（2）求出等级A 的原始分区间的最低分，又最高分为98，即可得解；（3）利用给定转换公式求出等级分作答．【详解】（1）由10(0.020.030.04)1a a ++++=，可得0.005a =，此次化学考试成绩的平均值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分．（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90,100]的占比为5%，位于区间[80,90)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[80,90)，估计等级A 的原始分区间的最低分为15%5%90108520%--⨯=，已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间为[85,98]．（3）由9890100908586T T --=--，解得11889113T =≈，该学生的等级分为91分．22．(1)证明见解析(2)①1113；②存在【分析】（1）取AB 的中点D ，可证得OD 面PAC ,DE 面PAC ,从而面ODE 面PAC ,进而得结论；（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEB 和平面AEC 的法向量，利用向量夹角公式求解；②设(1)OM OC OE λλ=+- ，（01λ<<），则33,111,22OM λ⎫=--⎪⎭ ，求出平面BCE 的法向量，利用向量夹解公式列出方程求解λ即可.【详解】（1）如图，取AB 的中点D ，连接,OA OB ,∵PO ⊥面ABC ,PA PB =,∴OA OB =,则OD AB ⊥,又AC AB ⊥,∴OD AC ∥,OD ⊄面PAC ,AC ⊂面PAC ,∴OD 面PAC ,∵,D E 分别为,AB PB 的中点，∴DE PA ∥,DE ⊄面PAC ,PA ⊂面PAC ,∴DE 面PAC ,DE OD D = ,,DE OD ⊂面ODE ,∴面ODE 面PAC ,又OE ⊂平面ODE ，所以OE 平面PAC.（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为3,5PO AP ==，所以4OA ==，又30ABO CBO ∠=∠=︒，4OA OB ==，所以cos 30AD BD OB ==︒=则212AB BD AC ====，则(0,0,0)A，()B ，(0,12,0)C，()2,3P，32E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3),(0,12,0)2AE AB AC ===，设平面AEB 的法向量为(),,m x y z =，则3020m AE y m AB ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则3,0y x =-=，所以()0,3,2m =-，设平面AEC 的法向量(,,)n a b c =，则302120m AE b c m AB b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令1a =-，则0c b ==，所以(1,0,n =-，所以cos ,n m n m n m⋅〈〉== .设二面角C AE B --的大小为θ，则11sin 13θ==.②()2,0O ，设(1)OM OC OE λλ=+-，（01λ<<），则33,111,22OM λ⎫=--⎪⎭，()3,2BC BE ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，21设平面BCE 的法向量(),,r d e f = ，则120302r BC e r BE e f ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令d =41,3e f ==，所以43r ⎫=⎪⎭，r = ，4r OM ⋅= ，因为sin 30r OM r OM ⋅︒=，所以OM =26018925104252λλ--=，解得λ=（负根舍去），1λ-=，因为222260125160125189(60189)895121313⨯⨯+--=-+60125125142360160142301313⨯⎛⎫=-⨯+=-< ⎪⎝⎭，所以10λ-<，即01λ<<，所以存在点M 满足条件.。
四川省成都七中实验学校高二上学期入学考试数学试题
成都七中实验学校高2016级高二（上）入学考试数 学 试 题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（每小题5分，共60分）1.直线1y =+的倾斜角大小为( )A.30°B.60°C.150°D.120°2.设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为( )A.4-B. 6C.10D. 173.若实数）是（则下列不等式恒成立的，且,,b a R b a >∈A. 22b a > B.1>ba C. ba 22> D. 0)lg(>-b a 4.{}()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则（ ）1.2A -.2B 1.2C.2D ± 5.已知两条直线m n 、，两个平面αβ、，给出下面四个命题： ① m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α ② α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ③ m ∥n ， m ∥α⇒n ∥α ④ α∥β，m ∥n ， m ⊥α，⇒m ⊥β 其中正确命题的序号是（ ）A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆）， 则该几何体的表面积是（ ）A.203π+B.243π+C.204π+D.244π+7.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= （ ） A.6425 B. 4825 C. 1 D.16258.已知数列}{a n 满足）项和等于（的前则10}{,34,0321n n n a a a a -==++A. )31(610--- B.)31(9110-- C. )31(310-- D. )31(310-+ 9.已知两条直线)(03:,012)1(:21==++=++-a ay x l y x a l 平行，则A. 1-B. 2C. 20-或D. 21或-10.若关于x 的不等式,,)0(0342122）的解集为（x x a a ax x ><+-则2121x x ax x ++的最小值为（ ） A. 36 B. 332 C.334 D.36211.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为( )12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且EF =，则下列结论中错误的是（ ） A ．AC BE ⊥ B ．//EF 平面ABCDC. 三棱锥B AEF -的体积为定值 D ．异面直线,AE BF 所成的角为定值二、填空题：（每小题5分，共20分）13.在ABC ∆中，______7545300==∠=∠=BC C A AC ，则，，若14.设函数1)(2--=mx mx x f ，若恒成立，对任意R x x f ∈<0)(则实数m 的取值范围是_______15.设n S 是数列}{a n 的前n 项和，且111,1++=-=n n n S S a a ，则n S =_________16．设m R ∈，过定点A 的动直线10mx y +-=与过定点B 的动直线20x my m -++=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围为 ．三、解答题：（共6小题，共70分）17.（1）已知点）（2,1--A 和），（63-B ,直线l 经过点)5,1(-P ，且与直线AB 平行，求直线l 的方程（2）求垂直于直线053=-+y x ，且与点）（0,1-P 的距离是5103的直线m 的方程。
四川省成都七中高二数学上学期入学考试试题
