第七章 方差分析
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第七章方差分析与F检验
第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第七章方差分析(心理)
ΣX 217.40 216.20 213.20 214.40 nk=12
(ΣX)2 47262.76 46742.44 45454.24 45967.36 185426.80
1 2 3 4 n ΣX ΣX2 X
n
4 283.9 20151.51
4 290.50 21098.45
4 286.80 20564.90
SSB
n
n
SSW
2 X X 2
n
2
SST X
2
X
n
dfT dfB dfW
组间自由度
dfB k 1
组内自由度
dfW n k
dfT n 1
总自由度
计算方差 组间方差
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW
ij X t k n
X
n j 1 i 1
ij X j
n X
k j 1
j
Xt
2
令SSt X ij X t
j 1 i 1
2
总平方和,自由度为N 1,
k
SS b n X j X t
j 1 k n
k
2
n X j X t
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实 验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设 计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
随机区组设计中平方和的分解：
SST SSB SSR SSE
SST
2 X X 2
Fmax
第七章方差分析基础《卫生统计学》课件
方差分析简述方差分析也是统计检验的一种。
由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，也叫F检验。
190240290340分组正常钙组中剂量钙(1.0%)高剂量钙(1.5%)1X 2X 3X X(2) 计算检验统计量可根据表7-5的公式来计算出离均差平方和、自由度、均方和F值。
从已知正态总体N(10,52)进行随机抽样，共抽取了k=10组样本，每组样本的样本含量n i=20，可算出各组的均数和标准差，得表7-7的结果。
如果采用t检验作两两比较，其比较次数为(1)10(101)45 222k k km⎛⎫--====⎪⎝⎭从理论上讲10个样本均来自同一正态总体N(10,52)，应当无差异，但我们用两样本t检验时，已经规定犯第一类错误的概率不超过α=0.05，本次实验实际犯第一类错误的频率为5/45≈0.11，显然比所要控制的0.05要大。
因此不能直接用前面学过的两样本t检验对多样本均数作两两比较，而应采用专用的两两比较的方法。
(2) 计算检验统计量首先将三个样本均数由大到小排列，并编组次：, =11()2A B A B A B X X A BX X X X q S MS n n νν---==+误差误差(3) 确定值并作出推断结论自由度ν误差和对比组内包含组数a查附表4的q界值表得q界值，将算得的q值与相应q界值进行比较得各组的p值。
(3) 确定P值并作出推断结论自由度ν误差和实验组数 (不含对照组)查附表5.2的Dunnett –t(q， )界值表,得q，临界值，用计算得到的q，与临界值进行比较，得P值 。
(2) 计算检验统计量=11()A B A B A B X X A BX X X X t S MS n n νν---==+误差误差。
第七章 1单因素方差分析
j 1
s
s
因为
nj [ nj ( X j X )] nj ( X j X )
j1
j1
s nj
Xij nX 0
j1 i1
所以 SA 的自由度为s 1.
SA与SE独立 , H0为真时,
S
A 2
～
2
(
s
1).
四、假设检验问题的拒绝域
检验假设 H1 : 1 2 s 0,
H0 :
1,
2,
,
不全为零
s
.
构造检验统计量 因为H0为真时,
F SA (s 1) . SE (n s)
S
E2～
2
(n
s
),
S
A2～
2
(
s
1),
SA (s 1) SA 2
SE (n s) (s 1)
SE 2 ～F (s 1, n s).
