统计学原理第七章方差分析
梁前德《统计学》(第二版)学习指导与习题训练答案：07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
旗开得胜1第七章 假设检验与方差分析 习题答案一、名词解释用规范性的语言解释统计学中的名词。
1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。
2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。
3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。
4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。
5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。
6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。
二、填空题根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。
1. u ，nx σμ0-，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞nz nz σσααY2. 参数检验，非参数检验3. 弃真，存伪4. 方差旗开得胜25. 卡方， F6. 方差分析7. t ，u8. nsx 0μ-，不拒绝9. 单侧，双侧10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r18. 正态，独立，方差齐三、单项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。
1．B 2．B 3. B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C四、多项选择从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。
1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD五、判断改错对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。
1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。
( ×)样本量一定时2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t检验均可使用，且两者检验结果一致。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它能够帮助我们确定多个样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之间是否存在差异。
例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。
这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作是测量误差或个体内部差异。
组间变异指的是不同组之间的差异，也可以理解为组与组之间的差别。
我们的目标是判断组间变异是否显著大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。
假设检验的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
4. 计算方差：通过计算组内变异和组间变异。
5. 计算F统计量：F统计量用于判断组间变异是否显著大于组内变异，可以通过计算组间均方与组内均方之比得到。
6. 判断：根据F统计量与给定显著性水平的临界值进行比较，如果F统计量大于临界值，则拒绝零假设，表示至少存在一个样本均值与其他不同。
7. 进行事后分析（post hoc analysis）：如果方差分析的结果是显著的，我们可以进行事后分析，以确定具体哪些组别之间存在差异。
方差分析的基本原理是什么
方差分析的基本原理是什么
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个不同组之间的平均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过对数据的方差进行分解，将总平方和分解为组内平方和和组间平方和，从而判断不同组之间的差异是否超过了由随机因素引起的差异。
具体步骤如下：
1. 假设组间和组内的观测值都来自于正态分布的总体，并且方差相等（方差齐性）。
2. 计算组内平方和（误差平方和），即每个组内观测值与该组的平均值之差的平方和。
3. 计算组间平方和（效应平方和），即每组平均值与总体均值之差的平方和乘以每组样本量。
4. 比较组间和组内的方差大小，通过计算F统计量来衡量两
者之间的差异。
5. 根据显著性水平（如α=0.05），比较计算得到的F值与临
界F值进行比较，判断差异是否显著。
6. 若差异显著，则可以得出结论：不同组之间的平均值存在显著差异。
方差分析能够帮助研究者确定实验结果的可靠性和效应的大小，以及不同因素对结果的影响程度。
它广泛应用于各个领域的实验设计和数据分析中。
统计学原理教案中的方差分析揭示学生如何使用方差分析来比较多个组之间的差异
统计学原理教案中的方差分析揭示学生如何使用方差分析来比较多个组之间的差异在统计学原理教案中，方差分析是一种重要的统计方法，用于比较多个组之间的差异。
它能够帮助学生有效地分析数据，并得出准确的结论。
本文将从方差分析的基本原理、应用步骤及实例等方面揭示学生如何运用方差分析来比较多个组之间的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析是一种通过比较组内和组间变异来推断组间差异是否显著的统计方法。
其基本原理是基于对总差异的分解，将总方差分解为组内方差和组间方差，通过计算组间方差和组内方差的比值F值，来判断组间差异是否显著。