成都七中2013-2014学年高二上学期入学考试数学试题一、选择题：(每小题5分，共50分)1. 在∆ABC 中,下列名式一定成立的是( )A.a=bsinA cosBB.b=asinAsinBC.c=acosB+bcosAD.b=csinCsinB2. 在等比数列{a n }中,a n >0,若a 1,a 99是方程x 2-10x+16=0的两个实数根,则a 40a 50a 60=( )A.32B.64C.256D.±64 3. 不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( )A.{x|0≤x<1}B.{x|x<0且x ≠-1}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<1且x ≠-1} 4. 若数列{a n }满足a n+1=1- 1a n,且a 1=2,则a 2013=( )A.-1B.- 12C. 32D. 125. 若一个等差数列{a n }的前3项和为34,最后三项和为146,其所有项的和为390,则这个数列有( )A. 10项B.12项C.13项D.14项6. 若S n =1-2+3-4+⋯+(-1)n-1n(n ∈N *),则S 17+S 33+S 50等于( )A.1B.-1C.2D.-27. 若过点M(-1,0),且斜率为k 的直线与圆x 2+4x+y 2-5=0在第四象限内的圆弧有交点,则k的取值范围是( ) A.0<k<5 B. 0<k<13 C. 0<k< 5 D.-5<k<0 8. 在数列{a n }中,a n =43-3n,则当S n 取最大值时,n=( )A.13B.14C.15D.14或15 9. 把直线3x-y+1=0绕点(0,1)旋转30︒,得到的直线方程为( )A.x-3y+1=0B.x-3y+3=0C. x-3y+1=0或x=0D. x-3y+3=0或x=010. 若点P(a,b)在直线x+y-4=0上运动,则a 2+b 2的最小值为( )A.4B.4 2C.8D.8 2 二、填空题：(每小题5分，25分)11. 已知圆x 2+y 2=4,直线L:y=x+b,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则b=___; 12. 若集合A={(x,y)|⎩⎨⎧x-y+1≥0x+y-4≤0x ≥0y ≥0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)≤0},M=A ∩B,则M 的面积为=_____;13. 已知x>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则(a+b)2cd 的最小值等于=______;14. 设点P 为直线x-2y-1=0上的动点,过点P 作圆(x+6)2+(y-4)2=5的切线,则切线长的最小值是____;15. 下列结论中正确的有____________.在∆ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,(a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A-B),则∆ABC 的形状是等腰直角三角形;● 在∆ABC 中,a=33,b=3, ∠B=30︒,则∠C=30︒ ;● 已知直线L 1:2x-y+1=0,L 2:3x-y=0,则直线L 2关于L 1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;● 圆x 2+y 2+2x+2y-2=0与圆x 2+y 2-4x-6y+4=0有3条公切线;● 已知函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,则1m +2n的最小值等于8.三、解答题：(共75分)16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,第一种钢板可截得A 规格2块,B规格1块,C 规格1块,第二种钢板可截得A 规格1块,B 规格2块,C 规格3块,今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品,且使用钢板张数最少?17. (12分)已知点P(x 0,y 0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P 到直线L 的距离公式.18. (12分)已知三角形的三边为a 、b 、c,设p=12(a+b+c),S 为三角形的面积,r 为三角形的内切圆半径,证明:(1) 秦九韶—海伦公式:S=p(p-a)(p-b)(p-c); (2) 三角形内切圆半径公式:r=p(p-a)(p-b)(p-c)p.19.(12分)选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A种菜.用a n,b n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,如果a1=300,求a n.20.(13分)已知数列{a n}满足:a1=3,a n=2a n-1+2n-1(n≥2).(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n.21.(14分)已知圆C的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.(1)求实数a组成的集合A.(2)圆C是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.(3)求证:当a1,a2∈A,且a1≠a2时,对应的圆C1与圆C2相切.(4)求证:存在直线L,使与圆C中的所有圆都相切.高二上期入学考试题(答案)一、选择题：(每小题5分，共50分)二、填空题：(每小题5分，25分)11. 已知圆x 2+y 2=4,直线L:y=x+b,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则b=___; 12. 若集合A={(x,y)|³£³³y0x0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)0},M=A ∩B,则M 的面积为=_____;213. 已知x>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则cd a+b2的最小值等于=______;4 14. 设点P 为直线x-2y-1=0上的动点,过点P 作圆(x+6)2+(y-4)2=5的切线,则切线长的最小值是____;15. 下列结论中正确的有____________.③④⑤二、 ABC 中,a,b,c A,B,C 的对边,(a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A-B),则ABC 的形状是等腰直角三角形;三、 ABC 中,a=3,b=3, B=30,C=30 ; 四、 已知直线L 1:2x-y+1=0,L 2:3x-y=0,则直线L 2关于L 1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;五、 圆x 2+y 2+2x+2y-2=0与圆x 2+y 2-4x-6y+4=0有3条公切线; 六、 已知函数y=log a (x+3)-1(a>0,a 1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,则m 1+n 2的最小值等于8.三、解答题：(共75分) 16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,第一种钢板可截得A 规格2块,B规格1块,C 规格1块,第二种钢板可截得A 规格1块,B 规格2块,C 规格3块,今需要A 、B、C三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使用钢板张数最少?17. (12分)已知点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P到直线L的距离公式.18. (理)(12分)已知三角形的三边为a 、b 、c,设p=21(a+b+c),S 为三角形的面积,r 为三角形的内切圆半径,证明: (1) 秦九韶—海伦公式:S=; (2) 三角形内切圆半径公式:r=p p-c.(文)(12分)ABC 中, A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c,c=27,C=60,SABC=23,求a+b 的值. 21119. (12分)选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A 、B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A 种菜的,下星期一有20%改选B 种菜;而选B 种菜的,下星期一会有30%改选A 种菜.用a n ,b n 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数,如果a 1=300,求a n .20. (13分)已知数列{a n }满足:a 1=3,a n =2a n-1+2n-1(n2).(1) 求证:{2n an-1}是等差数列,并求{a n }的通项公式;(2) 求{a n }的前n 项和S n .(1)a n =n 2n+1;(2)S n =(n-1)2n+1+n+2.21. (14分)已知圆C 的方程是x 2+y 2-2ax+2(a-2)y+2=0.(1) 求实数a 组成的集合A.(2) 圆C 是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由. (3) 求证:当a 1,a 2A,且a 1a 2时,对应的圆C 1与圆C 2相切. (4) 求证:存在直线L,使与圆C 中的所有圆都相切.。
