《垂线》课件(2)(湘教版七年级上)
湘教版7年级数学课件-垂线
答： 過C引l 的垂線，
設D為垂足，
D
l
水泵房應建在D處.
C
我們可以把點到直線的距離轉化為點到點的距離
說一說
問題8：你能列舉生活中類似的實例嗎？
體育課上測 量同學們的跳遠 成績
例 如圖，在三角形ABC中，∠ABC=90°， BD⊥AC,垂足為D，AB=5，BC=12，AC=13.
求：（1）點A到直線BC的距離；
結論
垂線性質1：在同一平面內，過一點有且 只有一條直線與已知直線垂直．
練習 過點P畫出射線AB或線段AB的垂線．
P
AP B
B A
如圖，設PO垂直於直線l，O為垂足， 線段PO叫做點P到直線l的垂線段． 經過點P的其他直線交l於A，B，C， D,…,線段PA，PB，PC，PD，…都 不是垂線段，稱為斜線段．
AC
13 13
60
所以點B到直線AC的距離為
13
小結與復習
1. 什麼是垂直？垂直和相交有什麼關係？ 我們是如何刻畫兩直線垂直的位置關係的？
2. 垂線有哪些性質？
中 試題
例1（2011河北）如圖，∠1+ ∠2 =（ B ）
A.60° B.90° C.110° D.180°
例2（2012 山東）如圖，AB ∥ CD, DB⊥BC, ∠1 =40 ° 則∠2 的度數是（ B ）
解答: 因為直線a ⊥直線c，直線b ⊥直線c 所以a∥b. 所以∠1 = ∠3. 因為∠3 = ∠2 所以∠ 2=∠1 = 70°.
結束
單位：北京市第一六六中學 姓名：孫梅
O
垂直用符號“⊥”表示，如圖，AB與CD垂直 (O為垂足)，記做AB⊥CD，讀做AB垂直於CD.
符號語言： 因為 AB ⊥CD 所以 ∠AOC=90°
初中数学湘教版七年级下册4.5垂线
4.5 垂线第一课时教学目标1．掌握互相垂直及其有关概念.2．会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线.3．理解并掌握垂线的两条性质.教学重点两直线互相垂直的概念及垂线的有关性质.教学难点垂线的有关性质及垂线的画法教学过程一、问题情境1．直角等于多少度？一个平角等于几个直角？2．如果a∥b，c∥b，那么 a c.3．两直线平行，同位角，内错角相等，同旁内角互补.二、新课学习1．互相垂直的有关概念（1）观察P96的教材内容，引出生活中互相垂直的例子.（2）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.（3）垂直的符号：垂直用符号“⊥”表示，AB与CD垂直（O为垂足），记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”.2．画垂线的方法引导学生用三角板画垂线，经过点P（如图（1），（2））画直线AB的垂线.（1）（2）（3）（4）3．垂线的有关性质（1）P97动脑筋如图（3），在同一平面内，如果a⊥m，b⊥m，那么a∥b吗？因为a⊥m（已知）所以∠1＝90°；因为b⊥m（已知）所以∠2＝90°（垂直的定义）.所以∠1=∠2(等量代换)，所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.（2）归纳：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.（3）如图（4），在同一平面内，如果a∥b，m⊥a，那么m⊥b吗？因为m ⊥a （已知）所以 ∠1＝90°；因为a ∥b （已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）所以 ∠2＝90°(等量代换)，所以b ⊥m （互相垂直的概念）.（4）归纳：在平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线必垂直于另一条.4．例题示范P97－98的例1和例题2，先引导学生分析，再师生合作完成.三、实效训练2、练习P98 1,2题四、课堂小结通过本课的学习，你有哪些收获？学生畅谈收获，教师根据学生的收获回顾并归纳本节课的知识五、作业布置 P102的A 组 第2题六、拓展练习1.画一条线段的垂线，垂足在 （ ）A 线段上B 线段的端点C 线段的延长线上D 以上都有可能 （5）2.如图（5）所示，AO ⊥BC ，OM ⊥ON ，则图中互余的角有（ ）对A 3B 4C 5D 63.甲，乙，丙，丁四位学生在判断时钟的时针与分针互相垂直的时刻，他们每个人说了两个时刻，说对的是 （ ）A ．甲说3点和3点半B ．乙说6点和6点15分C ．丙说8点半和10点一刻D ．丁说3点和4点1160分 第二课时教学目标1．掌握点到直线的距离的有关概念.2．会作出直线外一点到一条直线的距离.3．理解垂线段最短的性质.教学重点点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质.教学难点垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法教学过程一、问题情境1．垂直的概念2．经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？3．如何从直线外一点作已知直线的垂线？二、新课学习1．经过一点作一条已知直线的垂线.（1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB外2．