高一必修二数学第一单元重点：空间几何体的三视图和直观图
2021高一必修二数学第一单元重点：空间几何
体的三视图和直观图
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1、空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小
是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图。
2、空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y 轴的夹角为45o(或135o)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直;
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行。
平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半。
3、平行投影与中心投影
平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点。
要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影
效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形;直观图是从某一点观察几何体而画出的图形;(2)投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形。
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高一数学必修2课件：1.2.1-1.2.2 空间几何体的三视图和直观图
3.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形,俯视图是 带圆心的圆,则这个几何体可能是( ) A.圆柱B.三棱柱 C.圆锥 D.球体
答案:C
4.如下图所示的一个几何体见图(1),图(2)中是该几何体俯视 图的是( )
答案:C
5.如下图,下列物体的正视图和俯视图中有错 答案:D
6.如图用□表示一个立方体,用 表示两 个立方体叠加,用■表示三个立方体叠加, 那么图中有7个立方体叠成的几何体,从正 前方观察,可画出的平面图形是( )
在正视图的右面,高度与正视图一样,宽度
名师讲解 1.中心投影 光由一点向外散射形成的投影叫做中心
投影.中心投影的投影线相交于一点.中心 投影得到的图形与原来图形相差较大,但 直观性强,它与人的视觉效果一致,最像原 来的物体,常用来绘画.
2.平行投影 在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影.平行投影 的投影线是平行的,当投影线正对着投影面时,叫做正投影,其 余的叫做斜投影.平行投影包括斜二测画法与三视图.
题型二 画实物图形的三视图
例2:如下图是截去一角的长方体,画出它 的三视图.
解:根据长方体的轮廓线和各面交线画出三视图. 长方体截角后,截面是一个三角形,在每个视图中反映为不 同的三角形.三视图为下图.
规律技巧:在画三视图时可见轮廓线都要画成
变式训练2:画出如图所示各物体的三视图.
答案:(1)如图所示 (2)如图所示
基础强化
1.人在灯光下走动,当人逐渐远离灯光时,其影子的长度将( )
A.逐渐变短
B.逐渐变长
C.不变D.以上都不对
答案:B
2.对几何体的三视图,下面说法正确的是( ) A.正视图反映物体的长和宽 B.俯视图反映物体的长和高 C.侧视图反映物体的高和宽 D.正视图反映物体的高和宽
高中数学必修二空间几何体的三视图和直观图知识点
高中数学空间几何体的三视图和直观图知识点1.多面体的结构特征(1)棱柱有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，每相邻两个四边形的公共边平行。
正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体.反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形.2.旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到.3.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图.三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.4.空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变.。
高一数学,必修二,空间几何体的三视图,直观图
空间几何体的三视图与直观图开篇语上一讲我们认识了柱体、锥体、台体、球体以及简单组合体的结构特征。
为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想像空间几何体的形状和结构，这是我们这一讲要研究的主要内容——视图。
我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义。
一、中心投影与平行投影1.投影：光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。
2.中心投影：把光又一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；3.平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。
平行投影的投影线是平行的，在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影；否则叫做斜投影。
在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的。
例如，一个三角板在中心投影和不同方向的平行投影下所产生的投影如图：我们用平行投影的方法，画空间几何体的三视图和直观图。
二、空间几何体的三视图把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形难以把握几何体的全貌，因此，我们需要从多个角度进行投影，才能较好地把握几何体的形状和大小。
通常，总是选择三种正投影：一种是光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正（主）视图；一种是光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧（左）视图；第三种是光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
一个几何体的侧视图和正视图高度相等；俯视图与正视图长度一样；侧视图与俯视图宽度相同.题一：请画出圆柱和圆锥的三视图.题二：请画出下面不同放置情况的正三棱柱的三视图.题三：一个几何体的三视图如图，请说出它对应的几何体的名称.bF侧视图俯视图正视图(1)(2)(3) (4)(5)题四：一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为( )以上都是简单几何体的三视图，再看这样一个几何体.三、空间几何体的直观图要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的画法。
必修二1.2空间几何体的三视图和直观图
投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的 平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影
光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．其投影 线交于一点(投影中心)．
在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间 的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．
正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方 便，在作图中应用最广泛． 斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图 比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一 种辅助图样．
三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果
S
投 射 方 向
物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则 为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．
主视图
高 平 齐 长对正 宽相等
左视图
俯视图
例3.请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型． 圆锥
圆台
冰淇淋
思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图，想象它们表示的组合体的结 构特征，并作适当描述.
正视图 正视图 侧视图
侧视图
俯视图
俯视图
练9.画出下面马蹄形磁铁的三视图.
