3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程
刘霞--用向量证明线线平行、线面平行、面面平行
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程高三 数学 刘霞学习目标：.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.复习：1、两向量平行定义、向量与平面平行的定义。
2、共面向量基本定理。
3、线面平行判定定理及性质4、面面平行判定定理一、新课讲授：探究（一）：用向量的方法证明线线平行位置关系？与：若问题关系与重合，则与或：若问题的方向向量分别为，设21212121212121//v 2?v //1v l l v v l l l l v l l结论：探究（二）：用向量证明直线与平面平行位置关系？与位置关系？则直线与使：若存在唯一一对实数问题关系则不是若与是：若问题的方向向量共面，直线设不共线向量αααl v x y x v l v l l v 21212121y v ,,2?v ,?v 1v +=结论：推论：如果A,B,C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要条件是，存在一对实数x,y 使得 x y +=探究（三）：用向量证明平面与平面平行位置关系？与位置关系？则平面则：若问题位置关系则：若问题位置关系重合，则与：若问题共面，设不共线向量分别为βαβββββαββαα2121212121,v ,////v 3?,v //2?,v 1,v v v v v v结论：二、例题讲解：例1： 如图，正方体ABCD-A'B'C'D'，点M ，N 分别是面对角线A'B 与面对角线A'C'的中点。
(1) 求证：MN//侧面ADD' A ’(2) 求证： MN//AD'且 MN=21AD ’ (3) 求证：面A'C'B//面ACD'练习1已知矩形ABCD 和矩形ADEF ，AD 为公共边，但它们不在同一个平面，点M 、N 分别在对角线BD 、AE 上，且BM=31BD ，AN=31AE,证明直线MN//面CDE2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，P分别是BC，A1D1的中点，M，N分别是AE，CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a．求证：MN∥面ADD1A1．3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB 的中点．(Ⅰ)求证：AC⊥BC1；(Ⅱ)求证：AC1∥平面CDB1．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．课堂总结作业：课本98练习A,B。
直线的方向向量与直线的向量方程教案
教学重点、 重点：平面的法向量的概念及应用，正射影的概念，三垂线定理及其逆定理。
难点 难点：平面的法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及定理的应用。
根据诱思探究学科教学论中提出的学习方式来设计教学过程，遵循“探索—— 研究
教学方法 —— 运用”规律，侧重学生的自主学习，让学生动脑思考，整个教学过程贯穿“体验
4
（法向量在立体几何中的应用，使学生进一步明确学习法向量的意义） 练习 1：已知正方体 ABCD ABCD，分别写出平面 ABCD，平面 ABCD ，平面 ABCD 的一个法向量，并证明平面 ABCD 和平面 ABCD 互相垂直。 （学生思考交流，给出答案） 4．确定平面的法向量： 三、概念应用
（通过回顾 4 引出法向量概念，并暗示平面法向量的求法） 二、概念形成
1．平面的法向量的定义：
已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面 垂直，则向量 n 叫做平面 的法向量，或说向量 n 与平
面 正交。
（首先教师口述，之后学生看书填写学案法向量定义） 思考：
（1）平面 的一个法向量和与平面 共面的向量的关系是什么？
a
与
b
的夹角公式：______________________________________；
2． a
// b
__________________________；
a
b
__________________________；
3．共面向量定理：________________________________________________________；
// 或 与 重合 ____________________________________
方向向量与法向量
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
A E = ( - 3 , 3 , 3 ) , F G = ( - 2 , 2 , 2 )
AE = 3 FG 2
AE//FG
AE// FG
D
A
方向向量与法向量
X
几何法呢？
EG
C
F
Y
B
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正
α
方向向量与法向量
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
u
α
v
u
β 方向向量与法向量
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（二）、垂直关系：
(1) lma b a b 0
方向向量与法向量
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,_0_,0__) __
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1__) ___ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___(-_1_,_-1__,1_)__
z
O1
C1
A1
B1
所以 D1F平 面 ADE
A x
方向向量与法向量
C1
B1
E
C
F
y
B
变 式 ： 正 四 棱 柱 A C 1 中 ， A A 1 3 A B 3 ， E 为 B B 1 中 点
在 D C 上 找 一 点 F 使 得 D 1 F 面 D A E z
3.2 向量法解决平行问题
AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
l
平面 α的向量式方程
a AP 0
a
P
A
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
n1·D→A＝2x1＝0， 即n·A→E＝2y1＋z1＝0，
x1＝0， 得
z1＝－2y1.
