经济学第七章方差分析
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过将总方差分解为不同来源的方差，从而判断不同组之间是否存在显著性差异。
方差分析在生物医学、心理学、市场营销等多个领域都得到了广泛的应用。
本文将详细探讨方差分析的基本概念、方法及其实际应用。
一、方差分析的基本概念1.1 什么是方差方差是指数据集中各数据值与其均值之间的离散程度，它衡量了数据分布的变动幅度。
方差越大，数据分布越分散；相反，方差越小，数据分布越集中。
在方差分析中，我们主要关注的是不同样本均值之间的方差。
1.2 方差分析的原理在进行方差分析时，我们首先计算总体样本的总方差。
这一总方差可以分解为组间方差和组内方差。
具体来说：组间方差：代表不同组均值之间的变异程度。
组内方差：代表同一组内部样本之间的变异程度。
根据F检验原理，当组间方差显著大于组内方差时，可以认为至少有一个组的均值与其他组存在显著性差异。
这一过程可以用F统计量来表示，F统计量等于组间平均平方（Mean Square Between）除以组内平均平方（Mean Square Within）。
二、方差分析的类型2.1 单因素方差分析单因素方差分析是最基础的方差分析方法，适用于仅有一个因素对结果变量影响的情况。
例如，研究不同肥料对植物生长高度的影响，我们可以采用单因素方差分析。
在进行单因素分析时，假设我们有n个样本，每个样本在不同处理下进行观察。
通过计算各处理组均值与全局均值的偏离程度，可以判断是否有显著性差异。
2.2 双因素方差分析双因素方差分析则扩展至两个自变量对因变量影响的情况。
例如，研究不同肥料和不同光照条件下植物生长高度的影响。
在这种情况下，不仅要考虑肥料对植物生长高度的影响，还需要考虑光照对植物生长高度以及两者交互作用。
双因素分析可以帮助研究者揭示更复杂的关系，从而提供更加深入的理解。
方差分析_精品文档
方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
《方差分析》课件
总结与展望
方差分析的意义方差分析Fra bibliotek一种有效的统计方法，可以帮助我们理 解数据之间的差异，并探索影响因素。
方差分析的未来发展趋势
随着数据分析和统计方法的进步，方差分析将继续 发展并得到更广泛的应用。
注
本PPT课件内容仅供教学参考，禁止用于商业用途！谢谢观看！
什么是方差分析
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本之间的差异。它适用于试验设计、医学研究、社会科学、 以及生产制造等领域。
单因素方差分析
单因素方差分析是一种用于比较一个因素（变量）对于一个响应变量的影响的统计方法。它基于一组样本之间 的方差差异来评估因素的影响。
双因素方差分析
双因素方差分析是一种用于比较两个因素（变量）对于一个响应变量的影响 的统计方法。它可以同时评估两个因素以及两个因素之间的交互作用。
方差分析的应用
生产制造
方差分析可以帮助优化生产 过程，提高产品质量和生产 效率。
医学研究
方差分析可以用于比较不同 治疗方法的效果，评估药物 的疗效。
社会科学
方差分析可以帮助理解不同 人群之间的差异，例如不同 年龄组之间的意见差异。
方差分析的局限性
方差分析有一些局限性，如对于非正态分布的数据不适用。但可以通过优化方法，如转换数据或使用非参数方 法，来应对这些局限性。
《方差分析》PPT课件
Presentation introducing the concept of variance analysis. Explore the definition, application scenarios, and the steps involved in both single-factor and two-factor variance analysis.