j1 i1
s
nj
2 ( X j X )[ ( Xij X j )]
j 1
i 1
s
nj
2 ( X j X )[ Xij nj X j ]
j 1
i 1
0
于是ST可分解为 ST SE SA，
s nj
其中 SE
( Xij X j )2
X n11
A2
X12 X 22
X n2 2
T1
T2
X 1
X2
1
2
As
X1s
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
第七章 方差分析
第三节 平均数的多重比较
F检验是一种整体性检验，当经方差分析鉴别 多个正态总体的平均数有显著时，并不能说明 各组水平之间都存在显著差异，只是说至少有 一对差异显著，究竟哪些均数差异显著，哪些 差异不显著，则还需进行均数的多重比较。
一、图凯法
是一种能将所有各对平均值同时比较的方法。 设因素A分成两组，每组有相等的含量，并经
第二节 单因素方差分析
概念
观察的因素只有一个的实验叫单因素实验。对 此种实验结果进行方差分析的方法叫单因素方 差分析。
单因素方差分析所讨论的是k个总体标准差皆 相等的条件下，解决k个总体平均数是否相等 的问题。
一、计算步骤（见P140~142）
１、依据表中数据,计算各组内的 x,x2, xi,n ２、然后计算 x,x2,n, 并令
过方差分析判别各组之间存在显著性差异，为 了比较两者之间差异显著性，可按下式计算T
值： T QS x
其中Q值按预先确定的α水平，组数K和组内 自由度（N－k）查附表获得。
任何一对平均值之差，只要超过T值，就表明 这一对平均值之间的差别是显著的。
图凯法要求所有的样本含量都相等。
例题：P147~148 当各组被试不相等时，可采用S法检验进行两
X x, X 2 x2, N n
３、计算离差平方和：（总离差平方和、组间 离差平方和和组内离差平方和）
４、计算方差：（组间方差和组内方差） ５、计算F值
二、方差分析的计算
见课本P142~143
方差分析计算的两种情况：
当样本含量相等时：
当样本含量不等时： 例题7.2，P144~146
二、实验误差与条件误差
在方差分析的试验中，即使各水平的试验条件 完全相同，但由于随机抽样或试验过程中随机 因素的影响，其试验结果（指标）仍然会存在 偏差，我们称这种偏差为试验误差或随机误差。
第七章 方差分析
表示
调查分析师资格培训--天津商业大学
二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
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三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
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第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1
第七章 方差分析
第七章方差分析方差分析的主要目的是（B ）。
A．分解平方和 B．进行多个平均数的假设测验 C．分解自由度 D．进行F测验进行方差分析，第一步需要进行（C ）。
A．平方和分解 B．自由度分解 C．A＋B D．方差分解设有k组数据，每组皆有n个观察值，该资料共有nk个观察值，其总平方和可分解为（B ）。
A．组内平方和与误差平方和 B．组间平方和与误差平方和C．组间平方和与处理平方和 D．误差平方和F测验显著，说明处理间（C ）。
A．均显著 B．方差同质 C．存在显著差异 D．不显著在分解平方和的过程中，误差平方和一般（D ）。
A．通过合并组内平方和得到 B．通过合并组间平方和得到C．通过合并处理平方和得到 D．通过减法得到F测验的先决条件是（ D）。
A．变数y服从正态分布 B．样本方差来自不同总体C．两个样本方差彼此独立 D．A＋C多重比较是指（ B）。
A．多个方差之间互相比较 B．多个平均数之间互相比较C．多个处理之间互相比较 D．多个F值之间互相比较LSD实质上是（），用它进行多重比较，通常会增大犯（D）的概率。
A．t测验，II类错误 B．F测验，I类错误 C．u测验，I类错误D．t测验，I类错误自由度等于（A ）。
A．观察值个数减约束条件个数 B． n-1 C． n-2 D． n-k系统分组资料的方差分析可分解出（B ）。
A．系统误差 B．两个误差项 C．两个处理效应 D．互作项方差分析是一种 (C ) 的方法。
A．分解平方和 B． F 测验 C．多样本平均数测验 D．假设测验平方和与自由度的分解基于样本观察值的（A ）。
A．线性模型 B．大小 C．变异情况 D．数量在 A 、 B 两因素方差分析中如果处理的 F 测验不显著，有无必要筛选最佳组合（ A）。
A．无必要 B．有必要 C．视情况而定 D．不好确定如果样本平均数与其方差有比例关系，这种资料宜用（B ）。
A．对数转换 B．平方根转换 C．反正弦转换 D．用平均数代替观察值下表是 6 种溶液及对照的雌激素活度鉴定，指标是小鼠子宫重量。
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Oneway命令的基本格式如下：
oneway response_var factor_var [if] [in] [weight] [, options]
主要选项
描述
bonferroni scheffe sidak tabulate [no]means [no]standard [no]freq [no]obs noanova nolabel wrap missing
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第七章 方差分析
方差分析
方差分析是基于样本方差对总体均值进行 统计推断的方法，它是通过实验观察某一 种或多种因素的变化对实验结果是否带来 显著影响，进而鉴别各种因素的效应，从 而选取一种最优方案。
方差分析包括单因素方差分析、多因素方 差分析和协方差分析。
