热学总结

等容 等压 等温
T
m C P ∆T M
m CV ∆T M
PV = C 3
γ
V2 m RT ln M V1
0
PV1 − PV2 1 2 γ −1
V2 m RT ln M V1
PV = C 01 P γ −1 绝热 T γ = C 02 γ −1 TV = C 03
0
PV1 − PV2 1 2 γ −1
各平动自由度具有相等的平动动能 能量按自由度均分原理 —— 温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动 温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动 都为1 能都为 / 2kT 如：总自由度数为i的分子,其平均总动能为 i kT 总自由度数为i的分子, 平均总动能为
2
4、刚性分子理想气体的内能 、
2
∫
v2
v1
f ( v) ⋅ d v
几种统计结果
速率v附近 附近dv速率区间内的分子数 1) dN = Nf ( v )dv 速率 附近 速率区间内的分子数
2) N ∫ f (v )dv 速率在 1 —v2速率范围内的分子数 速率在v v
1
v2
3) q(v )dN 速率 附近 速率范围内的分子的 q 量之和 速率v附近 附近dv
说明下列各式的物理意义. 例 说明下列各式的物理意义
（1） f ( v ) ⋅ d v （2） Nf ( v ) ⋅ d v ） ） （4） ） （3） nf ( v ) ⋅ d v ）
∫ （7） ） ∫
v2
v1 ∞
） f ( v ) ⋅ d v （5）
2
∫
v2
v1
） Nf ( v ) ⋅ d v （6）
2kT vp = m
f (v)
T1 = 300 K
v=
8 kT πm
f (v)
O2
3kT v = m
2
T2 = 1200 K
H2
o
vp1 vp2
v
o
vp 0 vpH
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
同一温度下不同 气体的速率分布
6. 热力学第一定律
热力学第 一定律： 一定律：
系统从外界吸收的热量等于系统对外界 做的功和系统内能的增量之和
1) 特点： 特点： dQ=0 2)自由过程不是准静态过程，中间过程不满足状态方程 自由过程不是准静态过程， 自由过程不是准静态过程 3)过程仍满足热力学第一定律 dA+dE=dQ=0 过程仍满足热力学第一定律 4)系统自由膨胀，对外不作功 dA=0 系统自由膨胀， 系统自由膨胀 5)系统始末态仍是平衡态，满足理想气体状态方程 系统始末态仍是平衡态， 系统始末态仍是平衡态
3、能量按自由度均分原理 3 1 2 分子平动： 分子平动： t =3 ε k = m v = kT
∵ vx2
2 2 3 1 即： m (v x 2 + v y 2 + v z 2 )= kT 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ∴ mv 2 = mv y = mv z = kT x = v y = vz 2 2 2 2
7、绝热自由膨胀 、绝热自由膨胀
开始 . .. .. ... . . . . . .. .. . . . . . .. . . . . . . 隔板 .. . . . . . . .. .. . . .. . . . 扩散 . . . .. . . . . . . 终了 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . .. . .
v
2
0
vNf(v) ⋅ d v N
∞ 2 0
∫ =
∞
0
v ⋅ dN N
表示平均速率。 表示平均速率。
∞
（7） ）
∫
∞
0
∫ f ( v) ⋅ d v =
v Nf ( v) ⋅ d v N
∫ =
0
v2 d N N
=v
2
表示方均速率。 表示方均速率。
（8） ）
∫
v2 2
v1
v
∫ f ( v) ⋅ d v =
4）物理量求和
∑q(v) = N∫
v2
v1
q(v) f (v)dv
∫ 5)
v2
v1
q ⋅ Nf (v)dv
v2
∫
v1
Nf (v)dv
速率在v 范围内的分子的q量平均值 速率在 1—v2范围内的分子的 量平均值
6）物理量的平均值
q(v) = ∫ q(v) f (v)dv
0
∞
三种速率
1) 平均速率
q(v) = ∫ q(v) f (v)dv
5. 麦克斯韦速率分布律
粒子数按空间位置X 分布( 粒子数按空间位置 分布(§5-2)
