初三中考数学角平分线

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【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角平分线问题(含答案)

【中考数学必备专题】几何辅助线大揭秘之角
平分线问题
一、证明题(共3道，每道40分)
1.已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.
答案：∵BF是∠CBD的平分线∴FG=FI ∵CF是∠BCE的平分线∴FH=FI ∴FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上
解题思路：过F作FG⊥AD于点G，FH⊥AE于点H，FI⊥BC于点I，如图只要证明FG=FH即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
2.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，∠B=2∠C.求证：AC=AB+BD.
答案：∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠EAD 在△ABD和△AED中AB=AE ∠BAD=∠EAD AD=AD ∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=ED，∠B=∠AED ∵∠AED=∠B=2∠C ∴∠CDE=∠AED ﹣∠C=∠C ∴DE=CE ∴BD=CE ∵AC=AE+CE ∴AC=AB+BD
解题思路：在AC上截取AE=AB，连接DE，如图只要证明BD=CE即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线
3.已知：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，AD⊥BE，垂足为点D.求证：∠BAD=∠DAE+∠C.
答案：∵BE平分∠ABC，AD⊥BE ∴△ABF为等腰三角形（三线合一）∴∠BAD=∠BFD ∵∠BFD 为△ACF的外角∴∠BFD=∠DAE+∠C ∴∠BAD=∠DAE+∠C
解题思路：延长AD与BC交于点F，如图只要证明∠BFD=∠BAD即可
试题难度：三颗星知识点：三角形角平分线。

初三数学中考复习三角形的角平分线专题练习及答案

三角形的角平分线1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 62. 如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB等于( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°3. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AB，垂足为E，若BD＝6cm，则CD等于( )A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 5cm5. 如图，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3.若△ABC 的周长是22，则△ABC的面积是( )A. 28B. 30C. 32D. 336. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7. 如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( )A．50° B．60° C．70° D．80°8. 如图，O为△ABC内任意一点，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥BC于点F，若OD＝OE＝OF，连接OA，OB，OC，下列结论不一定正确的是( )A．△BOD≌△BOF B．∠OAD＝∠OBF C．∠COE＝∠CO F D．AD＝AE 9. 如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°，且DE⊥AB，DF⊥AC，DE ＝DF，则∠ADC的度数为____．10. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC=12. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．若CD＝3cm，则BD的长为____cm.13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB 于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是____ cm.14. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝____．15. 在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于点D，OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，且AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝6 cm，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别为 cm， cm， cm 16. 如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC＝1，则EF＝____．17. 如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为18. 如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.19. 如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上，PM⊥AD 于点M，PN⊥CD于点N.求证：PM＝PN.20. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求AC的长．参考答案：11 1---8 BACCD DCB9. 137°10. 211. 312. 613. 614. 815. 2 2 216. 2 17. 318. 解：在△BDF 和△CDE 中，∠BFD ＝∠CED ＝90°，∠FDB ＝∠EDC ，BD ＝CD ，∴△BDF ≌△CDE(AAS)，∴DF ＝DE ，又∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC19. 解：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△CBD(SAS)，∴∠ADB ＝∠CDB ，又∵∠ADB ＋∠ADP ＝∠CDB ＋∠CDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠CDP ，∴DP 平分∠ADC ，又∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN20. 解：过点D 作DF⊥AC，∵AD 是∠BAC 平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∵S △ABD ＝4×22＝4，∴S △ACD ＝7－4＝3， ∴2AC 2＝3，即AC ＝3。

中考数学角平分线四大模型专题知识解读

N M O A B PPO N M B A角平分线四大模型专题知识解读【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

