2019—2020学年度高二上学期第一次月考数学(理科)试题
2019-2020学年陕西省咸阳实验中学高二(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年陕西省咸阳实验中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.数列√3，3，√15，√21，3√3，…，则9是这个数列的第()A. 12项B. 13项C. 14项D. 15项2.在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3=32，a11+a12+a13=118，则a4+a10=()A. 45B. 50C. 75D. 603.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于()A. −4B. −6C. −8D. −104.已知等比数列{a n}中，a2=12，a4=14，则a10=()A. 116B. √232C. 132D. 1645.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+⋯+log3a10=()A. 12B. 2+log35C. 8D. 106.等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列.若a1=1，则S4=()A. 15B. 7C. 8D. 167.等差数列18，15，12，…，的前n项和的最大值为()A. 60B. 63C. 66D. 698.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5<S6，S6=S7>S8，则下列结论错误的是()A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.如果将2，5，10依次加上同一个常数后组成一个等比数列，那么该等比数列的公比是()A. 12B. 32C. 43D. 5310.下列命题中正确的是()A. 若a，b，c是等差数列，则log2a，log2b，log2c是等比数列B. 若a，b，c是等比数列，则log2a，log2b，log2c是等差数列C. 若a，b，c是等差数列，则2a，2b，2c是等比数列D. 若a，b，c是等比数列，则2a，2b，2c是等差数列11.在数列{a n}中，a1=1，a n a n−1=a n−1+(−1)n(n≥2,∈N∗)，则a3a5的值是()A. 1516B. 158C. 34D. 3812.在圆x2+y2=5x内，过点(52,32)有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为a n，若公差d∈[16,13]，那么n的取值集合为()A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. {3,4,5}二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1=1，S6=4S3，则a4=______．14.等差数列{a n}中，a1=70，d=−9，则数列中绝对值最小的项是第______项．15.如果数列{a n}的前n项和S n=2a n−1，则此数列的通项公式a n=________．16.设数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，有下列三个命题：①若{a n}既是等差数列又是等比数列，则a n=a n+1；②若S n=a n(a为非零常数)，则{a n}是等比数列；③若S n=1−(−1)n，则{a n}是等比数列．其中真命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共74.0分）17.已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4−a3=2(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？18.记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求S n．19.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．20.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天还款一次，每次还款数额相同，20个月还清，月利率为1%，按复利计息．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，请问买这件家电实际付款多少元？每月还款多少元？(最后结果保留4个有效数字)参考数据：(1+1%)19=1.208，(1+1%)20=1.220，(1+1%)21=1.232．21.设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．(Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a nb n }的前n项和Sn．22.已知函数f(x)=3x2−2x，数列{a n}的前n项和为S n，点(n,S n)(n∈N∗)均在函数f(x)的图象上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=3a n a n+1，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n<m20对所有n∈N∗都成立的最小正整数m．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是数列的函数特性，数列的通项公式，其中根据已知归纳总结出数列的通项公式，是解答的关键．根据已知中数列的前若干项，我们可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案．【解答】解：数列√3，3，√15，√21，3√3，…，可化为：数列√3，√9，√15，√21，√27，…，则数列的通项公式为：a n=√6n−3，当a n=√6n−3=9时，6n−3=81，解得：n=14，故9是这个数列的第14项，故选C．2.【答案】B【解析】解：∵a1+a2+a3=3a2=32，a11+a12+a13=3a12=118，∴3(a2+a12)=150，即a2+a12=50，∴a4+a10=a2+a12=50．故选：B．根据等差数列的性质，结合已知，可得a2+a12=50，进而得到a4+a10的值．本题考查的知识点是等差数列的性质：若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q．3.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴(a1+4)2=a1(a1+6)，∴a1=−8，∴a2=−6．故选：B．利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2．本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.【答案】C【解析】解：q2=a4a2=12，∴a10=a4q6=14×18=132故选：C．先通过a2和a4求得q2，再根据a10=a4q6求得a10本题主要考查了等比数列的通项公式．属基础题．5.【答案】D【解析】解：根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋅…⋅a10)=log3(a5a6)5=log3310=10，故选：D．根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键．利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列．a 1=1， ∴4a 1+a 3=2×2a 2， 即4+q 2−4q =0， 即q 2−4q +4=0， (q −2)2=0， 解得q =2，∴a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8， ∴S 4=1+2+4+8=15． 故选：A ．7.【答案】B【解析】解：等差数列18，15，12，…，中， a 1=18，d =15−18=−3， S n =18n +n(n−1)2×(−3)=−32(n −132)2+5078，∴当n =6或n =7时，前n 项和取最大值为63． 故选：B ．利用等差数列性质求出a 1=18，d =−3，从而S n =18n +n(n−1)2×(−3)=−32(n −132)2+5078，由此能求出前n 项和的最大值．本题考查等差数列的前n 项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，∴a 6>0，a 7=0，a 8<0， 可得d <0.S 6和S 7均为S n 的最大值． S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5，S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3．S 9−S 5=9(a 1+4d)−5(a 1+2d)=4a 1+26d =4a 7+2d <0，∴S 9<S 5． 因此C 错误． 故选：C ．S 5<S 6，S 6=S 7>S 8，可得a 6>0，a 7=0，a 8<0，可得d <0.S 6和S 7均为S n 的最大值．作差S9−S5=4a7+2d<0，可得S9<S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：设所加的常数为m，则2+m，5+m，10+m成等比数列，∴(5+m)2=(2+m)(10+m)，解得m=52．∴该等比数列的公比是q=5+5 22+52=53．故选：D．设所加的常数为m，则2+m，5+m，10+m成等比数列，列方程求出m=52.由此能求出该等比数列的公比．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】C【解析】解：对于A，a=b=c=0，结论不成立；对于B，a=−1，b=1，c=−1，结论不成立；对于C，若a，b，c是等差数列，则2b=a+c，所以2a，2b，2c是等比数列，成立；对于D，a=−1，b=1，c=−1，则2a，2b，2c是等差数列不成立．故选：C．结论不成立，列举反例，C利用等差数列、等比数列的定义进行证明．本题考查等比关系的确定，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．11.【答案】C【解析】解：由已知得a2=1+(−1)2=2，∴a3⋅a2=a2+(−1)3，∴a3=12，∴12a 4=12+(−1)4，∴a 4=3， ∴3a 5=3+(−1)5，∴a 5=23， ∴a 3a 5=1223=34． 故选C ．由公式a 1=1，a n a n−1=a n−1+(−1)n (n ≥2,∈N ∗)，分别求出a 2，a 3，a 4，a 5，然后再求a 3a 5．本题考查递推公式的运用，解题时要按照递推思想一步一步地进行求解．12.【答案】A【解析】解：圆x 2+y 2=5x 的圆心为C(52,0)，半径为r =52 过点P(52,32)最短弦的弦长为a 1=2√r 2−|PC|2=4 过点P(52,32)最长弦长为圆的直径长a n =5， ∴4+(n −1)d =5， d =1n−1，∵d ∈[16,13]，∴16≤1n−1≤13， ∴4≤n ≤7． 故选：A ．先求出圆的圆心和半径，根据圆的几何性质计算出过点(52,32)的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n 项，再根据等差数列的公差d ∈[16,13]，求出n 的取值集合． 本题考察了圆的方程，圆的几何性质及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用圆的几何性质解决圆的弦长问题，提高解题速度．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查等比数列的求和问题．属于基础题．根据S6=4S3可求得q3，进而根据等比数列的通项公式，得到答案．【解答】解：设等比数列的公比为q，则由S6=4S3知q≠1，∴1−q61−q =4(1−q3)1−q，∴q3=3，∴a4=a1q3=3．故答案为：3．14.【答案】9【解析】解：根据题意，a n=70−9(n−1)=−9n+79，所以|a n|=|−9n+79|，显然数列中绝对值最小的项是第9项．故答案为：9．根据题意可得a n=70−9(n−1)=−9n+79，从而易知数列中绝对值最小的项．本题主要考查等差数列的通项公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．15.【答案】2n−1【解析】解：当n≥2时a n=S n−S n−1=(2a n−1)−(2a n−1−1)=2a n−2a n−1，整理得：a n=2a n−1，又∵当n=1时，S1=2a1−1，即a1=1，∴数列{a n}构成以1为首项、2为公比的等比数列，∴a n=1⋅2n−1=2n−1，故答案为：2n−1．利用a n与S n之间的关系、计算可知数列{a n}构成以1为首项、2为公比的等比数列，进而计算可得结论．本题考查数列的通项，利用a n与S n之间的关系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16.【答案】①③【解析】【分析】本题考查了等比数列的定义、等差数列的定义．属于基础题．①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则{a n }是非0常数列，可判断①正确；若S n =a n (a 为非零常数)，则满足等比数列的定义；②对；若S n =1−(−1)n ，则a 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2×(−1)n+1，所以{a n }是等比数列．【解答】解：①若{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n 为非0常数，所以a n =a n+1； ②n ≥2,a n =S n −S n−1=a n −a n−1=(a −1)·a n−1，a 1=S 1=a ，显然a =1时不满足要求，所以错误；③由S n =1−(−1)n ，可得a 1=2，n ≥2时，a n =S n −S n−1=2×(−1)n+1，可判断出结论正确．故填：①③．17.【答案】解：(I)设等差数列{a n }的公差为d ．∵a 4−a 3=2，所以d =2∵a 1+a 2=10，所以2a 1+d =10∴a 1=4，∴a n =4+2(n −1)=2n +2(n =1,2,…)(II)设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 2=a 3=8，b 3=a 7=16，∴{b 1q =8b 1q 2=16∴q =2，b 1=4∴b 6=4×26−1=128，而128=2n +2∴n =63∴b 6与数列{a n }中的第63项相等【解析】(I)由a 4−a 3=2，可求公差d ，然后由a 1+a 2=10，可求a 1，结合等差数列的通项公式可求(II)由b 2=a 3=8，b 3=a 7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求b 6，结合(I)可求本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．18.【答案】解：设等差数列{a n}的公差为d，由题意得{a22=2a1(a3+1)3a1+3×22d=12，解得{a1=1d=3或{a1=8d=−4，∴s n=12n(3n−1)或s n=2n(5−n)．