成都七中(高新校区)高二上期理科数学测试卷含答案.doc
成都七中（高新校区）高二上期数学测试卷（12. 4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 直线诵x —y+a=O 的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120° 【答案】B2. 圆x 2 + y 2 - 2x-8y +13 = 0的圆心到直线ax + -1 = 0的距离为1,则a-（ ）4 3 t~A • —B • —C • V 3D • 23 4【答案】A3. 椭圆^2+my 2= 1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则加的值为（ ）1 1 小A. — B ・一 C ・2 D ・44 2【答案】A4. 三个人踢毬子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毬子又 被踢回给甲.则不同的传递方式共有（）A.5种B.2种C.3种D.4种答案B5. 下列命题正确的个数是（ ）（1） 命题“若加＞0则方程x 2+x-m = 0有实根”的逆否命题为：“若方程 x 2+x-m = 0 无实根则（2） 对于命题p ： “mxw /?使得F+x + lv 0”，则“ V 兀 w/?,均有兀 2+x + ino” （3） “兀工1”是“兀2_3兀+ 2工0”的充分不必要条件 （4） 若p\q 为假命题，则均为假命题 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C6. 在某电视台举行的大型联欢会晚上，需抽调部分观众参加互动，已知全部观众有900人, 现需要采用系统抽样方法抽取30人，根据观众的座位号将观众编号为123,…，900号, 分组后在第一组，采用简单随机抽样的方法抽到的号码为3,抽到的30人中，编号落入区 间［1,360］的人与主持人A —组，编号落入区间［361,720］的人与支持人B —组，其余的 人与支持人C 一组，则抽到的人中，在C 组的人数为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 8177 7A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的屮位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 【答案】D7 10 4下列四个结论中，不正确的是（• • • 7.某赛季甲、根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较,8.已知直线厶：兀一 2y-l = 0,直线 l 2:ax-by + ] = O,其中 a,处{1,2,3,4,5,6} •则直线厶与厶的交点位于第一象限的概率为()1111 A. — B. — C. — D.—6 4 3 2 【答案】A9. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为A , B'两点,以线段A'B'为直径的圆C 过点(-2,3),则圆C 的 方程为( )A.(兀_1)2 + ()一3尸二9B. (x + l)2+(y_l)2=5C.(兀+ ir+(y + l)2=17D ・ x 2+(y-2)2=5【答案】B10. 数字“2015〃中，各位数字相加和为8,称该数为“如意四位数〃，则用数字0, 1., 2, 3, 4, 5组成的无重复数字且大于2015的"如意四位数〃有( )个.右支上的点，APFf?的内切圆的圆心为I ，且圆I 与兀轴相切于点A ,过厲作直线PI 的垂线，垂足为B,若幺为双曲线的离心率，贝9( ) A. \OB\=e\OA\ B. \OA\=e\OB\ C. | OB |=| OA | D. \OA\^\OB\关系不确定 【答案】C12. 设直线/与抛物线相交于A, B 两点，与圆(x-5)2 + y 2 = r 2(r>0)相切于点 M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线/恰有4条，则厂的取值范围是( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4)【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知直线厶：(3+m)x+4y=5 — 3m, 2兀+(5+加)y=8平行，则实数加= ________ .【答案】_714. 某皐位从包括甲、乙在内的4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 _________________•【答案】f63x - y - 6 < 015. 设满足约束条件< % - y + 2 > 0 .若z = ax-\- by(a > 0,/? > 0)的最大值为12,则x>0,y>02 3的最小值是 __________a b25【答案】—6A. 24 【答案】BB. 23C. 21D. 129X 11-已知双曲线1*• = 1的左右焦点分别为耳、O 为双曲线的屮心，P 是双曲线16.已知直线)=心+鲁)与曲线尸仁恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A； P(x,y),是椭圆話+*=1上一动点，P\ (Xj, )与点P关于直线y=x+l对称,记罟的所有可能取值构成集合B,若随机的从集合A, B 屮分别抽出一个元素入，仏， 则入 > 仏的概率是 __________________ 【方法一】 【答案】44三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知ae /?,命题[1,2],>0,命题q : 3A : G /?, x 8 9 + lax + 2-。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。
四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题
四川省成都市第七中学2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题一、单选题1．已知a r 和b r 是两个单位向量，若π,3a b =r r ，则向量a r 与向量a b -r r 的夹角为（ ）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．在四面体OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，点D 满足BD BC λ=u u u r u u u r，E 为AD 的中点，且111244OE a b c =++u u u r r r r，则λ=（ ）A ．12B ．14C ．13D ．233．有一组样本数据12,,,n x x x ⋯，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ⋯，其中()1,2,,i i y x c i n =+=L ，c 为非零常数，则下列说法正确的是（ ）①两组样本数据的样本平均数相同 ②两组样本数据的样本中位数相同 ③两组样本数据的样本标准差相同 ④两组样本数据的样本极差相同 A ．①③ B ．②③C ．②④D ．③④4．已知集合(){},20A x y x ay a =++=，(){},10B x y ax ay =+-=，则下列结论正确的是（ ） A ．存在a ∈R ，使得A =∅ B ．当1a =-时，13,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭C ．当A B =∅I 时，1a =D ．对任意的a ∈R ，都有A B ≠5．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm ，足径14.4cm ，高3.8cm ，其中底部圆柱高0.8cm ，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（ ）（附：π的值取35≈）A ．2300.88cmB ．2311.31cmC ．2322.24cmD ．2332.52cm6．如图一，矩形ABCD 中，2,BC AB AM BD =⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ，现将ABD △沿BD 翻折至A BD 'V 的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD7．过定点A 的直线20ax y +-=与过定点B 的直线420x ay a -+-=交于点(P P 与A 、B 不重合)，则PAB V 面积的最大值为（ ）A B ．