【模型分析】P O N M B AQP O N M 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

中考数学专题复习题：角平分线

中考数学专题复习题：角平分线一、单项选择题（共7小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝12，则△ABD的面积是（）A．12B．24C．36D．48第1题图第2题图第3题图2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若AD=2，BC=6，则△DBC的面积是（）A．12B．8C．6D．23．如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，过点D作DE⊥BC于点E．已知DE=1，△ABC的周长为14，则△ABC的面积为（）A．7B．14C．8D．164．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，2连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④BD=2CD．A．4B．3C．2D．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于1MN的长为半2径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点，若AB=5,BC=3，则线段CD的长为（）A．32B．53C．43D．85第5题图第6题图第7题图6．如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，△ABD与△ACD的面积比是5:4，AB=10，AC=8，∠BAC=50°，则∠BAD的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（）A．36B．54C．63D．72二、填空题（共5小题）8．已知：如图，在ΔABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=9cm，BD=6cm，那么AB的长是________．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝12，则△DEC的周长为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按下列方式作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点F，G；②分别以点F，G为圆心，大于12FG的长度为半径画弧，两弧交于点H；③作射线CH交AB于点E，若AE=3，BC=7，则△BEC的面积为________．第10题图第11题图11．如图所示，已知△ABC的周长是30，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是________．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是________．三、解答题（共513．如图，请在△ABC内确定一点O，使得点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且点O到A、B两点的距离相等．14．如图所示，在△ABC外作△ABD和△ACE，使AD=AB，AE=AC，且∠DAB=∠EAC=α，连接BE，CD相交于P点．（1）求证：△ADC≌△ABE．（2）∠DPB=________（用含α的代数式表示）．（3）求证：点A在∠DPE的平分线上．15．如图，BD//GE，∠AFG=∠1=50°，AQ平分∠FAC，交BD的延长线于点Q，交DE于点H，∠Q=15°，求∠CAQ的度数．16．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝120°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数．（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出∠OEC度数；若不存在，请说明理由．17．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED，这两个三角形全等的判定条件是________．【问题探究】（2）①构距离，造全等如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°,∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC 上一点E．过点E作EF⊥AD于点F．若BC=12cm，则EF=________cm．②巧翻折，造全等如图3，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C；小明在AC上截取AE=AB．连接DE，则△ABD≌△AED(SAS)．请继续完成小明的解答．【问题解决】（3）如图4，在△ABC中，∠A=60°,BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P．请判断PE与PF之间的数量关系，并说明理由．。

中考数学常见几何模型角平分线的基本模型(二)非全等类

专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。

【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A∠=︒+∠1902BDC A ∠=︒-∠12BDC A ∠=∠1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（）4231DAEFCB4321DACBMA．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P 的度数．【详解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM−∠CBP=50°−20°=30°，故选：A．【点睛】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．(1)求证：∠AOC＝90°＋12∠ABC；(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)43AE+CD=AC，证明见解析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=12∠BAC，∠OCA=12∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO∠∠AMO，△DCO∠∠NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．（1）证明：∠∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∠∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∠∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．∠∠OAC=1 2∠BAC，∠OCA=12∠BCA，∠∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠BCA）=12（180°-∠ABC）=90°-12∠ABC，∠∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-12∠ABC），即∠AOC=90°+12∠ABC；（2）解：43AE+CD=AC，证明：如图2，∠∠AOC=90°+12∠ABC=135°，∠∠EOA=45°，在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，则在∠AEO和∠AMO中，AE AMEAO MAOAO AO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠AEO∠∠AMO，同理∠DCO∠∠NCO，∠∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∠∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∠∠MON=∠MOA=45°，过M作MK∠AD于K，ML∠ON于L，∠MK=ML，S△AOM=12AO×MK，S△MON=12ON×ML，∠AOMMONSAOON S∆∆=，∠AOMMONS AMS MN∆∆=，∠AO AMON MN=，∠AO=3OD，∠31 AOOD=，∠31 AO AMON MN==，∠AN=43AM=43AE，∠AN+NC=AC，∠43AE+CD=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC 与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=1 2∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．故答案为：122°；（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，∴∠BEC=12∠A=12ᵯ；（3）结论∠BQC＝90°−12∠A．∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°−12（∠A+∠ACB）−12（∠A+∠ABC），＝180°−12∠A−12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°−12∠A﹣90°＝90°−12∠A；（4）由（3）可知，∠BQC＝90°−12∠A＝90°−12×64°=58°，由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°故答案为119，29．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．【答案】(1)120°，30°，60°(2)见解析(3)70°【分析】（1）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；（2）由∠A的度数，在∠ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．（1）①在图1中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∠∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB∠∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠BAC）=12（180°-60°）=60°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；②在图2中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACD∠∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD∠∠ACD=∠ABC+∠A∠∠OCD=12（∠ABC+∠A）∠∠OCD=∠OBC+∠O∠∠O=∠OCD-∠OBC=12∠ABC+12∠A-12∠ABC=12∠A=30°．③在图3中：∠BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∠∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠BCD∠∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠BCD）=12（∠A+∠ACB+∠BCD）=12（∠A+180°）=12（60°+180°）=120°∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案为：120°，30°，60°．（2）证明：∠OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∠∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∠O =180°-（∠OBC +∠OCB ）=180°-12（∠ABC +∠ACB ）=180°-12（180°-∠A ）=90°+12∠A ．（3）设∠ABO 2=∠O 2BO 1=∠O 1BC =α，∠ACO 2=∠BCO 2=β， ∠2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25° ∠∠ABC +∠ACB =3α+2β=60°+50°=110°，∠∠A =70°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。