【解析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22=2a1(a3+1)，结合s3=12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和s n．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．19.【答案】解：(1)等差数列{a n}的前n项和为S n，设公差为d，已知a1=10，a2为整数，且S n≤S4．则：d=a2−10，由于：S n≤S4，则：10n+n(n−1)2(a2−10)≤40+4⋅32(a2−10)，化简为：(n−4)(n+3)a2≤10(n+1)(n−4)，当n≤3时,a2≥10(1+n)n+3，当n=1时，a2≥5，当n=2时，a2≥6，当n=3时，a2≥203，当n=4时，0≤0，当n≥5时，a2≤10(n+1)n+3=10−20n+3，由于：−20n+3单调递增，所以：a2≤10⋅68=152，则：203≤a2≤152，由于：a2为整数，则：a 2=7，所以：d =−3，解得：a n =13−3n ．(2)由于：a n =13−3n ，所以：b n =1an a n+1=1(13−3n)(10−3n)=13(13n−13−13n−10)， 所以：T n =13(1−10−1−7+1−7−1−4+13n−13−13n−10)，=−13(110+13n−10)．【解析】(1)利用分类讨论法求出数列的通项公式．(2)利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．20.【答案】解：购买当天先付150元后，所欠款数为1150−150=1000(元)， 用20个月还清，月利率为1%，按复利计息，分期付款的总款数为：50×(1+1%)+50×(1+1%)2+⋯+50×(1+1%)20=50.5×[1−(1+1%)20]1−(1+1%)=50.5×1−1.220−0.01=50.5×22.0=1111(元)，每次还款数额相同，为1111÷20=55.55(元)；所以，买这件家电实际付款为：1111+150=1261(元)；故答案为：每次还款55.55元，实际付款1261元．【解析】购买当天先付款后，所欠款数可求，用20个月还清，月利率为1%，按复利计息，分期付款的总款数，是等比数列的前20项和，求出可得买这件家电实际付款数，以及每个月应还款数．本题考查了等比数列前n 项和的应用题，解题时应弄清题意，明确题目中的数量关系，仔细解答，以免出错．21.【答案】解：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q >0且{1+2d +q 4=211+4d +q 2=13解得d =2，q =2．所以a n =1+(n −1)d =2n −1，b n =q n−1=2n−1．(Ⅱ)a n b n =2n−12n−1， S n =1+321+522+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，① 12S n =12+322+523+⋯+2n−32n−1+2n−12n ，②①−②得12S n =1+2(12+122+⋯+12n−1)−2n−12n ， 则S n =2+2+22+222+⋯+22n−2−2n−12n−1=2+2×(1+12+122+⋯+12n−2)−2n−12n−1=2+2×1−12n−11−12−2n−12n−1=6−2n+32n−1．【解析】(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．(Ⅱ)数列{an b n }的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ． 本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．22.【答案】解：(1)∵f(x)=3x 2−2x ，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n )(n ∈N ∗)均在函数y =f(x)的图象上，∴S n =3n 2−2n ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n 2−2n)−[3(n −1)2−2(n −1)]=6n −5， 当n =1时，a 1=S 1=3−2=1，满足上式，∴a n =6n −5，n ∈N ∗．(2)由(1)得b n =3a n a n+1=3(6n−5)(6n+1)=12(16n−5−16n+1)， ∴T n =12(1−17+17−113+113−119+⋯+16n −5−16n +1) =12−12(6n+1)<12，∴使得T n <m 20对所有n ∈N ∗都成立的最小正整数m 必须且仅须满足12≤m 20， 即m ≥10，∴满足要求的最小整数m =10．【解析】(1)由已知条件推导出S n =3n 2−2n ，由此能求出a n =6n −5，n ∈N ∗．(2)由b n =3an a n+1=3(6n−5)(6n+1)=12(16n−5−16n+1)，利用裂项求和法求出T n =12−12(6n+1)<12，由此能求出满足要求的最小整数m =10．本题考查数列的前n项和的求法，考查满足要求的最小整数n的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．。
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题(含答案解析)
2019-2020学年河南省郑州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）A ．B ．2C ．3D ．【答案】A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【详解】 在中，由正弦定理得，所以，故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。
2．在数列{}n a 中，已知31a =，53a =，79a =则{}n a 一定（ ） A ．是等差数列 B ．是等比数列C ．不是等差数列D ．不是等比数列【答案】C【解析】依据等差、等比数列的定义或性质进行判断。
【详解】因为532a a -=，756a a -=，7553a a a a -≠-，所以{}n a 一定不是等差数列，故选C 。
【点睛】本题主要考查等差、等比数列定义以及性质的应用。
3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列结论不正确的是（ ） A ．2222cos a b c bc A =+- B ．sin sin a B b A = C ．cos cos a b C c B =+ D ．cos cos sinC a B b A +=【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】选项A,是余弦定理，所以该选项正确； 选项B,实际上是正弦定理sin sin a b A B=的变形，所以该选项是正确的； 选项C,由于sin sin(),sin sin cos cos sin ,cos cos A B C A B C B C a b C c B =+∴=+∴=+,所以该选项正确；选项D,cos cos 2(sin cos sin cos )2sin()2sin a B b A R A B B A R A B R C +=+=+=,不一定等于sinC,所以该选项是错误的. 故选D 【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理实行边角互化，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 4．在等差数列中，若.，则（ ）A ．100B ．90C ．95D ．20【答案】B【解析】利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.【详解】 数列为等差数列，，.【点睛】考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题.5．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =,3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200C ．150或-200D ．-50或400【答案】A【解析】根据等比数列的前n 项和公式化简S 10＝10，S 30＝70，分别求得关于q 的两个关系式，可求得公比q 的10次方的值，再利用前n 项和公式计算S 40即可． 【详解】因为{a n }是等比数列，所以有1010(1)101a q S q -==-，3030(1)701a q S q-==-二式相除得，3010171q q-=-，整理得102017q q ++= 解得102q=或103q =-（舍）所以有40401010(1)1(1)1a q S qa q S q--=--=401011q q -- =4121512-=- 所以401015S S ==150．答案选A ． 【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n 项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养． 6．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30︒的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】 由正弦定理可知sin sin sin A B C a b c ==，又sin cos cos A B Ca b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==. 所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.7．设ABC ∆的内角A B C 、、所对边分别为130a b c a b A ︒===，，，，．则该三角形（ ） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定【答案】C【解析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角B ，从而判断出该三角形解的个数． 【详解】由正弦定理得sin sin a b A B =，所以，sin sin b A B a ==，b a ∴>，B A ∴>， 60B ∴=o 或120o ，因此，该三角形有两解，故选C.【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在ABC ∆中，给定a 、b 、A ，该三角形解的个数判断如下： （1）A 为直角或钝角，a b >，一解；a b ≤，无解；（2）A 为锐角，sin a b A =或a b ≥，一解；sin b A a b <<，两解；sin a b A <，无解.8．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞ B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化简解出即可得出． 【详解】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+1a n +＞n+an，化为：a ＜n 2+n ． ∴a ＜2． 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B =，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =Q，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >Q，sin 0B B ∴-=，tan B ∴=，则3B π=.a Q 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．已知在数列{}n a 中，156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则n a =（ ）A ．3223n n- B ．2332n n- C ．1223n n- D ．2132n n- 【答案】A【解析】递推关系式乘以12n +，再减去3，构造等比数列求通项公式. 【详解】因为156a =，111132n n n a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1122213n n n n a a ++⋅=⋅+，整理得()11223233n n n n a a ++⋅-=⋅-，所以数列{}23nn a -是以14233a -=-为首项，23为公比的等比数列.所以1422333n nn a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3223n nn a =-. 故选：A. 【点睛】本题考查构造数列求通项公式.一般地，譬如11n n n a pa q ++=+的形式，通常通过除以1n q +来进行构造；而对于形如1n n a pa q +=+的形式，则通过待定系数来构造.11．已知在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c 且BC 边上的高为2a ,则c bb c+的最大值为( ) A． BC ．2D ．4【答案】A【解析】先由题得到22sin a bc A =，再化简22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求函数的最大值.【详解】 由题意可知，11sin 222a a bc A ⨯⋅=，得22sin a bc A =，所以22222cos 2cos c b c b a bc A a A b c bc bc bc+++===+=2sin 2cos 4A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由BC 边上的高为2a 可得02A π<<，故当4A π=时c bb c+的最大值为故答案为A 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12．设正项数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，(例如[]1.61=，[]1.62-=-)则222122019232020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【答案】C【解析】分解因式，累乘法求得通项公式，根据题意，再进行求解. 【详解】数列{}n a 满足12a =，()2211220n n n n na a a n a ++--+=，整理得()()1120n n n n na n a a a ++-++=⎡⎤⎣⎦， 由于数列为正项数列，所以()12n n na n a +=+，整理得12n n a n a n++=， 故111n n a n a n -+=-，122n n a n a n --=⋯-，4242a a =，2131a a =， 各式相乘得到()1112n n n a a ⨯+=⨯，又12a =，所以()1na n n =+.则()21111nn n a n n++==+， ①当1n =时，11n=，212112a =+=； ②当1n >时，()10,1n∈，则 ()211n n n a n ⎡⎤++⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=11n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=1. 所以222122019232020220182020a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋯⋯+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：C. 