直线的方向向量PPT课件
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直线的方向向量和平面的法向量 课件
[分析] 设 l1、l2 的方向向量分别为 a，b，则 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
高中数学《直线的方向向量及平面的法向量》课件
同理，DB1⊥AD1，又 AC∩AD1＝A，所以 DB1⊥平面 ACD1，从而是平面 ACD1 的一个法向量．
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答案
探究 3 利用方向向量、法向量判断线、面关系 例 3 (1)设 a，b 分别是不重合的直线 l1，l2 的方向向量，根据下列条件 判断 l1 与 l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
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(3)(教材改编 P104T2)设平面 α 的法向量为(1,3，－2)，平面 β 的法向量为
(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝________.
(4)已知直线 l1，l2 的方向向量分别是 v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，
则直线 l1，l2 的位置关系为________．
向量为A→D＝12，0，0.
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答案
拓展提升 设直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中 k∈R， 平面的法向量的求解方法： ①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．
形式 数对(x，y)，使得O→P＝ □04 xa＋yb
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探究 3 利用方向向量、法向量判断线、面关系 例 3 (1)设 a，b 分别是不重合的直线 l1，l2 的方向向量，根据下列条件 判断 l1 与 l2 的位置关系： ①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)； ②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)； ③a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．
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(3)(教材改编 P104T2)设平面 α 的法向量为(1,3，－2)，平面 β 的法向量为
(－2，－6，k)，若 α∥β，则 k＝________.
(4)已知直线 l1，l2 的方向向量分别是 v1＝(1,2，－2)，v2＝(－3，－6,6)，
则直线 l1，l2 的位置关系为________．
向量为A→D＝12，0，0.
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拓展提升 设直线 l 的方向向量为 u＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量 v＝(a2，b2，c2)， 则 l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，其中 k∈R， 平面的法向量的求解方法： ①设出平面的一个法向量为 n＝(x，y，z)． ②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．
形式 数对(x，y)，使得O→P＝ □04 xa＋yb
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课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
新教材北师大版选择性必修第一册第3章44.1直线的方向向量与平面的法向量课件(44张)
第三章 空间向量与立体几何
§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习任务
核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的
1．理解直线的方向向量和平面 法向量的学习，提升数学抽象素
的法向量及其意义．(重点) 养．
2．会求直线的方向向量和平面 2．通过求直线的方向向量和平面
的法向量．(重点、难点)
1．直线的方向向量 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方__向__向__量__． 如图所示，已知点 M 是直线 l 上的一点，非零向量 a 是直线 l 的一个方向向量，那么对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t， 使得M→P＝ta．把这个式子称为直线 l 的向量表示．
故|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2． (2)O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋tA→B＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－ 3＋t，－1－t，4－2t)， 若O→E⊥b，则O→E·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得 t＝95， 因此存在点 E，使得O→E⊥b，点 E 的坐标为 E－65，－154，25．
所以x＝23y z＝－43y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．]
1234
4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－ 1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|； (2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得O→E⊥b?
1234
[解] (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴n＝1，－12，12，即为平面 SCD 的一个法向量．
§4 向量在立体几何中的应用 4.1 直线的方向向量与平面的法向量
学习任务
核心素养 1．通过直线的方向向量和平面的
1．理解直线的方向向量和平面 法向量的学习，提升数学抽象素
的法向量及其意义．(重点) 养．
2．会求直线的方向向量和平面 2．通过求直线的方向向量和平面
的法向量．(重点、难点)
1．直线的方向向量 设 l 是空间一直线，A，B 是直线 l 上任意两点，则称A→B为直线 l 的方__向__向__量__． 如图所示，已知点 M 是直线 l 上的一点，非零向量 a 是直线 l 的一个方向向量，那么对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t， 使得M→P＝ta．把这个式子称为直线 l 的向量表示．
故|2a＋b|＝ 02＋－52＋52＝5 2． (2)O→E＝O→A＋A→E＝O→A＋tA→B＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－ 3＋t，－1－t，4－2t)， 若O→E⊥b，则O→E·b＝0， 所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0， 解得 t＝95， 因此存在点 E，使得O→E⊥b，点 E 的坐标为 E－65，－154，25．
所以x＝23y z＝－43y
，x∶y∶z＝23y∶y∶－43y＝2∶3∶(－4)．]
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4．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－ 1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|； (2)若O为原点，则在直线AB上，是否存在一点E，使得O→E⊥b?
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[解] (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
∴n＝1，－12，12，即为平面 SCD 的一个法向量．
高中数学同步教学课件 直线的方向向量与平面的法向量
∵直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设A→B＝km.
∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得 k＝－12，y＝z＝32.∴y－z＝0. [答案] A
● 题型一 直线的方向向量
(2)在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1 为正方体， 棱长为 1，则直线 DD1 的一个方向向量为________，直线 BC1 的一个方向向量为________． [解析] ∵DD1∥AA1，A→A1＝(0，0，1)， ∴直线 DD1 的一个方向向量为(0，0，1)． ∵BC1∥AD1，A→D1＝(0，1，1)，∴直线 BC1 的一个方向向量为(0，1，1)． [答案] (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一)
()
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．若 A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( )
A．(2，1，1)
B．(－2，2，2)
C．(－3，2，1)
D．(2，1，－1)
解析：∵A→B＝(－1，1，1)，而与A→B共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量， 故选 B. 答案：B
3．已知 A(0，1，1)，B(－1，1，1)，C(1，0，0)，则平面 ABC 的一个法向量为( )
A．(0，1，－1)
B．(－1，0，1)
C．(1，1，1)
D．(－1，0，0)
解析：设平面 ABC 的法向量为 n＝(x，y，z)， 由A→B＝(－1，0，0)，A→C＝(1，－1，－1)，可得nn··AA→→BC＝＝00，，即x－－xy＝－0z，＝0，
A．(18，17，－17)
B．(－14，－19，17)
C．6，72，1
D．－2，－121，13
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
直线的方向向量与平面的法向量课件
P
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
A
B
D
C
例3
如图（自己画），在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为 平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且PD＝AD，试建立恰当的坐标系，求平面PAB 的一个法向量.
