甘肃省河西五市部分普通高中2017届高三数学第一次联合考试试卷理

2017年甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.其中第Ⅱ卷第（22）题～第（23）题为选考题，其他题为必考题，满分150分，考试时间120分钟.2． 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.写在本试卷上无效.3． 答题前，考生务必将密封线内项目以及座位号填写清楚，回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{}A x x 2=<，{}B 1,0,1,2,3=-，则A B = （ ）（A ）}1,0{ （B ）}2,1,0{ （C ）}1,0,1{- （D ）}2,1,0,1{-（2）已知向量1BA (,22=，1BC )2= ，则ABC ∠=（ ） （A ） 45 （B ） 60 （C ） 30 （D ）120 （3）已知13a 2-=，21log 32b (2)-=，01c sin xdx 4π=⎰，则实数a,b,c 的大小关系是（ ） （A ）a c b >> （B ）b a c >> （C ）a b c >> （D ）c b a >> （4）设i 为虚数单位，则6(x i)+的展开式中含4x 的项为（ ）（A ）415x - （B ）415x （C ）420ix - （D ）420ix （5）已知随机变量Z ～(1,1)N ，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（A ）6038 （B ）6587 （C ）7028 （D ）7539附：若Z ～),(2σμN ，则 6826.0)(=+≤<-σμσμZ P ；9544.0)22(=+≤<-σμσμZ P ；9974.0)33(=+≤<-σμσμZ P .（6）函数3x 3x,x 0f (x)2x 1,x 0⎧-≤=⎨-+>⎩，则f (x)的最大值是（ ）（A ）0 （B ）2 （C ）1 （D ）3（7）要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶的仰角是 45，在D 点测得塔顶的仰角是30，并测得水平面上的BCD 120∠=，CD 40=m ，则电视塔的高度是（ ）（A ）30m （B ）40m （C ）340m （D ）240m（8）设p ：实数x,y 满足22(x 1)(y 1)2-+-≤，q ：实数x,y 满足y x 1y 1x y 1≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则p 是q 的（ ）（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2y 2px(p 0)=>上的任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM 2MF =，则直线OM 的斜率的最大值是（ ）（A ）33 （B ）32 （C ）22（D ）1（10）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）（A ）32 （B ）34 （C ）38 （D ）310（11）已知定义在R 上的偶函数f (x )在),0[+∞上单调递减，若不等式3232f (x x a)f (x x a)2f (1)-++-+-≥对]1,0[∈x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）]1,2723[（B ）]1,2723[- （C ）]3,1[ （D ）]1,(-∞ （12）已知函数f (x)sin(x )(0,)2πωφωφ=+><，x 4π=-为f (x)的零点，x 4π=为y f (x)=图像的对称轴，且f (x)在5(,)1836ππ上单调，则ω的最大值是（ ）（A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 二． 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是 .（14）已知双曲线E ：2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2AB 3BC =，则E 的离心率是 .（15）用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24cm ，下底半径是16cm ，母线长为48cm ，则矩形铁皮长边的最小值是 .（16）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 中有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k 2m ≤，12k a ,a ,,a 中0的个数不少于1的个数，若m 4=，则不同的“规范01数列”共有 个.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 记{}U 1,2,,100= .对数列{}*n a (nN )∈和U 的非空子集{}12k T t ,t ,,t = ，定义12k T tt tS a a a =+++ .已知{}*n a (n N )∈是公比为3的等比数列，且当{}T 2,4=时，T S 30=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知{}T 1,2,,k ⊆ ，对任意正整数k(1k 100)≤≤，求证：T k 1S a +<. （18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AD //BC ，ADC PAB 90∠=∠=，1BC CD AD 2==，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90.（Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM //平面PBE ，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P CD A --的大小为45，求直线PA 与平面PCE所成角的正弦值. （19）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 与t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：7ii 1y9.32==∑，7i i i 1t y 40.17==∑0.55=，.646.27≈参考公式：相关系数nii (tt)(y y)r --=∑0 1 1 1 1 1 注：年份代码1-7分别对应年份2008-2014. t y回归方程^^^y a b t =+中斜率和截距最小二乘法估计公式分别为：nii ^i 1n2ii 1(tt)(y y)b (tt)==--=-∑∑，^^a yb t =-.（20）（本小题满分12分）已知椭圆22x y 12+=上有两个不同的点A ，B 关于直线1y mx 2=+对称.（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.（21）（本小题满分12分）已知函数x2xf (x)e 4=-，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）设'g(x)(x 1)f (x)=+（其中'f (x)为f (x)的导函数），判断g(x)在),1(+∞-上的单调性； （Ⅱ）若F(x)ln(x 1)af (x)4=+-+无零点，试确定正数a 的取值范围.请从下面所给的（22）、（23）两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ββsin cos 1y x （β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅰ）将曲线1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x （παπ<<2，t 为参数，0≠t ），l 与1C 交与点A ，l 与2C 交与点B，且AB =α的值.