第七章 方差分析
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第七章方差分析与F检验
第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第七章方差分析(心理)
ΣX 217.40 216.20 213.20 214.40 nk=12
(ΣX)2 47262.76 46742.44 45454.24 45967.36 185426.80
1 2 3 4 n ΣX ΣX2 X
n
4 283.9 20151.51
4 290.50 21098.45
4 286.80 20564.90
SSB
n
n
SSW
2 X X 2
n
2
SST X
2
X
n
dfT dfB dfW
组间自由度
dfB k 1
组内自由度
dfW n k
dfT n 1
总自由度
计算方差 组间方差
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW
ij X t k n
X
n j 1 i 1
ij X j
n X
k j 1
j
Xt
2
令SSt X ij X t
j 1 i 1
2
总平方和,自由度为N 1,
k
SS b n X j X t
j 1 k n
k
2
n X j X t
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实 验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设 计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
随机区组设计中平方和的分解：
SST SSB SSR SSE
SST
2 X X 2
Fmax
第七章 方差分析
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职称 高级工程师 工程师 高级工程师 助理工程师 助理工程师 无技术职称 无技术职称 无技术职称 工程师 助理工程师 高级工程师 工程师 助理工程师 工程师 助理工程师 助理工程师
文化程度 本科 专科 高中 高中 本科 高中 高中 高中 专科 本科 专科 专科 初中 本科 初中 初中 STATA从入门到精通
单样本t检验有两种用法。一是检验样本平均数是否显著地不同于某个假设值。二是检 验同一套观察值中的两个变量的统计指标是否显著地不同。这等价于两者的差值的平 均数是否等于零。 在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式： 命令格式1（通过样本进行t检验）： ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）： ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值， level为置信度水平。
表7-15 员工信息表
minority 0 0 0 0 0 0 0 0 educ 8 8 8 8 8 8 8 8 salary 15750 15900 16200 16650 16800 16950 17400 17700 beginsalar y 10200 10200 9750 9750 10200 10200 10200 10200 gender Female Female Female Female Female Female Female Female
本例中，我们检验大学生饮酒行为平均数是否会因为是否就业而有所变化。
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文化程度 本科 专科 高中 高中 本科 高中 高中 高中 专科 本科 专科 专科 初中 本科 初中 初中 STATA从入门到精通
单样本t检验有两种用法。一是检验样本平均数是否显著地不同于某个假设值。二是检 验同一套观察值中的两个变量的统计指标是否显著地不同。这等价于两者的差值的平 均数是否等于零。 在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式： 命令格式1（通过样本进行t检验）： ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）： ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值， level为置信度水平。
表7-15 员工信息表
minority 0 0 0 0 0 0 0 0 educ 8 8 8 8 8 8 8 8 salary 15750 15900 16200 16650 16800 16950 17400 17700 beginsalar y 10200 10200 9750 9750 10200 10200 10200 10200 gender Female Female Female Female Female Female Female Female
本例中，我们检验大学生饮酒行为平均数是否会因为是否就业而有所变化。
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统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
第七章方差分析与F检验
• 5、主效应：实验中由一个因素的不 同水平引起的变异。
• 6、交互作用：当一个因素的水平在 另一个因素的不同水平上变化趋势 不一致时，称两个因素之间存在交 互作用。
• 7、处理效应：指实验的总变异中由 自变量引起的变异。如主效应、交 互作用。
