直线的点向式方程ppt课件
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直线的点向式参数式一般式方程之间的互化课件
形式
$x - x_0 = dx cdot t$，$y - y_0 = dy cdot t$，其中$t$为 参数。
点向式方程的特性
01
方向性
点向式方程明确指出了直线的方 向，即方向向量 $overset{longrightarrow}{d}$ 。
参数性
02
03
任意性
方程中的参数$t$表示直线上的 一个位置或一个距离，可以自由 设定。
04
直线的点向式与一般式之间的互化
点向式转化为一般式的步骤
01
确定直线上的一个点$P(x_0, y_0)$和直线的方向向量
$overset{longrightarrow}{d} = (m, n)$。
02
将点$P$代入点向式方程$y - y_0 = m(x - x_0)$，得
到$y_0 = mx_0 - mx + n$。
02
直线的参数式方程
参数式方程的定义
• 参数式方程：直线的参数式方程 是形如 (x = x_0 + t \cdot a, y = y_0 + t \cdot b) 的方程，其 中 (t) 是参数，(x_0, y_0) 是直线 上的一点，(a, b) 是直线的方向 向量。
参数式方程的特性
01
参数 (t) 可以是任意实数，表示直线上的任意点。
数学建模
在数学建模中，使用参数式方程可以方便地描述 物理现象和几何关系，例如振动和运动等。
03
直线的点向式与参数式之间的互化
点向式转化为参数式的步骤
确定直线上的一个点 $P_0(x_0, y_0)$。
确定直线的方向向量$vec{d} = (dx, dy)$。
设参数$t$为直线上的点$P(x, y)$与点$P_0$之间的距离， 即$t = sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$。
$x - x_0 = dx cdot t$，$y - y_0 = dy cdot t$，其中$t$为 参数。
点向式方程的特性
01
方向性
点向式方程明确指出了直线的方 向，即方向向量 $overset{longrightarrow}{d}$ 。
参数性
02
03
任意性
方程中的参数$t$表示直线上的 一个位置或一个距离，可以自由 设定。
04
直线的点向式与一般式之间的互化
点向式转化为一般式的步骤
01
确定直线上的一个点$P(x_0, y_0)$和直线的方向向量
$overset{longrightarrow}{d} = (m, n)$。
02
将点$P$代入点向式方程$y - y_0 = m(x - x_0)$，得
到$y_0 = mx_0 - mx + n$。
02
直线的参数式方程
参数式方程的定义
• 参数式方程：直线的参数式方程 是形如 (x = x_0 + t \cdot a, y = y_0 + t \cdot b) 的方程，其 中 (t) 是参数，(x_0, y_0) 是直线 上的一点，(a, b) 是直线的方向 向量。
参数式方程的特性
01
参数 (t) 可以是任意实数，表示直线上的任意点。
数学建模
在数学建模中，使用参数式方程可以方便地描述 物理现象和几何关系，例如振动和运动等。
03
直线的点向式与参数式之间的互化
点向式转化为参数式的步骤
确定直线上的一个点 $P_0(x_0, y_0)$。
确定直线的方向向量$vec{d} = (dx, dy)$。
设参数$t$为直线上的点$P(x, y)$与点$P_0$之间的距离， 即$t = sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$。
高二数学直线的点方向式方程(PPT)5-2
问题1：教材第十一章至第十二章的内容是解析几何的内容.问: 解析几何的主要思想是什么?
解析几何的主要思想： 用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数 运算。
问题2：平面几何的基本图形是: 点与线; 如何定义直线的方程？
定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程 f (x, y) 0 ，
满足（1）直线l 上所有的点的坐标(x, y) 都满足方程；
（2）以方程 f (x, y) 0 的所有的解(x, y) 为坐标的点都在直线l 上。
那么我们把方程 f (x, y) 0 叫做直线 l 的方程，直线 l 叫做方程 f (x, y) 0 的直
线。
～谎言。 【编者】名编写的人；做编辑工作的人。 【编者按】（编者案）’名编辑人员对文章或消息所加的意见、评论等，常常放在文章或消息的前面。 【编织】ī动把细长的东西互相交错或钩连而组织起来：～毛衣◇根据民间传说～成一篇美丽的童话。 【编制】①动把细长的东西交叉组织起来，制成器物： 用柳条～的筐子。②动根据资； 网站模板下载站点 www.mo-ban.top 网站模板下载站点 ；料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。③名组织机构的 设置及其人员数量的定额和职务的分配：扩大～。 【编钟】名古代打击乐器，在木架上悬挂一组音调高低不同的铜钟，用小木槌敲打奏乐。 【编著】动编写； 著述：～历史教材。 【编撰】动编纂；撰写：～书籍。 【编缀】动①把材料交叉组织成器物；编结：～花环。②将有关的资料、文章等收集起来编成书；编 辑：～成书。 【编组】∥动把分散的人、交通工具等安排成一定形式的单位或单元。 【编纂】动编辑（多指资料较多、篇幅较大的著作）：～词典｜～百科 全书。 【煸】动烹调方法，把菜、肉等放在热油里炒：～锅｜～牛肉丝。 【蝙】［蝙蝠］（）名哺乳动物，头部和躯干像老鼠，四肢和尾部之间有皮质的膜， 夜间在空中飞翔，吃蚊、蛾等昆虫。视力很弱，靠本身发出的超声波来引导飞行。 【箯】［箯舆］（）名古代的一种竹轿。 【鳊】（鯿、鯾）名鳊鱼，身体 侧扁，头小而尖，鳞较细。生活在淡水中。 【鞭】①名鞭子：扬～｜快马加～。②古代兵器，用铁做成，有节，没有锋刃：钢～｜竹节～。③形状细长类似