讨论思考题：过一点P作已知直线的垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？如果有两条直线PC，PD与直线AB垂直，那么PC，PD的关系怎样呢？（重合）3．归纳：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4．垂线段的概念：如图，设PO垂直于AB于O，线段PO叫作点P到直线AB的距垂线段.PA，PB，PC，PD叫作斜线段.5．垂线段PO的长度叫作点P到直线AB的距离.6．动脑筋请同学们用圆规测量一下，PO与PA，PB，PD，PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何.归纳结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.7．做一做 P100（利用垂线段作点到直线的距离）8．例题示范P100的例3，先引导学生分析，教师在黑板上板演.三、实效训练1. 下列说法正确的是（）A. 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 直线的垂线有无数条C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2. 读句画图：（1）画出表示P，Q两点之间距离的线段；（2）画出表示P到直线n的距离的线段；（3）画出表示Q到直线m的距离的线段.3．练习P101的练习1，2，3.四、课堂小结五、课后作业 P102的A组第3，4题六、拓展练习1.如图1所示,AD⊥BD,BC⊥CD，AB=a cm，BC=b cm，则BD的范围是 ( )A.大于a cmB.小于b cmC.大于a cm或小于b cmD.大于b cm且小于a cm2.如图2所示，修一条公路将村庄A、B与公路MN连接起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由.图1 图2 D C B A。
七年级数学下册 4.5 垂线同步课件 (新版)湘教版
∠COE的度数.
答案：
CE
35°.
A 1O B
D
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ，作l的垂线，可以 作几条？ 能作一条，而且只能作一条. 结论: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直 线的垂线.
P
AB C
Dm
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距
离.
【例3】如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°， BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13. 求：(1)点A到直线BC的距离；
(2)点B到直线AC的距离．
解：（1）因为∠ABC=90°，
所以AB⊥BC．
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
因为AB=5，
所以点A到直线BC的距离为5．
(2)因为BD⊥AC
所以线段BD的长度点B到直线AC的距离．
1
1
• AB • BC = • AC • BD
2
2
BD = AB • BC = 5× 12 = 60
AC
13 13
所以点B到直线AC的距离为 60. 13
练习
1.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确）用三角尺或量角器检验图中AB与BC是否互相垂直？ 观察图形，你能发现在方格纸中画垂线可以用什么方法吗？ （2）运用你发现的方法，在如图的方格中，过点P画PQ的垂线，并 用三角尺或量角器加以检验．
a
αb O
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图中 的一些互相垂直的线条.
湘教版七年级数学下册《垂线》教学课件
新知探究 三、点到直线的距离
思考一下：用量角器或三角尺过一点P画已知直线l的垂线.
（1）这样的直线可以画出来几条呢？ 一条
（2）从P点到直线l的各条线段中，哪一条最短呢？ PO
a
P
P
你能得到什么结论呢？
l A BO C D
新知探究 三、点到直线的距离
• 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直 线垂直；
• 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线 段最短；
• 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点 到直线的距离.
新知探究 练一练
下列图形中，线段PQ的长度表示点P到直线MN的距离的是（ A ）
M
Q
N
AP
Q
N
M
BP
Q M
N
M
Q
N
CP
PD
解析：根据点到直线的距离的定义即可选出正确答案.
新知探究 要点归纳
注意：
（1）点到线段、射线的距离是指点到它们所在直线的距离； （2）测量点到直线的距离，实质是测量点到直线的垂线段的 长度，分清距离并不是线段，而是线段的长度.