【点睛】本题考查递推公式的整理化简、累乘法求通项公式，以及根据题意构造新数列的能力，本题中根据题意构造数列()21nn a +是问题的关键.本题属于数列综合题.二、填空题13．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，则A =________.【答案】3【解析】由n S ，可以求得数列的前三项，根据这三项构成等比数列，利用等比中项即可求参数. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和且13n n S A +=-，∴21139a S A A ==-=-，()()32213918a S S A A =-=---=， ()()433323354a S S A A =-=---=∵1a ，2a ，3a 成等比数列，∴2213a a a =，∴()2189454=-⨯，解得3A =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查等比数列前n 项和的性质；一般地，在等比数列中，1111n n n a aS q Aq A q q=-+=---. 14．已知锐角ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos b a a C -=，则2cos cos()A C A -的取值范围是__________.【答案】22⎛ ⎝⎭【解析】由正弦定理，条件等式转化角的关系，化简所求的式子，转化角A ，求出A 的范围，即可求得结论. 【详解】sin sin 2sin cos sin()sin B A A C C A A -=⇒-=，,0,,2222C A A C A A C A πππ-<-<<<∴-==Q ，22(,)6432C A A B A πππππ⎧=⎪⎪⇒∈⎨⎪=-⎪⎩＜＜，2cos cos()AC A -23cos ,22A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为:23,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理的应用，以及两角和差正弦公式的应用，属于中档题.15．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________． 【答案】15【解析】试题分析：因为1020T T =，所以所以{}n a 是正项递增等比数列,所以，所以最小.【考点】等比数列的性质.16．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦a ，b ，c 是ABC △的内角A ，B ，C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且2b ，1，2c 成等差数列，则ABC △面积S 的最大值为________. 5【解析】先根据正弦定理得c 2cos a B =,再根据余弦定理化简得 【详解】因为sin 2sin cos C A B =，所以c 2cos a B =,因此222c 2,2a c b a a b ac+-=⨯=,因为2b ，1，2c 成等差数列，所以2b +2c =2, 因此222222222222115416516524242165251625a c b c S a c c c c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---=--+⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦（），即ABC V 面积S 的最大值为5. 【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn S n =+-.【解析】（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差．（2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决． 【详解】（1）因为521,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =，所以()2141d d +=+，即22d d =， 因为0d ≠，所以2d =， 所以21n a n =-；（2）因为1212n n b n -=-+，所以()()01113521222n n S n -=+++⋯+-++++L ，()12112212nn n +--=+-， 221n n =+-.【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质．数列的前n 的求法，求数列前n 项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的三条对边分别为a ，b ，c ，，cos sin b C C a =. （1）求角B ；（2）点D 在边BC 上，4AB =，32CD =，3cos 5ADC ∠=.求AC . 【答案】（1）6π；（2）2 【解析】（1）利用正弦定理将边化角，结合()sin sinA B C =+进行化简即可；（2）利用（1）中结论，及已知条件，在ABD n 中用正弦定理求AD ，再在ADC n 中，用余弦定理求AC .【详解】（1）由cos 3sin b C b C a +=，利用正弦定理得:sin cos 3sin sin sin B C B C A +=，即sin cos 3sin sin sin cos cos sin B C B C B C B C +=+，得3sin sin cos sin B C B C =，又()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以3sin cos B B =，得3tan 3B =，又()0,B π∈， 所以6B π=. （2）根据题意，作图如下：由3cos 5ADC ∠=，()0,ADC π∠∈， 所以234sin 155ADC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭， 又因为180ADB ADC ︒∠=-∠，所以4sin sin 5ADB ADC ∠=∠=； 在ABD ∆中，由正弦定理得，sin sin AD AB B ADB =∠又4AB =，6B π=， 所以14sin 524sin 25AB B AD ADB ⨯⋅===∠； 在ACD ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠2253533222225⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=解得2AC =.【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角的能力，涉及()sin sinA B C =+，同时考查了利用正弦定理，余弦定理解求解三角形的能力.属解三角形综合基础题.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】(Ⅰ) 在BDC V 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案. (Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC V 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯， ∴43sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴43113536027)(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=⨯--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式.（2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+- 2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1212121n n n =-=++ 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题.21．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知cos (2)cos a B c b A =-．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）S =【解析】（Ⅰ）由正弦定理化简得到答案.（Ⅱ）1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，平方，代入公式利用余弦定理得到答案. 【详解】（Ⅰ）因为()acos 2cos B c b A =-，由正弦定理得()sin cos cos 2sin sin A B A C B =-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，所以()sin 2sinccos A B A +=， 因为()sin sin 0A B C +=≠，所以1cos 2A =， 又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）由M 是BC 中点，得1()2AM AB AC =+u u u u r u u u r u u u r ，即2221(2)4AM AB AC AB AC =++⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以2232c b bc ++=，①又根据余弦定理，有2222222cos 416a b c bc A b c bc =+-=+-==，② 联立①②，得8bc =．所以ABC ∆的面积1S bcsinA 2== 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，向量加减，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.22．数列{}n a 的前n 项和113n n S a =+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使n T m ≤成立的实数m 最小值. 【答案】（1）13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）221332nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，32. 【解析】（1）由已知可先求得首项1a ，然后由113n n S a =+，得11113n n S a ++=+，两式相减后可得数列的递推式，结合1a 得数列{}n a 是等比数列，从而易得通项公式； （2）对数列{}n b 可用错位相减法求其和．不等式n T m ≤恒成立，可转化为先求n T 的最大值．【详解】（1）由111113a S a ==+得132a =. 由113n n S a =+，可知11113n n S a ++=+， 可得111133n n n a a a ++=-，即12n n a a +=-. 因为10a ≠，所以0n a ≠，故112n n a a +=- 因此{}n a 是首项为32，公比为12-的等比数列， 故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭. 所以01213113213313122222222n n n T -⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ① 两边同乘以12-得 123131132133131222222222n n n T ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-++⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ② ①②相减得12311331313131311222222222222n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-+-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 从而133113312222122212n n n n T -⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-⋅- ⎪⎝⎭+ 于是221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当n 是奇数时，221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为221302n n n T T n ++⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭， 所以132n T T ≤=. 当n 是偶数时，2212()()3323n n T n =-+< 因此32n T ≤. 因为n T m ≤， 所以32m ≥，m 的最小值为32. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，前n 项和公式，考查错位相减法求和．适用错位相减法求和的数列一般是{}n n a b ，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．。