dN 粒子落入x附近 区间的几率，则单位区间的几率为： 附近dx区间的几率 粒子落入 附近 区间的几率，则单位区间的几率为： N dN Ndx
dN f( x ) = ： 按空间位置 分布函数 按空间位置x分布函数 N ⋅ dx
二、理想气体的状态方程
理想气体：严格遵守玻意耳定律的气体 理想气体： 1、玻意耳—马略特定律 pV = C 、玻意耳 马略特定律 P 2、查理定律 = C 等容 、 T 等温
V 3、盖吕萨克定律 、 = C 等压 T M RT 理想气体的状态方程：pV = 理想气体的状态方程： µ R = 8.31J ⋅ mol −1 ⋅ K −1
∫
∞
0
f ( v )dv = 1
速率υ附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比 速率υ附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比 单位速率区间内分子数占总分子数的 附近单位速率 或： 一个分子的速率处于 v 附近单位速率 区间的概率 —— 概率密度 速率υ 单位速率区间的分子数 速率 附近单位速率区间的 Nf (υ) ——速率υ附近单位速率区间的分子数
热学小结
1. 热运动的描述 一、状态参数
理想气体模型和状态方程
—— 对应热力学系统的两种描述方法 1、宏观量 、 整体上描述系统的状态量 一般可以直接测量 系统的状态量， 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量 如 M、V、E 、 P、T 、ρ等。 2、微观量 、 描述系统内微观粒子的物理量 如：分子质量m、直径 d 、速度 v、动量 p、能量ε 等 分子质量 、 、 、 微观量与宏观量有一定的内在联系 例如： 例如：压强 ⇐ 大量分子对器壁的冲力的平均效果
⋅ =
v2 2
v1
v Nf ( v) ⋅ d v N
∫ =
=
v2
v1
v dN N
2
内的分子对方均速率的贡献。 表示速率间隔v1～v2内的分子对方均速率的贡献。
v
2 v1 ~ v 2
=
∫
v2
v1
v Nf ( v ) ⋅ d v
2
∫
v2
v1
Nf ( v ) ⋅ d v
=
∫
v2
v1
v f ( v) ⋅ d v
Nf (υ ) dυ ——速率υ附近 υ速率区间内的分子数 速率υ 区间内的分子数 速率 附近dυ速率区间内的
2）速率分布曲线: ）速率分布曲线
以速率υ为横轴，f (υ ) 为纵轴，绘出的曲线
速率分Байду номын сангаас曲线的几何意义
1) 曲线下小面积 v → v + dv dN dN dS = f (v )dv = = ⋅ dv N Ndv ——速率在 速率在v—v+dv速率区间 速率在 速率区间 的分子数占总分子数的百分比 2) 曲线下的面积
Nf ( v ) ⋅ d v =
∞
v2
dN
v1
表示平衡态下， 表示平衡态下，处在速率间隔
N v1～v2内分子数占总分子数的比率。 内分子数占总分子数的比率。
∫
0
v1
∫
v2
d N 表示平衡态下，处在速率间隔 表示平衡态下，
v1
v1～v2内分子数。 内分子数。
（6） ）
∫
∞
∫ vf (v) ⋅ d v =
说明： 说明： 1）方程中三个变量 P、V、T , 只有两个是独立的 ） 2）方程只适用于平衡态 ）
2. 气体动理论的压强公式
2 P = nεk 3
1 2 分子热运动平均平动动能 εk = mυ —— 分子热运动平均平动动能 2
1、公式反映了宏观量P与微观量 ε k 、公式反映了宏观量 与微观量 说明 的对应关系 2、压强的微观本质： 、压强的微观本质： 大量分子单位时间内对器壁的平均冲力 3、压强具有统计意义 、
dQ = dE + dA
其积分形式： 其积分形式： Q = dA + dE Q>0：系统从外界吸热； > ：系统从外界吸热；
∫
∫
= A + ∆E
Q<0：系统向外界放热 < ：
分类 过程
过程方程
P V T = C1 = C2
Q
m CV ∆T M
∆E
m CV ∆ T M
A
0
P (V2 − V1 ) = m R(T2 − T1 ) M
0
∞
v = ∫ vf (v )dv =
0
∞
2）方均根速率
RT 8kT 8 RT ≈ 1.60 = µ πµ πm
f (υ)
v =
2
∫
∞
0
3kT v f ( v )dv = m
2
υp
υ2
v
2=
3 RT
µ
≈ 1.73
RT
µ
0
3）最概然速率——最可几速率 最概然速率 最可几速率