江西省重点中学协作体2018届高三第二次联考数学(理)试题

江西省重点中学协作体2018届高三第二次联考数学(理)试卷满分:150 时间:120分钟 命题人：九江一中 黄俊华 邹平继 临川一中 ：艾菊梅第I 卷一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 若()10z i i ++=（i 为虚数单位），则复数z =（ B ） A. 1122i -+ B. 1122i -- C. 1122i + D. 1122i - 2．设集合{}123A =，，， {}2,34B =，， {|}M x x ab a A b B ==∈∈，，，则M 中的元素个数为（ C ）A. 5B. 6C. 7D. 83．已知命题:p 直线l 过不同两点()111,P x y 、()222,P x y ,命题:q 直线l 的方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --，则命题p 是命题q 的（ C ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分23只鹿，则公士所得鹿数为 （ C ） A.1只 B.43只 C. 13只 D. 53只5．函数()2ln f x x x =的减区间为（ D ） A. ()0,e B. ,e e ⎛⎫+∞⎪⎪⎝⎭ C. ,e e ⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 0,e e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭6．已知双曲线221mx y -=的焦距是虚轴长的3倍，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）4 4244424主视图 左视图俯视图A. 24y x =±B. 22y x =± C. 22y x =± D. 2y x =± 7.如图所示的程序框图,则满足2≤+y x 的输出有序实数对),(y x 的概率为（ D ） A ．161 B.323 C.41 D.218．已知关于x 的方程s i n ()s i n ()212x x m ππ-++=-在区间[)0,2π上有两个根12,x x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（ B ）A. (1,0]-B. 1[,1)2C. 1(0,]2D. [)0,1 9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和俯视图都 是直角梯形，左视图是正方形， 则该几何体最长的棱长 为 （ D ）A. 42B.213 B. 25 D. 610．已知一袋中有标有号码1、2、3的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取5次卡片时停止的概率为（ B ） A ．585 B ．1481C ．2281D ．2581 11． 已知向量a 、b 、c 为平面向量，||||21a b a b ==⋅=，且c 使得2c a -与c b -所成夹角为3π.则||c 的最大值为（ A ）A.31+B.3C.1D.71+12.已知函数2()ln (2)f x x ax a x =+++ （a R ∈），()2xx g x e =-，对任意的(]00,2x ∈，关于x 的方程()()0f x g x =在(]0,e 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围(其中 2.71828...e =为自然对数的底数)为 （ C ）A.232(2,)e e e e +--+ B.2(2,]2e e e --+ C.232(,]e e e e +--+ D. 2(,)2ee e --+第II 卷二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分． 13.多项式91(2)2x x-的展开式中常数项是 -672 ． 14. 若实数y x ,满足⎩⎨⎧≤+-≤012y x y ，则2-+=x yx z 的最小值为 -315． 设AB 是过抛物线22y px =焦点的弦，其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||F G A B λ=，则λ的值是1216.在ABC ∆中，点D 、E 在边BC 上，满足1BD DE EC ===.若15BAD ∠=，30DAE ∠=，则ABC ∆的面积为3(31)4+ 三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差10,0d a ≠=，其前n 项和为n S ，且22a +，3S ，4S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21(2n 2)2n n b n S ++=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：322n T n -<.解：（1）由10a =得()1n a n d =-， ()12n n n dS -=，因为2342,,a S S +成等比数列，所以()23242S a S =+，即()()2326d d d =+⋅，整理得23120d d -=，即240d d -=， 因为0d ≠，所以4d =，所以()()14144n a n d n n =-=-=-. （2）由（1）可得()121n S n n +=+，A DCB P所以22(22)4(1)21122()22(1)2(2)(2)2n n n b n n n n n n n n n ++===+=+-+++++，所以111111112(1)()()213242212n T n n n n n n =+-+-++-=++--+++， 所以322n T n -<. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2AB AC ==，22AD =，2PB =，PB AC ⊥.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）若45PBA ∠=︒，试判断棱PA 上是否存在与点,P A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69，若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为四边形ABCD 是平行四边形， 22AD =，所以22BC AD ==， 又2AB AC ==，所以222AB AC BC +=，所以AC AB ⊥， 又PB AC ⊥，且AB PB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ， 因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC .（2）由（1）知,AC AB AC ⊥⊥平面PAB ，分别以,AB AC 所在直线为x 轴、y 轴，平面PAB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -， 则()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,0,2,2,0A B C AC BC ==- 由45PBA ∠=︒，2PB =，可得(1,0,1)P ，所以(1,0,1),(1,0,1)AP BP ==-假设棱PA 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69， 设()01AEAPλλ=<<， 则(,0,)AE AP λλλ==，(,2,)CE AE AC λλ=-=-， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0{0n BC n BP ⋅=⋅=,即2200x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1z =，可得1x y ==， 所以平面PBC 的一个法向量为()1,1,1n =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则()()()2222sin cos<,32n CE λλθλλ>-+==⋅+-+ 22232694λλ-==⋅+， 解得12λ=或者74λ=（舍）.