直线的方向向量与点向式方程
直线的方向向量怎么求
直线的方向向量怎么求
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）：(x-
x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
空间直线的一般方程求方向向量
空间直线点向式方程的形式为（和对称式相同）(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n，其方向向量就是（l，m，n）或反向量（-l，-m，-n）。
比如直线x+2y-z=7-2x+y+z=7
(1)先求一个交点,将z随便取值解出x和y不妨令z=0由
x+2y=7-2x+y=7解得x=-7/5,y=21/5所以(-7/5,21/5,0)为直线上一点
(2)求方向向量因为两已知平面的法向量为(1,2,-1),(-
2,1,1)，所求直线的方向向量垂直于2个法向量。
由外积可求方向向量=(1,2,-1)×(-2,1,1)=i j k1 2 -1-2 1 1=3i+j+5k 所以直线方向向量为(3,1,5)
直线的方向向量
直线上的矢量和与之共线的矢量称为直线的方向矢量。
所以只要给定直线，便可构造两个方向向量（以原点为起点）。
即已知直线l：ax+by+c=0，则直线l的方向向量为
d1=(-b,a)或d2=(b,-a)。
已知定点Pο（xο,yο,zο)及非零向量v={l,m,n},则经过点Pο且与v平行的直线L就被确定下来，因此，点Pο与v是
确定直线L的两个要素，v称为L的方向向量。
由于对向量的模长没有要求，所以每条直线的方向向量都有无数个。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式在空间解析几何中，直线是一个基本的几何要素。
直线是由两个不同的点所确定的，而其方向则由这两个点所连线的方向所决定。
在空间中，直线的方程有多种形式，本文将介绍其中的几种形式。
一、点向式点向式是指直线上的一点和直线的方向向量所构成的方程形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的点向式方程为：L: r = P + λv其中，r表示直线上的任意一点，λ为实数。
点向式方程的优点在于通过给定的点和方向向量，可以很容易地确定直线的方程。
同时，由于方向向量的存在，点向式方程也可以很方便地求出直线的参数方程和对称式方程。
二、参数式参数式是指直线上的任意一点可以表示为参数的函数形式。
对于一条直线L，其上有一点P，而其方向向量为v，则该直线的参数式方程为：x = x0 + tvxy = y0 + tvyz = z0 + tvz其中，t为参数，(x0,y0,z0)为直线上的一点，(vx,vy,vz)为方向向量。
参数式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点的坐标，同时也可以很容易地求出直线的对称式方程和点向式方程。
三、对称式对称式是指直线上的任意一点到直线上某一点的距离等于该点到直线上另一点的距离。
对于一条直线L，其上有两个不同的点P1和P2，则该直线的对称式方程为：(x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z - z1)/(z2 - z1)其中，(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)为直线上的两个不同的点。
对称式方程的优点在于可以方便地求出直线上的任意一点到直线上某一点的距离，同时也可以很容易地求出直线的参数式方程和点向式方程。
四、一般式一般式是指直线的方程可以表示为三个平面的交点形式。
对于一条直线L，其方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，(A,B,C)为直线的方向向量的分量，D为常数。
一般式方程的优点在于可以很容易地求出直线与其他平面的交点，同时也可以很方便地求出直线的参数式方程和点向式方程。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式在空间几何学中，直线是一种基本的几何对象，描述了两个点之间的最短路径。
在三维空间中，直线的方程可以用五种不同的形式来表示。
这五种形式分别是点向式、对称式、一般式、参数式和标准式。
本文将对这五种形式进行详细的介绍和比较。
一、点向式点向式表示了直线上的一个点和直线的方向向量。
如果我们知道直线上的一个点P和它的方向向量d，那么直线上的任何一点Q都可以表示为：Q = P + td其中t是一个实数，表示从点P出发，沿着方向向量d走多远到达点Q。
点向式的优点是简单明了，易于理解和计算。
但是，它的缺点是不够精确，因为方向向量d可以有不同的长度和方向，所以同一条直线可以有多种不同的点向式。
二、对称式对称式表示了直线上的一个点和直线的对称轴。
如果我们知道直线上的一个点P和它到直线的距离d，那么直线上的任何一点Q都可以表示为：|PQ| = d其中|PQ|表示点P到点Q的距离。
对称式的优点是可以精确地表示直线的位置，而不受方向向量的影响。
但是，它的缺点是不太方便计算，因为需要计算点到直线的距离。
三、一般式一般式表示了直线的一般方程形式。
如果我们知道直线的方向向量d和一个点Q，那么直线的一般式可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是方向向量d的三个分量，D是常数项，可以通过点Q的坐标和方向向量d计算得出。
一般式的优点是可以表示任何一条直线，而不受方向向量的限制。
但是，它的缺点是不够直观，不容易理解和计算。
四、参数式参数式表示了直线上的所有点都可以由一个参数t来表示。
如果我们知道直线上的两个点P和Q，那么直线的参数式可以表示为：x = x0 + t(x1 - x0)y = y0 + t(y1 - y0)z = z0 + t(z1 - z0)其中(x0, y0, z0)和(x1, y1, z1)分别是点P和Q的坐标，t是一个实数。
参数式的优点是可以方便地计算直线上的任何一点，而且可以通过改变参数t来遍历整条直线。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
直线的方向向量与点向式方程
l
a
b
d
e
不唯一
c
互相平行
思考
1.在直线 l任取一点P(x, y), P0P的
P0 (x0 , y0 )
l
y P(x, y)
坐标是什么?