2019-2020学年贵州省贵阳一中高二(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年贵州省贵阳一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知下图的程序，如果程序执行后输出的结果是990，那么在UNTIL后面的“条件”应为()A. i>9B. i>=9C. i<=8D. i<82.执行图的程序框图，如果输入a=1，b=1，则输出的S=()A. 54B. 33C. 20D. 73.101(9)化为十进制数为()A. 9B. 11C. 82D. 1014.两个整数315和2016的最大公约数是()A. 38B. 57C. 63D. 835.读下面的程序：下面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A. 6B. 720C. 120D. 16.如图是一个程序框图，则输出k的值为()A. 6B. 7C. 8D. 97.下列抽样方法中是简单随机抽样的是()A. 在机器传送带上抽取30件产品作为样本B. 在无限多个个体中抽取50个个体作为样本C. 箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，每次任意地拿出一个零件进和质量检验，检验后不再把它放回箱子里，直到抽10个零件为止D. 从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本8.某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是()A. 23B. 09C. 02D. 169.一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为()A. 20B. 15C. 12D. 1010.200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,70)的汽车大约有()A. 60辆B. 80辆C. 70辆D. 140辆11.为了在程序运行后得到Y=16，应输入X的值是()A. 3或−3B. −5C. −5或5D. 5或−312.图是一个算法程序框图，若输入的x=3，则输出的y的值为()A. −2B. 6C. 0D. −1二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）13.已知下列程序INPUT xIF x<=−1THENy=−x−1ELSEIF x>1THENy=−x∧2+1ELSEy=x−1END IFEND IFPRINT“y=”；yEND如果输出的是y=0.75，则输入的x是________．14.把“五进制”数1234(5)转化为“四进制”数的末尾数是______ ．15.153与119的最大公约数为___；16.采用系统抽样方法，从123人中抽取一个容量为12的样本，则抽样距为______ ．17.运行程序框图，若输出的S的值为29−1，则判断框内的整数a为29______ ．三、解答题（本大题共5小题，共32.0分）18.用秦九韶算法计算f(x)=2x4+3x3+5x+4在x=2时的值．写出详细步骤．19.从两个班中各随机抽取10名学生，他们的数学成绩如下：甲班：76 74 82 96 64 76 78 72 54 68乙班：86 84 65 76 75 92 83 74 88 87画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况．20.甲，乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量的数据为：甲：99，100，98，100，100，103乙：99，100，102，99，100，100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．21.某校举办安全法规知识竞赛，从参赛的高一学生中抽出100人的成绩作为样本进行统计，并按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分组，得到成绩分布的频率分布直方图(如图)．(1)若规定60分以上(包括60分)为合格，计算高一年级这次知识竞赛的合格率；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩．22.为了了解某中学高二女生的身高情况，该校对高二女生的身高(单位：cm)进行了一次随机抽样测量，将所得数据整理后列出了如下频率分布表：(1)表中m,n,M,N所表示的数分别是多少？(2)绘制频率分布折线图.(3)估计该校高二女生身高小于162.5cm的人数占总人数的百分比．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵输出的结果是990，即S=1×11×10×9，需执行3次，即i小于等于8时，退出循环，∴程序中UNTIL后面的“条件”应为i≤8．故选：C先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×11×10×9=990得到程序中UNTIL后面的“条件”．本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤(自然语言)至程序框图，再到算法语言(程序)，如果将程序摆在我们的面前，要识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能，属于基础题．2.答案：C解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟执行程序框图的运行过程，写出每次运行后S的值，求出程序运行后输出的S值．【解答】解：执行如图所示的程序框图知，第一次运行后S=2，a=2，b=3，k=2；第二次运行后S=7，a=5，b=8，k=4；第三次运行后S=20，a=13，b=21，k=6；此时不满足k≤4，则输出的n=20．故选C．3.答案：C解析：解：由题意，101(9)=1×92+0×91+1×90=82，故选：C．利用累加权重法，即可将九进制数转化为十进制，从而得解．本题考查九进制与十进制之间的转化，熟练掌握九进制与十进制之间的转化法则是解题的关键，属于基本知识的考查．4.答案：C解析：解：∵2016=315×6+126，315=2×126+63，126=63×2+0∴两个数315和2016的最大公约数是63，故选C．用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，余数为0，从而可得两个数的最大公约数．利用辗转相除法的关键是用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．5.答案：B解析：【分析】按照程序的流程，写出前6次循环的结果，直到第六次，不满足循环的条件，执行输出．解决程序中的循环结构，一般先按照流程写出前几次循环的结果，找出循环遵循的规律．【解答】解：经过第一次循环得到S=1，I=2经过第二次循环得到S=2，I=3经过第三次循环得到S=6，I=4经过第四次循环得到S=24，I=5经过第五次循环得到S=120，I=6经过第六次循环得到S=720，I=7此时，不满足循环的条件，执行输出S故选B．6.答案：B解析：【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的k值．【解答】解：程序框图的执行过程如下：S=1，K=10;S=10，k=9；11S=9，k=8;11S=8，k=7;循环结束，11故选B．7.答案：C解析：【分析】本题考查简单随机抽样的判定，属于基础题目．根据简单随机抽样的概念进行判定即可．【解答】解：A不是，因为传送带上的产品数量不确定;B不是，因为个体的数量无限;C是，因为满足简单随机抽样的定义;D不是，因为它不是逐个抽取．故选C．8.答案：D解析：【分析】本题考查了简单随机抽样，属于基础题．【简单】解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于34的编号依次为21，32，09，16，其中第4个为16．故选D．9.答案：D解析：解：各层在样本和总体中的比例不变=10∴25×80200故选D根据在总体与样本中的比例相同的原理，比例乘以样本容量即得结果．本题主要考查分层抽样，要注意各层在样本和总体中的比例不变，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力，是基础题．根据频率分布直方图，可得时速在[50,70)的汽车的频率，结合样本容量为200，把频率看作概率即可估算出结果．【解答】解：由于时速在[50,70)的数据对应的矩形高之和为0.03+0.04=0.07，由于数据的组距为10，故时速在[50,70)的数据的频率为：0.07×10=0.7，故时速在[50,70)的数据的频数为：0.7×200=140．故选D．11.答案：C解析：解：本程序含义为：输入x如果x<0，执行：y=(x+1)2否则，执行：y=(x−1)2因为输出y=16由y=(x+1)2，可得，x=−5由y=(x−1)2可得，x=5故x=5或−5故选C．首先分析程序含义，判断执行过程，对于结果为y=16，所以根据程序，分别计算求出x的值即可．本题选择选择结构的程序语句，根据两个执行语句分别计算，属于基础题．本题是考查条件结构的一道好题．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查条件结构的程序框图．【解答】解：根据程序框图可知，其功能为计算分段函数y ={x +3,x <0,0,x =0,x −5,x >0的函数值，因为x =3，所以y =3−5=−2．故选A ．13.答案：−1.75解析：【分析】本题考查条件语句及分段函数，由程序求解即可．【解答】解：由程序可知本题为根据输入的x ，求函数y ={−x −1,x ≤−1,x −1,−1<x ≤1,−x 2+1,x >1的函数值，我们可以分段令y =0.75，并验证，可求得x =−1.75．故答案为−1.7514.答案：2解析：解：五进制”数为1234(5)转化为“十进制”数为1×53+2×52+3×51+4=194． 194÷4=48…2，48÷4=12…0，12÷4=3…0，3÷4=0…3，把余数从下往上排序：3002，即：(194)10=(3002)4．其末位数字是2．故答案为：2．首先把五进制数字转化成十进制数字，用所给的数字最后一个数乘以5的0次方，依次向前类推，相加得到十进制数字，再用这个数字除以4，倒序取余．本小题考查进位制之间的转化，本题涉及到三个进位制之间的转化，实际上不管是什么之间的转化，原理都是相同的，属于基础题．15.答案：17解析：【分析】本题考查更相减损术与辗转相除法求最大公约数，这是一个算法案例，这种题目出现的比较少，但是要掌握题目的解法．解法一、用更相减损术求153与119的最大公约数，先用大数减去小数，再用减数和差中较大的数字减去较小的数字，这样减下去，直到减数和差相同，得到最大公约数．解法二、用辗转相除法求153与119的最大公约数．【解答】解：法一、用更相减损术，153−119=34，119−34=85，85−34=51，51−34=17，34−17=17，所以153与119的最大公约数就是17．法二、用辗转相除法，153=119×1+34，119=34×3+17，34=17×2+0，所以153与119的最大公约数就是17．故答案为17．16.答案：10解析：解：根据系统抽样方法的定义，从123人中抽取一个容量为12的样本，∵不能整除，∴先利用随机抽样方法剔除3个个体，=10．再确定系统抽样的抽样间隔为12012故答案为：10．从123人中抽取一个容量为12的样本，不能整除，先利用随机抽样方法剔除3个个体，再确定抽样间隔．本题考查了系统抽样方法，当总体个数不能被样本容量整除时，要先剔除部分个体，再确定抽样间隔．17.答案：10解析：解：29−129=1−129， 由程序框图可知，输出结果是首项为12，公比为12的等比数列的前k 项和，若输出的S 的值为1−129，则判断框中的整数a 为10．故答案为：10．模拟程序的运行，可知输出结果是首项为12，公比为12的等比数列的前k 项和，由输出的S 的值为1−129，可求判断框中的整数a 的值．本题主要考查了算法和程序框图的应用，着重考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题． 18.答案：解∵f(x)=2x 4+3x 3+5x +4=(((2x +3)x +0)x +5)x +4，∴v 1=2×2+3=7，∴v 2=7×2+0=14，v 3=14×2+5=33，v 4=33×2+4=70，即f(2)=70．解析：利用秦九韶算法：f(x)=(((2x +3)x +0)x +5)x +4，将x =2代入计算，即可得x =2时的函数值．本题考查用秦九韶算法进行求多项式的值的运算，考查运算能力，是一个基础题．19.答案：解：两个班学生的数学成绩的茎叶图如下；甲班这10个同学数学成绩的中位数和平均数分别是75，74；乙班这10个同学数学成绩的中位数和平均数分别是83.5，81．甲班这10个同学数学成绩的方差：s 2=111.2，乙班这10个同学数学成绩的方差：s 2=61， ∴乙班同学的数学成绩更加稳定．解析：将数的十位作为一个主干(茎)，将个位数作为分枝(叶)，列在主干的左或右面，画出茎叶图；由茎叶图知，找出数据中最多的数据众数是出现次最多的数，把数据按照从小到大的顺序排列得到中位数；首先写出数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据代入计算表示出数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．本题考查读茎叶图，考查求一组数据的平均数，考查求一组数据的方差，本题是一个平均数和方差的实际应用问题．20.答案：解：(1)x 甲=99+100+98+100+100+1036=100， x 乙=99+100+102+99+100+1006=100， S 甲2=16[(99−100)2+(100−100)2+(98−100)2+(100−100)2+(100−100)2+(103−100)2]=73．S 乙2=16[(99−100)2+(100−100)2+(102−100)2+(99−100)2+(100−100)2+(100−100)2]=1．(2)因为两个机床产品的平均数相等，且S 甲2>S 乙2，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件的质量更稳定．解析：本题考查两组数据的平均数和方差，对于两组数据通常要求它们的平均数和方差，来比较两组数据的平均水平和波动大小，本题是一个基础题．(1)根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，结果两组数据的平均数相等，再利用方差公式求两组数据的方差，得到甲的方差大于乙的方差．(2)对于两组数据的平均数和方差进行比较，知道两组数据的平均数相等，甲的方差大于乙的方差，说明乙机床生产的零件质量比较稳定．21.答案：解：(1)60分以上(包括60分)的频率为0.02×10+0.03×10+0.02×10+0.01×10=0.8，所以高一年级这次知识竞赛的合格率为80%；(2)利用区间的中点值，计算样本的平均数为45×0.01×10+55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.02×10+95×0.01×10=72，据此，可以估计高一年级这次知识竞赛的学生的平均成绩为72分．解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目．(1)根据频率分布直方图计算60分以上(包括60分)的频率即可；(2)利用区间的中点值，计算样本的平均数即可．22.答案：略.解析：(1)由于频率和为1，所以N=1，所以n=1−(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04，M=1=50，m=50−(1+4+20+15+8)=2故有m=2，n=0.04，M=50，N=1．0.02(2)频率分布折线图如图：(3)估计该校髙二女生身高小于162.5cm的人数占总人数的百分比为(0.02％20+％200.08％20+％200.40)％20×％20100%％20％20=％2050%．。
高二数学第一次月考试题
高二数学第一次月考试题高二数学第一次月考试题第一部分：选择题（每小题5分，共计50分）1.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 4x + 1，则f(g(2))的值为（） A.-3 B. 3 C. 7 D. 112.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则方程f(x) = 0的根为（） A. 1和-3B. 3和-1C. 1和3D. -1和33.若两个正整数x和y满足x^2 - y^2 = 48，则x - y的值为（） A. 4 B.6 C. 8 D. 124.已知函数f(x) = 2x + 5，g(x) = 3x - 1，则f(g(x))的值为（） A. 6x+ 14 B. 6x - 4 C. 6x + 4 D. 6x - 145.若函数f(x) = x^2 + kx + 8与函数g(x) = 2x^2 - 3x - 4相等，则k的值为（） A. -4 B. -2 C. 2 D. 46.若两个正整数x和y满足x + y = 7，x - y = 3，则x的值为（） A. 5B. 4C. 3D. 27.已知函数f(x) = x^2 - 2x - 3，g(x) = x + 1，则f(g(2))的值为（） A.6 B. 3 C. 0 D. -38.若函数f(x) = x^2 - 5x + 6与函数g(x) = x - 2相等，则x的值为（）A. 6B. 4C. 2D. 19.若两个正整数x和y满足x^2 + y^2 = 34，x - y = 2，则x + y的值为（） A. 8 B. 9 C. 10 D. 1110.设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2 - 2x + 1，则f(g(1))的值为（） A.-1 B. 1 C. 3 D. 5第二部分：填空题（每小题5分，共计50分）1.函数f(x) = x^2 - 4x - 3的图像开口向上，顶点的坐标为（）。
