高等数学B二模拟试卷
《高等数学B》二模拟试卷
《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B ),0,3,1(-C 求该三角形的面积 。
2.求直线4951135--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点。
二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求yz x z ∂∂∂∂,.2. 设x e u y x sin +=，求yx u x u ∂∂∂∂∂222,.三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 计算σd e x D y ⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .2. 计算二重积分⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面区域.1. 解微分方程)(2y x e dx dy +=.2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？六、(9分) 证明级数∑∞=+1)1(1sin n n n 收敛.七、(9分)求微分方程25x y y -=-''的通解.八、(9分) 把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）解答1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B )0,3,1(-C .求该三角形的面积. 解 }1,1,1{=AB ,}0,4,2{-=AC ，因此 (2)04211121-=⨯=∆k j i S ABCρρρ145621==. …….……….…2+2+2 2. 求直线4951135--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点.解 把直线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=-=9411553t z t y t x ………3 代入球面方程得21=t ，32=t .故得交点为 )1,1,1(1-M ，)3,4,4(2-M . .. 5二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求yz x z ∂∂∂∂,. 解 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v u v u ⋅+=2ln 2x y x xy y x 2)(ln )(2+++= (4)y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂x v u v u ⋅+=2ln 2yy x xy y x 2)(ln )(2+++= . (4)2. 设x e u y x sin +=，求yx u x u ∂∂∂∂∂222,；解 x e x e xu y x y x cos sin +++=∂∂，x e x u y x cos 222+=∂∂ …….2+3 =∂∂∂yx u 2x e x e y x y x cos sin +++ (3)三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 计算σd e x D y⎰⎰2，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .解 原式⎰⎰--=11112dx x dy e y ])1(1[31)(3311--⋅-=-e e )1(32e e -=. ………4+2+22. 计算二重积分⎰⎰D xdxdy ，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所确定的平面区域.解 ⎰⎰⎰⎰-=24020x D xdy dx xdxdy 384202=-=⎰dx x x .……4+2+2四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）1. 解微分方程)(2y x e dxdy +=. 解 原方程可化为 dx e dy e x y 22=- …………3 两边积分得⎰⎰=-dx e dy e x y 22…………2 解得C e e x y =+-22 (C 为任意常数). (3)2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.解 特征方程为 0652=+-λλ 解得 3,221==λλ…………..2+3所以该方程的通解为 x x C C y 3221+= (1C ,2C 为任意常数). (3)五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？解 依题意得 3002=+y x (1)则拉格朗日函数为)3002(005.0),(2-++=y x y x y x F λ (3) (3)解得 50,200==y x .答：购进两种原料50,200==y x ，可使生产数量最多. (2)六、(9分)证明级数∑∞=+1)1(1sin n n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0300202005.0001.02y x F x F xy F y x λλλ收敛.证明 因为 )1(1sin+n n )1(1+≤n n ，…….…….4 又∑∞=+1)1(1n n n 收敛，所以由比较法可知该级数收敛. 证毕…….…..3+2七、(9分) 求微分方程25x y y -=-''的通解.解 对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 21+=- (3)设原方程的一个特解为c bx ax y ++=*2， 代入得 225)(2x c bx ax a -=++-，解得 5=a ，0=b ，10=c ，所以原方程的一个特解为1052+=*x y . (3)故所给方程的通解为xx e C eC y Y y 21+=+=-*1052++x (1C ，2C 为任意常数). (3)八、(9分)把函数2)(x xe x f -=展开成x 的幂级数. 解 ΛΛΘ+++++=!!212n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x ………3 ΛΛ+++++=∴!!212422n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x ………3 因此 2)(x xe x f -=ΛΛ------=+!!21253n xx x x n ，),(∞+-∞∈x . (3)。