03 典型例题
典型例题
1、如图，直线AB与CD不平行，点P在AB上，PQ⊥CD于Q， 下列说法正确吗？
（1）线段PQ的长度是直线AB,CD之间的距离（ × ）
垂线
教学课件
湘教版七年级下册
目录
01 新课导入 02 新知探究
03 典型例题 04 拓展提高 05 课堂小结 06 作业布置
01 新课导入
新课导入 观察下面图片，你能找出其中相交的直线
吗？它们有什么特殊的位置关系？ 垂直
02 新知探究
新知探究 一、垂直的定义
2022年湘教版数学七年级《垂线段与点到直线的距离》精品课件
河流 a
C B
码头
4.如下图，∠AOB =∠COD = 90°， (1)假设∠BOC = 45°，求∠AOC 与∠BOD 的度数； (2)假设∠BOC = 25°，求∠AOC 与∠BOD 的度数； (3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理. 解：(1)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 45°， 所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 45°， ∠BOD =∠COD-∠BOC = 45°. (2)因为∠AOB =∠COD = 90°，且∠BOC = 25°， 所以∠AOC =∠AOB-∠BOC = 65°， ∠BOD =∠COD-∠BOC = 65°. (3)∠AOC =∠BOD，等角的余角相等.
观察图，PA，PB，PO，PC，PD
P
哪条线段最短？
A
B
OC
l D
我用刻度尺量，发现 垂线段 PO 最短.
P
A
B
OC
l D
观察图，PA，PB，PO，PC，PD 哪条线段最短？
用圆规比较垂线 段 PO 和斜线段 PA， PB，PC，PD 的长度， 可知线段 PO 最短.
P
A
B
OC
l D
直线外一点与直 线上各点连接的 所有线段中，垂 线段最短.
解：①×2，得 6m+4n＝16， ③
③－②，得
9n＝63，
解得
n＝7.
把n＝7代入①式，得 3m+2×7＝8，
解得
m＝﹣2.
因此原方程组的解是
m=﹣2,
n=7.
（4）
2x－4y=34, ①
5x＋2y＝31； ②
解：②×2，得 10x+4y＝62， ③
垂线(第1课时)PPT课件
l 1 a
2 b
在平面内，如果一直线垂直于两平行线中 的一条，那么这条直线必垂直于另一条.
归纳总结
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
bc
几何语言： 因为 b⊥a，c⊥a (已知)，
a 12
所以 b∥c (同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行).
反之，在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条， 那么这条直线也垂直于另一条直线.
m
BC
1
n
O
图1
O
A
图2
新知探究
如图，在同一平面内，如果a⊥l, b⊥l，那么a//b吗？
a
b
1
2
l
因为∠1＝∠2＝90º，它 们是同位角，所以a//b
在平面内垂直于同一条两条直线平行
新知探究
如图，设a//b，l⊥a，那么l⊥b吗？ 因为l⊥a， 所以∠1＝90º， 因为a//b， 所以∠2＝∠1＝90º， 从而l⊥b
如图，直线 CD 是 AB 的斜线，同样，直线 AB 也是 CD 的斜线，点 O 是斜足.
课堂练习
1、(1) 如图1，若直线 m、n 相交于点 O，∠1 = 90°，则 m⊥n ；
(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，那么 ∠BOD =_9_0___°；
(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，则∠COA = 72 °，∠BOC 的补角为 162 °.
巩固练习
4. 如图，AB⊥CD，垂足为 O，EF 为过点 O 的一条直线，则∠1 与∠2 的 关系一定成立的是（ B
A
C E
1
O
B
2
F D
七年级数学下册垂线(湘教版)精选教学PPT课件
相应数学原理
(1)有人和你打招呼,你笔 直向他走过去
两点之间线段最短
(2)要用两个钉子把毛巾 架安装在墙上
(3)人去河边打水总是垂 直于河边方向走
【解析】这几种实际问题用数学原理解释分别是: (2)两点确定一条直线 (3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
【想一想错在哪？】如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5cm,BC =3cm,则BD的长度的取值范围是( )
我唯一的靠山倒了，但是母亲教会了我在逆境中学会坚强，勇敢地面对困难和失败，适应任何环境而求生存，这就是我的母亲留给我的无比珍贵的财富和爱。 母亲虽然走了，可她永远活在我的心里，我永远怀念她，她是我地唯一，无人取代，也是我的最爱，更是难忘的爱！
我想不起小姨妈在母亲有病的时候是怎样抱着我，还是背着我，我不知道，从小姨妈对那段往事的回忆中，我才知道别人对她的冷眼，天寒地冷的无奈…… 我才知道她的棉衣前襟是明亮发光的，而且经常是湿地；才知道烧无烟煤时熏黑了的脸上那双有黑有大的眼睛的明亮。那时候小姨妈只有十六岁，一个失去父母关爱的小女孩，能在姐姐病重的时候撑起一个家，还带着一个不满周岁的孩子，可想而知，这是多么不容易的
七年级数学上册-5.1.2-垂线教学课件-(新版)华东师大版
DA
D
B
（2）
AC⊥BC(或CD⊥AB)
1.（宁波·中考）如图，直线AB与直线 CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知
E D
OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数
A
是( )
O
B
A.125°
B.135°
C
C.145°
D.155°
【解析】选B.因为OE⊥AB，所以∠BOE=90°，又因为
∠BOD=45°，所以∠EOD=45°，因为∠COD=180°，
在l外取一点B，试分别过点A，B用三角尺作直线的垂线.