2023年中考数学常见几何模型之角平分线全等类模型

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.图121．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连结DE ，易证AB ＝AC ＋CD ．（1）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD =+；证明见解析；（2）AB AC CD +=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证△ADE ≌△ADC （SAS ），则可得∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，又由∠AED ＝∠ACB ，∠ACB ＝2∠B ，所以∠AED ＝2∠B ，即∠B ＝∠BDE ，易证DE ＝CD ，则可求得AB ＝AC ＋CD ；（2）首先在BA 的延长线上截取AE ＝AC ，连接ED ，易证△EAD ≌△CAD ，可得ED ＝CD ，∠AED ＝∠ACD ，又由∠ACB ＝2∠B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+．证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，∵AD 为ABC V 的角平分线时，∴BAD CAD ∠=∠，∵AD AD =，∴()SAS ADE ADC ≌△△，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠．∵B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．∵AD 平分FAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠．在EAD V 与CAD V 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴EAD CAD ≌△△．∴ED CD =，AED ACD ∠=∠．∴FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．∴EB ED =．∴EA AB EB ED CD +===．∴AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC V 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC V 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅V V ，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．（1）证明：∵AD 为BAC ∠的角平分线，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，又∵90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，∴45B ∠=︒，90AED ∠=︒，∴45AED BDE B ∠=∠=∠−︒，∴B BDE ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD =，∴AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：∵AD 为BAC ∠的角平分线时，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴AED C ∠=∠，ED CD =，∵2ACB B ∠=∠，∴2AED B ∠=∠，又∵AED B EDB ∠=∠+∠，∴B EDB ∠=∠，∴EB ED =，∴EB CD=，∴AB AE EB AC CD =+=+．（3）解：猜想AB AC CD +=，证明如下：∵AD 平分EAC ∠，∴EAD CAD ∠=∠，在AED V 与ACD △中,AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED ACD SAS ≅V V ，∴ED CD =，AED ACD ∠=∠，如图，∴180180AED ACD ︒−∠=︒−∠，即FED ACB ∠=∠，∵2ACB B ∠=∠，∴2FED B ∠=∠，又∵FED B EDB ∠=∠+∠，∴EDB B ∠=∠，∴EB ED =，∴AB AE EB ED CD +===，∴AB AC CD +=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，∠C ＝90°，AD 为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC∵AD为∠BAC的平分线∴∠BAD =∠CAD ．在△ACD 和△AED 中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△AED （SAS ）．∴∠AED =∠C =90°，CD =ED ，又∵∠ACB =2∠B ，∠C =90°，∴∠B =45°． ∴∠EDB =∠B =45°．∴DE =BE ， ∴CD =BE ．∵AB =AE ＋BE ， ∴AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, ∴△ACD ≌△AED ，∴∠C=∠AED ，CD=DE ，又∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ，∵∠AED 是△EDC 的外角，∴∠EDB=∠B ，∴ED=EB ，∴CD=EB ，∴AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△AED （SAS ），∴∠ACD =∠AED ，CD =DE ，∴∠ACB =∠FED ，又∵∠ACB =2∠B∴∠FED =2∠B ，又∵∠FED =∠B ＋∠EDB ，∴∠EDB =∠B ，∴DE =BE ，∴BE =CD ，∵AB =BE -AE∴AB =CD ﹣AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法.4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 图1 图2图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+=1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．B2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PA PM PF==， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD Y 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD Y 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积．【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD Y 中，∵//AB CD ，∴BAE DCG ∠=∠，∵BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，∴ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，∵BAE DCG AB CDABE CDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABE CDG ASA ∆≅∆，∴BE DG AEB CGD =∠=∠，，∴BE DG ∥．（2）如图，作EQ BC ⊥，∵ABCD Y 的周长为56，∴28AB BC +=，4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB =120°，∴CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC =∠BOC =60°（角平分线的性质），∵∠DCE =∠AOC ，∴∠AOC =∠BOC =∠DCE =60°，∴∠MCO =90°-60° =30°，∠NCO =90°-60° =30°，∴∠MCN =30°+30°=60°，∴∠MCN =∠DCE ，∵∠MCF =∠MCN -∠DCN ，∠NCG =∠DCE -∠DCN ，∴∠MCF =∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

