南昌大学考研数学专业真题

南昌大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、 判断题（每小题6分，共30分，对的请证明；错的请举例） 1、 若),,3,2(,10 =<<n q n 则必有0)(lim =∞→nn n q2、 设)(x f 定义在[a,b]上，)(x f 在（a,b ）上连续，0)(],,[,0)(,0)(00=∈<>x f b a x b f a f 使则比存在且3、 也收敛。

收敛时，，则当满足和若级数∑∑∑∑∞=∞=∞→∞=∞==11110lim n n n n nnn n n n n a b b a b a 4、 若存在。

存在，则),(lim lim ),(lim 000y x f y x f y y x x y y x x →→→→5、 若曲面S 为：σσ⎰⎰⎰⎰=++=++SnSd Rd z y x R z y x ),2222222（则。

二、 计算题（每小题12分，共60分） 1、 求)sin1(sin lim x x x -+∞→2、 求⎰→x x dt t x 020cos 1lim3、 设222,,,,,),,(z uy x u z u x u z y t y x s t s f u ∂∂∂∂∂∂∂∂∂===求4、 的和函数求幂级数∑∞=--11212b n n x5、 应用斯托克斯公式计算dzx y dy z x dx z y C)()()2(-+-++⎰按右手法则。

法向量的的方向与平面与坐标平面的绞线，是平面其中)31,31,31(1z y x 1==++=++→n C z y x C三、 证明题（每小题12分，共60分） 1、 从定义出发，证明数列})1{(n-发散 2、 证明：（i ）函数;10]1,[1)(<<=a a xx f 上一致连续，其中在 （ii ）函数上非一致连续，在（]10ln )(x x g =3、 证明：对任意的x e xe x ≤+∞-∞∈成立不等式，),,(4、 证明：若上在上有界，则函数在矩形区域与D y x f D y x f y x f y x ),(),(),(''一致连续。

5、 证明：（i ）对任意收敛；dx x xa n⎰+∞+>12,2 （ii ）dx x xn ⎰+∞+12 在关于）上非一致收敛；，在（∞+2a 、 （iii ）函数）上连续。

，在（∞++=⎰+∞22)(1dx xxa F n南昌大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、判断题（每小题6分，共30分。

对的请证明，错的请举反例） 1、 若1>n q +∞==∞→nn n q n )(lim ),2,1(则必有2、 若是无穷小。

其中则))((),()(,)(lim a x x A x f A x f ax →+==→αα3、 若函数),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(lim lim 00y x f y y x x →→与),(lim lim 00y x f x x y y →→均存在。

4、 若暇积分也收敛。

为瑕点）。

则收敛（⎰⎰babadx x f a dx x f )(|)(| 5、 若上不可积。

在不可积，则在上可积，在],[)()(],[)(g ],[)(b a x g x f b a x b a x f 二、计算题（每小题12分，共60分） 1、。

))1(1321211(lim +⋅+⋅+⋅∞→n n n 2、.1lim1∑=∞←+nk n k n 3、将函数=)(x f ⎩⎨⎧02ππ≤<≤<-x x 00展成傅立叶级数，并画出图像的傅立叶级数和函数的)(x f4、设C 是xy 平面上以原点为圆心半径为1的圆周，其方向是顺时针方向，求 dy ex dx y Cy)3()6(sin ⎰+++5、求的方向导数沿任意射线在点，l y x y x f )0,0()(22+=三、 计算题（每小题12分，共60分） 1、 用柯西收敛准则证明不存在。

xx 1sinlim 0→ 2、 证明）上非一致连续，）上连续，而在（，在（10101)(2xx f = 3、 证明i ）收敛级数xx n n n 31sin2),,0(1∑∞=+∞∈∀ ii ）函数级数）上非一致连续，在（∞+∑∞=031sin21n n n x有使得即存在常数满足李普希兹条件，连续；对上，且对定义在、设二元函数,),(),,(,0),(4'''2D y x y x l y x R D y x f ∈∀>⊂|||,(),(|''''''y y L y x f y x f -≤-证明：上连续。

在D y x f ),(5 、证明：若数列｝必存在两个子列，，则｛｝无界，但｛n n n n x x x 0lim ≠∞→一个子列收敛，另一个子列（当时）是无穷大∞→n南昌大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试试题一、 判断题（每小题6分，对的请证明，错的请举反例）1、 若0,lim ,>=∈∀∞→x x x N m n n n 则且2、 若函数],[)(b a x f 在上连续且在),b a （内可导，则)(x f 在],[b a 上必可导。

