第七章方差分析与F检验
第七章方差分析与F检验
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
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3
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试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第七章方差分析基础《卫生统计学》课件
方差分析简述方差分析也是统计检验的一种。
由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，也叫F检验。
190240290340分组正常钙组中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)1X 2X 3X X(2) 计算检验统计量可根据表7-5的公式来计算出离均差平方和、自由度、均方和F值。
从已知正态总体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了k=10组样本，每组样本的样本含量n i=20，可算出各组的均数和标准差，得表7-7的结果。
如果采用t检验作两两比较，其比较次数为(1)10(101)45 222k k km⎛⎫--====⎪⎝⎭从理论上讲10个样本均来自同一正态总体N(10,52)，应当无差异，但我们用两样本t检验时，已经规定犯第一类错误的概率不超过α=0.05，本次实验实际犯第一类错误的频率为5/45≈0.11，显然比所要控制的0.05要大。
因此不能直接用前面学过的两样本t检验对多样本均数作两两比较，而应采用专用的两两比较的方法。
(2) 计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次：, =11()2A B A B A B X X A BX X X X q S MS n n νν---==+误差误差(3) 确定值并作出推断结论自由度ν误差和对比组内包含组数a查附表4的q界值表得q界值，将算得的q值与相应q界值进行比较得各组的p值。
(3) 确定P值并作出推断结论自由度ν误差和实验组数 (不含对照组)查附表5.2的Dunnett –t(q， )界值表,得q，临界值，用计算得到的q，与临界值进行比较，得P值 。
(2) 计算检验统计量=11()A B A B A B X X A BX X X X t S MS n n νν---==+误差误差。
第7章 方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。
一、数学模型
假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )
第七章 方差分析
表示
调查分析师资格培训--天津商业大学
二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
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三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
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第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1
方差分析(F检验)
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15例患者体温降至 正常所需要的天数 甲法 乙法 丙法
5 57 5 59 5 79 7 79 7 79
2、由于治疗方法不同而引 起，即组间变异引起。
组间变异，即由于各组 治疗方法（处理因素）不同 使得各组均数大小不等。
SS组间 ni (xi x)2
医学统计学
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总3; 组内变异
SS总=SS组间+ SS组内 v总=v组间+ v组内
医学统计学
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总变异来源分析
处理因素 治疗方法
组间变异
抽样误差 个体差异
组内变异
总变异
医学统计学
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因组间变异数大小与组数（组间自由度K-1）有关，故用 组间变异数除以自由度所得组间均方来表示组间变异。
[问题 2] 当处理因素不起作用时，从理论上 来说 F 值是多大？
[答案 2] 当处理因素不起作用时，从理论上
来说T = 0 , T + E = E, F=1。
MS 组 间 =MS 组 内 ，
当处理因素起作用时，从理论上来说T>0, T + E > E, F > 1,多大的F值才认为均数间的差异 在统计学上有显著性意义，可根据自由度查F值表， 确定P值后作出推断。
医学统计学
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五、方差分析的方法
根据实验设计方法不同，完全随机设计（单 因素）、随机区组设计（双因素）、析因设计、 拉丁方设计和正交设计等资料应选用不同的方 差分析方法。
医学统计学
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[问题 1] 右边 资料是用何种实验设 计方法进行实验所得 资料？
方差分析F检验范文
方差分析F检验范文方差分析是一种常用的统计分析方法，用于比较三个或多个总体平均值之间的差异。
它通过计算组内方差和组间方差的比值，来判断这些差异是否显著。
F检验是方差分析中的一种常用方法，通过计算F值来判断差异是否显著。