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2). 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0，所以F→C1⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明 —C—1B→1＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
u
v
α
四、平行关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ，平面 ,
－2x＋y＋3z＝0， 即
x－y＝0，
x＝3z，
解得
令 z＝1，则 x＝y＝3.
x＝y.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
题型二 利用空间向量证明平行问题
直线的方向向量公式
直线的方向向量公式直线的方向向量公式是描述直线方向的一种数学表示方法。
在平面上，一条直线可以通过给定的一个点和一个方向向量来确定。
方向向量是一个有方向的线段，它的起点与给定点重合，终点则确定了直线的方向。
假设直线上的一点为P(x1, y1)，方向向量为v(a, b)，则直线可以表示为：L: {P(x, y) = P(x1, y1) + t*v(a, b)}其中，t为任意实数。
这个公式可以解释为：从点P(x1, y1)出发，沿着方向向量v(a, b)延伸，得到直线上的所有点P(x, y)。
当t取不同的值时，可以得到直线上的不同点。
对于三维空间中的直线，类似地，我们可以通过给定的一个点和一个方向向量来确定。
假设直线上的一点为P(x1, y1, z1)，方向向量为v(a, b, c)，则直线可以表示为：L: {P(x, y, z) = P(x1, y1, z1) + t*v(a, b, c)}同样地，t为任意实数。
通过改变t的取值，我们可以得到直线上的所有点P(x, y, z)。
方向向量的选择对于直线的表示是任意的，只要它不是零向量即可。
在实际应用中，我们可以根据需要选择方便的方向向量，使得方程的形式更加简洁。
除了方向向量公式，直线还可以使用其他形式的方程来表示，如点斜式、两点式等。
这些表示方法在不同的情况下具有不同的优势和适用性。
直线的方向向量公式提供了一种简洁而有效的描述直线方向的方法。
通过给定一个点和一个方向向量，我们可以确定直线上的所有点。
这个公式在数学和物理等领域被广泛应用，为解决实际问题提供了有力的工具。
希望通过本文的介绍，读者对直线的方向向量公式有了更深入的理解。
空间直线的方向向量与参数方程
空间直线的方向向量与参数方程空间直线的方向向量与参数方程是描述空间中直线的重要方法。
直线是空间中两个点之间的连线，可以通过确定直线上的一点和直线的方向来确定直线的位置和性质。
本文将介绍空间直线的方向向量以及如何使用参数方程表示直线。
一、空间直线的方向向量空间直线的方向向量是指直线上的两个不同点构成的向量，它与直线的位置和方向密切相关。
假设直线上的两个点分别为A和B，它们的坐标分别为(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)。
那么方向向量可以表示为：AB = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁)。
根据方向向量的定义，我们可以得出以下结论：- 直线上的任意两个点都可以作为方向向量的起点和终点；- 方向向量与直线上的方向无关，只与直线的位置相关；- 方向相同的向量可以表示同一条直线。
二、空间直线的参数方程参数方程是另一种表示空间直线的方法，它通过使用一个或多个参数来表达直线上的点坐标。
假设直线上的一点为P，参数方程为：P = P₀ + m·v其中，P₀是直线上的已知点，v是直线的方向向量，m是参数。
对于方向向量为v = (a, b, c)的直线，参数方程可以写为：x = x₀ + a·ty = y₀ + b·tz = z₀ + c·t其中，x₀、y₀、z₀是直线上的已知点的坐标，t是参数。
三、示例分析以空间直线L：x + y + 2z - 3 = 0为例，我们来求解该直线的方向向量和参数方程。
1. 方向向量的求解：根据直线的一般方程，我们可以得到一个与直线垂直的向量n = (1, 1, 2)，所以直线的方向向量为v = (1, 1, 2)。
2. 参数方程的求解：为了求解参数方程，我们需要找到直线上的一个已知点。
假设直线上的一点为P₀(x₀, y₀, z₀)，将该点代入直线的一般方程可以得到：x₀ + y₀ + 2z₀ - 3 = 0假设x₀ = 0，y₀ = 0，我们可以解得z₀ = 3/2。
3.2.1用向量证明平行,垂直
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程一、课标点击 峡山中学 高二数学组 2010-12-22 (一)学习目标：1．掌握空间直线的向量方程；⒉会求直线上点的坐标.3.掌握空间中平行、垂直的证明方法。
(二)教学重、难点：空间中平行关系、垂直关系的证明方法。
二、教学过程: （一）知识连接复习空间中平行关系、垂直关系的常规证明方法： （1）线面平行与面面平行（2）线面垂直与面面垂直 （二）问题引入：如何用坐标表示平行？如何用坐标表示垂直？ （三）自主探究：自主学习课本95页至99页部分． 1.直线的参数方程：设直线经过一个点A 且与一个向量a 平行则直线的参数方程为：t 为参数，P 为直线上的任意点，叫做直线的2.平行关系（1）直线与直线平行： （2）直线与平面平行： （3）平面与平面平行： 3.垂直关系：（1）直线与直线垂直： （2）直线与平面垂直： 3.两条直线所成的角： （四）典例示范:例1．已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P,Q 为轴上的两点，且分别满足条件：（1）AP:PB=1:2; (2)AQ:QB=-2求点P 和点Q 的坐标。
例2．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,点M,N 分别是面对角线A 1B 与面对角线A 1C 1的中点。
求证：MN //侧面AD 1;MN //AD 1,并且MN=21AD 1.例3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M,N 分别是棱BB 1与对角线CA 1的中点. 求证：MN ⊥BB 1; MN ⊥A 1C.例4.已知三棱锥O-ABC,OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60O , ∠COA=90O , M,N 分别是棱OA,BC 的中点.求直线MN 与AC 所成的角的余弦值.（五）变式拓展：1、ABC －A 'B 'C'是直三棱柱，AA '⊥底面ABC ，∠ACB ＝900，点D ，E 分别是A 'C'，A 'B '的中点，若BC ＝CA ＝CC'，求BD 与AE 所成角余弦值。