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
高等数学B(2)第八章-多元函数-练习题
高等数学B （2）第八章-多元函数-练习题一、选择题50.点)1,1,1(关于xy 平面的对称点是 ( ) .A. )1,1,1(-B. )1,1,1(--C. )1,1,1(-D. )1,1,1(--- 51．函数1ln(1)z x y =--的定义域是 （ ）．A. {(,)|0}x y x y +>B. {(,)|0}x y x y +≠C. {(,)|1}x y x y +<D. {(,)|1,0}x y x y x y +<+≠52. 设函数22(,)=f x y x y xy -+，则(,)=f tx ty ( ).A. (,)tf x yB.2(,)t f x yC. 3(,)t f x yD. 以上都不对 53. 设(,)x yf x y xy+=，则(,)f x y x y +-= （ ). A. 222x y x - B. 222x x y - C. 22x x y - D. 222yx y -54．函数(,)f x y =(0,0)的两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f ' （ ） . A ．都等于0 B ．分别等于0和1C ．分别等于1和0D ．不存在55．设函数),(y x f z =，则00(,)x f x y '＝ （ ）. A ．x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000D ．xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 0056．设函数(,)f x y xy =，则下列结论正确的是 （ ）． A. 点(0,0)不是驻点 B. 点(0,0)极小值点 C. 点(0,0)极大值点D. 点(0,0)是驻点但非极值点57. 点00(,)x y 使0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==成立，则 （ ）.A. 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点B.00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C. 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D. 00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 58. 若22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)x y x y x y∂∂+=∂∂ （ ）. A. 22x y - B. x y + C. 22x y + D. x y -59.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在是在该点连续的 （ ）.A ．既非充分又非必要条件B .充分条件C ．必要条件D .充分必要条件。
高等数学2B期末模拟题及参考答案2021-2版
高等数学2B 期末模拟题2一、选择题 1. 11sin ),(22-+=y x y x f 的定义域为（ ） (A) 22{(,)|1}D x y x y =+= (B) 22{(,)|1}D x y x y =+≠(C) {(,)|0, 0}D x y x y =≠≠ (D) 22{(,)|0}D x y x y =+≠2. 2d L s =⎰（ ），其中L 为圆周：221x y +=.(A) 4π (B) 2π(C) 0(D) 4π- 3. 已知级数1n n u ∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ） (A) 1 (B) 0 (C) ∞ (D) 不存在4. 2d d Dxy x y =⎰⎰（ ），其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. (A) 4π (B) 2π (C) 0(D) 4π-二、判断题1. 设向量(1,2,2),(1,0,1)a b ==-，则a 与b 平行（ ）.2. (,)lim 4x y →=（ ）.3. 级数11(1)n n n ∞=+∑收敛（ ）.三、计算题1. 设y x f )1(+=，求d (1,1)f .2. 设)arctan(uv z =，而y v e u x 3,2==，求z x ∂∂. 四、应用题1. 求过点(2,0,3)-且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 平行的直线方程. 2. 求椭球面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程.五、当0,0,0x y z >>>时，已知函数(,,)ln 2ln 3ln f x y z x y z =++在附加条件22260x y z ++-=下存在最大值，求该最大值.六、计算重积分1. 计算二重积分2d d D y x y ⎰⎰，其中22{(,)|1,0}D x y x y y =+≤≥. 2. 计算三重积分d d d z x y z Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22y x z +=与平面2=z 所围成的闭区域. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 计算第二类曲线积分423(23)d (4)d L xy y x x xy y -++-⎰，其中L 为上半圆周22(2)1x y -+=上从(1,0) 到(2,1)的一段弧.2. 