中考数学复习--角平分线问题

A.2
B.3
C.4
D.5
2.（2018 枣庄）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点
E，交 CB 于点 F，若 AC=3，AB=5，则 CE 的长为------------------------------------------------------------（）
（1分∠ACO，交 x 轴于点 D，求直线 CD 的函数关系式。
类型二、角平分线+角平分线的垂线→等腰三角形当题目中有垂直于角平分线的线段时，通过延长该线段构造等腰三角形加以求解。
第5题
第6题
第7题
5.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，若 BD=2，则 AE=
16.（2018 广州）如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD。（1）利用尺规作∠ADC 的平分线 DE，交 BC 于点 E，连接 AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下， ①证明：AE⊥DE； ②若 CD=2，AB=4，点 M，N 分别是 AE，AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值。
1
类型三、由角平分线作对称→全等三角形如图，若点 P 是∠MON 平分线上一点，点 A 是边 OM 上任意一点，可以考虑在边 ON 上截取 OB=OA，连接 PB，构造△OPB≌△OPA，从而将一些线段或角转化到到另一侧，进而达到解题目的。
8.如图，在菱形 ABCD 中，P 是 AB 上一个动点且不与 A，B 重合，连接 DP 交对角线 AC 于点 E，连接 BE，求证：∠APD=∠CBE。
9.如图，在△ABC 中，∠C=2∠B，AD 平分∠BAC，求证：AB=AC+CD。

中考数学考点系统复习第四章三角形方法技巧突破(三) “角平分线”之五大模型

4．如图，点 P 是∠AOB 的平分线 OC 上一点，PN⊥OB 于点 N，点 M 是线段 ON 上一点．已知 OM＝3，ON＝5，点 D 为 OA 上一点，若满足 PD＝PM，则 OD 的长度为 3 3或或77.
模型五：与角平分线有关的三个角度关系
【模型归纳】
已知条件
图形
在△ABC 中，∠ABC 与∠C∶∠ACB∶∠CAB＝5∶6∶7，点 M 在 BA 的延长线上，点 N 在 BC 的延长线上， AD 平分∠CAM，CD 平分∠ACN，连接 BD，则∠ADC＝65 65 °.
°
方法技巧突破(三) “角平分线” 之五大模型
模型一：角平分线＋边的垂线―构―造→双垂直【模型归纳】
1．如图，∠AOB＝30°，P 是∠AOB 平分线上一点，CP∥OB，交 OA 于点 C， PD⊥OB，垂足为 D，且 PC＝4，则 PD 等于 2 .
模型二：角平分线＋角平分线的垂线 ―构―造→ 等腰三角形【模型归纳】如图，P 是∠MON 的平分线上一点，A 是射线 OM 上一点，AP ⊥OP 于点 P，延长 AP 交 ON 于点 B，则 Rt△AOP≌Rt△BOP，△AOB 是等腰三角形．
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，CD 平分∠ACB，BE⊥ CD，垂足 E 在 CD 的延长线上，F 为 AB 的中点，则 EF 的长等于 2－－11.
模型三：角平分线＋平行线―构―造→等腰三角形【模型归纳】如图，点 P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，则△QOP 为等腰三角形．
3．如图，在△ABC 中，BD，CD 平分∠ABC 和∠ACB，DE∥AB，DF∥AC.若 BC＝6，则△DEF 的周长为__66__.

