2016届中考总复习数学专题习题课件专题七：几何综合问题

(2)类比探究 如图 2，若在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点 AC D，E 的运动速度之比是 3：1，求 HF 的值； (3)延伸拓展 BC 如图 3，若在△ABC 中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记AB＝m， AC 且点 D，E 运动速度相等，试用含 m 的代数式表示 HF .(直接写出结果， 不必写解答过程)
解：(1)作 ME⊥x 轴于点 E，则∠MEP＝∠POC＝90°，∵PM⊥CP，∴ ∠CPM＝90°，∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°，∴ ∠MPE＝∠PCO，又∵PM＝CP，∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME ＝PO＝t，∴OE＝4＋t，∴点 M 的坐标为(4＋t，t) (2)线段 MN 的长度不变， 理由： 由题意知 OA＝AB＝4， ∴点 B 坐标为(4， 4)，∴直线 OB 的解析式为 y＝x，∵MN∥OA，点 M 为(4＋t，t)，点 N 的坐标为(t，t)，∴MN＝|(4＋t)－t|＝4，即线段 MN 的长度不变 (3)由(1) 知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°，∴△DAP∽△POC，∴ t（4－t） AD AP AD 4－t ∵OP＝t， OC＝4， ∴AP＝4－t， ∴ t ＝ 4 ， ∴AD＝ ， OP ＝OC， 4 t（4－t） t2－4t＋16 ∴BD＝4－ ＝ ，∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥BD， 4 4 1 12 1 1 2 ∴四边形 BNDM 的面积 S＝2MN· BD＝2t －2t＋8＝2(t－2) ＋6，∵2＞0， ∴S 有最小值，当 t＝2 时，S 的值最小，∴当 t＝2 时，四边形 BNDM 的 面积最小
平面直角坐标系中的代数与几何的综合
【例2】(2015·衡阳)如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA
边上任意一点(与点O，A不重合)，连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点 D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND，BM，设 OP＝t. (1)求点M的坐标(用含t的代数式表示)； (2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由； (3)当t为何值时，四边形BNDM的面积最小？
解：(1)选择思路一：过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，∵△ABC 是等 边三角形，∴∠ADG＝∠B＝60°，∠A＝60°，∴△ADG 是等边三角形， ∴GD＝AD＝CE， ∵DH⊥AC， ∴GH＝AH， ∵DG∥BC， ∴∠GDF＝∠CEF， ∠DGF＝∠ECF，∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF， 即 HF＝AH＋CF 选择思路二：过点 E 作 EM⊥AC，交 AC 的延长线于点 M，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝∠ECM＝60°，∵DH⊥ AC，EM⊥AC，∴∠AHD＝∠CME＝90°，∵AD＝CE，∴△ADH≌△ CEM ， ∴ AH ＝ CM ， DH ＝ EM ， 又∵∠DHF ＝∠EMF ＝ 90 ° ， ∠ DFH ＝ ∠EFM， ∴△DFH≌△EFM，∴HF＝MF＝CM＋CF＝AH＋CF (2)过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，则∠ADG＝∠B＝90°，∵∠BAC＝∠ADH ＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°，∴AH＝GH＝GD，AD＝ 3GD，由 题意可知，AD＝ 3CE，∴GD＝CE，∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠ DGF＝∠ECF，∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋ AC AC m＋1 CF，即 HF＝AH＋CF，∴ HF ＝2 (3) HF ＝ m
分析：(1)作 ME⊥x 轴于 E，证明△MPE≌△PCO，得出 ME＝PO＝t，EP ＝OC＝4，求出 OE，即可得出点 M 的坐标； (2)先求出 OB 的解析式，由点 M 的坐标可得点 N 的纵坐标，可求点 N 的 横坐标，即可求出 MN 的长度； AD AP (3)先证明△DAP∽△POC，得出 OP ＝OC，求出 AD，BD，求出四边形 BNDM 的面积 S 是关于 t 的二次函数，即可得2015·湖州)已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动( 与A，B不重合)，点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动 (E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点． (1)初步尝试 如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相 等．求证：HF＝AH＋CF. 小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题： 思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝ CF，从而证得结论成立； 思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM＝AH， 再证HF＝MF，从而证得结论成立． 请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程；
专题七 几何综合问题
数学
几何型综合题是指以几何知识为主或以几何变换为主的一类综合题， 涉及知识主要包括几何的定义、公理、定理以及几何变换等内容．解 题策略：解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以 及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的 目的． 代数和几何型综合题是指以代数知识与几何知识综合运用为主，包括 坐标系中的图形变换等的一类综合题，涉及知识主要以函数与圆、方 程，函数与三角形、四边形等相关知识为主综合．解题策略：几何图 形形象直观，解题过程的可操作性强，因此数形结合思想是数学中重 要的思想方法．
分析：(1)由不同的思路证明相应的三角形全等即可； (2)类比(1)中的思路作出辅助线， 再证明相应的三角形全等即可得出结论； (3)过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，先证出 DG＝DH＝AH，再证明 GH BC GH △DGH∽△ABC，得出DG＝AB＝m，AH＝m，证明△DFG∽△EFC，得 GH＋GF AH＋FC AC－HF 1 GF DG DG BC 出 FC ＝ CE ＝AD＝AB＝m， ＝m， HF ＝ HF ＝m，即 AH＋FC 可得出结果．