计算第二类曲面积分2d d d d d d x y z y z x z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为介于0=z 与1=z 之间 的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧（包含上下底面）. （提示：可利用高斯公式）八、证明级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑条件收敛. 九、将函数1()f x x=展开成(2)x -的幂级数. 十、设()f x 是周期为π2的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为1, 0 (),1, 0x f x x ππ≤<⎧=⎨≤<⎩－－将()f x 展开成傅里叶级数.高等数学2B 期末模拟题参考答案2一、选择题1. B2. A3. B4. C二、判断题1. 错误2. 正确3. 正确三、计算题1. 解：1(1)y f y x x -∂=+∂，1)1,1(=∂∂x f ，(1)ln(1)y f x x y ∂=++∂，(1,1)2ln 2,f y ∂=∂ 故d (1,1)(1,1)d (1,1)d x y f f x f y =+d (2ln 2)d x y =+2. 解：d d z z u x u x ∂∂=⋅∂∂22121()x v e uv =⋅⋅+ 242619xx ye x y =+ 四、应用题1. 解：平面2470x y z -+-=的法向量为1(1,2,4)n →=-,平面35210x y z +-+=的法向量为2(3,5,2)n →=-,取所求直线的方向向量为12124352i j k s n n →→→=⨯=--)11,14,16(-=,又由所求直线过点(2,0,3)-，故所求直线的方程为23161411x y z -+==-. 2. 解：令222(,,)236F x y z x y z =++-，(,,)(2,4,6)x y z n F F F x y z →==，(1,1,1)|(2,4,6)n →=, 在点(1,1,1)处的切平面方程为2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即2360x y z ++-=.五、解：令222(,,)ln 2ln 3ln (6),F x y z x y z x y z λ=+++++-解方程组22212022032060x y x F x x F y y F z z F x y z λλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪=++-=⎩，得唯一驻点, 故该点是函数的最值点.最大值为f =.六、计算重积分1. 解：原式2d d D y x y =⎰⎰1002d sin d r r r πθθ=⋅⎰⎰12002sin d d r r πθθ=⎰⎰43=. 2. 解一：（截面法）积分区域222(,)D :{(,,)|}02z x y x y z x y z z ∈+≤Ω=≤≤, 利用先二后一法得，20d d d d d d zD z x y z z z x y Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 220d z z z π=⋅⎰24014z π=4π=. 解二：（投影法）利用柱面坐标系，积分区域02,02{(,,)|}2r r z r z θπθ≤≤≤≤Ω=≤≤, 22200d d d d d d r z x y z r r z z πθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22012(4)d 2r r z π=⋅-⎰22401(2)4r z π=-4π=. 七、计算曲线积分与曲面积分1. 解：由423P xy y =-+，234Q x xy =-得， 324P Q x y y x∂∂=-=∂∂，故该积分与路径无关, 取积分路径L 为折线(1,0)(2,0)(2,1)→→，则21423310(23)d (4)d 3d (48)d L xy y x x xy y x y y -++-=+-⎰⎰⎰5=. 2. 解：由2,,P x Q y R z ===-得2P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂， 由高斯公式得，2d d d 2d d d x y z x y z ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式π18=.八、证明：该级数)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n 为交错级数, 由于11)1ln(1||+≥+=n n u n ，而∑∞=+111n n 发散，故∑∞=1n n u 发散, 又由1+>n n u u ，且1lim lim 0ln(1)n n n u n →∞→∞==+， 由莱布尼兹定理可知，原级数收敛，从而条件收敛.九、解：11()2(2)f x x x ==+-122(1)2x =-+ n n n n x )2(2)1(210--=∑∞=)40(<<x n n n n x )2(2)1(01--=∑∞=+)40(<<x十、解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点(0,1,2,)x k k π==±±处不连续，在其他点处均连续，从而()f x 的傅里叶级数收敛，且当x k π=时级数收敛于1102-+=； 当x k π≠时,级数收敛于()f x . 001()cos d 11(1)cos d cos d 0(0,1,2,)n a f x nx x nx x nx x n πππππππ--==-+==⎰⎰⎰[]00001()sin d 11(1)sin d sin d 1cos 1cos 11cos cos 121(1)n n b f x nx x nx x nx x nx nx n n n n n n πππππππππππππππ---==-+⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=--+⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰⎰ 4,1,3,5,0,2,4,6,n n n π⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 于是得)(x f 的傅里叶级数展开式为411()[sin sin3sin(21)]321f x x x k x k π=+++-+- k 141sin(21)(,0,,2,)21k x x x k πππ∞==--∞<<∞≠±±-∑。