俯
左
练10.从三个方向看下图，试作出其三视图.
正 视 图
左 视 图
正 视 图
左 视 图
俯 视 图
俯 视 图
如何作出空间几何体的三视图？
(1)分析从几何体的正前方、正左方、正上方 所看到的正投影图; (2)按照“长对正、高平齐、宽相等”作出对 应的三视图; (正视图和俯视图一样长,正视图和侧视图一样 高,俯视图和侧视图一样宽) (3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示， 不能看见的用虚线表示.
高中数学必修2空间几何体的三视图和直观图
俯视图
圆锥的三视图
正视图 侧视图
俯视图
思考：下列两组三视图分别是什么几何体？
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
俯视图
圆台
三棱锥
一个几何体的三视图如下，则这个几 六棱锥 何体是______
正视图
主视图
左视图
俯视图
俯视图
画法说明
1、同一张图样中，同类图线的宽度应基本一致。 2、虚线、点划线相交时，应使两小段相交。
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
A
B
O
x
N
C
斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点．画直观图时，把它画成对应的 x 轴、 轴,使 xOy=45 或135 ,它确定的平面表示水平 y 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半．
y
F
M
E D
A
y
F M E
N
A
B
O
x
N
B
O
D
C
x
C
3 连接AB,CD,EF,FA,并擦去辅助线x轴和y轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图ABCDEF
y
F
M
E D
y
A
B
O
1.2空间几何体的三视图和直观图
正、俯视图长对正 正、侧视图高平齐 俯、侧视图宽相等
上述正、俯、侧三个视图之间的关系，通常称为 “长对正、高平齐、宽相等”的三等关系，不 仅适用于整个物体的投影，也适用于物体上每个局 部结构的投影。
思考1:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别 是什么？
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯பைடு நூலகம்图
1.2
空间几何体的三视图和直观图
第一课时
投影与三视图
物体在阳光或灯光照射下,就会在地面或墙壁 上产生影子,这就是投影,如图所示:
投射中心
投射线 投影 投影面
• 投影法分类
1. 中心投影法
光由一点向外散射形成的投影。如图，投射 线汇交于投影中心，此时三角板的投影不反映 其真实形状和大小。
2. 平行投影法如图
正 视 图 长对正 俯 视 图
高 平 齐
侧 视 图
三视图 展开图
在侧视图、俯视图上都体现形体的宽度，且是同 一形体的宽度，是相等的，我们称之为宽相等。
三视图的投影规律
物体有长、宽、高三个方向的尺寸。如果把物体 左右方向的尺寸称为长，前后方向的尺寸称为宽， 上下方向的尺寸称为高，则正、俯视图都反映了物 体的长，正、侧视图都反映了物体的高度，俯、侧 视图反映了物体的宽度。因此，三视图存在着以下 投影关系：
思考2:球的三视图是什么？下列三视图 表示一个什么几何体？
正视图
侧视图
俯视图
例1 如图是一个倒置的四棱柱的两种 摆放，试分别画出其三视图，并比较它 们的异同.
正视
正视
正视图
侧视图
正视
俯视图
A
B
高中数学必修二1.2空间几何体的三视图和直观图
正视图
侧视图
高
长
宽
俯视图
宽
画三视图必须遵循的法则：
高平齐
正视图 侧视图
从上面看 从 左 面 看 从正面看 长对正
高
宽
长
宽
俯视图
宽相等
理一理:
画三视图必须 遵循的法则：“长 对正，高平齐，宽 相等”
三视图表达的意义 从前面正对着物体观察，画出正视图，主视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形． 从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布 置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和 宽及上下两个面的实形． 从左向右正对着物体观察，画出侧视图，布 置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和 高及左右两个面的实形.
正视 图
侧视图
宽相等
长对正
俯视图
小结
反馈
三视图
三视图
正视图——从正面看到的图
侧视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 画物体的三视图时,要符合如下原则: 位置： 正视图 侧视图
俯视图 大小：长对正,高平齐,宽相等. 挑战“自我”,提高画三视图的能力.