洪山区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
洪山区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（）A．f（2）＞e2f（0），f B．f（2）＜e2f（0），fC．f（2）＞e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f （2015）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．3．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）4．常用以下方法求函数y=[f（x）]g（x）的导数：先两边同取以e为底的对数（e≈2.71828…，为自然对数的底数）得lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导，得•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]g（x）{g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．运用此方法可以求函数h（x）=x x（x＞0）的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是（）A．h（）B．h（）C．h（）D．h（）5．已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定6．设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（）A．1 B．2 C．3 D．47．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知x∈R，命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39． 下面的结构图，总经理的直接下属是（ ）A ．总工程师和专家办公室B ．开发部C ．总工程师、专家办公室和开发部D ．总工程师、专家办公室和所有七个部 10．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种11．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（ ） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<< D ．5x <-或05x <<12．若函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞0B ．﹣1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1二、填空题13．设MP 和OM 分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP ＜OM ＜0；②OM ＜0＜MP ；③OM ＜MP ＜0；④MP ＜0＜OM ， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．14．若函数63e ()()32ex x bf x x a =-∈R 为奇函数，则ab =___________． 【命题意图】本题考查函数的奇偶性，意在考查方程思想与计算能力．15．长方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则222sin sin sin αβγ++= ．16．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线xC y e ：＝上一点，直线20l x y c ：＋＋＝经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为________．17．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是．三、解答题19．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？20．已知z是复数，若z+2i为实数（i为虚数单位），且z﹣4为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx（a＞1）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若a=2，数列{a n}满足a n+1=f（a n）．（1）若首项a 1=10，证明数列{a n }为递增数列；（2）若首项为正整数，且数列{a n }为递增数列，求首项a 1的最小值．22．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？23．（本小题满分12分）已知1()2ln ()f x x a x a R x=--∈． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()2ln g x f x x a x =-+，且()g x 有两个极值点，其中1[0,1]x ∈，求12()()g x g x -的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．246（2）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；（3）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．洪山区高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵F（x）=，∴函数的导数F′（x）==，∵f′（x）＜f（x），∴F′（x）＜0，即函数F（x）是减函数，则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜e2f（0），f，故选：B2．【答案】B【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，即f（2015）=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f （3×672﹣1）=f（﹣1）．3．【答案】C【解析】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．4．【答案】B【解析】解：（h（x））′=x x[x′lnx+x（lnx）′]=x x（lnx+1），令h（x）′＞0，解得：x＞，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（）最小，故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，极值的求法，基本知识的考查．5．【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02 ＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．【点评】本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．6．【答案】A【解析】解：方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，作函数y=|x2+3x﹣3|与y=a的图象如下，，结合图象可知，m的可能值有2，3，4；故选A．7．【答案】A【解析】解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键．8．【答案】C【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；综上，以上3个命题中真命题的个数是2．故选：C9．【答案】C【解析】解：按照结构图的表示一目了然， 就是总工程师、专家办公室和开发部． 读结构图的顺序是按照从上到下，从左到右的顺序．故选C ．【点评】本题是一个已知结构图，通过解读各部分从而得到系统具有的功能，在解读时，要从大的部分读起，一般而言，是从左到右，从上到下的过程解读．10．【答案】A【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种． 故选：A ．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题11．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 12．【答案】A【解析】解：∵函数f （x ）=﹣a （x ﹣x 3）的递减区间为（，）∴f ′（x ）≤0，x ∈（，）恒成立即：﹣a （1﹣3x 2）≤0，，x ∈（，）恒成立∵1﹣3x 2≥0成立∴a ＞0 故选A【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．二、填空题13．【答案】②【解析】解：由MP ，OM分别为角的正弦线、余弦线，如图，∵，∴OM ＜0＜MP ． 故答案为：②．【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．14．【答案】2016【解析】因为函数()f x 为奇函数且x ∈R ，则由(0)0f =，得0063e 032e ba -=，整理，得2016ab =． 15．【答案】 【解析】试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：2222221111222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++2221212()2AB AD AA AC ++==.考点：直线与直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．16．【答案】－4－ln2【解析】点睛：曲线的切线问题就是考察导数应用，导数的含义就是该点切线的斜率，利用这个我们可以求出点的坐标，再根据点在线上（或点在曲线上），就可以求出对应的参数值。
2019-2020年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则等于（）A．B．C．D．2.不等式的解集是（）A．B．C．D．3. 与的等比中项是（）A．1 B．-1 C．D．4.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：（）根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为6．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为：（）A．66.8万元B．67.6万元C．66.4万元D．66.2万元5.已知是空间中两不同直线，是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A．若直线，则B．若平面，则C．若，则D．若平面，，则6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99．依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码是个位数字与的个位数字相同，若，则在第七组中抽取的号码是（）A．66 B．65 C．64 D．637.设是定义在上的偶函数，则的解集为（）A．B．C．D．8.已知，且，则下列不等式不正确的是（）A．B．C．D．9.函数的大致图象是（）A．B．C．D．10.如图是计算的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．11.若正数满足，则的最小值是（）A．24 B．25 C．28 D．3012.三棱锥三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．B．C．D．13. ，点在内，且，设，则等于（）A．B．C．D．314.已知不等式组表示的平面区域内为，点．若点是上的动点，则的最小值是（）A．B．C．D．15.已知为锐角，且，函数，数列的首项，则有（）A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.已知直线()12:20,:210l ax y a l a x ay a -+=-++=互相垂直，则的值是___________．17.在中，若，则的值等于___________．18.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为___________．19.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是_________．20.设变量满足约束条件且目标函数的最大值是4，则等于________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，且成等差数列．（1）若，求的面积；（2）若成等比数列，试判断的形状．22.（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列的前项和．（1）求证：数列是等差数列；（2）若数列的前项和为，求．23. （本小题满分12分）在如图所示的四棱锥，四边形为正方形，平面，且分别为的中点，．（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．24. （本小题满分12分）已知不等式的解集为．（1）求集合；（2）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．25．（本小题满分12分）已知圆和圆．（1）判断圆和圆的位置关系；（2）过圆的圆心作圆的切线，求切线的方程；（结果必须写成一般式）；（3）过圆的圆心作动直线交圆于两点．试问：在以为直径的所有圆中，是否存在这样的圆，使得圆经过点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．26．（本小题满分12分）已知函数（为常数）为上的奇函数．（1）求实数的值；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）令，若关于的方程有唯一实数解，求实数的取值范围．参考答案A 卷： 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6. A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12. B 13.B 14.C 15.AB 卷：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.B 15.C16. 0或1 17. 18． 19． 20．21．解：∵成等差数列，可得．∴结合，可得．（1）∵，∴由正弦定理，得．∵，可得，∴为锐角，得，从而．因此，的面积为．（2）∵成等比数列，即，∴由正弦定理，得，又∵根据余弦定理，得，∴，整理得，可得，∵，∴，可得为等边三角形．当时，，∴，又，∴，所以，数列是以3为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）知，，∴，设；∵，∴∴， ∴12311111111223111n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．证明：（1）连结，分别交于点，连结，∵为中点，为中点，∴，又，∴为中点，又，∴为的中点，∴，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）解：∵平面，∴，又，∴平面，由图可知，二面角为钝角，∴二面角的余弦值 为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．解：（1）()()222102210x x x x x <-⎧++-<⇒⎨-+--<⎩或或，∴ （2）∵，∴，∵()1444919363793723625x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+≤-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴，由题可得，，∴．25．解：（1）因为圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以圆和圆的圆心距，所以圆与圆相离，（2）设切线的方程为：，即，所以到的距离，解得，所以切线的方程为或，（3）①当直线的斜率不存在时，直线经过圆的圆心，此时直线与圆的交点为，即为圆的直径，而点在圆上，即圆也是满足题意的圆②当直线的斜率存在时，设直线，由，消去整理，得，由，得或，设，则有，①由①得()()()22121212122164444161k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，② ()121212284481y y kx kx k x x k+=+++=++=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③ 若存在以为直径的圆经过点，则，所以，因此，即，则，所以，满足题意， 此时以为直径的圆的方程为()()22121212120x y x x x y y y x x y y +-+-+++=， 即，亦即，综上，在以为直径的所有圆中，存在圆或，使得圆经过点．26．解：（1）由题意知，即，所以，此时，而，所以为奇函数，故为所求；（2）由（1）知，因为，所以，故恒成立等价于恒成立，因为，所以只需，即可使原不等式恒成立，故的取值范围是．（3）由题意，化简得，方程，即有唯一实数解，令，则，即等价为有一个正根或两个相等正根，设，则满足或由，得，即，当时，，满足题意由得，综上，的取值范围为或． .。