高数B2分题型练习(答案)
高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。
高数b2期末考试试题及答案
高数b2期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 - 3xD. x^3 - 3x^2答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin x) / x。
A. 1B. 0C. 2D. ∞答案：A4. 判断下列级数是否收敛。
∑(1/n^2)，n从1到∞。
A. 收敛B. 发散答案：A5. 判断函数f(x)=e^x在实数域R上的连续性。
A. 连续B. 不连续答案：A6. 求二阶偏导数f''(x,y)，其中f(x,y)=x^2y+y^2。
A. 2xyB. 2xC. 2yD. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=ln(x+1)，求f'(x)=______。
答案：1/(x+1)2. 计算定积分∫(0,2π) sin(x) dx=______。
答案：03. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=______。
答案：e4. 判断级数∑(1/n)，n从1到∞是否收敛，答案是______。
答案：发散三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1,x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 计算定积分∫(0,1) e^x dx。
答案：∫(0,1) e^x dx = [e^x](0,1) = e^1 - e^0 = e - 1。
3. 求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x。
答案：根据洛必达法则，lim(x→0) (e^x - 1) / x = lim(x→0) e^x = 1。
临沂大学2011级第四学期 高等数学二B答案
潍坊学院《高等数学二》试卷（B 卷答案）一、填空题（每小题2分，共20分）1、a b -2、1，03、>4、35、Ⅲ，Ⅷ6、)1,2,3(-，)1,2,3(--7、双曲线，双曲柱面8、1，57-9、yx -，0 10、dxy x f dy y⎰⎰101),(二、选择题（每小题3分，共18分）1、A2、C3、D4、C5、B6、B三、（每小题4分，共16分） 1、令tx =+1，则38]13[22)1(12132123=-=-=+⎰⎰tdt ttt dx xx2、⎰⎰⎰⎰=+-=-=2020202022202sin 2cos 2]cos [cos sin πππππx xd xdx x x x x d x xdx x2cos 2sin 2]sin 2[202002-=+=-=⎰πππππxxdx x x3、ee e xde dx xe x x x -=-=-=⎰⎰2112112121][14、设ta x sin =，则⎰⎰⎰=+==-22224)2cos 1(2cos πππa dt t a tdt a dx x a a四、（每小题5分，共20分） 1、,3,22y x yz y x xz +=∂∂+=∂∂()42,1=∂∂xz ，()132,1=∂∂yz2、xyx yz y y x x y z y x z xy x z 182,196,63222222222-=∂∂+-=∂∂∂=∂∂∂=∂∂3、xx x x dxdvv zdxdu uz dx dz sin 2cos 42++=⋅∂∂+⋅∂∂=4、yx xz cos cos =∂∂，y x yzsin sin -=∂∂，ydyx ydx x dz sin sin cos cos -=五、（每小题5分，共10分） 1、先画D （略），再改变次序：+=⎰⎰⎰⎰dx y x f dy dy y x f dx yy xx2222),(),(dxy x f dy y ⎰⎰4222),( 2、先画D （略），}20,2),{(≤≤≤≤=y y x y y x D ，332)()(222222=-+=-+⎰⎰⎰⎰dx y y x dy dxdy y y x y yD六、（每小题5分，共10分）1、方程可化为xy xy dxdy 2)(12+=为齐次方程。
高等数学(B2)期末模拟试卷及答案
高等数学（B2）期末模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每题3'，共30'）:1. )1ln(412222-++--=y x y x z ，其定义域为----------------------------------（A ）.A {}41),(22<+<y x y x B {}41),(22<+≤y x y x C {}41),(22≤+<y x y x D {}41),(22≤+≤y x y x .2. 设yx z =，则=dz --------------------------------------------------------------------------（D ）. A dy yx xdx x y y1ln -+ B dy x dx yx y y +-1C xdy x xdx yxy y ln ln 1+- D xdy x dx yx y y ln 1+-.3. 由椭圆1162522=+y x 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体体积可表示为--------------（ C ）. A 5202y dx π⎰B 5204y dx π⎰ C 4202x dy π⎰ D 4204x dy π⎰.4. 设)3,2,1(=a ，)4,3,2(=b ，)2,1,1(-=c，则.)(c b a ⋅⨯为--------------------（A ）.A 5-B 1-C 1D 5. 5. 设05432:=+++∏z y x ，41321:-==-z y x L ，则∏与直L 的关系为---（ A ）. A L 与∏垂直 B L 与∏斜交 C L 与∏平行 D L 落于∏内.6. 