向量法证明平行与垂直-人教版高中数学
知识图谱-利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直错题回顾利用向量证明空间中的平行关系知识精讲一．直线的方向向量与直线的向量方程1．点的位置向量在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量．2．直线的方向向量空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量．3．直线的向量方程直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式②，如果在上取，则上式可以化为③；①②③都叫做空间直线的向量参数方程．二．平面的法向量1．平面法向量的定义已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．2．平面法向量的性质（1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．三．用向量方法证明空间中的平行关系1．线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即．2．线面平行（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明；（2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．3．面面平行（1）若能求出平面的法向量，要证明，只需要证明即可．（2）由面面平行的判定定理：要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可，已知两个不共线的向量与平面共面，则由两平面平行的判定与性质，得．三点剖析一．方法点拨1．在平面内，直线的向量方程可类比点斜式方程，直线的方向向量、斜率都是刻画直线方向的量，只是从不同角度引入，它们有一定的关系：斜率为的直线，其方向向量为，反之，方向向量为的直线不一定存在斜率；在空间中，用方向向量刻画直线较为方便．2．空间中建系描述选取三条两两相交的直线的交点作为原点，以哪三条直线为轴，建立空间直角坐标系．例如：正方体中，建系的描述为：以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．3．用空间向量证明平行关系需要注意的问题（1）用空间向量的方法证明立体几何中的平行问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间中已有的一些关于平行的定理．（2）用向量方法证明平行问题的步骤①建立空间图形与空间向量的关系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面；②通过向量运算研究平行问题；③根据运算结果解释相关问题．4．平面法向量的求法（1）建立适当的坐标系；（2）设出平面法向量为；（3）找出（求出）平面内的两个共线的向量的坐标；（4）根据法向量的定义建立关于的方程组；（5）解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．有时候，题目中的线面垂直条件比较明显，可以将垂线的方向向量作为平面的法向量来解决问题．题模精讲题模一直线的方向向量与直线的向量方程例1.1、已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A、x=6，y=15B、x=3，y=C、x=3，y=15D、x=6，y=例1.2、从点沿向量的方向取线段长，则B点的坐标为( )A、B、C、D、题模二平面的法向量例2.1、在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式．例2.2、（1）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________；则__________．（2）若的方向向量为，平面的法向量为，若，则__________；若，则__________．题模三利用向量方法证明线面平行关系例3.1、已知正方形和正方形相交于分别在上，且，求证平面．例3.2、在正方体中，的中点，求证：．题模四利用向量方法证明线线与面面的平行关系例4.1、在正方体中，分别是的中点．证明:．例4.2、如右图所示，在平行六面体中，分别是的中点．求证:平面∥平面．．随堂练习随练1.1、已知，，则直线的模为的方向向量是________________．随练1.2、已知点若点为直线上任意一点，则直线的向量参数方程为______________，当时，点的坐标为______________．随练1.3、已知，且均与平面平行，直线的方向向量，则（）随练1.4、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确随练1.5、已知平面经过三点，试求平面的一个法向量．随练1.6、在正方体中，分别是的中点，求证:．随练1.7、已知正方体的棱长为2，分别是的中点，求证：(1)；(2)．利用向量证明空间中的垂直关系知识精讲一．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用设空间两条直线的方向向量分别是，两个平面的法向量分别是，则有下表与与与二．用向量方法证明空间中的垂直关系1．线线垂直设直线的方向向量分别是，则要证明，只需要证明，即．2．线面垂直（1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明．（2）根据线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．3．面面垂直（1）根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直，线线垂直；（2）证明两个平面的法向量互相垂直．一、方法点拨1．平面法向量可以不唯一，只要是垂直于平面的直线，其方向向量都可以当作法向量进行运算．2．平面中的平行、垂直关系的向量论证，注意复习线面、面面平行与垂直的判定定理，将这种位置关系的判断转化为向量间的代数运算，体现了向量的工具性功能．题模精讲题模一利用向量方法证明线线垂直例1.1、设的方向向量，的方向向量，若，则( )A、1B、2C、D、3例1.2、在正三棱柱中，．求证：．题模二利用向量方法证明线面垂直若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )A、B、C、D、斜交例2.2、在正方体中，分别是棱的中点，试在棱上找一点，使得．题模三利用向量方法证明面面垂直例3.1、若两个不同平面的法向量分别为，则( )A、B、C、相交但不垂直D、以上均不正确例3.2、在长方体中，，分别是棱的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．