• 8、误差变异：指总变异中不能由自变量或 明显的无关变量解释的那部分变异。包括 单元内误差和残差。
1、计算离差平方和：
1总平方和 :
SSt
X
2
X
N
2
2组间平方和 :
SSb
X
n
2
X
N
2
3组内平方和 :
SSw
X
2
X
n
2
（二）计算自由度
总自由度：dft=N-1 组间自由度： dfb=k-1 组内自由度： dfw=k（n-1) （三）计算均方
组间均方：MSb=MSA=SSb/dfb 组内均方：MSw=MSE=SSw/dfw （四）计算F值
一、几个基本术语
• 1、因素：指研究者在实验中感兴趣 的一个变量，研究者通过操纵、改 变它，来估价它对因变量的影响， 也叫自变量。
• 2、因素的水平：实验中所操纵的变 量的每个标定的值。这些值既可以 是数量的，如时间、年龄，也可以 是类别的，如职业、性别等。
• 3、因素设计：通常指多于一个因素的 实验设计。如一个含有两个因素，每个
F= MSb/ MSw
（五）查F值表进行检验并做出决断
假如拒绝虚无假设的p值定为0.05，如 果计算的值大于所确定的显著性水平 的临界值，表明F值出现的机率小于 0.05，就可拒绝虚无假设，可以说不 同组的平均数之间在统计上至少有一 对有显著差异。
如果计算的F值小于p为0.05的临界值， 就不能拒绝虚无假设，只能说不同组 的平均数之间没有显著差异。
第七章 方差分析
第三节 平均数的多重比较
F检验是一种整体性检验，当经方差分析鉴别 多个正态总体的平均数有显著时，并不能说明 各组水平之间都存在显著差异，只是说至少有 一对差异显著，究竟哪些均数差异显著，哪些 差异不显著，则还需进行均数的多重比较。
一、图凯法
是一种能将所有各对平均值同时比较的方法。 设因素A分成两组，每组有相等的含量，并经
第二节 单因素方差分析
概念
观察的因素只有一个的实验叫单因素实验。对 此种实验结果进行方差分析的方法叫单因素方 差分析。
单因素方差分析所讨论的是k个总体标准差皆 相等的条件下，解决k个总体平均数是否相等 的问题。
一、计算步骤（见P140~142）
１、依据表中数据,计算各组内的 x,x2, xi,n ２、然后计算 x,x2,n, 并令
过方差分析判别各组之间存在显著性差异，为 了比较两者之间差异显著性，可按下式计算T
值： T QS x
其中Q值按预先确定的α水平，组数K和组内 自由度（N－k）查附表获得。
任何一对平均值之差，只要超过T值，就表明 这一对平均值之间的差别是显著的。
图凯法要求所有的样本含量都相等。
例题：P147~148 当各组被试不相等时，可采用S法检验进行两
X x, X 2 x2, N n
３、计算离差平方和：（总离差平方和、组间 离差平方和和组内离差平方和）
４、计算方差：（组间方差和组内方差） ５、计算F值
二、方差分析的计算
见课本P142~143
方差分析计算的两种情况：
当样本含量相等时：
当样本含量不等时： 例题7.2，P144~146
二、实验误差与条件误差
在方差分析的试验中，即使各水平的试验条件 完全相同，但由于随机抽样或试验过程中随机 因素的影响，其试验结果（指标）仍然会存在 偏差，我们称这种偏差为试验误差或随机误差。
第七章 方差分析
表示
调查分析师资格培训--天津商业大学
二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
调查分析师资格培训--天津商业大学
三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
调查分析师资格培训--天津商业大学
第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1
第七章 方差分析
第七章方差分析方差分析的主要目的是（B ）。
A．分解平方和 B．进行多个平均数的假设测验 C．分解自由度 D．进行F测验进行方差分析，第一步需要进行（C ）。
A．平方和分解 B．自由度分解 C．A＋B D．方差分解设有k组数据，每组皆有n个观察值，该资料共有nk个观察值，其总平方和可分解为（B ）。
A．组内平方和与误差平方和 B．组间平方和与误差平方和C．组间平方和与处理平方和 D．误差平方和F测验显著，说明处理间（C ）。
A．均显著 B．方差同质 C．存在显著差异 D．不显著在分解平方和的过程中，误差平方和一般（D ）。
A．通过合并组内平方和得到 B．通过合并组间平方和得到C．通过合并处理平方和得到 D．通过减法得到F测验的先决条件是（ D）。
A．变数y服从正态分布 B．样本方差来自不同总体C．两个样本方差彼此独立 D．A＋C多重比较是指（ B）。
A．多个方差之间互相比较 B．多个平均数之间互相比较C．多个处理之间互相比较 D．多个F值之间互相比较LSD实质上是（），用它进行多重比较，通常会增大犯（D）的概率。
A．t测验，II类错误 B．F测验，I类错误 C．u测验，I类错误D．t测验，I类错误自由度等于（A ）。
A．观察值个数减约束条件个数 B． n-1 C． n-2 D． n-k系统分组资料的方差分析可分解出（B ）。
A．系统误差 B．两个误差项 C．两个处理效应 D．互作项方差分析是一种 (C ) 的方法。
A．分解平方和 B． F 测验 C．多样本平均数测验 D．假设测验平方和与自由度的分解基于样本观察值的（A ）。
A．线性模型 B．大小 C．变异情况 D．数量在 A 、 B 两因素方差分析中如果处理的 F 测验不显著，有无必要筛选最佳组合（ A）。
A．无必要 B．有必要 C．视情况而定 D．不好确定如果样本平均数与其方差有比例关系，这种资料宜用（B ）。
A．对数转换 B．平方根转换 C．反正弦转换 D．用平均数代替观察值下表是 6 种溶液及对照的雌激素活度鉴定，指标是小鼠子宫重量。
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第七章 方差分析