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{}40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D ,)(22y x f +为D 上的连续函数，则σd y x f D)(22⎰⎰+可化为----------------------------------------------------（C ）.Aσd y x f D )(122⎰⎰+ B σd y x f D )(2122⎰⎰+C σd y x fD )(4122⎰⎰+ D σd y x f D )(8122⎰⎰+.7. 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解----------------------------------------------（ C ）.A xe cx y += B x ec y xc +=+21C x c e c y x21+= D )(21xe x c c y +=.8. 下列哪个级数收敛---------------------------------------------------------------------------（D ）. A∑∞=-1)1(n nB∑∞=+11001n n C ∑∞=+1100n n nD∑∞=1100100n n . 9. 若⎰⎰=Dd 4σ，其中ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数=a ---------------------（ B ）.A 322 B 2 C 342 D 232. 10. 若幂级数∑∞=-1)1(n nnx a在3=x 处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（ B ）. A 1 B 2 C 3 D 4.二、计算题（本大题共4小题，每题7'，共28'）:1. 设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，若)cos ,(sin y x f z =，求.,2y x z x z ∂∂∂∂∂ 解： ,cos 1xf xz=∂∂=∂∂∂y x z 2.cos sin )sin (cos )(1212xf y y xf x z y -=-⋅=∂∂∂∂ 2. 设)sin(22y x z +=，求⎰⎰Dzdxdy . D :22224ππ≤+≤y x .解：⎰⎰Dzdxdy =)4cos (cos 22πππ-3. 设曲线xe y 2=， )1ln(+=x y 与直线1=x 及y 轴所围成的区域为D ，求D 的面积.解D 的面积=2ln 2)1(212-+e . 4. 解微分方程.2x e x y dxdyx -+=解：x xe y xdx dy -=-1x xe x Q xx P -=-=)(,1)(⎰-=∴x dx x P ln )(， x x x dxx P e dx e xe dx ex Q ----=⋅=⎰⎰⎰ln )()(故通解为)(C ex y x+-=-三、计算题（本题9'）设⎰⎰=202sin ππy ydx xxdy I ，（1）改变积分次序；（2）计算I 的值.解：⎰⎰=202sin ππyydx xxdy I =πππππ21)2(sin sin 2022022-=-=⎰⎰⎰dx x x x x dy x x dx xx 四、证明题（本题8'）求证：曲面a z y x =++上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .解：设切点为（000,,z y x ）且设=),,(z y x F a z y x -++，则切平面方程为：+-)(2100x x x +-)(2100y y y 0)(2100=-z z z令0==z y 可得：切平面在x 轴上的截距为 a x z x y x x 000000=++同理可得：切平面在z y ,轴上的截距分别为,,00a z a y因此切平面在各坐标轴上的截距之和等于a a z a y a x =++000。
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《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）
一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B ),0,3,1(-C 求该三角形的面积 。
2.求直线4
95113
5
--=
+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点。
二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 设v u z ln 2=，xy v y x u =+=,，求y
z x z ∂∂∂∂,
.
2. 设x e u y x sin +=，求y
x u x u ∂∂∂∂∂2
2
2,.
三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 计算
σ
d e x D
y
⎰⎰
2
，其中D 是矩形区域 1,1≤≤y x .
2. 计算二重积分
⎰⎰D
xdxdy
，其中区域D 是由422≤+y x ，0≥x ，0≥y 所
确定的平面区域.
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 解微分方程
)(2y x e dx
dy
+=. 2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.
五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x ,间有关系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？ 六、(9分) 证明级数
∑
∞
=+1
)1(1sin
n n n 收敛.
七、(9分)求微分方程25x y y -=-''的通解. 八、(9分) 把函数2
)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.
《高等数学B 》（二）模拟试卷（12）解答
一、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 已知三角形的三个顶点分别为),0,1,1(-A ),1,0,2(B )0,3,1(-C .求该三角形的面积.