C ．2D ．48．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有A ，B 两点，C α∈，AC l ⊥，D β∈，BD l ⊥，且1AC AB BD ===，则下列说法错误的是（ ）A ．当二面角l αβ--的大小为60o 时，直线AB 与CD 所成角为45oB ．当二面角l αβ--的大小为60o 时，直线CD 与平面βC ．若CD C BD A --7D ．若CD ABCD 外接球的表面积为7π3二、多选题9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于 80,90 内的学生成绩方差为12，成绩位于[)90,100内的同学成绩方差为10.则（ ）参考公式：样本划分为2层，各层的容量､平均数和方差分别为：m 、x 、21s ；n 、y 、22s .记样本平均数为ω，样本方差为2s ，()()2222212m n s s x s y m n m n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦++.A ．0.004a =B ．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14C ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.2510．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为511．如图，P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则下列说法正确的有（ ）A ．当P 在平面11BCCB 内运动时，四棱锥11P AA D D -的体积不变 B ．当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11AC 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π＋D ．若F 是棱11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ∥平面11B CD 时，PF三、填空题12．若直线260x a y ++=和直线(2)320a x ay a -++=没有公共点，则a 的值为. 13．过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为14．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线P A ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题15．黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求x 的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[)[)50,60,60,70的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在 50,60 和 60,70 内各1人的概率.16．如图，四边形ABCD 是圆柱OE 的轴截面，点F 在底面圆O 上，OA BF AD ===3，点G 是线段BF 的中点，点H 是»BF的中点．(1)证明：//EG 平面DAF ； (2)求点H 到平面DAF 的距离．17．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，1160,A AB A AD BAD E F ∠∠∠===o ､分别在1B B 和1D D 上，且1112,33BE BB DF DD ==.(1)证明1A E C F ､､､四点共面；(2)若1AC 与EF 相交与点M ，求点M 到直线AB 的距离.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1AC AC =； (2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19．如下图，在ABC V 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，D 是AC 中点，E 、F 分别是BA 、BC 边上的动点，且//EF AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正切值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围．。
(成都七中)四川省成都市第七中学高新校区2023-2024学年高二上期10月月考数学试卷
成都七中高新校区高 2022 级高二上期学科素养测试数学试卷总分:150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.直线 y =−12x +1的一个方向向量是A. (1,-2)B. (2,-1)C. (1,2)D. (2,1)2. 利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，具余为不合格品， 现在这个工厂随机抽查一件产品， 设事件Ａ为“是一等品”，Ｂ为“是合格品”， Ｃ为“是不合格品”，则下列结果错误的是A.P (B )=710B. P(A∩B)=0C.P (B ∩C )=7100D.P (A ∪B )=9103. 一组样本数据为：19、 23， 12， 14， 14、17， 10， 12， 13， 14，27， 则这组数的众数和中位数分别为A. 14, 14B. 12, 14C. 14, 15.5D. 12, 1554.若 {a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是 A.{a ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} B.{b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} C.{c ⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b ⃗⃗} D.{a ⃗+2b ⃗⃗,a ⃗+b ⃗⃗,a ⃗−b⃗⃗} 5. 如图，在棱长为 a 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P 为A₁D₁的中点，Q 为AB₁上任意一点, E, F 为 CD 上两个动点, 且EF 的长为定值,则点Q 到平面PEF 的距离.A.等于 √55aB.和EF 的长度有关 C 和点Q 的位置有关 D.等于 √23a6. 设直线l 的方程为6x-6ycosβ+13=0. 则直线l 的倾斜角α的范围是A. [0,π]B.[π4,π2]C.[π4,π2)∪(π2,3π4])D.[π4,3π4]7. 投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，下列说法正确的是A. 事件A 与事件B 互斥B. 事件A 与事件B 对立C. 事件A 与事件B 相互独立D.P (A +B )=56 8. 在正四棱锥P-ABCD 中,若 PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,平面AEF 与棱PD 交于点G,则四棱锥 P-AEFG 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ( )A.746B.845C.745D. 445二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得５分，部分选对得２分，有选错的得０分.9. 下列命题是真命题的是A. 若A, B, C, D 在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量B.若A, B, C, D 不在一条直线上, 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗不是共线向量C. 若向量AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 D. 若向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上 10.已知正方体.ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1,点E 、O 分别是 A₁B₁、A₁C₁的中点, P 在正方体内部且满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则下列说法正确的是 A.点A 到直线BE 的距离是 √55 B.点O 到平面ABC₁D₁的距离为 √24C.