解 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D为坐标原点，以射线DA，DB， DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)，A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1).
→ C.AB
—→
√D. A1A
解析 由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1平行或 重合，则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.
课堂练习
4.在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为 1的正方体，给出下列结论： ①直线CC1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个 方 向 向 量 为 (0,1,1) ； ③ 平 面 ABB1A1 的 一 个 法 向 量 为 (0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的是_①__②__③___.(填序号)
设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z). 则nn··AP→ →BB＝ ＝00， ， 即－3xy＋－z＝3y0＝，0， 因此可取 n＝( 3，1， 3). 所以平面 PAB 的一个法向量可以为( 3，1， 3)(答案不唯一).
解析 由题意得a∥b， 所以26xx2＝＝－2，6， 解得 x＝－1.
课堂练习
2.已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为
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（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形问题）12
四、作业习题3,1,2,3
13
2019/9/20
14
2
3线、l已2 的知一直个线方l1向的向一量个b方 向(2,向6量, ),a
(1, 1
若
2
l1
,
3),
2和
直
l2
所成的角为 600 ，则 的值为（ D ）
A、2 B、-4 C、 4 D、4或 68 11
3
4、复习、向量的直角坐标运算的几个公式.
设 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2) 则
用两种方法： 一：选基底的方法 二：用坐标的方法 并对两种方法进行比较
D1 z F
C
1
A1
B1 E
练习1、P117练习2
y
D
C
xA
B
9
例3、若一非平面四边形对边长相等， 证明两对角线中点连线垂直于两对角线（课本例题2）
提示：先翻译成数学语言
D
N
A
M
C
B
10
三、课堂小结：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
11
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
3)a (2, 2, 0), b (1, 0, 1) 600
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
8
例2、 如图在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是C1B1 、D1C1、的中点， 求AD1与 EF所成的角
3.3直线的方向向量
1
一、学生自主检测
1、设点A（0，-1,2），B（2,4,1），则下列各 向量中，可以作为直线AB的一个方向向量的是
（ C）
A(3,2,1) B（0，-2，3） C(2,5,-1) D(-1,0,3)
2一、个若方A向（向-1量,0,1aa）和_B__（__1,4,7）56在(1,直2,3线) l上，则l的 28
4
二、精讲精析
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
5
问： 1、如何用向量来表示直线的位置关系？
2、直线的方向向量定义：
3、两条直线所成的角
与
两直线方向向量所成的角 a, b 的关系
6
2019/9/20
7
练习1、设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
根据下列条件判断直线 l , m 所成的角
1)a (2, 3, 1), b (6, 9, 3)
00
2)a (5, 0, 2), b (0, 4, 0) 900
cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a b a b x1x2 y1y2 z1z2 0;
a // b x1 x2, y1 y2, z1 z2( R)
（回到图形问题）12
四、作业习题3,1,2,3
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2
3线、l已2 的知一直个线方l1向的向一量个b方 向(2,向6量, ),a
(1, 1
若
2
l1
,
3),
2和
直
l2
所成的角为 600 ，则 的值为（ D ）
A、2 B、-4 C、 4 D、4或 68 11
3
4、复习、向量的直角坐标运算的几个公式.
设 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2) 则
用两种方法： 一：选基底的方法 二：用坐标的方法 并对两种方法进行比较
D1 z F
C
1
A1
B1 E
练习1、P117练习2
y
D
C
xA
B
9
例3、若一非平面四边形对边长相等， 证明两对角线中点连线垂直于两对角线（课本例题2）
提示：先翻译成数学语言
D
N
A
M
C
B
10
三、课堂小结：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
11
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
3)a (2, 2, 0), b (1, 0, 1) 600
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
8
例2、 如图在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F分别是C1B1 、D1C1、的中点， 求AD1与 EF所成的角
3.3直线的方向向量
1
一、学生自主检测
1、设点A（0，-1,2），B（2,4,1），则下列各 向量中，可以作为直线AB的一个方向向量的是
（ C）
A(3,2,1) B（0，-2，3） C(2,5,-1) D(-1,0,3)
2一、个若方A向（向-1量,0,1aa）和_B__（__1,4,7）56在(1,直2,3线) l上，则l的 28
4
二、精讲精析
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
5
问： 1、如何用向量来表示直线的位置关系？
2、直线的方向向量定义：
3、两条直线所成的角
与
两直线方向向量所成的角 a, b 的关系
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练习1、设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
根据下列条件判断直线 l , m 所成的角
1)a (2, 3, 1), b (6, 9, 3)
00
2)a (5, 0, 2), b (0, 4, 0) 900
cos a, b a b
x1 x2 y1 y2 z1z2
ab
x12 y12 z12 x22 y22 z22
a b a b x1x2 y1y2 z1z2 0;
a // b x1 x2, y1 y2, z1 z2( R)