练一练
请同学画出下列物体的三视图
1：
主视图
左视图 俯视图
2：
主视图
左视图
俯视图
例4. 给出物体的三视图，作出该物体的实物形状图
主视图
左视图
俯视图
练习：给出物体的三视图，作出该物体的实物形状图
主视图
左视图
俯视图
例3 根据三视图判断几何体
圆台
正视图
侧视图
俯
侧
俯视图
圆 台
正
例4 根据三视图判断几何体
高中数学必修二第一章空间几何体的结构特征及三视图和直观图
高中数学必修二第一章空间几何体的结构特征及三视图和直观图学习目标1. 能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测法画出它们的直观图．2.了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．3.从近三年的新课标高考试题来看，三视图已成为必考内容，应引起高度重视.知识再现•1．几何体的三视图是指：正视图、侧视图、俯视图．又称为：主视图、左视图、俯视图．•2．三视图的画法要求•(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，单位不注明，则按mm计．•(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廊线．画三视图的基本要求是：“正俯一样长、正侧一样高、俯侧一样宽”．•(3)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则．•3．平面图形的直观图画法•在斜二测画法中，平行于x轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度减半．•4．平行投影的投影线互相平行；中心投影的投影线相交于一点．教材回归例题1．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是( )•A．球•B．正方体•C．圆锥•D．长宽高互不相等的长方体•答案 C例2 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a的等腰三角形，俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的表面积是________．•例3由下列几何体的三视图画出直观图．•例4 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．※动手试试1.下列三个命题，其中正确的有 ( ）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台.A.0个B.1个C.2个D.3个2.关于直观图画法的说法中，不正确的是（）A.原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，其长度不变B.原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，长度不变C.画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于135°D.作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同3. 如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A.④③②B.①③②C.①②③D.④②③4.(2011届·江苏常州调研）如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形5. 四棱台的上下底面均为正方形，它们的边长分别为2 cm和6 cm，两底面之间的距离为2 cm,则该四棱台的侧棱长为（）A.3cmB.22cmC.23cmD.5cm6. 已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C ′（斜二测画法）是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为（）A.2a2B.32a2 C.62a2 D.6a2二、填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分）7.(2011届·山东威海质检）如下图所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是下图的（要求：把可能的图的序号都填上）. 8.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 .9. 如图所示的立体图形，都是由相同的小正方体拼成的.(1）图①的正视图与图②的相同.(2)图③的与图④的不同.三、解答题10.根据三视图(如图)想象物体原型，并画出直观图.12.（2011届·浙江台州模拟）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V.（2）求该几何体的侧面积S.。
必修2——1.2空间几何体的三视图和直观图
空间几何体的三视图和直观图
1.2.1平行投影和中心投影 1.2.2空间几何体的三视图 1.2.3空间几何体的直观图
1.2.1平行投影和中心投影
光是直线传播的.由于光的照射，一个不透 明物体在光的照射下，在物体后面的屏幕 上会留下这个物体的影子，这种现象叫做 投影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
正视图
侧视图
正视 俯视图
简单几何体的三视图 例2 将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的 部分如图所示，试画出这个组合体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
简单几何体的三视图
例3 说出下面的三视图表示的几何体的结构特
征.
正视图
侧视图
俯视图
1.2.2空间几何体的三视图
知识小节
1.三视图的画法 2.柱、锥、台、球的三视图 3.简单几何体的三视图
思考 4
圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
圆柱
正视图 侧视图
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
圆锥
正视图
侧视图
.
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
圆台
正视图
侧视图
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
思考 5
球的三视图是什么？ 下列三视图表示一个什么几何体？
正视图
侧视图
俯视图
柱、锥、台、球的三视图
例 如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放，试 分别画出其三视图，并比较它们的异同.
正视图
侧视图
俯视图
简单几何体的三视图 如图，桌子上放着一个长方体和一个圆柱，若 把它们看作一个整体，你能画出它们的三视图吗？
正视图
侧视图
正视
高中数学必修二1.2空间几何体的三视图和直观图
1.2空间几何体的三视图和直观图知识点1 平行投影和中心投影基本概念：光由一点向外散射而成的投影叫做中心投影，把一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。
知识点2 三视图三视图的相关概念：正视图，侧视图（左向右），俯视图画三视图的规则：正视图侧视图一样高，正视图俯视图一样长，俯视图侧视图一样宽。
（长对正、高平齐、宽相等）能看见用实线，不能看见用虚线。
知识点3 常见几何体的三视图圆柱、三棱柱、四棱锥、球知识点4 斜二测画法（直观图）斜二测画法:1在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴,使Lx0z=90°,且.LyOz=90°.2画直观图时,把Ox,Oy,Oz.2画成对应的轴O'x',O'y',O'2',使Lx'0'y'=45°(或135°),Ly'0'z'=90°。
x'O'y'所确定的平面表示水平平面.3已知图形中,平行于x轴、y轴或z轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.4已知图形中平行于x轴或z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半5画图完成后,擦去作为辅助线的坐标轴,就得到了空间图形的直观图.6用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的V2直观图的面积是原图形面积的四分之根号二。
（课本16页例1、例2）基础训练：习题1.2 A组1、2。