平面A₁BD 与平面B₁CD₁间的距离为 √33D.点P 到直线AB 的距离为 253611. 在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形, ∠DAB =π3, A B=2AD=2PD,PD ⊥底面ABCD,则A. PA ⊥BDB. PB 与平面ABCD 所成角为6π C.异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为 2√55D.平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为 √7712.在正四面体 ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD(不含端点)上的动点，则下列说法正确的是A. 对任意点M, N, 都有MN 与AD 异面B. 存在点 M, N, 使得 MN 与BC 垂直C. 对任意点M,存在点 N, 使得MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面 D. 对任意点M, 存在点 N, 使得 MN 与AD, BC 所成的角相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13. 点P(1,-2,5)到xOy 平面的距离 .14.为已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为1l , 2l ∶y =−2x +1, l 3:y =−1n x −1n .若1l //2l ,23l l ⊥,则m+n 的值为 . 15.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点P 是AA'上的动点，Q 是平面BB'C'C 内的一点，且满足A'D ⊥BQ ，则二面角P-BD-Q 余弦值的取值范围是 . 16.已知四棱锥P-ABCD 的各个顶点都在球 O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC, AB=AD=CD=3,∠ABC=3, PA=2 √2 ,M 是线段AB 上一点, 且AM=λAB. 过点M 作球O 的截面， 所得截面圆面积的最小值为2π， 则λ= .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.(10分)在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥底面ABCD,CD ∥AB,AD=DC=CB=1 AB =2,DP =√3.(1) 证明: BD ⊥PA;(2) 求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.18.(12分) 已知A(3,3), B(-4,2), C(0,-2).(1)若点D 在线段AB (包括端点) 上移动时，求直线CD 的斜率的取值范围.(2)求函数 y =sinθcosθ+2,θ∈R 的值域.19. (12分)如图， 一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，其中， 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°（１：）证明ＡＣ1⊥ＢＤ．(2)求BD₁与AC 所成角的佘弦值.20.(１２分)甲、乙两校各有３名教师报名支教，其中甲校２男１女，乙校１男２女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的６名教师中任选２名，用合适的符号写出样本空间，并求选出的２名教师来自同一学校的概率.21. (12分)从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“２”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D. E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E人数比例15%35%35%13%2%赋分区间[86,100][71,85][56,70][41,55][30,40]为Y2−YY−Y1=T2−TT−T1,其中X₁，X₁分别表示原始分区间的最低分和最高分，T₁，T₁分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为Y₁时，等级分为T₁，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；22. （12分）如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点.(1) 求证: OE∥平面PAC;(2) 若∠ABO=∠CBO=30°, PO=3, PA=5①求二面角C-AE-B所成平面角的正弦值.②在线段CE上是否存在一点M，使得直线MO 与平面BCP所成角为30°?高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。
四川省成都七中2018-2019学年级高二上期理科数学
四川省成都市第七中学高2020届高二上期入学考试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．） 1．化简 15 45 75 45cos cos cos sin ︒︒︒︒－的值为( )A ．12 B ．2 C ． 12- D ．2-【答案】A【解析】 15 45 75 45cos cos cos sin ︒︒︒︒－15 45 15 45cos cos sin sin ︒︒︒︒=－1602cos ==o ，故选A ． 【考点】余弦和差公式 【难度】★★★ 2．直线123x y-=-在x 轴上的截距是( ) A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-【答案】C【解析】令0y =得到2x =-，故选C ． 【考点】直线的截距 【难度】★★★3．点()25P ，关于直线1x y +=的对称点的坐标是( ) A ．()52--，B ．()41--，C ．()63--，D ．()42--， 【答案】B【解析】设点()25P ，关于直线1x y +=的对称点Q 的坐标为m n （，）， 则由题意可得()511225122n m m n -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，41m n ∴=-=-，，故选B ．【考点】点关于直线对称的点的求法 【难度】★★★4．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11n n n a na ++=，则5a = ( )A ．8B ．9C ．10D ．11 【答案】C【解析】由题得()11n nn a an++=，()211141a a+==，()322162a a+==，()433183a a+==，()5441104a a+==，故选C ．【考点】递推公式 【难度】★★★5．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 【答案】D【解析】对于选项A ，斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后，那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形.所以是假命题．对于选项B ，水平放置的正方形的直观图是平行四边形，不可能是梯形，所以是假命题．对于选项C ，一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱不一定是长方体，因为底面可能不是矩形，所以是假命题．对于选项D ，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，是真命题．故选D【考点】空间几何体的概念+三视图和直观图 【难度】★★★★6．两个公比均不为1的等比数列{}n a ，{}n b ，其前n 项的乘积分别为n A ,n B ，若552a b =，则99A B = ( ) A ．512 B ．32 C ．8 D ．2【答案】A【解析】由题得()()()()()()919285599129991291928552512a a a a a a A a a a B b b b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．故选A ． 【考点】等比数列的性质 【难度】★★★★7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( )A ．12尺 B ．815尺 C ．1631尺 D ．1629尺 【答案】D【解析】设每天多织布d 尺，由题意得：30293053902d ⨯⨯+=， 解得1629d =．∴每天多织布1629尺．