随堂练习随练2.1、如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点分别是的中点．求证：随练2.2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C-PB-D的大小．随练2.3、在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，的重心，分别为上的点，且（1）求证：平面；（2）求证：的公垂线段．自我总结课后作业作业1、已知，把按向量平移后所得的向量是( )A、B、C、D、作业2、正四面体的高的中点为，则平面的一个法向量可以是________，平面的一个法向量可以是________．作业3、若直线是两条异面直线，它们的方向向量分别是，则直线的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．作业4、是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E是棱BC的中点，求证:．作业5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角C1-AB-C的余弦值．作业6、已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）求：（1）求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量分别与向量，垂直，且||=，求向量的坐标．作业7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD．作业8、在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，的中点，在线段，使？若存在，求出；若不存在，请说明理由．作业9、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BA D=∠FAB=90°，BC AD，BE AF，G，H分别为FA，FD的中点（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；（Ⅱ）C，D，F，E四点是否共面？为什么？（Ⅲ）设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．。
直线的方向向量与直线的向量方程
1 (2)MN∥AD1 ,并且 MN AD1 . 2 D1
C1
C
例9. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是面对角线 BA1和AC的前三等分点. 求证： EF∥侧面A1B1CD.
EF EB BA AF
D1 B1
C1
D
F
E
C B
课堂小结
一、基础知识
（一）用向量表示直线或点在直线上的位置
1. 空间直线的向量参数方程（用向量表示直线）： AP ta OP OA ta OP (1 t )OA tOB 2. 用向量表示点在直线上的位置： OP (1 t )OA tOB
l1⊥l2 v1 ⊥ v2
l2
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
思考：
两条直线所成的角与这两条直线的方向
向量的夹角之间有什么关系？
l2 l2
v2
v1 l1
v2
v1 l1
三、用向量运算求两条直线所成的角
设两条直线所成的角为θ ，则它们的 方向向量的夹角与θ 相等或互补.
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 ，则
B(1,1, 0), C (0,1,0), B1 (1,1,1), 1 1 1 1 A1 A1 (1,0,1), M (1,1, ), N ( , , ), 2 2 2 2 BB1 (0,0,1), AC (1,1, 1), 1 1 1 MN ( , , 0), D 2 2 1 1 MN BB1 0 ( ) 0 0 1 0 2 2 A 1 1 MN A1C (1) ( ) 1 0 (1) 0 2 2 MN BB1; MN AC 1 .
人教版数学选修21第三章直线的方向向量与直线的向量方程讲义
案例（二）——精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一 空间直线的向量参数方程给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量ta AP =①，如下左图，这时点P 的位置被完全确定，向量方程①通常称作直线l 以t 为参数的参数方程，向量a 称为该直线的方向向量。
如上右图，ta OA AP OA OP +=+=②，若在直线l 上取a AB =，则②式可化为()()OB t OA t OA OB t OA AB t OA OP +-=-+=+=1③，①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程。
②和③的推导依据的是向量加法的三角形法则。
知识点二 用向量方法证明平行关系。
（1）设直线1l 和2l 的方向向量分别为1v 和2v ，则由向量共线的条件，得21//l l （或1l 与2l 重合）21//v v ⇔。
（2）已知两个非零向量，1v ，2v 平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得α//l 或⇔⊂αl 存在两个实数y x ,，使21yv xv v +=。
（3）如果C B A ,,三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是：存在一对实数y x ,，使向量表达式y x +=成立。
（4）已知两个不共线的向量21,v v 与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得βα//或α与β重合β//1v ⇔且β//2v 。
知识点三 用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角（1）两直线垂直的条件如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如下左图，设直线1l 、2l 的方向向量分别为1v 、2v ，则有2121v v l l ⊥⇔⊥。
由上述条件，证明空间两条直线21l l ⊥可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明021=⋅v v 。
（2）两条直线所成的角设空间两条直线所成的角为θ，当两直线平行时︒=0θ，当两直线垂直时︒=90θ，既不平行也不垂直的两直线所成的角()︒︒∈90,0θ，所以空间两直线所成的角[]︒︒∈90,0θ。