在进行F检验之前，首先需要明确研究的目的和假设。
假设有三个或多个样本或处理组，我们要比较它们的均值是否有显著差异。
在进行方差分析时，我们要建立一个基本假设H0：所有样本或处理组的均值相等，即μ1=μ2=...=μk，其中μ1、μ2、..、μk表示k个样本或处理组的均值；备择假设H1：至少有一个样本或处理组的均值与其他组不相等。
F检验的计算是通过计算组间方差与组内方差的比值来进行的。
组内方差是各组内数据点与组内均值的差的平方和的平均，而组间方差则是各组均值与总体均值的差的平方和的平均。
计算F值的公式如下：F=组间方差/组内方差在进行F检验时，我们需要选择显著性水平，通常设定为0.05、然后根据样本数据计算各组的均值、总体均值、组间方差、组内方差以及F 值。
接下来，我们需要查找F分布表，根据给定的显著性水平和自由度进行查找，找到相应的临界值。
如果计算得到的F值大于F分布表中的临界值，表示组间方差与组内方差之比大于预期，差异是显著的，拒绝原假设。
这意味着至少有一个样本或处理组的均值与其他组不相等。
相反，如果计算得到的F值小于F分布表中的临界值，表示组间方差与组内方差之比小于预期，差异不显著，接受原假设。
这意味着各样本或处理组的均值没有显著差异。
F检验的结果还可以通过计算p值来判断显著性。
p值是指在原假设为真时，观察到比实际更极端结果的概率。
如果计算得到的p值小于设定的显著性水平，通常为0.05，表示差异是显著的，拒绝原假设；相反，如果p值大于显著性水平，表示差异不显著，接受原假设。
需要注意的是，F检验并不能告诉我们具体哪几个组之间存在显著差异，如果F检验结果显示差异显著，我们还需要进行进一步的事后多重比较分析，如Tukey HSD（Honestly Significant Difference）法或Bonferroni校正。
心理统计学基础讲义 第七章 方差分析、统计效力
第七章 方差分析、统计效力方差分析原理：综合的F检验应用：两个以上平均数之间的差异检虚无假设：H0：μ1 = μ2 = μ3方差可分解，实验数据的总变异分解为若干不同来源的分变异，一般分为组内变异和组间变异组内变异：实验误差、被试差异等组间变异：不同实验条件造成的变异考察F = 组间均方/ 组内均方的显著性方差分析的前提总体正态分布变异互相独立各实验条件的方差齐性方差分析的步骤a. 求总和方、组间和方、组内和方b. 求总自由度、组间自由度、组内自由度c. 求组间均方、组内均方d. 计算F观测值e. 列方差分析表f. 查F表求F临界值g. 作判断符号系统K = 处理条件或组的数目n i = 第i 组的被试数目，若每组被试相等，则为n N = Σn i = 总被试数T i = ΣX ij = 每个组分数值的和 G = ΣX ij = 所有分数的总和 P = 每个被试的观察数目 单因素完全随机方差分析例：检验三个不同的学习方法的效应。
将学生随机分配到3个处理组 方法 A ：让学生只读课本, 不去上课. 方法 B ：上课,记笔记，不读课本.方法 C ：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记解：虚无假设H 0：μ1 = μ2 = μ3 ，三种方法学习效果没有差异 备择假设：至少有一个组和其他不同G=30, N=15, 215G ==, 2106,3XK ==∑SS 总= ΣX 2 - G 2 / N =106 – 900 / 15 = 106 – 60 = 46 SS 组内= SS 1 + SS 2 + SS 3 = 6 + 6 + 4 = 16SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 52/5 + 202/5 + 52/5 - 302/15 = 5 + 80 + 5 –60 = 30实际SS组间可以用SS总- SS组内快速求得，但不推荐df总= N – 1 = 15 -1 = 14df组内= N –K = 15 - 3 = 12df组间= K – 1 = 3 – 1 = 2MS组内= SS组内/ df组内= 16/12 = 1.333MS组间= SS组间/ df组间= 30/2 = 15F obs = MS组间/ MS组内= 15 / 1.333 = 11.25F0.05(2, 12) = 3.88F obs = 11.25 > F0.05(2, 12) = 3.88所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验N-K检验HSD检验Scheffe检验……注意：不能用两两之间t检验，P = 1 - (1 - α)n，例如本例P = 1 - (1 –0.05)3 = 0.143随机区组设计的方差分析又称重复测量方差分析，单因素组内设计，相关组设计，被试内设计解：G = 305.5，N = 32，ΣX2 = 2934.91，K = 4, n = 8SS总= ΣX2 - G2 / N = 2934.91 –305.52 / 32 = 18.33SS组内= SS1 + SS2 + SS3 + SS4 = 2.8 + 3.14 + 1.535 + 1.429 = 8.894SS组内= SS被试间+ SS误差SS被试间=Σ(P2/K) - G2/N = 1544.49/4 + 1482.25/4 + 1584.04/4 + 1310.44/4 + 1303.21/4 + 1444/4 + 1755.61/4 + 1274.49/4 - 305.52/32 = 8.062SS误差= SS组内- SS被试间= 8.894 - 8.062 = 0.832SS组间= Σ(T2/n i) - G2/N = 80.82/8 + 79.62/8 + 75.42/8 + 69.72/8 –305.52/32 = 816.08 + 792.02 + 710.645 + 607.261 –2916.57 = 9.436df总= N – 1 = 32 -1 = 31df组内= N –K = 32 - 4 = 28df组间= K – 1 = 4 – 1 = 3df被试= n – 1 = 8 – 1 = 7df误差= df组内–df被试= 28 –7 = 21MS误差= SS误差/ df误差= 0.832/21 = 0.040MS组间= SS组间/ df组间= 9.436/3 = 3.145F obs = MS组间/ MS误差= 3.145 / 0.040 = 78.63F0.01(3, 21) = 4.87F obs = 78.63 > F0.01(3, 21) = 4.87所以拒绝H0，至少有一组和其他不同事后检验：略协方差分析在某些实际问题中，有些因素在目前还不能控制或难以控制，如果直接进行方差分析，会因为混杂因素的影响而无法得出正确结论。