B
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5
A
01 23 4 5
l
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【跟踪训练】
找出下图中互相垂直的直线.
B
C
C
A
O （1）
BO⊥OD(或AO⊥OC)
结论
垂直的表示
图中，直线AB与直线CD垂直,
记作：AB⊥CD；
A
直线 m 与直线 n 垂直,
记作：m⊥n ；
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足.
nC
B
O
m
D
注意：“⊥”是“垂直”的记号，
而“ ” 是图形中“垂直(直角)” 的标记.
想一想
在图中过点A作m的垂线，你能作多少条？
·A
A ·
m
m
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
做一做
（1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的 直线吗？
七年级数学垂线湘教版.doc(2021年整理)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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垂线【目标预览】知识技能：1．掌握垂线的性质和点到直线的距离；2．会画已知直线的垂线．数学思考:能用简单的数学语言叙述图形的某些位置关系；解决问题：能利用垂直的条件和特征解决实际问题；情感态度：通过观察、思考,培养观察能力；通过动手操作,经历和体验图形的变化规律。
【教学重点和难点】重点:垂线的概念难点：垂线知识在实践中的应用【情景设计】1．提出问题课桌面、黑板面相邻的两条边,围棋中的横线与竖线，街上的十字路口……都给我们以相交线的形象。
它们相交所成的角都很特殊，你知道特殊在哪里吗？这两条直线此时的位置关系怎样的？有什么性质？2．引导学生观察、思考、交流、讨论你会回答上面的问题吗？【探求新知】活动1 垂线1)如图1，固定木条a，转动木条b。
当b的位置变化时，a、b所成的角α也会发生变化，∠α能为90°吗？这时a与b的位置关系如何呢?2)引导学生思考、讨论、总结两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
3）例1 如图2,直线AB、CD、EF都相交于点O，AB⊥CD，∠EOD=128°19′,求∠BOF和∠AOF的度数。
分析:由∠EOD和AB⊥CD可以求出∠AOE，再根据对顶角相等求出∠BOF，又∠AOB是平角，∠AOF和∠BOF互为邻补角,则可求出∠AOF的度数。
湘教版数学七年级下册 垂线段与点到直线的距离(新课件)
如图，在三角形 ABC 中，∠ABC = 90°，BD⊥AC， 垂足为 D，AB = 5，BC = 12，AC = 13. 求：（1）点 A 到直线 BC 的距离；（2）点 B 到直线 AC 的距离.
解（1） 因为∠ABC = 90°， 所以 AB⊥BC， B为垂足. 所以线段 AB 即为点 A 到直线 BC 的垂线段. 因为AB = 5， 所以点 A 到直线 BC 的距离为 5.
⑧点 P 到直线 AB 的距离是线段___P_E____的长度.
2. 如图，∠C = 90°，AB = 5，AC = 4，BC = 3，则 点 A 到直线 BC 的距离为__4___，点 B 到直线 AC 的距离 为___3___，A、B 间的距离为___5___.
3. 如图所示，火车站、码头分别位于A，B 两点，直线
Q
②过点 P 作 PE⊥AB，垂足为 E， ③过点 Q 作 QF⊥AC，垂足为 F， ④连 P、Q 两点，
EA
B D
F
解：①②③④ 作图如图所示
⑤ P、Q 两点间的距离是线段__P_Q___的长度，
⑥点 Q 到直线 AB 的距离是线段__Q__D___的长度，
⑦点 Q 到直线 AC 的距离是线段___Q_F___的长度，
2
2
所以 BD = AB BC 512 60 . 所以点 B 到直线 AC 的距离为 60 .
AC
13 13
13
练习
1. 如图，在直角三角形 ABC 中，∠A = 90 °，AB = 3 cm， AC = 4 cm，BC = 5 cm，求点 A 到 BC 的距离，点 C 到 AB 的距离.
解:
简单说成：垂线段最短．
我们知道，连接两点的线段的长度