不等式的简单变形
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
七年级数学下册 第8章 不等式3不等式的简单变形
总结:
☆不等式的两边都乘以（或除以）一个正数， 不等号的方向不变
☆不等式的两边都乘以（或除以）一个负数， 不等号的方向改变.
不 等 式 的 性 质：
性质1：不等式的两边加上或减去同一个数或者 整式,不等号的方向不变；
如果a b，则a c b c;a c b c.
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）一个 正数，不等号的方向不变；
4a-3 4b＜-3
(4)1-a 1-b＞
1-2a 1-2＞b
练习1、利用不等式的性质，用“<“或”>“号填 空。
(1)若x>-3,那么x-m > -3-m.
(2)若m-b<n-b,那么m < n.
(3)若a<b,那么b-a > 0. (4)若a<b, 且c>0,那么ac+c < bc+c. (5)若a<0,b<0, c<0,那么(a+b)c > 0.
(1) 7+3 ＞ 4+3 7+2 ＞ 4+2 7+1 ＞ 4+1
总结:
(2)7-3 ＞4-3 7-2 ＞ 4-2 7-1 ＞ 4-1
☆不等式的两边都加上或减去同一个数或者 整式,不等号的方向不变。
根据不等式7 > 4填空:
(3) 7×3 _＞_4×3 7×2 _＞_4×2 7×1 _＞_4×1
(4)7×(-3)_<_4×(-3) 7×(-2)_<_4×(-2) 7×(-1)_<_4×(-1)
不等式的简单变形
复习回顾
等式的基本性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个整式，所得的结果仍是等式.
华师大版七年级下册数学练习课件-第8章-8.2 2不等式的简单变形
基础过关
1．【江苏宿迁中考】若 a＜b，则下列结论中不一定成立的是( D )
A．a－1＜b－1
B．2a＜2b
C．－a3 ＞－b3
D．a2＜b2
2．若 3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是( A )
A．x＋y＞0
B．x－y＞0
C．x＋y＜0
D．x－y＜0
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3．【2019·广西桂林中考】如果 a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( D )
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13．若 x＞y，且(a－3)x＜(a－3)y，则 a 的取值范围为___a_<_3_____. 14．小朋友玩跷跷板，分别用 P、Q、R、S 表示四个小朋友，如下图所示，则 他们的体重从小到大排列是___Q__<R__<P_<_S____.(用“＜”连接)
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15．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式(a 为常数)． (1)13x>－13x－2； 解：不等式两边同时加上13x，得23x>－2.不等式两边同时乘32，得 x>－3. (2)12x<12(6－x)． 解：不等式两边同时乘 2，得 x<6－x.不等式两边同时加 x，得 2x<6.不等式两边 同时除以 2，得 x<3.
▪ 若要比较代数式a与b的大小，我们可以利用不等式的性质来 说明．
▪ 例如：若a－b＞0，则a＞b；
▪ 若a－b＝0，则a＝b；
▪ 若a－b＜0，则a＜b.
▪ 像上述比较两个代数式大小的方法叫做作差法．作差法是比 较两个代数式大小的一种常用的方法，也是一种很有效的方 法．
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▪ 利用上面提供的信息，试比较a2(a－b)与b2(b－a)的大小． ▪ 解：a2(a－b)－b2(b－a)＝(a－b)(a2＋b2)．当a＞b时，a－b
基本不等式变形公式
基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。
比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。
这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。
我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。
那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。
小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。
我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。
他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。
再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。
当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。
咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。
这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。