主要内容: 方差分析的概念； 单因素方差分析； 无交互作用的双因素方差分析。
1
第一节 方差分析引论
一、问题的提出
例1、某饮料在五家超市的销售情况。（6） （9）
超市 1 2 3 4 5
均值
某饮料在五家超市的销售情况表
无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 27.32
为r 1，MSE 的自由度为k 1r 1 。
36
（三）分析步骤 1、提出假设设：
H10：1 2 i k H11：（ i i 1,2, , k）不完全相等 H 20：1 2 j r H 21： j ( j 1,2, , r)不完全相等 其中：i为因素A的第i个水平（总体）的均值， j为因素B的第j个水平（总体）的均值。
3495.37
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8 157.3 4955.29 31.46
4948.66
合计
573.9 16583.99 16544.91
28.70
22
某饮料的方差分析表
误差来源 误差平方和 自由度 均方 F值
组间误差 71.11 组内误差 44.82
3 23.7 8.46 16 2.8
若F
F，则拒绝原假设
H
；
0
若F
F，则不能拒绝原假设
H
。
0
18
（四）方差分析表 前述（二）之1的计算，一般在方差分 析计算表中进行，（二）之2、3在方差分 析表中进行。方差分析计算表与方差分析 表的一般形式分别如后一页：
19
方差分析计算表
观
察
因 值
素水
平
A1
A2
L
试验批号
1
x11
x21
L
2
总误差 115.93 19
临界值
3.24
由于F F，所以拒绝原假设，接 受备择假设， 既饮料包装的颜色对销 售量有显著影响。
23
例2、某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量 进行评估，评估结果分为优、良、中、差四等。教 师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分 开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。 有一种说法，认为给教师评为优秀的这组学生的考 试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是 良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作 评差的学生，其考试的平均分数可能最低。为对这 种说法进行检验，从对评估的每一个级组中，随机 抽取出共26名学生。试以0.05的显著水平检验各组 学生的分数是否有显著差别。26名学生的考试成绩 如下表。
10
第二节 单因素方差分析
一、样本数据结构（28）
单因素方差分析的样本数据结构
观
察
因 值
素水
平
A1
A2
L
Ak
试验批号
1
x11
x21
L
xk1
2
x12
x22
L
xk 2
M
M
M
M
M
ni
x1n1
x2n2
L
x k nk
11
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设
H0：1 2 i k H1：（i i 1，2， ，k）不完全相等
37
2、在方差分析表中计算相应的统计量
无交互作用的双因素方差分析表
误差来源
误差平方和
自由度 均方 F值
因素A的组间误差
SS A
k 1
MSA FA
因素B的组间误差
SSB
r 1
MS B
FB
随机误差
SSE
k 1r 1 MSE
总误差
SST
n 1
38
3、统计检验
在给定的显著水平下，查F分布表得到临界值：
ni xi2j nx 2
i1 j1
i1 j1
k
ni (xij xi )2 k
ni (xi x)2
i1 j1
i1 j1
SSE SSA
15
其中： （1）组间误差，其自由度为k-1:
k ni
k
SSA
(xi x)2 ni (xi x)2
x j x 2
i1 j 1
i1 j 1
SST SSA SSB SSE
34
其中：
k r
SSE
xij xi x j x 2
i1 j1
kr
SSA
xi x 2
i1 j1
k r
SSB
x j x 2
x1 x2
A … …… … …
…
Ak
xk1 xk2 … xkr
Tk·
…
xk
列列均和值T.xj j Tx·11 Tx·22
… …
Tx·kr
总和 T
总均x 值
32
其中：
xi
1 r
r
xij
j 1
x j
1 k
k i 1
xij
x
1 kr
k i 1
r
xij
j 1
0；反之，则接受H
。
0
对于例1，在显著水平 0.05下，哪两种包装
颜色的饮料的销量有显 著差别？
x1 x2 27.32 29.26 2.24
LSD t0.025 (16)
2.8 (1 1) 2.24 55
由于x1 x2 LSD 1与2没有显著差异。
(i 1,2, k )
( j 1,2, r)
33
（二）误差平方和的分解（32）
k r
SST
xij x 2
i1 j 1
k r
xij xi x j x 2
i1 j 1
k r
kr
xi x 2
k
xij
ni xi
x i1 j1 n
i1 n
，（n n1 n2 nk）
14
2、在方差分析中，需要计算三个误差平方
和，即总误差平方和（ SST ）、组间误差平方
和（ SS A ）及组内误差平方和（ SSE ） 。
k
SST
ni (xij x)2 k
10 14
20 18
12 18
6 10
区
B4 16 4
8
6 18
B5 26 22 16 20 10
31
（一）样本数据结构
无交互作用的双因素方差分析的样本结构表（34）
B水平
因素B
行和 行均值
A水平
B1 B2 … Br
Ti.
