一个偏积分微分方程的数值解
偏微分方程组数值解法
偏微分方程组数值解法
偏微分方程组是描述自然、科学和工程问题的重要数学工具。
由于解析解通常难以获得，因此需要使用数值方法来解决这些方程组。
本文将介绍偏微分方程组的一些数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法和边界元法等。
有限差分法是一种基本的数值方法，将偏微分方程转化为差分方程，然后使用迭代算法求解。
该方法易于理解和实现，但对网格的选择和精度的控制要求较高。
有限元法是目前广泛使用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为变分问题，并通过对函数空间的逼近来求解。
该方法对复杂几何形状和非线性问题有很好的适应性，但需要对网格进行精细的划分，计算量较大。
谱方法是一种高精度的数值方法，它将偏微分方程转化为特征值问题，并使用级数逼近来求解。
该方法在高精度求解、解析性质研究和数值计算效率方面具有优势，但需要对函数的光滑性和周期性有较高的要求。
边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，并使用离散化方法求解。
该方法适用于求解边界问题和无穷域问题，但对边界的光滑性和边界积分算子的性质有较高的要求。
总之，在实际问题中选择合适的数值方法需要综合考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。
偏微分方程数值求解方法
偏微分方程数值求解方法偏微分方程数值求解方法是使用计算机算法来近似求解偏微分方程的过程。
偏微分方程是描述物理现象和自然现象的主要工具，但大多数偏微分方程不能通过解析方式求解，因此需要使用数值方法进行近似求解。
常用的偏微分方程数值求解方法包括有限差分法、有限元法、谱方法、边界元法和逆时空方法等。
1. 有限差分法有限差分法是一种最简单的数值求解方法，它将偏微分方程中的导数离散化为差分的形式，然后通过有限差分公式求解。
在有限差分法中，将求解区域离散化为网格，然后在每个节点上求解方程，通过节点之间的连通关系建立系数矩阵，最终利用线性代数方法求解线性方程组。
2. 有限元法有限元法是一种广泛运用的数值求解方法，它将求解区域离散化为有限个子域，然后在每个子域内近似求解方程。
有限元法是一种基于变分原理的方法，通过将偏微分方程转化为变分问题，然后在有限维的函数空间中建立逼近函数，最终利用变分方法求解方程。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶变换的数值求解方法，它将求解域上的函数表示为傅里叶级数的形式，然后通过求解系数来近似求解方程。
谱方法具有高精度、高效率的优点，但对于非周期边界和奇异性问题可能不适用。
4. 边界元法边界元法是一种基于积分方程的数值求解方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，然后在求解区域表面上求解方程。
边界元法不需要离散化求解区域，仅需在求解区域表面上采集节点，并通过节点之间的关系建立系数矩阵。
5. 逆时空方法逆时空方法是一种利用观测数据反演偏微分方程的数值求解方法，它通过最优化算法将观测数据反演为偏微分方程的参数。
逆时空方法对模型假设和观测数据的噪声较为敏感，但可以应用于各种偏微分方程的求解。
数值计算中的偏微分方程数值积分求解
数值计算中的偏微分方程数值积分求解偏微分方程在科学研究和工业应用中扮演着重要的角色，例如在流体力学、热传导、电磁场分析、量子力学等领域都有广泛的应用。
但是，由于偏微分方程的复杂性，精确的解法往往难以求得。
这时，数值计算就成了一种有效的求解方式。
而在数值计算中，数值积分是一种非常重要的方法，用来求解偏微分方程的数值解。
数值积分的基本思想是将函数在一定区间内进行合理的近似，从而得到定积分的数值逼近值。
在偏微分方程数值解中，数值积分主要用于离散化算法的实现和误差控制。
数值积分的方法主要有牛顿-柯茨公式、辛普森公式、梯形公式等，这些数值积分方法在偏微分方程的数值解中得到了广泛的应用。
一、牛顿-柯茨公式牛顿-柯茨公式是一种数值积分方法，可用于求解常微分方程初值问题和偏微分方程边值问题。
它是利用公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_{i}f(x_{i})$ 进行逼近。
其中，$A_{i}$ 为权系数，$x_{i}$ 为节点，$n$ 为网络上的单元数。
牛顿-柯茨公式用来求解普通微分方程初值问题时，节点$x_{i+1}$ 要比$x_{i}$ 大一个步长$h$，节点的选择与步长有关，通常使用一些微分方程的求解方法来确定节点和权系数，如龙格-库塔法、欧拉法等。
对于偏微分方程求解，节点的选择会有所不同，通常先将区域进行网格划分，然后选择网格节点来表示整个区域的逼近值。
这时，权系数的选择也与网格节点的整体性质有关，常见的选择有拉格朗日插值、奇异积分法等。
二、辛普森公式辛普森公式是一种三点数值积分方法，用于近似定积分计算。
其原理是将定积分区间等分为若干个小区间，每个小区间用一个二次多项式逼近被积函数，从而得到整个区域的逼近值。