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单样本t检验有两种用法。一是检验样本平均数是否显著地不同于某个假设值。二是检 验同一套观察值中的两个变量的统计指标是否显著地不同。这等价于两者的差值的平 均数是否等于零。
在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式：
命令格式1（通过样本进行t检验）：
ttest varname == # [if] [in] [, level(#)]
命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）：
ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)]
其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值， level为置信度水平。
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2、两样本t检验的Stata操作
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【例7.2】使用文件“职工信息表.dta”的数据来对两独立样本ttest命令的应用进行说
明。表7-3给出了某厂职工的性别、年龄、职称及文化程度的信息。本例要求检验不同
性别的职工工资是否相同，使用的方法包括一般的t检验，消除同方差假定的t检验。
表7-3 某厂职工信息表
职工号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
性别 男职工 男职工 男职工 男职工 男职工 女职工 女职工 女职工 女职工 男职工 男职工 男职工 男职工 男职工 男职工 男职工
年龄 48 49 54 41 38 41 42 41 42 35 56 59 59 41 55 45
部分数据如下表7-2 所示：
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表7-2 减肥茶服用前后体重对比表
喝减肥茶前体 重（公斤）
90 95 82 91 100 87 91 90 86 87 98 88 82 87
喝减肥茶后体 重（公斤）
63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
文化程度 本科 专科 高中 高中 本科 高中 高中 高中 专科 本科 专科 专科 初中 本科 初中 初中
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17
男职工 51
18
男职工
43
19
女职工
50
20
男职工
35
21
男职工
37
22
男职工
37
23
男职工
39
24
女职工
49
25
女职工
53
26
女职工
50
27
男职工
36
28
男职工
42
29
男职工
33
30
女职工
44
887
助理工程师 初中
879
工程师
专科
867
助理工程师
初中
879
工程师
专科
879
工程师
专科
827
助理工程师
高中
847助Biblioteka 工程师初中887助理工程师
初中
867
助理工程师
高中
867
助理工程师
高中
830
助理工程师
专科
847
助理工程师
初中
827
助理工程师
高中
867
助理工程师
初中
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7.2 单因素方差分析
本节首先介绍单因素方差分析的原理，然后介绍实现单因素方差分析 的两个命令 oneway和 longway。
单因素方差分析用于比较多组样本的均数是否相同，并假定：每组的 数据服从正态分布，具有相同的方差，且相互独立。 单因素方差分析表
基本工资 1014 984 1044 866 848 824 824 824 859 827 1014 989 938 889 887 887
职称 高级工程师 工程师 高级工程师 助理工程师 助理工程师 无技术职称 无技术职称 无技术职称 工程师 助理工程师 高级工程师 工程师 助理工程师 工程师 助理工程师 助理工程师
两样本t检验的Stata操作有三种基本命令格式，如下所示： 命令格式1（通过样本进行双变量t检验）： ttest varname1 == varname2 [if] [in], [options] 命令格式2（通过样本进行分组t检验）： ttest varname [if] [in] , by(groupvar) [options] 命令格式3（通过样本的统计指标进行t检验）： ttesti #obs1 #mean1 #sd1 #obs2 #mean2 #sd2 [, options] 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验
数值，level为置信度水平。
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Ttest的主要选项如下表7-1所示：
主要选项 * by(groupvar) unequal welch level(#)
描述 通过定义组变量 非配对的数据含有不同变量 使用Welch近似 置信水平默认95%
【例7.1】使用文件“减肥.dta”的数据来对样本ttest命令的应用进 行说明。该例子是通过减肥茶前后的体重数据来评估减肥茶是否有效 果。本例要求用单样本t检验验证在服用减肥药之前，体重的均值是 否为90公斤。以及使用减肥药前后，体重是否有显著变化。
7.1 t检验的Stata基本命令
t检验是用于小样本（样本容量小于30）两个平均值差异程度的检验方法。它 是用t分布理论来推断差异发生的概率，从而判定两个平均数的差异是否显著。 t检验包括单样本t检验、两样本t检验，其中两样本t检验又包括配对样本t检 验和两独立样本t检验。
1、单样本t检验的Stata操作