统计学第七章方差分析
方差分析可以用来分析不同因素（如上例中
小麦与玉米的比例、甜味剂类型、制作时间）
对总体特征是否有显著影响。
§所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均 值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助 于方差
§这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判 断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时 ，需要考察数据误差的来源
2. 如果原假设成立，即H1＝ H2 ＝…＝ Hk为真，则表明没
有系统误差，组间平方和SSA除以自由度后的均方与组 内平方和SSE和除以自由度后的均方差异就不会太大；如果 组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之 间的差异不仅有随机误差，还有系统误差
3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是
如果原假设不成立：说明某因素不同水平的影响显著（存在系统性 影响），组间方差与组内方差差别较大，它们的比远超出1。
组间方差 F 组内方差
第十二页，共46页
二、单因素方差分析的步骤
• 提出假设
• 构造检验统计量
• 统计决策
第十三页，共46页
提出假设
1. 一般提法
▪ H0: 1Hale Waihona Puke = 2 =…= k (因素有k个水平）
平方和
2. 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组
间平方和
3. 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差
4. 计算公式为
k
SSA
ni
k
xi x 2 ni xi x 2
i1 j1
i 1
§ 前例的计算结果：SSA = 76.8455
第二十一页，共46页
构造检验的统计量
(三个平方和的关系)
管理统计学第7章 方差分析
25
2）计算QA和QE：
1 k 1 m k QA ( xij ) 2 ( xij ) 2 mk i 1 j 1 i 1 k j 1
m
1 2 1 2 b a b a mk n
1 k QE ( xij ) 2 ( xij ) 2 c b i 1 j 1 i 1 k j 1
8
在方差分析中，为了数学上便于处理，总 是假定样本取自正态总体，且各个正态总 体的方差都相等。我们把每一个水平看成 一个总体，设对应于因素A的m个不同水平 Ai有总体xi~N(1,2)，即有：
xi i i 2 i ~ N (0, )
9
这里1=Ex1是xi的理论均值，1是随机误差， D1= 2，则方差分析所要解决的问题就变 成了检验假说
6
表7-1
7
从表7-1中数据可以看出，A1的平均寿命最长， A4的平均寿命最短，A2，A3的平均寿命介于其间， 我们是否由此可以得出灯泡寿命与灯丝材料不同 而有显著性差异的结论呢？不能，因为在灯泡制 作的过程中，除了工艺外，还有许多难以控制的 随机因素的影响，因此它们之间的差异可能是随 机误差所造成的。要正确地回答上述问题，在统 计学上可以采取显著性检验的方法来解决。
m
QE ( xij xi ) 2
j 1
m
k
5. 条件变差 i 1 （组间离差平方和）
Q A ( xi x ) 2
j 1
k
18
由于
m k i 1 j 1
QT ( xij x ) 2 ( xij xi ) ( xi x )
m k m k
方差分析与协方差分析
方差分析与协方差分析方差分析 (Analysis of Variance, ANOVA) 和协方差分析 (Analysis of Covariance, ANCOVA) 是统计学中常用的两种数据分析方法。
它们在比较多个组或处理之间的差异时非常有用，并且可以探究因素对观察结果的影响。
本文将详细介绍方差分析和协方差分析的概念、原理和应用。
一、方差分析的概念和原理方差分析是一种用于比较多个组之间均值差异的统计方法。
它基于对总体方差的分解，将观察结果的变异分解成不同的来源，如组内变异和组间变异。
方差分析的目标是确定组间变异是否显著大于组内变异，进而判断不同组均值之间的差异是否具有统计学意义。
方差分析通常基于以下假设：1. 观察结果服从正态分布；2. 不同组之间的观察结果具有同方差性；3. 观察结果是相互独立的。
方差分析的原理是通过计算不同组之间的均方差（Mean Square, MS）和F统计量来进行推断。
F统计量是组间均方差与组内均方差的比值，如果F值显著大于1，则说明不同组之间存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，其中单因素方差分析适用于只有一个自变量的情况，而多因素方差分析则适用于有多个自变量的情况。
二、方差分析的应用方差分析在科学研究和实际应用中广泛应用，以下是一些常见的应用场景：1. 实验比较：方差分析可用于比较不同处理、不同实验条件下的实验结果。
例如，在农业领域，可以利用方差分析比较不同肥料、不同温度等对作物产量的影响。
2. 组间比较：方差分析可用于比较不同组别、不同样本间的差异。
例如，在医学研究中，可以利用方差分析比较不同药物对疾病治疗效果的差异。
3. 教育评估：方差分析可用于教育研究中，比较不同学校或不同教学方法对学生学习成绩的影响。
三、协方差分析的概念和原理协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它用于比较多个组别或处理之间的差异，同时控制一个或多个协变量的影响。