二、方差分析的应用步骤1. 确定研究目的：首先需要明确研究目的，确定要比较的不同组别。
2. 收集数据：根据研究目的，收集各个组别的相关数据。
3. 建立假设：根据实际情况，建立相应的假设，如原假设（组间差异不显著）和备择假设（组间差异显著）。
4. 计算方差分析：通过计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据判断结果，给出相应的结论，并解释统计结果的实际意义。
三、方差分析的实例以某校学生英语成绩为例，我们希望比较三个班级之间的平均成绩是否存在差异。
我们先收集了三个班级的英语成绩数据，按照上述步骤进行方差分析。
1. 确定研究目的：比较三个班级之间的平均成绩差异。
2. 收集数据：收集了A班、B班和C班的英语成绩数据。
3. 建立假设：假设各班级之间的平均成绩没有显著差异（原假设），备择假设为各班级之间的平均成绩存在显著差异。
4. 计算方差分析：计算总平方和、组间平方和和组内平方和，得出F值。
5. 判断显著性：根据给定的显著性水平和自由度，查表比较计算得到的F值，判断组间差异是否显著。
6. 提出结论：根据统计结果，如果计算得到的F值大于临界值，即可推翻原假设，认为各班级之间的平均成绩存在显著差异；反之，我们无法推翻原假设，即认为各班级之间的平均成绩没有显著差异。
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学中的方差分析方差分解原理
统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组别之间的均值差异是否显著。
方差分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响力，同时也可以进行方差分解，从而解释观测数据中的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析基于总体均值模型，假设总体均值为μ，而其中的不同组别（A、B、C等）的均值分别为μA、μB、μC等。
我们的目标是确定组别之间的均值差异是否显著，即是否存在统计上的差异。
方差分析通过计算组内方差(SSE)和组间方差(SSA)来判断差异的显著性。
组内方差反映了组别内个体差异对总体差异的贡献，而组间方差则反映了不同组别均值之间的差异。
如果组间方差显著大于组内方差，则可以认为不同组别的均值差异是显著的。
二、方差分解原理方差分解是指将总体方差(总方差)分解为不同来源的方差组成部分。
在方差分析中，总方差可以分解为组内方差和组间方差，从而揭示组别之间的差异贡献。
1. 总方差总方差(SSTotal)表示了观测数据整体的离散程度。
它是每个观测数据与总体均值之差的平方和，即SSTotal = Σ(xi - X)^2，其中xi为第i个观测数据，X为总体均值。
2. 组内方差组内方差(SSE)表示了组别内个体之间的离散程度。
它是每个观测数据与所在组别均值之差的平方和的总和，即SSE = Σ(xi - X i)^2，其中xi为第i个观测数据，X i为第i个组别的均值。
3. 组间方差组间方差(SSA)表示了不同组别之间的离散程度。
它是每个组别均值与总体均值之差的平方和的总和，即SSA = Σ(ni * (X i - X)^2)，其中ni为第i个组别的样本量，X为总体均值，X i为第i个组别的均值。
通过对总方差的分解，我们可以得到方差分析的F值，用于判断组间方差是否显著大于组内方差。
如果F值大于临界值，即说明组别之间的均值差异是显著的。
三、方差分析的假设条件在进行方差分析时，需要满足以下假设条件，以保证结果的可靠性：1. 独立性：样本间相互独立，每个样本在分析过程中不会相互影响；2. 正态性：每个组别的样本符合正态分布；3. 方差齐次性：各组别的方差相等。
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。
其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。
在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。
它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。
在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。
通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。
如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。
F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。
下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。
一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。
接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
2. 双因素方差分析双因素方差分析是指有两个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说有两个因素对一个变量产生影响。
双因素方差分析通常用于研究两种或多种因素的交互效应。
例如，我们要研究不同机器和不同操作员对产品质量的影响，我们可以先在不同机器上制造同种产品，然后再让不同的操作员进行操作。
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注意：备择假设并不意味着所有的均值都不相等
2.构造并计算检验统计量
• 均值：各水平的均值、全部观察值的均值 • 组内误差平方和：SSE ( xij xi )2
i 1 j 1
K
k
ni
• 组间误差平方和：SSA ni
I 1
x x
i
• 总误差平方和： SST xij x
差
两个误差的比值