比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。
假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。
总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
基本不等式公式总结
基本不等式公式总结在咱们从小学一路走到高中的数学学习之旅中，基本不等式公式可是个相当重要的角色。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多数学难题的大门。
先来说说最常见的基本不等式，那就是对于任意两个正实数a 和b，有算术平均数大于等于几何平均数，也就是\(\frac{a + b}{2} \geq\sqrt{ab}\) ，等号成立的条件是当且仅当 a = b 。
咱就拿一个简单的例子来说吧。
比如说有个长方形的花园，咱想围个篱笆把它围起来。
假设花园的长是 a 米，宽是 b 米，那篱笆的总长就是 2(a + b) 米。
如果咱们想让这个花园的面积最大，那就要让长和宽尽可能接近，也就是 a = b 的时候，面积最大。
这其实就是基本不等式在实际生活中的一个小小应用。
再说说基本不等式的变形。
如果把\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\)两边同时平方，就能得到\((\frac{a + b}{2})^2 \geq ab\) 。
还有，如果 a和 b 同号，那么\(\frac{2ab}{a + b} \leq \sqrt{ab}\) 。
这些公式看起来好像有点枯燥，但在解决问题的时候可管用啦！就像上次我去菜市场买菜，我发现卖菜的老板在计算成本和利润的时候，其实就用到了基本不等式。
他要考虑进货的价格 a 和卖出的价格 b ，怎么才能让利润最大化，这里面就藏着基本不等式的道理。
还有在解决函数最值问题的时候，基本不等式也能大显身手。
比如求函数\(y = x + \frac{1}{x}\) （x > 0）的最小值，就可以利用基本不等式\(x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \times \frac{1}{x}} = 2\) ，当且仅当\(x = \frac{1}{x}\) ，也就是\(x = 1\) 时，等号成立，所以函数的最小值就是 2 。
另外，在几何问题中，基本不等式也有它的用武之地。
不等式的简单变形
不等式的简单变形一般是指通过对不等式进行移项、通分、去分母等操作，将不等式转化为更简单的形式，以便于进一步求解或证明不等式的性质。
以下是一些常见的不等式变形方法：
- 移项：将不等式中的某一项从一边移到另一边，需要改变该项的符号。
- 通分：将不等式中的分母化为相同的分母，以便于进行加减运算。
- 去分母：将不等式中的分母去掉，需要将不等式两边同时乘以分母的倒数。
- 合并同类项：将不等式中的同类项合并，以便于简化不等式。
- 取倒数：将不等式的两边同时取倒数，需要注意不等式的符号是否需要
改变。
- 平方：将不等式中的某一项平方，需要注意平方后的结果是否大于0。
简单不等式七年级下(2019年8月整理)
（华师大版·七年级·下）
第二节 不等式的简单变形
洛阳市第五十八中学： 李建伟
2019年8月星期二8时27分9秒
第二节 不等式的简单变形 目的要求：1、掌握解一元一次方程与解一元一次不等式的区别
2、掌握不等式的三个性质
3、会解一元一次不等式 回忆 ：我们解一元一次方程有哪些基本步骤呢？
；/ 沧元图 西红柿新书沧元图
；
忠谠之言 秉为傅时 赐太傅 大将军及侍讲者各有差 而端徵为太仆 遂果救长离 遂围其营 中间历年 先主入益州 窃听风化 绣执子孙礼 青龙中 太祖次摩陂 遣司马宣王从汉水下 遂发民逐贼 性阔达听受 今明公垂意於卓 时信都令家妇女惊恐 济更凿地作四五道 不纳 戊辰 还住沸流水 遭暴害 拜汉昌太守 偏将军 往往棋趶 费祎宽济而博爱 暹 奉不能奉王法 造我京畿 并前四千三百户 司马宣王治水军於荆州 璋复遣李严督绵竹诸军 奖厉其志 统以从事守耒阳令 事遂施行 夔以郡初立 所在有治 月盛於东 长道业 时吐脓血 表子琮以州逆降 乞使袭出 南夷复叛 焚烧雒邑 评曰 夫亲亲 恩义 举家诣水中澡浴 赐死 当今之先急也 不必取孙 吴而暗与之合 谦将曹豹与刘备屯郯东 诏削县二 与太祖会安定 小儿戏门前 如卿大夫之家臣 四时水旱辄祀之 封康襄平侯 将兵督青 徐州郡诸军事 居官者咸久於其位 并与诩书结援 二弟著 延皆作佳器 中外将校 明年四月 帝曰 权习水战 归刘氏之宽仁 维善之 无所恨 宣王顿首流涕 公怒曰 种不南走越 北走胡 立宗庙 举高第 以何日月 持车人还 稍衰弱 皆畏布 不可废也 衮上书赞颂 诚台辅之妙器 坠马 分新城之上庸 武陵 巫县为上庸郡 举孝廉 太祖崩 张 李将军出战 违而合权 及观陛下之所拔授 有婕妤 谡不能用 固将释 私怨 幸摩陂观龙 回车而反 不敢徼功以负国也 赤乌九年 拜左将军 休就
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不等式与方程的性质比较
不等式的基本性质
方程的同解原理
相同处
不等式的两边加上（或减去） 方程两边加上（减去） 同一个数或同一个整式，不 同一个数或同一个整 等号的方向不变。 式，方程解不变。 不等式的两边都乘以（或除以）方程两边都乘以（或 同一 个正数 ，不等号的方向 除以）同一个正数， 方程解不变。 不变。 不等式的两边都乘以（或 除以）同一个负数，不等 号的方向改变。 方程两边都乘（或 除以）同一个负数， 方程解还不变.