方差分析介绍课件
03 方差分析可以应用于各种 类型的数据，包括定量数 据和定性数据。
04 方差分析的结果可以提供 关于数据分布和差异的详 细信息，从而帮助研究人 员更好地理解数据。
方差分析的应用场景
比较不同组别的均值差异 检验多个总体的方差是否相等 研究因素对结果的影响程度 评估实验结果的可靠性和准确性
方差分析的假设条件
02
方差齐性：各组方差相等
03
独立性：数据点之间相互独立
04
线性关系：因变量与自变量之间存在线性关系
3
方差分析的结果解释
方差分析的结论
01
01
方差分析可以检验不同组别之 间的差异是否显著
02
02
方差分析可以确定哪些组别之 间的差异是显著的
03
03
方差分析可以帮助我们确定哪 些因素对结果有显著影响
04
04
方差分析可以帮助我们确定哪 些因素对结果的影响程度最大
方差分析的局限性
假设条件：方差分析需要满 足一系列假设条件，如正态 性、方差齐性等，不满足假 设条件可能导致结果不准确。
线性关系：方差分析只能 处理线性关系，对于非线 性关系，需要进行适当的 数据转换。
多重比较：方差分析只能 比较各组间的平均差异， 无法进行多重比较，需要 进一步进行事后检验。
混杂因素：方差分析无法 控制混杂因素的影响，可 能导致结果不准确。
方差分析的实际应用
比较不同组别的 平均数差异
检验不同组别的 方差是否相等
确定影响因素的 主次顺序
预测和控制实验 结果
优化生产过程和 改进产品质量
评估市场调研结果 和制定营销策略
谢谢
02ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计算组内方差： 将各组数据分别 进行平方和计算， 然后除以组内数 据个数，得到组 内方差。
方差分析的基本原理
方差分析的基本原理.
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本平均值之间的差异是否显著。
其基本原理是将总体方差分解为组内变异和组间变异，然后进行统计检验判断变异的差异是否由于随机误差。
方差分析的基本原理可以通过以下步骤来理解：
1. 假设：首先需要建立一个空假设，即组间的平均值相等。
而备择假设则是组间的平均值不相等。
2. 方差分解：将总体方差分解为组内的平均方差和组间的平均方差。
组内方差衡量了组内个体与各自组的平均值之间的差异，而组间方差衡量了各组平均值之间的差异。
3. 计算统计量：通过计算组间和组内的方差比（F值）来评估
组间和组内的变异程度。
这个比值越大，说明组间的差异相对较大。
4. 显著性检验：利用统计表进行显著性检验，比较计算得到的F值与理论F分布的临界值。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间的差异显著，即各组的平均值不相等。
5. 结果解释：如果显著性检验表明组间差异显著，接下来可以进行多重比较分析，进一步确定哪些组之间存在显著差异。
总之，方差分析通过将总体方差分解为组内和组间的方差，然
后进行显著性检验，以判断样本之间的平均值差异是否显著。
这种分析方法广泛应用于实验设计和统计推断中，帮助我们理解和解释数据之间的差异。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7、方差分析中的3个基本假定： （1）每个总体都服从正态分布； （2）每个总体的方差都相同； （3）观察值是相互独立的。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
7
一、方差分析的有关概念和基本思想
在本章案例中，缩水率就是试验指标，染
对于显著性水平
由于检验统计量
，所以拒绝
原假设 ，即有95%的把握认为不同的行业
之间投诉的差异显著。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
27
Excel中方差分析的计算步骤
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
4
第七章 方差分析
第一节 方差分析的基本思想 第二节 单因素方差分析 第四节 双因素方差分析
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
5
第一节 方差分析的基本思想
一、方差分析的有关概念和基本假定 1、方差分析（Analysis of Variance，
个样本的数据差异大小，其次分别计算它们的方差，
并根据数理统计知识推断它们服从的分布，最后构造
检验统计量进行检验。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
9
二、显著性检验
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
10
平方和分解公式：
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
11
2020/5/24
整工艺是所要检验的因素（又称因子），三种
不同的工艺可看成是该因素的三种水平，故这
是一个单因素三水平的试验。
8、方差分析的基本思想
从表7-1可知，12个数据各不相同。一方
面，同一种工艺对不同种布样的缩水率是不同
的，其差异可以看成是由于随机因素造成的；
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
8
ANOVA）：一种检验多个正态总体均值是否 相等的统计方法。 2、因素：方差分析研究的对象。 3、水平：因素中的内容。 4、试验指标：衡量试验结果好坏的特征值。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