公式如下：$\int_{a}^{b}f(x)dx ≈ \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) +f(b))$辛普森公式具有精度高、实用性强等优点，在偏微分方程求解中得到了广泛应用。
一类偏积分微分方程的数值解法
本 文研究 一类 线性 偏积 分微 分方 程 ：
Ｉ（， 一 （一 ）／ ｚｓｓ 厂 ， ， ｚ￡ Ｉ￡ ｓ１‘ ，ｄ＝ （ ￡ Ｕ ） ｔ － （ ） ２ ｚ ｚ）
１（￡ ｚ ， ：， ≤ ≤Ｔ ０） ‘ ￡ ０ ０ ￡ ， ｚ， ： （ ） ‘ １
【（， ： ｚ，０ ≤１ Ｈｚ０ （） ≤ｚ ． ）
Ｊ ｎ
方 向采 用 线性 有 限元 离散 ， 间 ｔ 向采 用 Ｌ ｂ ｈ的拉 普 拉 斯 变换 数 值 逆 ， 出数 值 解 的精 度 较 高 ， 算 也 比 较 时 方 ｕｉ ｃ 得 计
简便 ．
关 键 词 ： 微 分 方 程 ； 限元 ； 普拉 斯 变换 ； 偏 有 拉 数
中 图分 类 号 ： ２ １８ Ｏ ４ ． 文献 标 识 码 ： Ａ
由 罗 朗 定 理 ［ 有 ４ 】
（ ．） １ ４
收 稿 日期 ： ０ ７０ ． ５ ２ ０ —１１ 基 金 项 目 ： 家 自然 科学 基 金 资 助 项 目（ ０７ ０ ６ 国 １２ １４ ） 作 者 简 介 ： 丽 梅 （９ ４ ）女 ， 师 ， 士 ， 黎 １７ － ， 讲 硕 主要 从 事计 算 数 学 研 究
维普资讯
第 ８卷 第 ３期
２０ ０ ７年 ６月
北 华 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＡＬ Ｏ Ｅ ＨＵ Ｏ Ｎ Ｆ Ｂ Ｉ Ａ ＵＮＩ Ｅ Ｓ Ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ（ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｅ
Ｌ ｂｃ ｕｉ ｈ的拉 普 拉斯 变换数 值逆 ．
１ Ｌ ｂｃ ｕ ｉｈ的拉 普 拉 斯 变 换 数 值 逆
给 出网格 ￡＝ ０ ｈ，ｈ， ， ， ２ … Ｎｈ， 卷积
偏微分方程的几种数值解法及其应用
1 常微分方程及其数值解法1.1 常微分方程概述在数学上，物质的运动和变化规律是通过函数关系来表示的，在一些复杂的现象中，我们要求的未知量就变成了满足特定条件的一个或一些未知函数。
有的时候，我们需要利用导数或者微分的关系，即这些未知函数的导数与自变量满足某种关系，这种方程我们称之为微分方程。
未知函数是一元函数的微分方程称之为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程我们称之为偏微分方程，我们这里只考虑常微分方程。
常微分方程的解，就是找出一个代入方程使之成为恒等式的函数。
若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解。
当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。
在实际问题中，这些函数往往还需要满足一些特定条件，这称之为定解条件。
但在实际问题中，很多常微分方程的解析表达式过于复杂，甚至得不到通解的解析表达式。
而且，常微分方程的特解是否存在，存在几个特解，这涉及到微分方程解的存在性和唯一性定理。
因此，在实际应用中，我们通常利用数值的方法来求得方程的数值解，在误差允许的范围内，我们用数值解来替代解析解。
所以，研究常微分的数值解法是很有必要的。
2.2 常微分方程的数值解法常微分方程的数值解法是有常微分方程的定解条件提出的，首先我们考虑如下一阶常微分方程的初值问题。
()()00(,)dx t f x t dtx t x⎧=⎪⎨⎪=⎩（2.1） 2.2.1 欧拉法欧拉法（又称差分法）是常微分方程初值问题数值解法中最简单最古老的方法，它的基本思路是将（2.1）式中导数项用差分来逼近，从而将一个微分方程转化为一个代数方程，以便迭代求解。
根据用于逼近的差分方式来分，可以分为向前差分、向后差分、中心差分。
()()()()()()()()()111112l l l l l l l l l dx t x t x t dt tdx t x t x t dt tdx t x t x t dt t++++--=∆-=∆-=∆ （2.2） 上式中，分别为向前差分法、向后差分法、中心差分法。
数值计算中的偏微分方程解法
数值计算中的偏微分方程解法偏微分方程在科学、工程和金融等领域都有广泛的应用。
在现实生活中，许多问题都涉及到偏微分方程的解法，比如天气预报、机器学习和金融衍生品定价等。
然而，解析解并不总是可行的，因此需要数值计算方法来解决这些问题。
在本文中，我们将探讨数值计算中的偏微分方程解法。
一、有限差分法有限差分法是偏微分方程数值解法中最基本的方法之一。
该方法通过将偏微分方程中的导数用差分近似公式表示出来，然后建立一个离散的空间和时间网格。
在网格上求解方程，得到数值解。
例如，考虑一个二维热传导方程：$$ \frac{\partial u}{\partial t}= \alpha \left( \frac{\partial ^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \right) $$其中，$u(x,y,t)$是温度分布，$\alpha$是热传导系数。