P0P (x x0 , y y0 )
2.
观察向量
P→0 P 与方向向量
v
v
有什么关系？
o
x
P0P// v
3. P0P与 v坐标间有什么关系？
求通过点A(1，-3)，且一个方向
向量 v (3, 2)的直线方程。
如果方向向量为
2x 3y 7 0 v (0, 2) 呢？
如果v1=（0 此时一定有v2 0） 则可得直线方程为
x x0
如果v2 =（0 此时一定有v1 0） 则可得直线方程为
y y0
大练兵
2. x 4 y 3 37
（4,-3） v (3, 7)
巩固强化
例1：求通过点A(1，-2)，且一个方向向量 v (1,3) 的直线方程。
解： 根据直线的点向式方程，得
x 1 1
y2 3
1.套公式列式
整理得所求直线的方程为 2.化简
3x y 1 0
试一试
o
x
o
x
v
x x0
通过点
P 0
(x 0
,
y 0
)且垂直于y轴的直线
通过点
P 0
(x 0
,
y 0
)且垂直于x轴的直线
直线方程教案
直线的方向向量与点向式方程教材：山东省职业教育教材《数学》第二册第八章第一节P 78-P 80 授课教师：莱州市第二职业中专 林淑梅 教材分析：本小节是第八章第一节课。
直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门，解析 几何是数形结合的典范，向量是数形结合的有力工具。
“直线方程”这部分，抓住“一个点和一个方向确定一条直线”这一主线，利用向量这一工具，推导了直线的点向式方程、点法式方程和点斜式方程。
本节课直线的点向式方程又是所有直线方程的开头，起着启下的重要作用。
通过直线与方程的教学，使学生从感性上认识直线与二元一次方程的关系，为下面进一步学习圆锥曲线打下基础。
教学目标：1、知识目标：（1）理解直线的方程、方程的直线的概念（2）掌握直线的方向向量的概念及直线的点向式方程（3）会求给定直线的方向向量，并会求直线的点向式方程2、能力目标：培养用数形结合的方法解决问题的能力。
3、情感目标：培养合作交流、独立思考等良好的个性品质。
教学重点难点：1．重点：掌握直线的方向向量的概念及直线的点向式方程，并会灵活应用。
2．难点：当方向向量平行于坐标轴时，即v 1,v 2中有一个为零的情况下，准确写出直线方程课 型：新授课课 时：第一课时教学方法与教学手段：1．教学方法：启发引导与自主探究讨论相结合． 2．教学手段：多媒体辅助课堂教学教学过程：（板书：根据方向向量分析的三种方程）要求：一见到直线的点向式方程就能立刻在脑海里反映出直线的一个方向向量和直线经过的一个点和对应的图形。
本节课通过图形来分析方程，又根据方程来作出图形，体现了数形结合的思想，我们借助向量来推导方程，又借助向量来作图，体现了向量是数形结合的有力工具。
一、课本80页2、（2）（3）（4）（6）3（1）4、（2）二、思考题：。
直线的法向量与点法式方程
的直线的方程。
练习1：已知直线的一个法向量，求它的一个方向向量 1.
n 3 ,5
2.
n3 , 5
3.