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• 5、主效应：实验中由一个因素的不 同水平引起的变异。
• 6、交互作用：当一个因素的水平在 另一个因素的不同水平上变化趋势 不一致时，称两个因素之间存在交 互作用。
• 7、处理效应：指实验的总变异中由 自变量引起的变异。如主效应、交 互作用。
• 8、误差变异：指总变异中不能由自变量或 明显的无关变量解释的那部分变异。包括 单元内误差和残差。
1、计算离差平方和：
1总平方和 :
SSt
X
2
X
N
2
2组间平方和 :
SSb
X
n
2
X
N
2
3组内平方和 :
SSw
X
2
X
n
2
（二）计算自由度
总自由度：dft=N-1 组间自由度： dfb=k-1 组内自由度： dfw=k（n-1) （三）计算均方
组间均方：MSb=MSA=SSb/dfb 组内均方：MSw=MSE=SSw/dfw （四）计算F值
一、几个基本术语
• 1、因素：指研究者在实验中感兴趣 的一个变量，研究者通过操纵、改 变它，来估价它对因变量的影响， 也叫自变量。
• 2、因素的水平：实验中所操纵的变 量的每个标定的值。这些值既可以 是数量的，如时间、年龄，也可以 是类别的，如职业、性别等。
• 3、因素设计：通常指多于一个因素的 实验设计。如一个含有两个因素，每个
F= MSb/ MSw
（五）查F值表进行检验并做出决断
假如拒绝虚无假设的p值定为0.05，如 果计算的值大于所确定的显著性水平 的临界值，表明F值出现的机率小于 0.05，就可拒绝虚无假设，可以说不 同组的平均数之间在统计上至少有一 对有显著差异。
如果计算的F值小于p为0.05的临界值， 就不能拒绝虚无假设，只能说不同组 的平均数之间没有显著差异。
①计算平方和
SSt= ∑∑X2_ (∑∑X)2/nk=555-481.67=73.33 SSb= ∑[(∑X)2/n]- (∑∑X)2/nk=43.33 SSw= ∑∑X2 _ (∑∑X)2/nk=30 ②计算自由度
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（二）方差的可分解性
方差分析依据的基本原理就是方差（或变 异）的可加性原则。确切地说，应该是 方差的可分解性。
作为一种统计方法，方差分析把实验数据 的总变异分解为基于个不同来源的分量。 不同来源的变异只有当它们可加时，才 能保证总变异分解的可能。
具体地讲，就是将总平方和分解为不同来 源的平方和。
（三）、方差分析的基本过程与步骤
积极反馈组 消极反馈组
X
X2
X
X2
8
64
5
25
7
49
6
36
9
81
7
49
10 100 4
16
6
36
3
9
∑ 40 330 25 135
（ ∑X）2 1600
625
控制组
X
X2
2
4
4
16
5
25
3
9
6
36
20 90
400
设虚无假设和备择假设分别如下: H0:μp=μn=μc H1: μp≠μn≠μc
∑∑X2=330+135+90=555 ∑∑X=40+25+20=85 (∑∑X)2/N=852/15=481.67 ∑[(∑X)2/n]=(1600+625+400)/5=525.00
Dft=N-1
SSt
检验结果中，若 F F0.05(dfb ,dfw )
,则
在F值右上方标一个*，
若 F F0.01(dfb ,dfw ) ，则标上两个*， 若 , F F0.001(dfb ,dfw ) 则在标上三个*。
例1 有人研究自尊与对个人表现的反馈类型 之间的关系。让15名被试参加一项知识测 验，每组各5名被试。在积极反馈组，不管 被试在测验中的实际表现如何，都告诉他 们水平很高。对消极反馈组的被试，告诉 他们表现很差。对控制组的被试，不管测 验分数如何，都不提供任何反馈信息。最 后让所有的被试都参加一个自尊测验，测 验总分为10分，得到的分数越高，表示自 尊心越强。实验结果如下表所示，试检验 不同反馈类型与自尊间的关系如何？
第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
因素各有两个水平的实验设计，称为 2*2两因素设计。
• 4、处理与处理水平的结合：指实验中 一个特定的、独特的实验条件。如一个 2*2因素设计中，有A、B两种因素，A 有A1与A2两种水平，B有B1与B2两种 水平，它们结合起来形成四种条件： A1B1、A1B2、A2B1、A2B2，那么， 这四种条件中，任意一种就是一种独特 的实验条件。
• 9、完全随机设计：用随机化的方法给处理 指派实验序号和实验对象的实验设计。
• 10、单因素完全随机化设计：在实验中仅 有一个实验因素，它分处于k个水平 （k≥2），用随机化的方法将N名被试分为 k组，每组nj人；每个实验组被除数随机指 派接受一种实验处理，这种实验设计叫单 因素完全随机化设计
二、单因素完全随机化设计的方差分 析步骤
之间的差异检验问题。此时，该实验研 究就是一个多组设计，需要检验的虚无 假设就是“任何一对平均数”之间是否 有显著性差异。
为此，设定虚无假设为样本所归 属的所有总体的平均数都相等， 一般把这一假设称为“综合的 虚无假设”。组间的虚无假设 相应地就称为”部分虚无假设”
检验综合虚无假设是方差分析的 主要任务。