故选D ． 【考点】等比数列求和公式 【难度】★★★★8．函数()0,0,2f x Asin x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭（）的部分图象如图所示，要得到函()24g x sin x π=+（）的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ． 向右平移12π长度单位B ． 向左平移24π长度单位C ． 向左平移12π长度单位D ． 向右平移24π长度单位【答案】D【解析】由函数()f x Asin x ωϕ=+（）的部分图象可得1A =，再根据127==44123T πππω⨯-，求得2ω=，最小正周期T π=．再根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=∴函数()23f x sinx π=+（）．()224243g x sinx sin x πππ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（）=（）+，所以应该向右右平移24π长度单位．故选D ．【考点】角函数解析式的求法+三角函数图像的变换 【难度】★★★★9．若点A 在点C 的北偏东30︒，点B 在点C 的南偏东60︒，且AC BC ＝，则A 在点B 的( )A ． 北偏东15︒B ． 北偏西15︒C ．北偏东10︒D ． 北偏西10︒ 【答案】B【解析】由90ACB ∠=︒，又AC BC ＝，∴45CBA ∠=︒，而30β=︒，∴90453015α=︒-︒-︒=︒．∴点A 在点B 的北偏西15︒．故选B ．【考点】方位角的计算 【难度】★★★★10．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知：PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有：PAD ∆，PCD ∆，PAB ∆共三个，故选C ．【考点】三视图 【难度】★★★★11．已知等差数列{}n a 中，若3a ，11a 是方程220x x --=的两根，单调递减数列{}()n b n N *∈通项公式为27n b n a n λ=+⋅．则实数λ的取值范围是()A ．(),3-∞-B ． 1,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ． 1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ． ()3,-+∞ 【答案】B【解析】由3a ，11a 是220x x --=的两根，∴3111a a +=．（或两根为3112,11a a -⇒+=）∵{}n a 等差，∴31177122a a a a +=⇒=，∴212n b n n λ=+． ∵{}n b 递减，∴10n n b b +-<对恒成立，()()221111022n n n n λλ⎛⎫⇒+++-+<⎪⎝⎭ ()12102n λ⇒++<，∴142n λ<-+对恒成立．∵min11426n ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，∴16λ<-．故选B ． 【考点】韦达定理+等差数列的性质+数列的单调性+等式的恒成立问题 【难度】★★★★★12．在锐角ABC ∆中，A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c , 且cos cos b A a a B =+，则11tan tan A B-的取值范围为( ) A ．233⎛ ⎝ B ．22,63 C ．(3 D ．()1,+∞【答案】A【解析】由cos cos b A a a B =+化边为角整理可得：()sin sin B A A -=，由此 2B A =．结合在锐角ABC ∆中，有32B ππ<<，由11123tan tan sin A B B ⎛-=∈ ⎝⎭． 故选A ．【考点】正余弦定理 【难度】★★★★★二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．） 13.已知228x y +=，则x y +的最大值为___________． 【答案】4【解析】因为228x y +=，所以设22sin ,22cos x y αα==， 所以，()22sin cos 4sin ,4x y πααα⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭所以x y +y 的最大值为4. 故答案为：4.【考点】三角换元+三角恒等变换 【难度】★★★14.在长方体1111ABCD A B C D -中，1345AB AD AA ===，，，则直线1AC 与平面ABCD所成角的大小为__________ 【答案】45o 【解析】试题分析：根据题意，由于长方体1111ABCD A B C D -中， 1345AB AD AA ===，，，由于点1C 在底面的射影为C ，那么可知得到线面角为1CAC ,然后借助于已知的边长和三角函数定义可知则直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为22，故可知角的大小为45o 。
高三试卷数学-四川成都七中2024届高三(上)入学考试数学试卷及参考答案
成都七中高2024届高三上入学考试数学试题理科（60分）
成都七中高2024届高三上入学考试数学试题
理科一、单选题
CACAD CDBBA AB
二、填空题13.,10
x x e x ∀∈-->R 14.6715．416．1
成都七中高2024届高三上入学考试数学试题文科
一、单选题（60分）
．已知a b,是两个非零向量，设==
AB a CD b
,．给出定义：经过AB的起点，分别作CD所在
，则称向量A B
11，为a在b上的投影向量．已知==
a b
(1,0),(3,1)，则a
在b上的投影向量为（
③⋅=
FS FT0
三、解答题（70分）
++<S n
11=f x a ln )(0,0)的直线与函数+x x 2
12)(
成都七中高2024届高三上入学考试数学文科试题 答案
一、单选题
C A C
D A B C D B A A B
二、填空题
13．R ∀∈-->x e x x ,10. 14．8 15．4 16.①②③④ 因为=AE OE E ，因为=CE OE E ，因为=OA OC O ， 因为OCN 的面积为的距离最大值时，三棱锥体积最大，此时平面OMC 平面
(2) 45
曲线
为45．。
四川省高二上学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） [)2,4A =[]3,5B =()R A B = ðA ． B ． C ． D ．(]4,5[]4,5()[),23,-∞⋃+∞(][),23,-∞⋃+∞【答案】B【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案. A 【详解】集合，，则 [)2,4A =[]3,5B =()()[),24,R A =-∞⋃+∞ð所以， ()[]4,5R A B ⋂=ð故选：B.2．已知集合，则集合（ ） |sin ||cos ||tan |sin cos tan x x x A yy x x x ⎧⎫==++⎨⎬⎩⎭∣A =A ． B ． C ． D ．{1,1}-{1,3}-{}113-,,{1,3,3}-【答案】B【分析】由题知，x 终边不会落在坐标轴上，由此分类讨论即可求解. 【详解】依题意，根据函数的解析式可得，x 终边不会落在坐标轴上， 当x 在第一象限时，可得， 3y =落在第二、三、四象限时，， 1y =-可得． {}1,3A =-故选：B.3．已知正项等比数列中，公比，前项和为，若，，则{}n a 1q >n n S 2664a a ⋅=3520a a +=8S =（ ） A ．127 B ．128 C ．255 D ．256【答案】C【分析】由已知和等比数列的性质建立方程可求得，再由数列的通项公式求得数列35416a a ==，的首项和公式，由等比数列的求和可求得答案.【详解】解：∵，，且，所以， 263564a a a a ⋅=⋅=3520a a +=1q >35416a a ==，∴，，， 11a =2q =881225512S -==-故选：C.4．设，则（ ）2364log 3log 6log log 16m =m =A ．2B ．4C ．8D ．-2或4【答案】B【分析】根据换底公式及对数运算性质可得结果. 【详解】由， 2364log 3log 6log log 16m =可得， ln 3ln 6ln 2ln 2ln 3ln 6m⋅⋅=即， ln 2ln 2m =∴， 4m =故选：B5．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ). 