xi
因 素
A1
x11 x12 … x1r
A2
x21 x22 … x2r
T1· T2·
ni xi2
总均值
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 136.6 3742.6 27.32
3731.91
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 147.8 4377.54 29.56
4368.97
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 132.2 3508.56 26.44
i1 j1
MS A
SSA ，MS k 1
B
SSB ，MS r 1
E
k
SSE
1r
1
35
构造统计量：
FA
MS A MS E
～
Fk
1，k
1r
1
FB
MS B MS E
～ Fr 1，k 1r 1
其中 MSA 的自由度为k 1，MSB 的自由度
24
观测值
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
26名学生考试成绩
学生对教师评估等级
优
良
中
差
85
80
73
76
77
78
80
72
79
94
92
70
84
73
76
85
92
79
6
90
86
73
91
75Leabharlann 816425
解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差异， 则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间 没有必然的联系。
售（因素B），现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，
得到该商品不同包装的销售资料如下表。现欲检验包装方式和
销售地区对该商品销售是否显著影响（
0.）05？
某种商品不同地区不同包装的销售资料
包装方式（A）
A1
A2
A3
A4
A5
B1 20 12 20 10 14
销 售地（B）
B2 B3
22 24
x12
x22
M
M
M
M
ni
列和
x1n1
x2n2
L
n1
n2
x1 j
x2 j
j 1
j 1
列平方和
x n1 2 1j
n2
x22j
j 1
j 1
x x 列均值
1
2
Ak
xk1
xk 2
M
x k nk
nk
xkj
主要内容: 方差分析的概念； 单因素方差分析； 无交互作用的双因素方差分析。
1
第一节 方差分析引论
一、问题的提出
例1、某饮料在五家超市的销售情况。（6） （9）
超市 1 2 3 4 5
均值
某饮料在五家超市的销售情况表
无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 27.32
为r 1，MSE 的自由度为k 1r 1 。
36
（三）分析步骤 1、提出假设设：
H10：1 2 i k H11：（ i i 1,2, , k）不完全相等 H 20：1 2 j r H 21： j ( j 1,2, , r)不完全相等 其中：i为因素A的第i个水平（总体）的均值， j为因素B的第j个水平（总体）的均值。
3495.37
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8 157.3 4955.29 31.46
4948.66
合计
573.9 16583.99 16544.91
28.70
22
某饮料的方差分析表
误差来源 误差平方和 自由度 均方 F值
组间误差 71.11 组内误差 44.82
3 23.7 8.46 16 2.8
若F
F，则拒绝原假设
H
；
0
若F
F，则不能拒绝原假设
H
。
0
18
（四）方差分析表 前述（二）之1的计算，一般在方差分 析计算表中进行，（二）之2、3在方差分 析表中进行。方差分析计算表与方差分析 表的一般形式分别如后一页：
19
方差分析计算表
观
察
因 值
素水
平
A1
A2
L
试验批号
1
x11
x21
L
2
总误差 115.93 19
临界值
3.24
由于F F，所以拒绝原假设，接 受备择假设， 既饮料包装的颜色对销 售量有显著影响。
23
例2、某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量 进行评估，评估结果分为优、良、中、差四等。教 师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分 开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。 有一种说法，认为给教师评为优秀的这组学生的考 试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是 良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作 评差的学生，其考试的平均分数可能最低。为对这 种说法进行检验，从对评估的每一个级组中，随机 抽取出共26名学生。试以0.05的显著水平检验各组 学生的分数是否有显著差别。26名学生的考试成绩 如下表。
10
第二节 单因素方差分析
一、样本数据结构（28）
单因素方差分析的样本数据结构