义马市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学
义马市高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 是z 的共轭复数，若z+=2，（z ﹣）i=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1+i B ．﹣1﹣i C ．﹣1+iD ．1﹣i2． 双曲线上一点P 到左焦点的距离为5，则点P 到右焦点的距离为（ ） A ．13B ．15C ．12D ．113． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）A ．{， }B ．{，， }C ．{V|≤V ≤}D ．{V|0＜V ≤}4． 已知定义在R 上的可导函数y=f （x ）是偶函数，且满足xf ′（x ）＜0， =0，则满足的x 的范围为（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．（，1）∪（1，2）C ．（，1）∪（2，+∞）D ．（0，）∪（2，+∞）5． 函数()log 1xa f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．()1,10B ．()1,+∞C ．()0,1D ．()10,+∞ 6． 集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个 7． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）A ．7B ．15C ．31D ．639． 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，]C ．（0，）D ．[，1）10．已知命题p ：2≤2，命题q ：∃x 0∈R ，使得x 02+2x 0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A ．￢p B ．￢p ∨q C ．p ∧q D ．p ∨q11．已知双曲线的渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．（，+∞） B ．（1，） C ．（2．+∞） D ．（1，2）12．函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）=x+1，则函数f （x ）在（1，2）上的解析式为（ ）A ．f （x ）=3﹣xB ．f （x ）=x ﹣3C ．f （x ）=1﹣xD ．f （x ）=x+1二、填空题13．函数y=a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点 （填点的坐标）14．已知函数为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．15．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ．16．在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且B c C b a sin cos +=，则角B 为 .17．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB的距离是 ．18．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =，则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．三、解答题19．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名2295%的把握认为“歌迷”与性别有关？“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌”213.841 6.635附：K 2=．20．解不等式|3x ﹣1|＜x+2．21．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10，a 2为整数，且S n ≤S 4。
2019-2020学年贵州省贵阳一中高二上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年贵州省贵阳一中高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合(){}lg 10A x x =+≤，{}1B x x =<，则()UA B =（ ）A ．(],0-∞B ．()0,∞+C ．(]()10,-∞-+∞,D ．(]1,0-【答案】C【解析】求出{}|10A x x =-<≤，然后可得{}|10A B x x ⋂=-<≤，然后可得答案. 【详解】全集U =R ，集合(){}{}|lg 10|10,{|1}A x x x x B x x =+≤=-<≤=<, 所以{}|10A B x x ⋂=-<≤. 所以(){|1UA B x x ⋂=≤-或0}x >.故选：C 【点睛】本题主要考查的是集合的运算，较简单.2．用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是( )． A ．7 B ．8C ．9D ．6【答案】B【解析】根据辗转相除法计算最大公约数. 【详解】因为26456440,564016,401628,1682=⨯+=+=⨯+=⨯ 所以最大公约数是8，选B. 【点睛】本题考查辗转相除法，考查基本求解能力.3．某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 815 人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为6163D ．都相等，且为127【答案】C【解析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项. 【详解】抽样要保证机会均等，故从815名学生中抽取30名，概率为306815163=，故选C. 【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.4．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x y +的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【解析】观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出x y 、，相加即可. 【详解】因为甲组数据的中位数为17，所以7x =， 因为乙组数据的平均数为17.4，所以91616(10)2917.45y +++++=，解得7y =，所以14x y +=. 故选：C 【点睛】本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题. 5．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．283π-B ．483π-C ．8π-D ．1689π-【答案】B【解析】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心． 【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为：3414828.383ππ-⨯⨯=- 故答案为B. 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6．在k 进制中，十进制数119记为()315k ，则k 等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】根据k 进制化为十进制的计算公式进行求解. 【详解】235119k k ++=，即231140k k +-=，解得6k =或193k =-（舍去）. 故选：C 【点睛】本题考查进位制的算法，属于基础题.7．已知向量(sin ,2),(1,cos )a b θθ=-=，且a b ⊥，则2sin 2cos θθ+的值为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．3【答案】A【解析】由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，结合数量积的坐标运算得出tan 2θ=，然后将所求代数式化为222222sin cos cos sin 2cos 2sin cos cos sin cos θθθθθθθθθθ++=+=+，并在分子分母上同时除以2cos θ，利用弦化切的思想求解． 【详解】由题意可得 sin 2cos 0a b θθ⋅=-=，即 tan 2θ=．∴222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1cos sin 1tan θθθθθθθθθ+++===++，故选A ． 【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角θ弦的n 次分式齐次式，分子分母同时除以cos n θ，可以将分式由弦化为切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角θ的二次整式，然后除以22cos sin θθ+化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以2cos θ可以实现弦化切．8．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是（ ）A ．7?i ≥B ．6?i ≥C ．5?i ≥D ．4?i ≥【答案】B【解析】逐步计算每次运算的结果至第五步可求得62S =，此时6i =，因此6i =需满足判断框中的条件，而5i =不满足判断框中的条件，即可判断. 【详解】第一次2,2S i ==；第二次2226,3S i =+==；第三次36214,4S i =+==；第四次414230,5S i =+==；第五次530262,6S i =+==.若输出的结果是62，则6i =需满足判断框中的条件，而5i =不满足判断框中的条件，因此判断框中可以是6?i ≥. 故选：B 【点睛】本题考查循环结构框图，属于基础题.9．设一直角三角形两直角边均是区间()0,1上的随机数，则斜边长小于1的概率为（ ） A ．12B ．34C ．4π D ．316π【答案】C【解析】由题可得，以直角边长组成的点(),x y在边长为1的正方形内部，满足斜边长小于1的点在14的圆内部，利用几何概型概率公式即可求解．【详解】设直角边长分别为x，y，则()0,1x∈，()0,1y∈，建立直角坐标系，(),x y对应的点在边长为1的正方形内部，如图由斜边长小于1得：221x y+<，即221x y+<，所以满足斜边长小于1的点(),x y在图中14的圆内部，所以斜边长小于1的概率为：414pππ==故选C【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算及转化思想，属于基础题10．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是0.3y x a=+，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为（）A．6.1 B．5.1 C．3.5 D．5.2【答案】A【解析】算出,x y，然后求出ˆa，然后可得答案.【详解】2456855x ++++==，3444545y ++++== 代入0.3y x a =+可得ˆ0.340.35 2.5ay x =-=-⨯=， 所以回归方程为ˆ0.3 2.5yx =+． 当12x =时，0.312 2.5ˆ 6.1y=⨯+=， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克． 故选：A 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，较简单.11．已知x ，y 满足10,0,3,x y x y x --≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22245z x y x y =+--+的取值范围是（ ）A ．[]4,29B ．2,29⎡⎤⎣⎦C ．[]2,29D ．[]5,25【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，再由22245x y x y +--+=22(1)(2)x y -+-的几何意义，即可行域内的动点与定点(1,2)P 距离的平方求解得答案． 【详解】由约束条件10{03x y x y x --+作出可行域如图，22245x y x y +--+=22(1)(2)x y -+-的几何意义为可行域内的动点与定点(1,2)P 距离的平方，由图可知，22245x y x y+--+的最小值为211211()22⨯-⨯-=，22245x y x y+--+的最大值为2222||((31)(32))29PA=-+--=．22(1)(2)x y∴-+-的取值范围是[2，29]．故选：C【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．12．设函数()1,2log21,2,1axf xx x a=⎧=⎨-+≠>⎩，若函数()()()2g x f x bf x c⎡⎤=++⎣⎦有三个零点1x，2x，3x，则122313x x x x x x++=（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】先画出函数()f x的图象，再将“函数()()()2g x f x bf x c⎡⎤=++⎣⎦有三个零点”转化为“关于t的方程20t bt c++=只能有一个根1t=”，接着求出1x，2x，3x的值分别为1，2，3，最后求122313x x x x x x++即可.