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)2x 12x 1=-++.（Ⅰ）若不等式2f (x)a 2a 1≥--恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）设m 0,n 0>>且m n 1+=2017年1月河西五市部分普通高中高三第一次联合考试理科数学 参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13. 9； 14. 144cm ； 15.2； 16. 14. 三、解答题 17.解：（Ⅰ）{}4,2=T 时，303027311142==+=+=a a a a a S T ，11=∴a ，13-=∴n n a ————5分 （Ⅱ）{}k T ,,2,1 ⊆k k k k T a a a S 3)13(2133311221<-=++++=+++≤∴-1+<∴k T a S . ————12分 18.解：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC 相交与点M ，则∈M 平面PAB .由已知DE BC //且DE BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形.从而BE CM //，又⊂BE 平面PBE ，⊄CM 平面PBE ，//CM ∴平面PBE . ————5分（Ⅱ）由已知，CD PA ⊥，90=∠PAB ，直线 AB 直线M CD =，⊥∴PA 平面ABCD ，又PA CD ⊥ ，AD CD ⊥，直线 PA 直线A AD =，⊥∴CD 平面PAD ，PDA ∠∴为二面角A CD P --的平面角，从而45=∠PDA .如图所示，在平面ABCD 内，作AY AD ⊥,以A 为原点，以，的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz A -，设1=BC ，则)0,0,0(A ，)2,0,0(P ，)0,1,2(C ，)0,0,1(E ，)2,0,1(-=，)0,1,1(=，)2,0,0(=.设平面PCE 的一个法向量),,(z y x n =，则⎩⎨⎧=+=-02y x z x ，设2=x ，则)1,2,2(-=n .设直线PA 与平面PCE 所成角为α，则nA P 1sin 3n AP α⋅=== . 所以，直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为31. ————12分 19.解：（Ⅰ）4=t ，72ii 1(tt)28=-=∑0.55=，777i i i i i i 1i 1i 1(t t)(y y)t y t y 40.1749.32 2.89===--=-=-⨯=∑∑∑，99.0646.2255.089.2≈⨯⨯≈r ，因为y 与t 的相关系数近似为99.0，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与 t 的关系. ————5分（Ⅱ）由331.1732.9≈=y 及（Ⅰ）得103.02889.2^≈=b ，92.04103.0331.1^≈⨯-≈a ， ∴y 关于t 的线性回归方程为t y 10.092.0^+=.当t 10=时，^y 0.920.1010 1.92=+⨯=.所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量约为1.92亿吨. ————12分20.解：（Ⅰ）由题意知0≠m ，设直线AB 的方程为b x m y +-=1，由⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 12222得 012)121(222=-+-+b x mb x m . 042222>++-=∆mb ①AB 的中点)2,22(222++m b m m mb M 代入21+=mx y 得， 2222m m b +-=②联立①②得36-<m 或36>m . ————5分（Ⅱ）令m t 1=，则)26,0()0,26( -∈t，2AB t 2=+. 原点O 到直线AB 的距离为12122++=t t d ， AOB ∆∴的面积1S(t)AB d 22=⋅=≤，当且仅当212=t 时等号成立，故AOB ∆的面积的最大值为22. ————12分 21. 解：（Ⅰ）x 2x f (x)e 4=- ，x '211f (x)e 24∴=-，x21g(x)(x 1)(2e 1)4=+-，x x 1'222111g (x)[e (x 3)1](2e 1)(2e 1)0444-=+->->->，)(x g ∴在),1(+∞-上单调递增. ————5分（Ⅱ）由4)()1ln()(+-+=x af x x F 知，)](1[1)('x g ax a x F -+=. 由（Ⅰ）知)(x g 在),1(+∞-上单调递增，且0)1(=-g ， 1->∴x 时，0)(>x g ，)('x F ∴有唯一的零点.设0)('=t F ，则),1(t x -∈时，0)('>x F ，)(x F 单调递增；),(+∞∈t x 时，0)('<x F ，)(x F 单调递减. 4)()1ln()()(max +-+==∴t af t t F x F .令4)()()1ln()(+-+=x g x f x x G ，2'')]([)()()(x g x g x f x G =， 0)(>x f 在),1(+∞-上恒成立，0)('>∴x G ，)(x G 在),1(+∞-上单调递增，且0)0(=G .① 当40<<a 时，)0(411)(g a t g =>=，)(x g 在),1(+∞-上单调递增.0>∴t ，0)0()()()(max =>==G t G t F x F . 4444(1)ln (1)4(1)0F e e af e af e ----∴-=--+=--<，0)1()(4<-∴-e F t F ，)(x F ∴有零点，与条件不符； ② 当4=a 时，)0()(g t g =，0=∴t ，0)0()()()(max ====G t G t F x F ， )(x F ∴有零点，与条件不符；③ 当4>a 时，)0(411)(g a t g =<=，0<∴t ，0)0()()()(max =<==G t G t F x F ， )(x F ∴没有零点.综上所述，当4)()1ln()(+-+=x af x x F 无零点时，),4(+∞∈a . ————12分 22.（Ⅰ）θρcos 2= ————5分 （Ⅱ）解一：直线l 的极坐标方程为(0)θαρ=≠，由2cos θαρθ=⎧⎨=⎩得A 2cos ρα=，由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得B 4cos ρα=，A B AB 2cos ρρα∴=-==.又παπ<<2，23cos -=∴α65πα=∴. ————10分解二：把直线l 的参数方程代入1C 的普通方程0222=-+x y x ，得0cos 22=-αt t ，αcos 2=∴A t ，同理4cos α=B t ，A B AB t t 2cos α∴=-==παπ<<2，23cos -=∴α，65πα=.23.（Ⅰ）解一：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≤≤->=21,42121,221,4)(x x x x x x f ，2)(min =∴x f ，2122≤--∴a a ，31≤≤-∴a . ————5分 解二：2)12()12(1212)(=+--≥++-=x x x x x f ，2)(min =∴x f ， 2122≤--∴a a ，31≤≤-∴a . （Ⅱ）由（Ⅰ）22)(2≥∴x f ，8)12()12(4)12)(12(22)(2)1212(2=++++≤+++++=+++∴n m n m n m n m ，221212≤+++∴n m ，当且仅当21==n m 时等号成立，)(21212x f n m ≤+++∴. ————10分。