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

中考数学点对点-角平分线问题(解析版)

专题14 角平分线问题专题知识点概述1.角的平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.2.作角平分线角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．3.角平分线的性质（1）定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP.12（2）逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上.注意：三角形的角平分线。

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD ＝∠CAD 且点D 在BC 上.说明：AD 是ΔABC 的角平分线∠BAD ＝∠DAC ＝∠BAC (或∠BAC ＝2∠BAD ＝2∠DAC) . （1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.4.角平分线的综合应用21（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；（2）在解决综合问题中的应用．例题解析与对点练习【例题1】（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【答案】C【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG=12∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解析】∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=12∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．【对点练习】（2020长春模拟）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（）A．44° B．40° C．39° D．38°【答案】C．【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=78°=39°，∵DE∥BC，∴∠CDE=∠DCB=39°，【点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线性质、角平分线定义。

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全国100份试卷分类汇编
角平分线
1、（•雅安）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，则∠D的度数为（）
A．50°B．60°C．70°D．100°
考点：平行线的性质；角平分线的定义．
分析：根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD=∠D，从而得到∠CAD=∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．解答：解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠D，
∴∠CAD=∠D，
在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°，
∴80°+∠D+∠D=180°，
解得∠D=50°．
故选A．
点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
2、（•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1B．2C．3D．4
考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的
度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质
可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形
的面积之比．
解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．
故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=AC•AD：AC•AD=1：3．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
3、（•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）
A ． a =b
B ． 2a+b=﹣1
C ． 2a ﹣b=1
D ． 2a+b=1
考点：
作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．分析：
根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 与b 的数量关系．
解答：
解：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，
故2a+b+1=0，
整理得：2a+b=﹣1，
故选：B ．
点评：
此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|．
4、（•曲靖）如图，直线AB 、CD 相交于点O ，若∠BOD=40°，OA 平分∠COE ，则∠AOE= 40° ．
考点：
对顶角、邻补角；角平分线的定义．分析：
根据对顶角相等求出∠AOC ，再根据角平分线的定义解答．解答：
解：∵∠BOD=40°， ∴∠AOC=∠BOD=40°，
∵OA 平分∠COE ，
∴∠AOE=∠AOC=40°．
故答案为：40°．
点评：
本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5、（成都市）如图，B 30∠=o
，若AB ∥CD ，CB 平分ACD ∠，则ACD=∠______度.
答案：60°
解析：∠ACD=2∠BCD=2∠ABC=60°
6、（13安徽省14分、23压轴题）我们把由不平行于底边的直线截等腰三
角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

如图1，四边形ABCD 即为
“准等腰梯形”。

其中∠B=∠C 。

（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条
直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个
等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）。

（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中，∠B=∠C ，E 为边BC 上一
点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：EC BE DC AB （3）在由不平行于BC 的直线截ΔPBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD
与∠ADC 的平分线交于点E ，若EB=EC ，请问当点E 在四边形ABCD
内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，
为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的
结论（不必说明理由）
7、（•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
考点：角平分线的性质；勾股定理
分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．
解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，
∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．
点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
8、（•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB 于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
分析：（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
解答：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．。