解 }1,1,1{=,}0,4,2{-=，因此 (2)
4
21112
1
-==∆k
j i S ABC
ρρρ145621==. …….……….…2+2+2 2. 求直线4
95
113
5--=+=+z y x 与球面49)5()1()2(222=++-++z y x 的交点.
解 把直线的参数方程 ⎪⎩
⎪⎨⎧+-=-=-=941155
3t z t y t x (3)
代入球面方程得 21=t ，32=t .故得交点为 )1,1,1(1-M ，)3,4,4(2-M .
.. 5
二、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 设v u z ln 2
=，xy v y x u =+=,，求y
z x z ∂∂∂∂,
. 解
x
v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y v u v u ⋅+=2
ln 2x y x xy y x 2)(ln )(2++
+=
…….…
..4
. ……4 2. 设x e
u y
x sin +=，求y
x u x u ∂∂∂∂∂22
2,； 解 x e x e x
u y x y x cos sin +++=∂∂，x
e x u y x cos 222
+=∂∂ …….2+3 =∂∂∂y
x u 2x e x e y x y x cos sin +++ (3)
三、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 1. 计算
σ
d e x D
y
⎰⎰2
，其中D 是矩形区域
1,1≤≤y x .
解
原
式
⎰
⎰
--=1
11
12
dx
x dy e y
])1(1[31)(3
31
1
--⋅-=-e e )1(32e
e -=. ………4+2+2
2. 计算二重积分
⎰⎰
D
xdxdy
，其中区域D 是由422
≤+y x ，0≥x ，0≥y 所
确定的平面区域. 解
⎰
⎰⎰⎰-=240
2
x D
xdy dx xdxdy 3
8420
2
=
-=
⎰
dx x x .……4+2+2
四、计算下列各题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
1. 解微分方程)(2y x e dx
dy
+=. 解 原方程可化为 dx e dy e x y 22=- (3)
两边积分得
⎰
⎰
=-dx e dy e x y 22 (2)
解得 C e e
x y
=+-22 (C 为任意常数). (3)
2. 求差分方程06512=+-++x x x y y y 的通解.
解 特征方程为 0652=+-λλ 解得 3,221==λλ…………..2+3 所以该方程的通解为 x x C C y 3221+= (1C ,2C 为任意常
数). (3)
五、(9分)设生产某种产品的数量与所用两种原料A 、B 的数量y x
,间有关
系式y x y x p 2005.0),(=，欲用300元购料，已知A 、B 原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产数量最多？ 解 依题意得 3002=+y x (1)
则拉格朗日函数为 )3002(005.0),(2-++=y x y x y x F λ (3)
(3)
解得 50,200==y x .
答：购进两种原料50,200==y x ，可使生产数量最多. (2)
六、(9分)证明级数∑
∞
=+1
)1(1sin n n n ⎪⎩⎪⎨⎧=-+='=+='=+='0300202005.0001.02y x F x F xy F y x λ
λλ收敛. 证明 因为 )1(1sin +n n )
1(1+≤
n n ， (4)
又
∑
∞
=+1)
1(1n n n 收敛，所以由比较法可知该级数收敛. 证毕…….…..3+2
七、(9分) 求微分方程25x y y -=-''的通解.
解 对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y 21+=-.…….3 设原方程的一个特解为 c bx ax y ++=*2，
代入得 22
5)(2x c bx ax a -=++-，解得 5=a ，0=b ，10=c ，
所以原方程的一个特解为 1052+=*x y . (3)
故所给方程的通解为
x x e C e C y Y y 21+=+=-*1052
++x (1C ，2C 为任意常数). (3)
八、(9分)把函数2
)(x xe x f -=展开成x 的幂级数.
解 ΛΛΘ+++++=!!212n x x x e n x ，),(∞+-∞∈x ………3 ΛΛ+++++=∴!
!212422n x x x e n
x ，),(∞+-∞∈x (3)
因此 2
)(x xe x f -=Λ
Λ------=+!
!21253n x x x x n ，
),(∞+-∞∈x . (3)。