1. 若品牌对空调销售额没有影响，则组间误差中
2. 若品牌对空调销售额有影响，在组间误差中除 3. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水
平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变 量有影响。 了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这 时它们之间的比值就会大于1； 只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间 误差与组内误差的比值就会接近1；
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
双因素方差分析：
涉及两个分类型自变量对数值型因变量的影响
【例7-1】某市场调查公司为了研究品牌对空调销售额的影 响，对四个品牌空调的销售情况进行了调查，结果如下表。 试分析品牌对空调的销售额是否有显著影响。
不同品牌空调的销售额数据
品牌
万元 品牌D
288 290 280 270 280 281.6
观测值
3.观测值 每个水平下的样本数据称为观测值。
本例不品牌的销售额就是观测值 。
4.总体 因素的每一个水平可以看做是一个总体。
如品牌A、品牌B等。
5.样本数据 调查得到的数据可以看做从总体中抽取的样本 数据。
本例各品牌的销售额即为样本数据。
• 二、方差分析的基本思想和原理
【例7-1】某市场调查公司为了研究品牌对空调销售额的影 响，对四个品牌空调的销售情况进行了调查，结果如下表。 试分析品牌对空调的销售额是否有显著影响。
第七章 方差分析
主要内容
• • • • 一、方差分析及其有关术语 二、方差分析的基本思想和原理 三、单因素方差分析 四、双因素方差分析
• 第一节 方差分析的一般问题
一、 什么是方差分析
• 通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型 自变量对数值型因变量是否有显著的影响。 单因素方差分析：
只涉及一个分类型自变量对数值型因变量的影响
• • • •
要分析品牌对空调的销售额是否有显著差异，可以判断4 种品牌销售额的均值是否相等。 若它们的均值相等，就意味着不同品牌空调销售额无差 异，即“品牌”对“销售额”没有显著影响； 若均值不全相等，则意味着“品牌”对“销售额”有显 著影响。 但是这还不能提供充分的证据，因为平均销售额是根据 随机样本的数值计算的，均值的差异可能是由于抽样随 机性造成的。因此，需要有更准确的方法来检验这种差 异是否是显著，就需要进行方差分析。
关于误差
1. 组内误差（随机误差）
同一水平(总体)下样本各观察值之间的差异 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差
2. 组间误差（随机误差、系统误差）
不同水平(总体)下各观察值之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的 —— 随机 误差，也可能是由于品牌本身所造成的，称为系统误
第二节 单因素方差分析
要点： • 一、数据结构 • 二、分析步骤 • 三、关系强度 • 四、Excel的应用
因素(A) i
观察值 (j ) A1 A2 … Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
…
…
…
…
…
n
x1n
x2n
…
一、数据结构
观察值 ( j ) 水平A1 水平A2 … 水平Ak
1 2 : :
x11 x12
: :
x21 x22
: :
n
x1n
x2n
… … : : …
xk1 xk2
: :
xkn
二、分析的步骤
1.提出假设 2.构造并计算检验统计量 3.统计决策
1.提出假设
一般提法
H0: m1 = m2 =…= mk
自变量对因变量没有显著影响
H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等
从上表中可以看出，各品牌的平均销售 额不同，但这还不能提供充分的证据证 明品牌对销售额有显著的影响，因为这 种差异也可能是由于抽样的随机性所造 成的。 在判断均值之间是否有差异时需借助于 反映变异程度的指标 —— 方差，所以叫 方差分析。
这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的 分析，来判断不同总体的均值是否相等。因此， 进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。
方差分析的有关术语
1.因素或因子 所要检验的对象称为因素或因子。 上例中，要分析品牌对销售额是否有影响，“品牌” 是所要检验的对象——因素或因子。 2.水平或处理 因素的不同表现称为水平或处理。
品牌A 、品牌B 、品牌 C 、品牌D 是“品牌”这一因素的具 体表现，称为水平或处理。本例有四个水平。
不同品牌空调的销售额数据
品牌
万元 品牌D
288 290 280 270 280 281.6
观测值
1 2 3 4 5 6 平均
品牌A
365 340 350 343 323 400 353.5
品牌B
345 330 363 368 340 349.2
品牌C
358 300 323 353 300 326.8
1 2 3 4 5 6 平均
品牌A
365 340 350 343 323 400 353.5
品牌B
345 330 363 368 340 349.2
品牌C
358 300 323 353 300 326.8
• • • •
要分析品牌对空调的销售额是否有显著差异，可以判断4 种品牌销售额的均值是否相等。 若它们的均值相等，就意味着不同品牌空调销售额无差 异，即“品牌”对“销售额”没有显著影响； 若均值不全相等，则意味着“品牌”对“销售额”有显 著影响。 但是这还不能提供充分的证据，因为平均销售额是根据 随机样本的数值计算的，均值的差异可能是由于抽样随 机性造成的。因此，需要有更准确的方法来检验这种差 异是否是显著，就需要进行方差分析。