1y ax =+[1,2]a A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0【答案】C【详解】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a ＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2； ③当a ＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2． 综上，得a=±2， 故选C ．6．函数的零点所在的区间为（ ）()2xf x x =+A ． B ． C ． D ．()2,1--()1,0-()0,1()1,2【答案】B【分析】根据的单调性，结合零点存在性定理即可判断零点所在的区间，即可得正确选项.()f x 【详解】因为为单调递增函数，()2xf x x =+当时，， 2x =-()2722204f --=-=-<当时，， =1x -()1112102f --=-=-<当时，，0x =()002010f =+=>由于，且的图象在上连续， ()()010f f ⋅-<()f x ()1,0-根据零点存在性定理，在上必有零点， ()f x ()1,0-故选：B.7．定义运算，若，则等于 a b ad bc c d =-sin sin 1cos ,cos cos 72αβπαβααβ==<<<βA ．B ．C ．D ．12π6π4π3π【答案】D【详解】试题分析：由定义运算知，即，又02πβα<<<，又，，1cos ,072παα=<<．【解析】同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用8．已知，则的最小值为（ ） 0,0,21x y x y >>+=21y x y+A ．6 B ．5C ．D ．3+2+【答案】D【分析】将所求代数式化简为，再利用基本不等式()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】因为，所以， 21x y +=21y x =-所以()21111111121y x x y x y x y x y x y ⎛⎫-+=+=+-=++- ⎪⎝⎭， 2222y x x y =++≥+=+当且仅当即221y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以的最小值为， 21y x y+2+故选：D.9．对于实数a ，b ，c 下列说法中错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则 0a b c a b c >>++=，ab ac >1a >11-<-aC ．若，则D ．若，，则 0a b <<11a b>a b >11a b>0ab <【答案】B【分析】由不等式的性质，逐个分析选项的结论.【详解】当时，有，由得，A 选项说法正确； 0a b c a b c >>++=，0a >b c >ab ac >当时，，则有，故B 选项说法错误；1a >101a<<11a ->-当，有，则，即，C 选项说法正确；0a b <<0ab >a b ab ab<11b a <当，时，有，由则，D 选项说法正确； a b >11a b >110b a a b ab--=>0b a -<0ab <故选：B.10．已知，，则（ ）1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 2θ=A ．B C D ． 79【答案】B【分析】根据三角函数的基本关系式求得. cos θ=【详解】由，且，可得1sin 3θ=-3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos θ==所以 1sin 22sin cos 23θθθ⎛⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭⎝故选：B.11．设向量，，则下列结论中正确的是（ ） ()1,0a =11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r bA ．B ．C ．与垂直D ．a b = a b ⋅= a b - b//a b 【答案】C【分析】根据向量坐标，求两个向量的模可判断A ；求出数量积即可判断B ；判断是否等()b a b -⋅ 于0可判断C ；根据向量共线的坐标表示可判断D.【详解】因为，，，故A 错误；()1,0a = 11,22⎛⎫= ⎪⎝⎭r b =a b ≠ ，故B 错误；11110222a b ⋅=⨯+⨯=，则，所以与垂直，故C 正确；11,22a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()111102222b b a ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎭⋅⎝- a b - b因为，所以不共线，故D 错误.1110022⨯-⨯≠,a b故选：C.12．若平面向量与的夹角为60°，，，则等于（ ）．a b()2,0a = 1b = 2a b +A B ．C ．4D ．12【答案】B【分析】利用转化即可22a a = 【详解】解析：因为，所以，又因为向量与的夹角为60°，，()2,0a = ||2a = a b||1=b所以，所以1cos 602112a b a b ⋅=︒=⨯⨯= 2a b +=== 故选：B二、填空题13．已知，，则________．1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=2cos cos 3sin sin αβαβ+=【答案】1312【分析】直接利用两角和与差的余弦公式展开即可求解. 【详解】依题意，因为，，1cos()2αβ+=-1cos()3αβ-=所以，， 1cos cos sin sin 2αβαβ-=-1cos cos sin sin 3αβαβ+=两式相加减可得，，1cos cos 12αβ=-5sin sin 12αβ=所以． 15132cos cos 3sin sin 23121212αβαβ⎛⎫+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为：. 131214．已知扇形的圆心角为120°cm ，则此扇形的面积为________ cm 2.【答案】π【分析】由扇形的面积公式求解即可 【详解】设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×rad ＝(rad)， 180π23π所以． 23l R πα==所以S ＝lR ＝(cm 2)． 1212π故答案为：.π15．已知向量a =（2,6）,b =,若a ∥b ,则 ____________. (1,)λ-λ=【答案】-3【详解】由可得a b ∥162 3.λλ-⨯=⇒=-【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．a b ∥(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为λa (λ∈R ),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量． (3)三点共线问题．A ,B ,C 三点共线等价于与共线.16．下面有四个结论:①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;{}n a n 2n S an bn c =++,,a b c {}n a ②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列; {}n a {}n b {}n n a b ⋅③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列; {}n a 0d <④在等比数列中,各项与公比都不能为. 0其中正确的结论为__________(只填序号即可). 【答案】③④【分析】根据等差数列通项公式得数列单调性确定于公差正负，根据等差数列和项特点确定①真假，根据等比数列各项不为零的要求可判断②④真假.【详解】因为公差不为零的等差数列单调性类似于直线，所以公差,则此数列是递减数列; ③0d <正确；因为等差数列和项中常数项为零，即中所以①不对，因为等比数列各2n S an bn c =++0c =，项不为零，所以②中若数列是为零的常数列,则不是等比数列; ②不对，④正确，即正{}n a {}n n a b ⋅确的结论为③④.【点睛】等差数列特征：为的一次函数；；等比数列特征：各项以及公比都不为n a n 2n S An Bn =+零，为的类指数函数，.n a n (1)nn S A Aq q =-≠三、解答题17．已知，求的值．3tan 4α=π2sin(π)sin 2πcos()4cos 2αααα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫-++ ⎪⎝⎭【答案】54-【分析】根据三角函数的基本关系式和诱导公式，化简得到原式，代入即可求解.2tan 114tan αα+=-【详解】由三角函数的基本关系式和诱导公式，可得π2sin(π)sin 2sin cos 2πcos 4sin cos()4cos 2αααααααα⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． 