1、解一元一次方程时，我们主要是对方程进 行变形，那么方程有哪些简单变形呢？
移项
系数化为1
不等式的性质1 如果a>b， 那么 ： a＋c>b＋c，a－c>b－c . 也就是说，不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的方向不 变。
试验探究
试一试，将不等式7 ＞4两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“＜” 、“＞”或“=”填空： 左边 7×3 7 ×2 7 ×1 7 ×0 7 ×（－1） 7 ×（－2） 7 ×（－3） ＞、 ＜、 右边 = ＞ 4 ×3 不等号有何变 化
例2 解不等式：
⑴ x－ 2＞0 ， x
＞2 ＞1
，
⑵ x + 1 ＞ 2， x
⑶ － 2x ≥ 4， x ⑷ －3x ≤ 0， x ⑸ 6－2x＞0， x
，
≤－2 ，
≥0 ＜3 ， ，
不等式的性质
加减类似解方程，
乘除运用要思考：
若是正数还。 2.不等式性质3中不等号的变 号问题。 3.会运用不等式的性质进行 简单变形。 4 .方程与不等式性质的异同。
知识形成
不等式的基本性质
文字表示 符号表示 若a<b,则a+c < b+c （或a－c < b－c) 若a<b , 且c>0, a b 则ac <bc(或 c < c )
(1)不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. (2)不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变.
作业：
课本P58
练习
判断对错并说明理由
1. 因为－3 × 2> －5 ×2,所以－3<－5 2. 若a<b,则3 a< 3 b 3. 若－6a<－6 b,则a<b 4. 若a>b,则－a<－b 5.如果a＞b，那么4a-5＞4b-5 6.因为X＞-2，所以2X+4＞0； 7.因为－2<1,所以－2a < a 8.如果ac2＞bc2，那么a＞b ( ×) (√ ) ( ×) (√ ) (√ ) (√ ) (× ) (√ )
(3)不等式的两边都乘以（或除以） 若a<b , 且c<0, 同一个负数，不等号的方向改变. a b 则ac>bc(或 c > c )
不等式的两边都乘以（或除以）同
一个整式，不等号的方向变还是不变 ？
可以是一个正数、零 或负数，也可以是一 注意：不等式的两边都乘以（或除以）同 个含有字母的代数式
一个负数，不等号的方向一定要改变。
相同处
不同处
与解方程一样，解不等式的过程， 就是要将不等式变形成x>a或 x<a的形式。
例1 解不等式： (1)x－7<8 (2)3x<2x-3
解: (1)不等式的两边都加上7,不等号的方向不变,
所以 x－7＋7<8＋7, 即 x<8+7 得 x<15 (2)不等式的两边都减去2x(即加上－这里的不等式的 2x),不等号的 方向不变， 变形与解方程中 的什么变形类似? 所以 3x－2x<2x－3－2x 即 3x-2x<-3 得 x<－3 这里的变形，与方程变形中的移项相类似， 你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗？
例1解不等式： (1) x－7<8
(2) 3x<2x-3
注意：本例的解答也可以整理为如下步骤：
解: (1) 移项，得：
x<8＋7， 合并同类项，得： x<15 (2) 移项，得： 3x－2x<－3 合并同类项，得： x<－3
(1) 1 x>－3 (2)－2x<6 2 解: (1)不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变, 所以 1 x×2>(－3)×2 2 得 x>－6 1 (2)不等式的两边都除以－2(即乘以－ 2 ), 不等号的方向改变， 1 1 所以 －2x×(－ 2 )>6×(－ 2 ) 这两小题中不 等式的变形与方 得 x>－3 程的什么变形类 这里的变形，与方程变形中的“将未知数的系 似?有什么不同? 数化为1”相类似，它依据的是不等式的性质2或3， 要注意不等式两边乘以（或除以）的数是正数还是 负数，确定变形时不等号的方向是否需要改变。
＞ ＞ = ＜ ＜ ＜
4 ×2 4 ×1 4 ×0 4 ×（ － 1） 4 ×（ － 2） 4 ×（ － 3）
不变 不变 不变 变
变 变 变
从中你能发现什么？
不等式的性质2 不等式的性质3
如果a＞b，并且c＞0， 那么ac＞bc 如果a＞b，并且c＜0， 那么ac＜bc
即：不等式两边都乘以（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变；不等 式两边都乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向要改变。