3、 若数值级数1a1n1≥∑∑∞=∞=r x a n n n n 的收敛半径收敛，则相应的幂级数4、 均不存在。

均不存在，则与若),(lim ),(lim lim ),(lim lim 0000y x f y x f y x f y y x x x x y y y y x x →→→→→→若无穷积分0)(lim )(=+∞→+∞⎰x f dx x f x a收敛，则二、 计算题（每小题12分，共60分）1、 求xx x )311(lim 0++∞→ 2、 求二重积分⎰⎰-ππππy dx x xdy sin 23、 用斯托克斯公式计算是抛物面，其中C zdz dy y xydx C⎰++2222y x z +=-被平面z=1截下一块光滑球面S 的边界，C 逆时针方向为正向。

4、 设z=)cos ,(y x xe f y +，求yzx z ∂∂∂∂， 5、 求曲线)02121(0,1222，，在你p z y x z y x =++=++的切线方程与法平面方程三、 证明题（每小题12分，共60分）1、 从定义出发证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n 的极限不是0。

2、 证明：若函数上也可积。

在上可积，则函数在],[)]([],[)(2b a x f b a x f 3、 从定义出发证明），上一致连续，在（在∞+∞-=-)1,1()(2x x f 上非一致连续。

4、 设函数{}n x 满足条件0)(lim ,0)(lim 12==---∞→-∞→nx x x x n n n n n n 证明：5、 证明（1）函数级数∑∞=-1n nxne的收敛域为),0(+∞（2）函数级数∑∞=-1n nx ne 在),0(+∞上非一致收敛（3）若令),,0(,)(1+∞∈=∑∞=-x ne x f n nx ）上连续，在（则∞+0)(x f1、（20分）计算n 级行列式：nn n a a a a a a a a a a a a D +++=1113213213212、（25分） 设)(),(),(x d x g x f 和)(x u 都是数域P 上一元多项式，且)(x u 的次数大于零。

证明：)(x d 是)(x f 和)(x g 的最大公因子。

当且仅当))((x u d 是))((x u f 和))((x u g 的最大公因子3、（25分）设V 是数域P 上n 维向量空间，σ是V 的一个线性变换，证明：若V 中每个非零向量都是σ的特征向量，则有某个P a ∈，使得对于每个αασαa V =∈)(,4、（25分）设n 级矩阵A 满足级单位矩阵，证明：为其中n E E A ,2=n A E A E =++-))秩（秩（5、（27分）设E 是一个欧式空间，中一组向量，是E a a a m ,,,21m a a a ,,,21 证明：向量组的秩等于下面矩阵的秩：A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a 其中βαβα和为向量),(的内积。

6、（28分）设A 是一个n 级实对称矩阵，A P P P n 是,,,21 的顺序主子式， 证明：若则其中n m m i P i≤≤=>1.,2,1,0 A 至少有m 个正的特征值，这里重特征值的个数按重数计算1、（20分）计算n 级行列式：xaaaa a x a a a a x D=2、（25分）设)(x f ，)(x g 和)(x u 都是数域P 上一元多项式，且)(x u 的次数大于零， 证明：)(x f 和)(x g 互素，当且仅当))((x u f 和))((x u g 互素。

3、（24分）设n 级矩阵A 满足0=K A ,其中K 为一个正整数，证明：0=n A 。

4、（26分）设V 是数域P 上一个向量空间，n ααα,,,21 是V 中一组向量，其中n>1,},2,1,|),,,{(21n i P a a a a P i n n =∈=是数域P 上n 维行向量空间，且W是nP 的如下子集：W=｛（n a a a ,,,21 ）0|2211=++∈n n a a a P ααα ｝证明： （1）W 是nP 的一个子空间。

（2）若m ααα,,,21 是向量组n ααα,,,21 的一个极大线性无关组这里n m i a a n m m im i i ,,1,,111 +=+=≤≤ααα且。

则子空间W 有如下一组基：（,,0,1,,,,,12,11,1 -+++m m m m ααα），…，()1,,0,0,,,,,2,1,- m n n n ααα5、（27分）设E 是一个人n 维欧氏空间，A 是E 的一个线性变换，证明：A 是E 的一个对称变换，当且仅当对于E 的任意一个标准正交基，A 在该基下的矩阵为对称矩阵。

6、（28分）设A 和B 都是n 级实对称矩阵，且A='C BC ，其中C 是一个n 级实矩阵，而'C为矩阵C 的转置。

证明：A 的正惯性指数和负惯性指数都不超过矩阵B1、（20分）计算n （n>1）级行列式xax a a a a x D00=2、（25分）设)(x f 是复数域上一个常数项不为零的单元多项式，n 为一个正整数，证明：)(x f 没有重根，当且仅当)(n x f 没有重根。