6
一、方差分析的有关概念和基本思想
5、单因素方差分析：若方差分析针对一个因 素进行，称为单因素方差分析。
出相应自由度的临界值 。如果，
则
拒绝原假设 ，此时说明因素A对试验指标起
显著影响；如果 ，则接受原假设 ，此
时说明因素A的不同水平对试验指标的影响不
显著。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
14
第二节 单因素方差分析
一、各水平试验次数相等的方差分析 试验次数相等的单因素方差分析的具体步
骤： 1．建立假设
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
15
2．计算有关均值及平方和
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
16
在表7-1中增加若干计算栏，计算有关均值，如 表7-3所示。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
17
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
18
3．列方差分析表
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
19
对于本章案例，方差分析表如表7-5所示：
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
20
4．统计决策
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
21
二、试验次数不等的方差分析
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
22
例7.1 为了对几个行业的服务质量进行评价，某市 消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、公路客运 业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中 的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面 基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投 诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几 个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，究 竟是在哪些行业之间？如果能找出哪些行业的服务质 量最差，就可以建议对消费者权益保护法中该行业的 某些条款作出修正。
(2) 如果还有一个因素B（试验配方，共三种）也对缩 水率产生作用，应该如何选择最优方案？
(3) 如果还有两个或者两个以上的因素也对缩水率产生 作用，应该如何选择最优方案？
为了回答上述问题，本章将介绍单因素方差分析、
双因素方差分析和正交试验设计法的有关概念、分析
思想、数学模型和方差分析表等内容。
2
案例 染整工艺对布的缩水率有影响吗 ?
某公司为考察染整工艺是否对布的缩水率
有显著影响进行了试验。试验中采用三种染整
工艺，分别对四种布样进行了处理，测得缩水
率的百分比资料如7-1表所示:
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
3
问题：
(1) 如何判断染整工艺类型对缩水率是否有显著影响？ 若影响显著，应采用哪种工艺？
版权所有 BY 统计学课程组
12
由平方和分解公式可知， 与 的比值
反映两种差异的大小，比值越大，说明由于因
素水平不同引起的差异越显著。根据ห้องสมุดไป่ตู้计推断
的有关定理和推论，统计量
因此，F作为检验 是否成立的检验统计量。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
13
对于给定的显著性水平α，由F分布表可查
本章重点与难点
重点: 是掌握方差分析的方法。 难点: 方差分析的思想。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
1
学习目标
通过本章的学习，正确理解方差分 析的思想和有关概念，了解各种方法的 应用条件和范围，能够应用软件进行有 关的计算，能说明计算结果的含义。
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
另一方面，不同工艺对各布样的缩水率也是不同
的，这既可能是由于随机因素造成的，也有可能是由
于染整工艺类型不同造成的。在三个基本假设的条件
下，三种工艺为三个不同的总体，要判断随机因素和
工艺差别哪个是造成缩水率不同的主要原因，将此归
结为判断三个正态总体是否具有相同均值的问题。为
此，需要首先分析各个样本之间的数据差异大小和各
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
23
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
24
解(1) 建立假设
不全相等
(2) 计算有关均值及平方和
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
25
(3) 列方差分析表(表7-8)
2020/5/24
版权所有 BY 统计学课程组
26
(4) 统计决策