我们可以将该方程在空间上进行离散化，用差分近似公式表示出导数。
以二阶中心差分为例，有：$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} \approx \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2} $$$$ \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} \approx \frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2} $$其中，$u_{i,j}$表示网格点$(i,j)$处的温度。
同样地，时间上也进行离散化，用前向差分公式表示导数，即：$$ \frac{\partial u}{\partial t} \approx \frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t} $$将上述离散化的结果代入方程中，可以得到：$$ \frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t}= \alpha\left( \frac{u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n}{\Delta x^2}+\frac{u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n}{\Delta y^2} \right) $$整理得到：$$ u_{i,j}^{n+1}= u_{i,j}^n+ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i-1,j}^n)+ \frac{\alpha \Delta t}{\Delta y^2} (u_{i,j+1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j-1}^n) $$这样，我们就可以用迭代法求解上述方程，得到网格上的温度分布。
偏微分方程的数值解法与逼近方法
偏微分方程的数值解法与逼近方法一、引言偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是数学中重要的研究对象，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
由于PDEs的解析解往往难以得到，因此数值解法和逼近方法成为解决PDEs问题的重要手段。
二、数值解法1. 有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法通过将连续的偏微分方程转化为离散的差分形式，利用差分近似代替微分运算，从而得到数值解。
其中，向前、向后和中心差分是常用的差分近似方法。
2. 有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种将求解区域划分为有限个小单元，在每个小单元上建立局部近似函数，并通过将这些局部函数组合得到整个解的近似。
该方法适用于复杂几何形状和非均匀网格的情况。
3. 有限体积法（Finite Volume Method）有限体积法将求解区域划分为小单元，但与有限元法不同的是，它考虑了守恒量在每个小单元中的变化情况。
通过建立控制体积并利用守恒定律，将偏微分方程转化为积分形式进行计算。
三、逼近方法1. 特征线方法（Method of Characteristics）特征线方法利用特征线的性质对偏微分方程进行求解。
通过对特征线方程进行积分，可以将PDEs转化为常微分方程（ODEs），从而得到数值解。
2. 辛方法（Symplectic Method）辛方法是一种在保持系统辛结构的同时进行数值求解的方法。
它适用于哈密顿系统和保守系统的求解，具有优秀的长期数值稳定性和能量守恒性。
3. 射影方法（Projection Method）射影方法是通过将PDEs投影到更低维度的空间中进行近似求解的方法。
通过将偏微分方程分解为几个步骤，如速度-压力分裂和时间分裂，可以以更高效的方式求解复杂的PDEs。
四、数值算例为了验证偏微分方程的数值解法和逼近方法的有效性，我们选取了经典的热传导方程（Heat Equation）作为例子进行数值算例演示。
偏微分方程的数值解法和应用
偏微分方程的数值解法和应用偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是数学中的一个重要研究领域，它是数学建模和物理学、工程学中的重要工具之一。
通常情况下，我们可以通过一些解析方法求得偏微分方程的解析解，但是这种方法并不适用于所有情况，因此，数值解法的研究具有重要意义。
一、偏微分方程的求解偏微分方程的求解可以分为两类：解析解和数值解。
解析解是指通过一些解析方法求得的该方程的精确解，而数值解是指通过一些数值计算方法求得的该方程的近似解。