n 3,0
4. n 0,5
4. 0,-2
练习2：已知直线的一个方向向量，求它的一个法向量
1. 7,2
2 . -7,-2
3. 7,0
练习3：求通过点P,且一个法向量为 的直线方程。
1.P (1， 2), n 3,4
2.P ( 1 ， 2),n3 , 4
课堂小结
1、直线的法向量； 2、直线的点法式方程； 3、直线的法向量与方向向量的关系； 4、向量是研究解析几何的重要工具； 5、平面坐标系建立了代数与几何 联系的桥梁，实现了数形结合。
布置作业
书面作业 1.巩固本节所学知识点； 2.课本P85练习9-3
课外阅读----感知伟人魅力
拓展作业
勒奈〃笛卡尔是伟大的哲学家、物 理学家、数学家、生理学家，解析几 何的创始人，被誉为“近代科学的始 祖”。请查阅他在数学方面做出的贡 献，下节课以小组为单位进行展示。
§9.1.3
直线的法向量和点法式方程
2016.5
温故知新
一、直线的点向式方程
已知直线过点P(x0,y0)，方向向量V＝(v
v2 ( x x0 ) v1 ( y y0 ) 0
二、直线的点斜式方程
已知直线过点P(x0,y0)，斜率k
) v 1 2 ,
y y0 k ( x x0 )
动手实验
实践问题：
一条直线可以由直线上一点P(x0,y0)，和与直线 平行的方向向量 V＝(v1 , v2 )确定，试动手画一下， 一条直线是否可以通过直线上一点和与直线垂直的一个 向量确定呢？
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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《直线的方向向量与点向式方程》教学设计
授课教师专业、班级
授课类型新授课时第1课时
所在册第二册所在章节第九章第1.1节
课题内容直线的方向向量与点向式方程
一、教材及单元内容分析
1．使用教材：中等职业教育规划教材《数学》第二册。
2．本章内容分析：本章教材共分4单元：第1单元直线的方程.(第1节:直线的方向向量与点向式方程, 第2节:直线的斜率与点斜式方程,第3节:直线的法向量与点法式方程,第4节:直线的一般式方程.)第2单元两条直线的位置关系.(第1节,两条直线的平行,第2节,两条直线的交点与垂直,)第3单元点到直线距离.第4单元圆的方程.(第1节,圆的标准方程,第2节,圆的一般方程.)
3．地位和作用：直线是最简单的几何图形，是解析几何的入门。
而如何运用直线方程研究有关直线在平面内的位置关系的方法，为下面学习曲线与方程的概念以及圆锥曲线打下基
础。
直线和圆的方程是解析几何的主要部分,直线和圆是基本的几何图形,研究图形的基本性质又是几何学习的主要内容,本章要学会领会数形结合的思想,向量是处理本章问题的重要工具.借助代数方程研究数学图形的几何性质.
二、学情分析
学生进入中职学校后，学生没了目标，也没有动力，既使有些家长希望孩子能学得一技
之长，将来好找个合适的工作，但是学生自己可不这么认为，他们不知道为什么要学？学
了有什么用？无求知、上进的愿望；缺乏自尊心、自信心，学习不好不觉得丢面子，考试
不及格也无所谓，不想上课或上课不专心听讲，课后不肯花时间复习巩固所学的知识，做
作业应付了事，一知半解；缺乏吃苦精神和学习毅力，遇到学习困难就放弃，把时间用到
玩手机、看小说、打游戏、谈恋爱等上面。
三、教学目标
知识目标：( 1）了解直线的方向向量和点向式方程.
(2)理解直线的点向式方程的推导过程.
能力目标：能用直线的点向式方程求满足条件的直线方程.
情感目标：培养学生探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心。
培养学生观察和归纳的能力。
四、教学重点与难点
【教学重点】: 能用直线的点向式方程求直线的方程..
【教学难点】：理解直线的点向式方程的推导过程..
五、教学方法及学习方法
1．教学方法：采用“问题——分析——联系方程”的步骤，从学生熟知的一次函数图像入手，分析图
像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作方程，图像是具有某种特征的点的集合．很自然
地建立直线和方程的关系，把函数的解析式看作方程是理解概念的关键．引用实例联系生活，激发学生的学习兴趣。
2．学习方法学案导学、小组合作学习。
六、教学用具
多媒体、实物投影仪、学案.
七、教学过程
教
学环节教学呈现
设计
意图
教
法
学
法
备注
尝试探索创设情境兴趣导入：
打台球时,用球杆击打母球,母球通常会沿一条直
线运动.在击球过程中,母球所在位置和击球方向是
确定母球运动路线(直线)的两个要素,也就是说有一
个点和一个方向可以确定一条直线.
启发
学生
思考
介
绍
质
疑
了解
思考
探索新知:
一个非零向量确定一个方向,那么一个点和一个非零
向量可确定一条直线吗？.