【详解】由函数的解析式()1,2log21,2,1axf xx x a=⎧=⎨-+≠>⎩画出函数()f x的图象，如图由图可得关于x的方程()f x t=的解有两个或三个（1t=时有三个，1t≠时有两个），所以关于t的方程20t bt c++=只能有一个根1t=（若有两个根，则关于x的方程()()2f x bf x c++=⎡⎤⎣⎦有四个或五个根），由()1f x=，可得1x，2x，3x的值分别为1，2，3，所以12231312231311x x x x x x++=⨯+⨯+⨯=，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的图象和解析式、函数零点与方程根之间的关系，还考查了数形结合思想的应用，是难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题.本题判定方程()f x t =的根的个数是就利用了方法③.二、填空题13．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______.7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 【答案】01【解析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，⋯，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 【详解】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读， 第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件， 第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故答案为： 01 【点睛】本题主要考查简单随机抽样，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．设a ，b 是从集合{}1,2,3,4中随机选取的数，则直线40ax by ++=与圆222x y +=没有公共点的概率为______. 【答案】14【解析】根据条件可得228a b +<，然后列举出(),a b 的所有结果和满足228a b +<的结果即可. 【详解】当圆心到直线距离d =>228a b <⇒+<；又(),a b 共有如下结果：()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4，共16种，使得228a b +<成立的有()()()()1,1,1,2,2,1,2,2，共5种，所以没有公共点的概率是41164P ==. 故答案为：14【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系和古典概型，考查了学生的基础知识，较简单. 15．各项为正的等差数列{}n a 中,4a 与14a 的等差中项为8,则27211log log a a +的最大值为__________． 【答案】6 【解析】4a 与14a 的等差中项为8，4142721116,log +log a a a a ∴+=()()2271171162711222log log =log log 2644a a a a a a ++=≤==，当711=a a 时等号成立；故答案为6.【易错点晴】本题主要考查利用等差数列的性质及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 16．若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”，则实数a 的值为______. 【答案】4【解析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围，再令()()f x h x x=，则()h x 在(]0,2上是减函数，分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围，两范围取交集即可得解. 【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数，402a -∴≤，解得4a ≤， 令()()4f x ax a xxh x +==+-，则()h x 在(]0,2上是减函数， ①当0a ≤时，()h x 在(]0,2上为增函数，不符合题意；②当0a >时，由对勾函数的性质可知()h x 在上单调递减，2≥，解得4a ≥，又4a ≤，4a ∴=.故答案为：4 【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()cos 2cos b C a c B =-． （1）求角B 的大小；（2）若不等式210x +>的解集是()(),,a c -∞⋃+∞，求ABC 的周长．【答案】（1）3π；（2 【解析】试题分析：（1）由()cos 2cos b C a c B =-，根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，从而sin 2sin cos A A B =，进而1cos 2B =，由此能求出B ；（2）依题意,a c 是方程2610x x -+=的两根，从而6,1a c ac +==，由余弦定理得3b =，从而能求出ABC ∆的周长.试题解析：（1）由得,()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-即sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=，得，即，得，又()0B π∈，，于是（2）依题意a 、c 是方程的两根，由余弦定理得()23a c ac=+-，ABC ∆6318．近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示： 组号 分组频数 频率第1组[)160165，0.100第2组[)165,170 ①第3组 [)170,175 20 ②第4组 [)175,180 200.200 第5组 [)180,18510 0.100合计1001.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名选手被考官A 面试的概率.【答案】（1）见解析；（2）第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人进入第二轮面试；（3）710. 【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）由频率的意义可知，每小组的频率=频数/总人数， 由此计算填表中空格；（2）先算出第3、4、5组每组选手数，分层抽样得按比例确定每小组抽取个体的个数，求得第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试．（3）根据概率公式计算，事件“5名选手中抽2名选手”有10种可能，而且这些事件的可能性相同，设第3组的2位选手为1A ，2A ，第4组的2位选手为1B ，2B ，第5组的1位选手为1C 其中事件“第4组的2位选手1B ，2B 中至少有一位选手入选”可能种数是7，那么即可求得事件A 的概率． 试题解析：（1）第1组的频数为1000.10010⨯=人，所以①处应填的数为()1001020201040-+++=人，从而第2组的频率为400.400100=，因此②处应填的数为()10.10.40.20.10.200-+++=， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3、4、5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：205250⨯=人，第4组：205250⨯=人，第5组：105150⨯=人，所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人进入第二轮面试.（3）设第3组的2位选手为1A ，2A ，第4组的2位选手为1B ，2B ，第5组的1位选手为1C ，则从这五位选手中抽取两位选手有()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()21,A C ，()12,B B ，()11,B C ，()21,B C ，共10种.其中第4组的2位选手1B ，2B 中至少有一位选手入选的有：()11,A B ，()12,AB ，()21,A B ，()22,A B ，()12,B B ，()11,BC ，()21,B C ，共有7种，所以第4组至少有一名选手被考官A 面试的概率为710. 19．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD .且22PD AD EC ===.（1）求证：//BE 平面PDA ；（2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π. 【解析】（1）首先证明平面BEC //平面PDA ，即可由BE ⊂平面BEC 推出//BE 平面PDA ；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，证明APO ∠即为P A 与平面PBD 所成角，求出sin APO ∠即可求得APO ∠.【详解】 （1）四边形ABCD 为正方形，//BC AD ∴,又AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，//BC ∴平面PDA ， 又//EC PD ，PD ⊂平面P AD ，EC ⊄平面P AD ，//EC ∴平面PDA ，EC BC ⊂、平面BEC ，EC BC C =，∴平面BEC //平面PDA ，BE ⊂平面BEC ，//BE ∴平面PDA ；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，底面ABCD 为正方形，AO BD ∴⊥PD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， ,PD AO PDBD D ∴⊥=,AO ∴⊥平面PBD ，APO ∴∠即为P A 与平面PBD 所成角，2PD AD ==且PD AD ⊥，22PA ∴= 又221122222AO AC ==+=1sin 2AO APO PA ∴∠==，6APO π∴∠=，即P A 与平面PBD 所成角为6π. 【点睛】本题考查线面平行的证明、线面角的求法，属于中档题.20．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，0n a >，且()42n n n S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()211nn n n a b a a =-+，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .【答案】（1）2n a n =，*n N ∈；（2）21n nT n n =++. 【解析】（1）运用数列的递推式：1n =时，11a S =，2n 时，1n n n a S S -=-，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）()()21111+1122121n n n n a b a a n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，然后利用分组求和法可求出答案.【详解】（1）由0n a >，且4(2)n n n S a a =+，可得1n =时，111144(2)a S a a ==+，可得12a =，2n 时，1114(2)n n n S a a ---=+，又4(2)n n n S a a =+，相减可得114(2)(2)n n n n n a a a a a --=+-+， 即为11()(2)0n n n n a a a a --+--=，可得12n n a a --=，则数列{}n a 为首项和公差均为2的等差数列， 则2n a n =，*n N ∈； （2）()()()()()()22411111+=1+112121212122121n n n n a n b a a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪-+-+-+-+⎝⎭所以11111111111111+11+1+1+1232352572212122121n nn n n n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=+-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝⎭=⎭【点睛】本题考查数列的递推式的运用，等差数列的定义和通项公式，分组求和法和裂项相消法，化简运算能力，属于中档题．21．进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表：（I ）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？附参考公式及参考数据：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()1122211()ˆ nni i i i i i nni i i i x x y y x y nxy x x x nxb====----==--∑∑∑∑；a y b x =-【答案】（I ）ˆ258yx =+ （Ⅱ）是可靠的，详见解析 【解析】（I ）根据表格中的数据，利用公式求得ˆˆ,ba 的值，即可求得回归直线的方程. （Ⅱ）由（I ）中的回归直线的方程，分别代入8x =和8.5x =进行验证，即可得到结论. 【详解】（I ）由表中的数据，可得15x =（10+9+9.5+10.5+11）＝10， 15y =（78+76+77+79+80）＝78， 又由()()51iii x x y y =--=∑5，521()ii x x =-=∑ 2.5，则()()121 522.5 ()ˆni i i ni i x x y y x x b ==---===-∑∑，ˆˆa y bx =-=78﹣2×10＝58． 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ258yx =+； （Ⅱ）当8x =时，ˆ285874y=⨯+=，满足|74﹣73|＝1＜2， 当8.5x =时，ˆ28.55875y=⨯+=，满足|75﹣75|＝0＜2， 所以是可靠的． 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解，以及回归分析的应用，其中解答中认真审题，利用公式准确求解回归直线方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．已知圆22:230C x y x ++-=.（1）已知直线l 经过坐标原点且不与y 轴重合，l 与圆C 相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，求证：1211+x x 为定值；（2）斜率为1的直线m 与圆C 相交于D 、E 两点，求直线m 的方程，使CDE △的面积最大.【答案】（1）证明见解析；（2）直线m 的方程为30x y -+=或10x y --=. 【解析】（1）设经过坐标原点且不与y 轴重合的直线l 的方程为y kx =，联立直线与圆的方程，进而结合韦达定理，可得1211+x x 为定值23， （2）设斜率为1的直线:0m x y C -+=与圆C 相交于D ，E 两点，令圆心(1,0)C -到直线l 的距离为d ，利用基本不等式，可得当且仅当224d d =-，即d =CDE∆的面积最大，代入点到直线距离公式，可得C 值，进而得到直线方程． 【详解】（1）设经过坐标原点且不与y 轴重合的直线l 的方程为y kx =， 由直线l 与圆C 相交1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，联立方程22230x y x y kx⎧++-=⎨=⎩可得：22(1)230k x x ++-=，则12221x x k +=-+，1223·1x x k =-+，∴21212122211213·31x x k x x x x k -+++===-+， 即1211+x x 为定值23， （2）设斜率为1的直线:0m x y C -+=与圆C 相交于D ，E 两点， 令圆心(1,0)C -到直线l 的距离为d ，则DE ==CDE ∆的面积221(4)·222d d S DEd +-====，当且仅当224d d =-，即d =此时：d ==，解得：3C =，或1C =-，故直线m 的方程为30x y -+=或10x y --=． 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的一般方程，基本不等式，点到直线的距离公式，是不等式与解析几何的简单综合应用，难度中档．。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