1. 解析解对于简单的偏微分方程，我们可以通过分离变量、变换变量、特征线等方法求得其解析解。
例如，对于泊松方程：$$\nabla^2 u=f(x,y)$$我们可以通过分离变量的方法得到：$$u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^\infty a_{nm} \sin\frac{n\pi x}{L} \sin\frac{m\pi y}{W}$$其中：$$a_{nm}=\frac{4}{nm\pi^2}\int_0^W\int_0^L f(x,y)\sin\frac{n\pi x}{L}\sin\frac{m\pi y}{W} dx dy$$这是一个完整的解析解，可以用于解决实际问题。
然而，大多数情况下，偏微分方程并没有解析解，因此我们需要寻求数值解法。
2. 数值解在实际工程问题中，偏微分方程往往具有复杂的形式，不可能通过解析方法求得其解析解。
这时，我们需要使用计算机数值方法求得其数值解。
数值解法中的常见方法包括：差分方法、有限元法、有限体积法、谱方法、边界元法等。
其中，有限元法和有限体积法是比较常用的数值解法。
有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种将求解区域离散为许多小单元的方法，把偏微分方程转化为一个线性方程组。
在有限元法中，通常采用三角形或四边形做为单元。
具体的，有限元法的步骤如下：（1）离散化：将求解区域划分成若干个小单元，对单元内的未知函数用多项式进行逼近。
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The Numerical Solution of A Partial Differential Equation
WU Zhong-huai
( Department of Electrical and Mechanical Engineering,Y ueyang Vocational and Technical College Yueyang 414000,China)
∫ ai (0) = u0 (xi ) =
i (1− i ), NN
t
1
L [ 0 (t − s)2 ai (s)ds] =
π z
ϕi
(z)
.
对(7)取拉氏变换, 则得全离散矩阵
⎛ ⎜
2z
+2
π N
⎜ 3N
z
⎜ ⎜
z−
π N
⎜ 6N z
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝
z−
π N
6N z
2z + 2
π N
3N
z
%
z−
参考文献
[1] D.L.Jagerman. An Inversion Technique for the Laplace Transform with Application to Approximation[J]. B.S.T.J., 1978, (3): 669~710 [2] D.L.Jagerman. An Inversion Technique for the Laplace Transform[J]. B.S.T.J.1982, 61(8): 1995~2002 [3] 傅凯新, 黄云清, 舒 适. 数值计算方法[M]. 长沙：湖南科学技术出版社, 2002 [4] 林 群. 微分方程数值解法基础教程[M]. 北京：科学出版社, 2001 [5] P.P.Korovkin. Linear Operations and Approximation Theory[M]. New York: Gordon and Breach, 1960 [6] W.McLean, V.Thomee. Time Discretization of an Evolution Equation via Laplace Transforms[J]. AMR, 2003, (7): 1~27
积分项, 从而得到一个偏积分微分方程. 我们将研究下面一类偏积分微分方程的数值解[1,2]：
∫ ⎧⎪⎪⎨uut((tt,,0x))=−u
t (t − s)−1/
0
(t,1) = 0,
2 uxx (s, x)ds (0 < t < T )
=
f (t, x),
(1)
⎪⎪⎩u(0, x) = u0. (0 < x < 1)
(6)
将(3) ~ (6)式代入(2)中的第一式, 且取 v(x) = φ j (x) 并矩阵化可得：
⎛2
⎜ ⎜
3N
⎜1
⎜ ⎜
6
N
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜ ⎝
1
6N 2
3N %
1 6N %
1 6N
% 2 3N 1 6N
⎞
⎟
1 6N
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a1′( z )
a
′
2
(上接第 6 页)
2 结束语
计算方幂和是一个著名的古典代数问题, 随着组合数学的发展, 目前很多人对它进行深入地研究, 有 关方幂和的各种计算法, 经常散见于各类数学刊物中. 本文从具体的方幂和问题着手, 研究了如何确定方 幂和组成的数列中指定位置项的值, 给出的两种算法中, 运用转换思想得到的转换法相对于直接法而言 更加的直观简洁.