3212tan 154314tan 4144αα⨯++===---⨯18．的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos cos 2cos a C c A b B +=（1）求B ；（2）若的面积为的周长. b =ABC AABC A 【答案】（1）；（2）3B π=6+【解析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； 1cos 2B =B （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到 ，即可求出()2312a b ab +-=8ab =，进而求出的周长.6a b +=ABC A 【详解】解：（1）， cos cos 2cos a C c A b B += 由正弦定理得：， sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=整理得：， ()sin 2sin cos sin A C B B B +==∵在中，， ABC A 0B π<<∴， sin 0B ≠即， 2cos 1B =∴， 1cos 2B =即；3B π=（2）由余弦定理得：，(222122a c ac =+-⋅∴， ()2312a c ac +-=∵，1sin 2S ac B ===∴，8ac =∴， ()22412a c +-=∴，6a c +=∴的周长为.ABC A 6+19．记Sn 为等差数列的前n 项和，已知a 9=－4，a 10+a 12=0. {}n a （1）求的通项公式； {}n a （2）求Sn ，并求Sn 的最小值.【答案】（1）；（2），最小值为． 222n a n =-221441(24n S n =--110-【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公120a =-2d ={}n a 式．（2）由，．求出．从而当或时，的最小值为120a =-2d =221441(24n S n =--10n =11n =n S 110-．【详解】（1）∵为等差数列的前n 项和，，．n S {}n a 94a =-10120a a +=∴， 111849110a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩解得，．120a =-2d =∴的通项公式为． {}n a ()2012222n a n n =-+-⨯=-（2）∵，．120a =-2d =∴． ()2212144120221(224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--为开口向上的二次函数，对称轴为，又212n =*n ∈N ∴当或时，的最小值为．10n =11n =n S 110-20．已知二次函数的图象开口向上，且在区间上的最小值为0和最大值2()2g x ax ax b =++[2,2]-为9.（1）求的值；,a b （2）若，且，函数在上有最大值9，求k 的值. 0k >1k ≠()x g k [1,1]-【答案】（1）；（2）或. 1a b ==2k =12k =【分析】（1）根据二次函数解析式确定其对称轴，再由其开口方向，得到其在给定区间的单调性，推出，，列出方程求解，即可得出的值；min ()g x b a =-max ()8g x b a =+,a b （2）根据（1）得到函数解析式，令，分别讨论和两种情况，根据二次函数与x t k =1k >01k <<指数函数单调性，结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.【详解】（1）因为二次函数的对称轴为；且其图象开口向上，则； 2()2g x ax ax b =++=1x -0a >所以在上单调递减，在上单调递增，2()2g x ax ax b =++[2,1]--(]1,2-则，又，，所以， min ()(1)g x g b a =-=-(2)g b -=(2)8g b a b =+>max ()(2)8g x g b a ==+因为在区间上的最小值为0和最大值为9，2()2g x ax ax b =++[2,2]-所以，解得；089b a b a -=⎧⎨+=⎩1a b ==（2）由（1）知，是开口向上，且对称轴为的二次函数； 2()21g x x x =++=1x -令，x t k =当时，单调递增，由可得，则在上单调递增，1k >x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则；2max ()()(1)9g t g k k ==+=2k =4k =-2k =当时，单调递减，由可得，则在上单调递增，01k <<x t k =[]1,1x ∈-1,xt k k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()g t 1,t k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，解得或（舍），则； 2max11()19g t g k k ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12k =14k =-12k =综上，或. 2k =12k =【点睛】思路点睛：求解含指数的二次函数的最值问题时，一般需要利用二次函数与指数函数的单调性，判定所给函数在给定区间的单调性，由函数单调性即可求出最值. 21．已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列．{}2nn a -{}21nan -+(1)求数列的通项公式； {}n a (2)记，且为数列的前n 项和，求证：． ()()111232n n n b n a ++=+-n T {}n b 16n T <【答案】(1)221nn a n =+-(2)证明见解析【分析】（1）首先由等差数列与等比数列的通项公式建立方程组，求出，从而可求得； 1a n a （2）首先由（1）求出，然后利用裂项相消法证明即可．n b 【详解】（1）由题意知，即 ()()()11122212112n n n na a n a n a -⎧-=-+-⎪⎨-+=-⋅⎪⎩()11112224,,1221n n n n a n a a a n --⎧=⋅++-⎪⎨=-⋅+-⎪⎩比较系数得所以，1121,41,a a =-⎧⎨-=-⎩13a =所以．221nn a n =+-（2）由（1）得，()()1111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 1111111111112355721232323646n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1046n >+16n T ∴<22．已知函数．()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-(1)求函数的最小正周期；()f x (2)当时，求函数的值域．ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π2(2) []2,1-【分析】（1）根据二倍角正弦公式，余弦公式，辅助角公式，化简整理，可得解析式，根据最()f x 小值正周期公式，即可得答案. （2）根据x 的范围，可得的范围，根据正弦型函数的性质，即可得答案. π46x -【详解】（1）解：()21cos cos 22cos 2f x x x x x =+-， 2π12cos 22cos 24cos 42sin 46x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为． ()f x 2ππ42T ==（2）由，知， ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π5ππ4,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当时，的最小值为-1， π462x π-=-πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，的最大值为， π466x π-=πsin 46x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12所以，则， π1sin 41,62x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦[]π2sin 42,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭故函数的值域是． ()f x []2,1-。