观
察
因 值
素水
平
A1
A2
L
Ak
试验批号
1
x11
x21
L
xk1
2
x12
x22
L
xk 2
M
M
M
M
M
ni
x1n1
x2n2
L
x k nk
11
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设
H0：1 2 i k H1：（i i 1，2， ，k）不完全相等
37
2、在方差分析表中计算相应的统计量
无交互作用的双因素方差分析表
误差来源
误差平方和
自由度 均方 F值
因素A的组间误差
SS A
k 1
MSA FA
因素B的组间误差
SSB
r 1
MS B
FB
随机误差
SSE
k 1r 1 MSE
总误差
SST
n 1
38
3、统计检验
在给定的显著水平下，查F分布表得到临界值：
ni xi2j nx 2
i1 j1
i1 j1
k
ni (xij xi )2 k
ni (xi x)2
i1 j1
i1 j1
SSE SSA
15
其中： （1）组间误差，其自由度为k-1:
k ni
k
SSA
(xi x)2 ni (xi x)2
x j x 2
i1 j 1
i1 j 1
SST SSA SSB SSE
34
其中：
k r
SSE
xij xi x j x 2
i1 j1
kr
SSA
xi x 2
i1 j1
k r
SSB
x j x 2
x1 x2
A … …… … …
…
Ak
xk1 xk2 … xkr
Tk·
…
xk
列列均和值T.xj j Tx·11 Tx·22
… …
Tx·kr
总和 T
总均x 值
32
其中：
xi
1 r
r
xij
j 1
x j
1 k
k i 1
xij
x
1 kr
k i 1
r
xij
j 1
0；反之，则接受H
。
0
对于例1，在显著水平 0.05下，哪两种包装
颜色的饮料的销量有显 著差别？
x1 x2 27.32 29.26 2.24
LSD t0.025 (16)
2.8 (1 1) 2.24 55
由于x1 x2 LSD 1与2没有显著差异。
(i 1,2, k )
( j 1,2, r)
33
（二）误差平方和的分解（32）
k r
SST
xij x 2
i1 j 1
k r
xij xi x j x 2
i1 j 1
k r
kr
xi x 2
k
xij
ni xi
x i1 j1 n
i1 n
，（n n1 n2 nk）
14
2、在方差分析中，需要计算三个误差平方
和，即总误差平方和（ SST ）、组间误差平方
和（ SS A ）及组内误差平方和（ SSE ） 。
k
SST
ni (xij x)2 k
10 14
20 18
12 18
6 10
区
B4 16 4
8
6 18
B5 26 22 16 20 10
31
（一）样本数据结构
无交互作用的双因素方差分析的样本结构表（34）
B水平
因素B
行和 行均值
A水平
B1 B2 … Br
Ti.
xi
因 素
A1
x11 x12 … x1r
A2
x21 x22 … x2r
T1· T2·
ni xi2
总均值
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 136.6 3742.6 27.32
3731.91
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 147.8 4377.54 29.56
4368.97
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 132.2 3508.56 26.44
i1 j1
MS A
SSA ，MS k 1
B
SSB ，MS r 1
E
k
SSE
1r
1
35
构造统计量：
FA
MS A MS E
～
Fk
1，k
1r
1
FB
MS B MS E
～ Fr 1，k 1r 1
其中 MSA 的自由度为k 1，MSB 的自由度
24
观测值
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
26名学生考试成绩
学生对教师评估等级
优
良
中
差
85
80
73
76
77
78
80
72
79
94
92
70
84
73
76
85
92
79
6
90
86
73
91
75Leabharlann 816425
解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差异， 则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间 没有必然的联系。
售（因素B），现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，
得到该商品不同包装的销售资料如下表。现欲检验包装方式和
销售地区对该商品销售是否显著影响（
0.）05？
某种商品不同地区不同包装的销售资料
包装方式（A）
A1
A2
A3
A4
A5
B1 20 12 20 10 14
销 售地（B）
B2 B3
22 24
x12
x22
M
M
M
M
ni
列和
x1n1
x2n2
L
n1
n2
x1 j
x2 j
j 1
j 1
列平方和
x n1 2 1j
n2
x22j
j 1
j 1
x x 列均值
1
2
Ak
xk1
xk 2
M
x k nk
nk
xkj