【精品高二数学试卷】2019-2020天津高二(上)第一次月考+答案
2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷一、选择：5×10＝50分。
1．（5分）已知数列√2，√5，2√2，√11，⋯则2√5是这个数列的（ ） A ．第6 项B ．第7项C ．第19项D ．第11项2．（5分）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8＝16，则a 2+a 6+a 10＝（ ） A ．12B ．16C ．20D ．243．（5分）数列{a n }中，a 1=12，a n ＝1−1a n−1（n ≥2），则a 2019的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．24．（5分）不等式x−1x＞2的解集为（ ）A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）5．（5分）不等式ax 2+bx +2＞0的解集是(−12，13)，则a +b 的值是（ ） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣146．（5分）等比数列{a n }中，a 1+a 3＝10，a 4+a 6=54，则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝24﹣nB ．a n ＝2n ﹣4C ．a n ＝2n ﹣3D ．a n ＝23﹣n7．（5分）已知数列{a n }的递增的等比数列，a 1+a 4＝9，a 2•a 3＝8，则数列的前2019项和S 2019＝（ ） A ．22019B ．22018﹣1C ．22019﹣1D ．22020﹣18．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝2，S 6＝6，则a 13+a 14+a 15的值是（ ） A ．18B ．28C ．32D ．1449．（5分）已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1610．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n ﹣4＝130，则n ＝（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18二、填空题：（5×5＝25分）11．（5分）等差数列{a n }中，前4项和S 4＝22，a 2＝4，则前10项和S 10＝ ． 12．（5分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝a n +n +1，则数列{a n }的通项公式是 ．13．（5分）在数列{x n }中，2x n=1x n−1+1x n+1（n ≥2），且x 2=23，x 4=25，则x 10＝ ．14．（5分）数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为 ．15．（5分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝﹣n 2+20n ，则数列{na n }中数值最大的项是第 项．三、解答题（25分）.16．（8分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1=a na n +3（n ∈N *） （1）求证：{1a n+12}是等比数列；（2）求{a n }的通项公式a n ．17．（17分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2﹣2S n （n ∈N *），数列{b n }是等差数列，且b 5＝14，b 7＝20．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式． （2）求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．（3）设c n =a n ⋅b n2，求数列{c n }的前n 项和M n ．2019-2020学年天津高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择：5×10＝50分。
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2019—2020学年度高二上学期第一次月考数学(理科)试卷(本试卷分选择题与非选择题两部分，满分150分；考试时间120分钟)第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分；在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列说法错误的是( ) A．在统计里，把所需考察对象的全体叫做总体；B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．2．为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个样本容量为10的样本，那么从总体中应随机剔除个体的数目是( ) A．2 B．3 C．4 D．53．下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句：（1）输出语句INPUT a，b，cx=（2）输入语句INPUT 3=（3）赋值语句3A==（4）赋值语句A B C则其中正确的个数是( ) A．0个B．1个C．2个D．3个4．给出如右一个算法的程序框图，该程序框图的功能是( ) A．求a，b，c中的最大数；B．求a，b，c中的最小数；C．将a，b，c按从小到大排列；D．将a，b，c按从大到小排列．5．运行以下程序后，输出x的值为( )A．25 B．24 C．23 D．226．将389化成四进制数的末位数是( ) A．1 B．2 C．3 D．07．某城市一所中学有行政人员、教学人员和教辅人员共200人，其中教学人员与教辅人员的比为10︰1，行政人员有24人。
现采取分层抽样抽取容量为50的样本，那么行政人员应抽取的人数为 （ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．88．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用下图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员比赛得分的中位数之和是 （ ）A ．41B ．30C ．36D ．32 9．观察新生婴儿的体重（单位：克），得到频率分布直方图如下图所示，则新生婴儿体重在（2 700，3 000］范围内的频率为 ( )A ．0.001B ．0.1C ．0.2D ．0.310．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ( ) A ．57.2 3.6 B ．62.8 6.4 C ．62.86 3.6 D ．62.8 3.6 11．用秦九韶算法求多项式432()2375f x x x x x =-+--在4x =时的值时，给出如下五个数据：①0 ②2 ③11 ④37 ⑤143其中运算过程中（包括最终结果）会出现的数据有 ( ) A ．①②④⑤ B ．②③④⑤ C ．①③④⑤ D ．①②③⑤ 12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ( ) A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题(本大题共4个小题,每题5分,共20分)13．两个数282与470的最大公约数为；14．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ；15．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温如下表：由表中数据得线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆ2b =-，据此预测当气温为5 ℃时，用电量的度数约为 ；16．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a = ，b = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）已知直线1l ：60x my ++=与 2l ：(2)320m x y m -++=（m ∈R )，求： （1）当 1l ∥2l 时，实数m 的值； （2）当 12l l ⊥ 时，实数m 的值．18．（本小题满分12分）要从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击比赛，为此对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平均数和方差； （2）比较两人的成绩，然后请你决定选择哪一人参加比赛，并说明理由．0.3 0.14.34.54.74.95.1视力频率/组距19．（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线1l ：2y x =-上，并且与直线2l ：1y x =-+相切于点(21)A , -． （1）求圆C 的方程；（2）已知31l l ⊥，且圆C 上有不同的两点M 、N 关于3l 对称，点P 为圆C 上的动点，求3l 的方程及点P 到3l 距离的最大值．20．（本小题满分12分）四边形ABCD 与''A ABB 都是边长为a 的正方形，点E 是'A A 的中点，'AA ABCD ⊥平面 （1）求证：平面'A AC BDE ⊥平面；（2）求体积'A ABCD V -与E ABD V -的比值； （3）求CE 与平面A DE '所成角的余弦值． 21．（本小题满分12分）在数列}{n a 中，113,223(2,*)nn n a a a n n -=-=++≥∈N 且（1）设3(*),{}2n n n na b n b +=∈N 证明是等差数列； （2）求数列}{n a 的前n 项和n S ．22．（本小题满分12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：（1）求出频率分布表中,,,a b c d 的值；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的学生能获奖，请估计参赛的800名学生中获奖的同学人数，并估计参赛的800名学生的平均分．2019—2020学年度高二上学期第一次月考数学(理科)参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．94 ； 14．63 ；15．40 ； 16．0.27a = ,78b =．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）解：（1）由(2)3m m -= 得1m =-或3m = ……………………3分 而当3m =时，1l 与2l 重合，故1m =-． ……………………5分 （2）由230m m -+= 得12m = 即当12l l ⊥时， 12m =． ……………………10分 18．（本小题满分12分）解：（1）78686591074710x +++++++++==甲，9578768677710x +++++++++==乙 ……………4分2222222(77)(87)(67)(107)(77)(47)310s -+-+-++-+-+-==L 甲2222222(97)(57)(77)(67)(77)(77)6105s -+-+-++-+-+-==乙L…………………………………8分（2）由（1）知，甲、乙两人的平均成绩相等，但2s 乙＜2s 甲，这表明乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，故选择乙参赛.………………12分19．（本小题满分12分）解：（1）设圆心(,2)C m m -，半径为r ．则有r == ……………………3分解得1m r =⇒=．故圆C 的方程为：22(1)(2)2x y -++= ……………………6分 （2）由题设知，3l 的斜率为12k =，且过圆心(1,2)C -，从而3l 的方程为：1522y x =-即250x y --=；此时，圆C 上的动点P 到3l 距离的最大值为半径r =………………………………12分20．（本小题满分12分）解：（1）∵ABCD 为正方形 ∴BD AC ⊥∵','A A ABCD BD ABCD A A BD ⊥⊂∴⊥平面平面．又',','''AC A A A AC A AC AA A AC BD A AC =⊂⊂∴⊥面面平面I ∵BD BDE ⊂平面∴'A AC BDE ⊥平面平面． …………………………4分 （2）:4:1A ABCD E ABD V V --=（要有计算过程） …………………………8分（3）CE 与平面A DE '．（要有计算过程）……………12分 21．（本小题满分12分）解：（1）证明：对于任意*n ∈N ，11311111311[(2)3][(23)3]1,2222n n n n n n n n n n n a a b b a a +++++++++-=-=--=+-=Q}{n b 数列∴是首项为0233231=+-=+a ，公差为1的等差数列．……………5分 （2）解：由（1）得，,1)1(023⨯-+=+n a nn ∴*)(32)1(N n n a nn ∈-⋅-= ………………7分 ∴233(123)(223)[(1)23]nn S n =-+⨯-+⨯-++-⋅-L即234122232(1)23,nn S n n =⨯+⨯+⨯++-⋅-L 设234122232(1)2,nn T n =⨯+⨯+⨯++-⋅L 则34512122232(1)2,n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⋅L 两式相减得：23412222(1)2n n n T n +-=++++--⋅L112)1(21)21(4+-⋅----=n n n ………………10分整理得：,2)2(41+⋅-+=n n n T从而14(2)23(*)n n S n n n +=+-⋅-∈N ………………12分22．（本小题满分12分）解: （1）由频率分布表知，500.210a =⨯=,200.450b ==,501020155c =---=,50.150d ==．………………6分 （2）由表知成绩不低于80分的同学的频率为：1550.450+=，所以估计总体中获奖的人数为：1558008000.432050+⨯=⨯=，总体的平均分约为：650.2750.4850.3950.178⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………………………12分。