1.直线的方向向量
如果非零向量与直线L平行，则称这个向量为直线L的
方向向量. 通常用v表示
注意直线的方向向量不唯一,如果v=(v1,v2)是直线的一
个方向向量.则t v（t0，t R）也是直线的一个方向向量。
问题探究:
总
结
归
纳
仔
细
分
析
讲
解
思考
归纳
学生
讨论
得出
结果
o x
y
l v=(v1,v2)
)
y,
(x0
p
如图：直线l 经过点
p 0
(y
x 0
,), 且与非零向量
v =(v 1,v 2)平行,
求这条直线l 的方程。
设直线l 上任意一点
P( x , y)，则点P 在直线上的充分
必要条件是
P P 0
//
v =(v 1,v 2)；
∵
P
P
0=( x-x0 ,
y-y0) ,
所以：
P
P
与
v 平行的充要条件是
)
()(0
1
2
y V
x V
y
x
(1)
方程（1），（2）是有直线上的一个点p 0
(y
x 0
,)和直线的
一个方向向量v =(v 1,v 2)确定，都叫直线的点向式方程。
当V 1=0，
V
2
0时
x
x
当
V
1
V
2=0
时
y
y
引导
学生理
解
记忆公式
理解记忆
学
以
典例讲解
例1 已知：直线l 过点P （1，-2），且一个方向向量
为V =（-1，3），
求：这条直线的方程。
解：根据直线的点向式方程得：
3
2
1
1y x 整理，得所求直线的方程为
3x+y-1=0
思考：当V =(-1，0) 时，直线方程如何求？注意：当且仅当向量的纵横坐标都不为零时，
才可采用该点向式方程：
V
Y V
x Y
x
2
1。
例2、求下列过点
P,且一个方向向量为
V 的直线方程：
（1）P( 3, -2 ),
V =（0 ，2 ）；
运用知识
强化练习
规范书写格
引领
讲解
说明
主动求解
观察思考求解
发挥学生
的主观能动性，体现学生是
课堂的主
人
当
V
V 2
1
0时,直线的点方向式方程是:
V
Y
V
x Y
x
2
1
(2)
致用
（2）P ( 2，-1) V=( 3 , 0 ).
解：（1）由于给定的直线的方向向量平行于y轴，
所以过点（3，-2 ）的直线方程为x=3;
(2 ) 由于给定的直线的方向向量平行于x轴，
所以过点2，-1）的直线方程为y=-1
例3、求过点A(-2，1)和点B（1,3）的直线方程。
分析：知两点可求一个方向向量，再利用点向式方程即可
求直线方程。
解：直线AB的一个方向向量可取为
AB=(1，3)-(-2，1)=(3，2)
∵直线过点A（-2,1），
根据直线的点向式方程，得
2
1
3
2y
x
整理，得所求直线方程为
2x-3y+7=0
思考：运用点向式方程; 0
)
(
)
(
1
2y
V
x
V y
x
求直线方程。
式
培养学
生的解
题能力
引
领
分
析
引
导
分
析
领会
学生
板书
过程
达标测试1、已知：直线l过点P（1，-2），且一个方向向量
为v=（-1，0），求：这条直线的方程。
2、求下列过点P,且一个方向向量为V的直线方程：
（1）P( 5, 2 ), V=（10 ，3 ）；
（2）P ( 12，0) V=( 3 , -2 ).
（3）P ( 0，0) V=( 3 , -2 ).
（4）P (1，5) V=( 0 , 1).
3、求过点A(4，0)和点B（-3,3）的直线方程。
巩固概
念方法
培养学
生独立
解决问
题能力
引
导
熟记
会用
理清知识
行者驿站直线的点向式方程：
（1）0
)
(
)
(
1
2y
V
x
V y
x
（2）
V
Y
V
x Y
x
2
1
0（V10 V20）
及时
反馈
点
评
观察
学生
是否
理解
查找
失误
表扬
优秀
课后作业1、求过点P（2，-2），且一个方向向量为v=（-1，0），的
直线方程。
2、求下列过点P,且一个方向向量为V的直线方程：
（1）P( 0, 2 ), V=（1，-3 ）；
（2）P ( 2，-1) V=( 0 , -2 ).
3、求过点A(3，4)和点B（-4,3）的直线方程。
板
书设计1.直线的方向向量
2. 直线的点向式方程
例1
例2板书
反思“情感”和“创造”是教学的本质。
教师重视情感培养、
态度转变和价值观教育，注重教学形式与学习内容的统一。
不仅要使学生感知教材的内容，记忆数学知识，掌握解题
技能，还要加强情感性教学，激发学习动力，提高学生的
人文素养，帮助他们增强学习的信心。
反
思。