所以存在12AE AP =，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69.19. （本小题满分12分）为创建文明城市，我市从2017年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作.为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数2515020025022510050（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ， μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求(3679.50)P Z <≤；（2）在（1）的条件下,市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励: （ⅰ）得分不低于μ的可以获得2次抽奖机会，得分低于μ的可以获得1次抽奖机会； （ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为： 中奖的奖券面值（单元：元） 20 40 概率0.80.2现有市民甲要参加此次问卷调查，记X (单位：元)为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和,求X 的分布列与数学期望. 附：参考数据与公式21014.5≈，若()2,X N μσ~，则①()0.6827P X μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=. 解：（1）：350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.0565EZ =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故65μ=，21014.5=，∴(50.579.5)0.6287P Z <≤≈，(3694)0.9545P Z <≤≈.∴(3694)(50.579.5)(3650.5)0.13592P Z P Z P Z <≤-<≤<≤≈=综上， (3679.5)(3650.5)(50.579.5)P Z P Z P Z <≤=<≤+<≤0.13590.62870.8186≈+=.（2）易知()1()2P Z P Z μμ<=≥=获奖券面值X 的可能取值为20，40，60，80.()12024255P X ==⨯=；()1114421555402250P X ==⨯+⨯⨯=； ()44551411160225525P X ==⨯⨯+⨯⨯=；()11555011802P X ==⨯⨯=.X 的分布列为：X 20 40 60 80 P252150425150∴36EX =.20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b += (0)a b >>的离心率为32，短轴为MN .点(4,0)P 满足15PM PN ⋅=.（1） 求椭圆C 的方程；（2） 设O 为坐标原点，过点P 的动直线l 与椭圆交于点A 、B ，是否存在常数λ使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解：（1）2(4,)(4,)1615PM PN b b b ⋅=-⋅--=-=，所以1b =从而C 的方程为2214x y +=. （2）当l 不为x 轴时，设l ：4x my =+，11(,)A x y 、22(,)B x y .联立l 与C 的方程可得22(4)8120m y my +++=所以12281m y y m +=-+，112221+=m y y 12121212[(4)(4)]OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=++--+2212122(1220)12(1)(1)(1)4()16164m m y y m y y m λλλ-++=+++++=++ 因为OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值，所以122012(1)14λλ-+=解得239λ=.此时定值为803.当l 为x 轴时，(2,0)A -，(2,0)B .238041293OA OB PA PB λ⋅+⋅=-+⋅=. 综上，存在239λ=使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值80321. （本小题满分12分）已知()x f x e =，2g()2sin 1x x ax x x =+-+.（1） 证明：111xx e x+≤≤- ([0,1))x ∈； （2） 若[0,1)x ∈时，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.解析：（1）设()1x h x e x =--则()1x h x e '=-，故()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.从而()(0)0e 1x h x h x ≥=⇒≥+.而当[0,1)x ∈时，111xx ex e x-≥-⇒≤-. （2）设2()()()(2sin 1)xF x f x g x e x ax x x =-=-+-+，则(0)0F =，()(22cos 2sin )x F x e x a x x x '=-+--.要求()0F x ≥在[0,1)上恒成立必须有(0)0F '≥.即1a ≤.以下证明：当1a ≤时()()f x g x ≥.只要证212si n 1x x x x x +≥+-+，只要证2s i n x x ≥在[0,1)x ∈上恒成立.令()2sin x x x ϕ=-，则()2c o s 10x x ϕ'=->对[0,1)x ∈恒成立，又(0)0ϕ=，所以2sin x x ≥.从而不等式得证.选做题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号）22. （本小题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,x t y m t=⎧⎨=-⎩（t 为参数，m R ∈）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22312sin ρθ=+（0,[0,]ρθπ>∈）. （1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程.（2）若P 、Q 分别为1C 、2C 上的动点，且P 、Q 间距离的最小值为22，求实数m 的值.解：（1）1:0C x y m +-=，222:1(0)3x C y y +=≥. （2）设(3co s ,s i n )Q αα，[0,]απ∈，则Q 到1C 的距离|3c o s si n m |2d αα+-=|2s i n ()m |32πα+-=，4[,]333πππα+∈.由P 、Q 间距离的最小值为22知当0m >时，|2|4m -=得6m =；当0m <时，|3|4m --=，得43m =--.综上：43m =--或者6m =.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈.(Ⅰ)若不等式()12f x x +-≥对R x ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当2a <时，函数()f x 的最小值为1a -,求实数a 的值. 解：(Ⅰ) ()12f x x +-≥可化为112ax x -+-≥． 1122a ax x -+-≥- ∴ 11,2a -≥解得： 0a ≤或4a ≥． ∴实数a 的取值范围为][(),04,.-∞⋃+∞ （Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a和1，当2a <时知12a< 所以31,2()1,1231,1a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩由图像可知()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，()min 11,22a a f x f a ⎛⎫∴==-+=- ⎪⎝⎭解得： 4 2.3a =< 4.3a ∴=。