取 N=6,
ai (t) ≈
(−1)n n!
z
n
ϕ +1 (n) i
(
z
)
z = n+1
( i = 1, 2,",5 ) .
t
首 先 u(0.2, 0.2) = 0.1743 ,
利用
mathematical
软件编程,
求
出
ϕ (n) i
(z)
(n = 1, 2,") , 将 结 果 代 入
u(2, 0.2)
= 0, xN
= 1, h =
1 N
,
xi
=
i ,1 < i < N −1, N
则基函数为[4]
⎧⎪0,
⎪
⎪ ⎪
Nx
−
i
+
1,
φi (x) = ⎨
⎪⎪i +1− Nx,
⎪
⎪0,
⎩
x < i −1, N
i −1 < x < i
N
N
i < x < i +1,
N
N
x
>
i
+
1 .
N
u(s, x) = a1 (s)φh1 (x) + a2 (s)φh2 (x) + " + aN −1 (s)φhN −1 (x)
收稿日期: 2008-08-12 基金项目: 国家自然科学基金资助(10271046) 作者简介: 吴忠怀(1962- ), 男, 湖南岳阳人, 硕士, 岳阳职业技术学院机电工程系副教授. 主要研究方向：计算数学
12
湖南理工学院学报(自然科学版)
∫ ∫ ∫ ∫ ⎧⎪
⎨
1
0 ut (t, x)v(x)dx +
应的数值解.
6
0.0529 0.0718 0.0792 0.0816 0.0885 0.0886
0.1214 7 0.1025 8 0.0951 9 0.0927 10 0.0858 11 0.0857 12
0.1041 0.1139 0.1218 0.1281 0.1339 0.1383
0.0702 0.0604 0.0525 0.0461 0.0404 0.036
(
z
)
⎞ ⎟ ⎟
a
′
3
(
z
)
#
⎟ ⎟ ⎟
a
′
N
−1
(
z
)
⎟ ⎠
+
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝
2N −N
2⎟
⎟
3N ⎠
−N 2N %
−N % −N
% 2N −N
⎛
∫ ⎜
∫∫ ∫∫∫ − N
2N
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
∫ ∫ ⎜⎜⎝
t
−1
⎞
(t − s)
0
2 a1 ( s )ds
13
⎛ ⎜ ⎜ ⎜
(2 + 3 − 7 ) π N 2N2 4N3 3
Z2
⎞ ⎛2
⎟ ⎟
⎜ ⎜
3N
⎟ ⎜1
⎜ ⎜ ⎜
(2 +
6
−
25 )
π
N N2 4N3 3
Z2
⎟ ⎟ ⎟
+
⎜ ⎜ ⎜
6N
⎜ ⎜
#
⎟⎜ ⎟⎜
⎜ ⎜(
2
+
3( N
− 1)
−
6( N
− 1)2
+ 1)
π
⎟ ⎟
⎜ ⎜
⎜⎝ N 2N 2
4N3
两边取积分
t
−1
∫ ut (t, x)u(x) −
(t − s)
0
2 uxx (s, x)v(x)ds =
f (t, x)v(x) .
整理得
1
1t
−1
1
∫ ∫ ∫ ∫ 0 ut (t, x)v(x)dx −
0
(t − s)
0
2 uxx (s, x)v(x)dsdx
=
f (t, x)v(x)dx .
0
≅
(−1)n n!
s
n
ϕ +1 ( i
n)
(s)
s = n+1
,
求得其近似值和误差见表 1.
2
4 结论
n
N=6
表 1 u(0.2,0.2)的近似值和误差
误差
n
N=6
误差
我们看到用拉普拉斯变换数值逆对一个 1
偏积分微分方程进行数值求解. 计算结果有
2 3
很高的精度. 这种方法计算比较简便, 还可 4
以根据精度的要求选取适当的 n 就能算出相 5
Key words: Laplace transform; inversion technique; finite element; partial differential equation
微分能描述一个系统在某一固定时刻的状况, 它不能反映过去效果的积累. 但在热传导、原子反应、
动力学和热点理论中, 它们常常反应系统的“记忆”功效, 这就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个
x)φ3 ( s)dx
பைடு நூலகம்
⎟ ⎟
#
⎟
⎟
1 0
f
(t,
x )φ N
−1 ( s ) dx
⎟ ⎠
(7)
3 用拉普拉斯变换的数值逆对 t 方向半离散
∫ 记 ai (t) 的拉氏变换为 ϕi (z) ,
即ϕi (z) =
∞ 0
ai
(t
)e
−
zt
dt
,
可知
L [ai′(t)]