解析几何的主要思想： 用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数 运算。
问题2：平面几何的基本图形是: 点与线; 如何定义直线的方程？
定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程 f (x, y) 0 ，
满足（1）直线l 上所有的点的坐标(x, y) 都满足方程；
（2）以方程 f (x, y) 0 的所有的解(x, y) 为坐标的点都在直线l 上。
那么我们把方程 f (x, y) 0 叫做直线 l 的方程，直线 l 叫做方程 f (x, y) 0 的直
线。
～谎言。 【编者】名编写的人；做编辑工作的人。 【编者按】（编者案）’名编辑人员对文章或消息所加的意见、评论等，常常放在文章或消息的前面。 【编织】ī动把细长的东西互相交错或钩连而组织起来：～毛衣◇根据民间传说～成一篇美丽的童话。 【编制】①动把细长的东西交叉组织起来，制成器物： 用柳条～的筐子。②动根据资； 网站模板下载站点 www.mo-ban.top 网站模板下载站点 ；料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。③名组织机构的 设置及其人员数量的定额和职务的分配：扩大～。 【编钟】名古代打击乐器，在木架上悬挂一组音调高低不同的铜钟，用小木槌敲打奏乐。 【编著】动编写； 著述：～历史教材。 【编撰】动编纂；撰写：～书籍。 【编缀】动①把材料交叉组织成器物；编结：～花环。②将有关的资料、文章等收集起来编成书；编 辑：～成书。 【编组】∥动把分散的人、交通工具等安排成一定形式的单位或单元。 【编纂】动编辑（多指资料较多、篇幅较大的著作）：～词典｜～百科 全书。 【煸】动烹调方法，把菜、肉等放在热油里炒：～锅｜～牛肉丝。 【蝙】［蝙蝠］（）名哺乳动物，头部和躯干像老鼠，四肢和尾部之间有皮质的膜， 夜间在空中飞翔，吃蚊、蛾等昆虫。视力很弱，靠本身发出的超声波来引导飞行。 【箯】［箯舆］（）名古代的一种竹轿。 【鳊】（鯿、鯾）名鳊鱼，身体 侧扁，头小而尖，鳞较细。生活在淡水中。 【鞭】①名鞭子：扬～｜快马加～。②古代兵器，用铁做成，有节，没有锋刃：钢～｜竹节～。③形状细长类似
高二数学直线的点方向式方程(PPT)4-2
问题1：教材第十一章至第十二章的内容是解析几何的内容.问: 解析几何的主要思想是什么?
解析几何的主要思想： 用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数 运算。
问题2：平面几何的基本图形是: 点与线; 如何定义直线的方程？
定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程 f (x, y) 0 ，
变式 1：求经过点 B 、C 两点的直线 l 的点方向式方程？
变式 2：求 ABC中，平行于 BC 边的中位线 MN 所在直线的点方向方程？ຫໍສະໝຸດ 巩固练习 练习 11.1（1）
例 1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向
量？
① x3 y5
3
4
② 4x 4 7y 6 ③ x 1 ④ y 2
例 2：已知点 A4，6，B 3，1和 C4， 5，求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l
的点方向式方程？
满足（1）直线l 上所有的点的坐标(x, y) 都满足方程；
（2）以方程 f (x, y) 0 的所有的解(x, y) 为坐标的点都在直线l 上。
那么我们把方程 f (x, y) 0 叫做直线 l 的方程，直线 l 叫做方程 f (x, y) 0 的直
线。
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代表数据不确定性氢是 一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语培训加盟 少儿英语培训加盟 ； 殊性质导致难以常温常压储存，泄漏后 有爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定储存，加入催 化剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液化储氢（成本 太高，而且需要很高的能量维持其液化）；压缩储氢（重量密度和体积密度都很低）；金属氢化物储氢（体积存储密度较高，但是重量密度低），还有一个 是现在正在研究的碳纳米管吸附储氢（已经证明在室温和不到bar(约一个大气压)的压力下，单壁碳管可以吸附%-%,多壁碳纳米管储氢可达4%,但是这些报道 都受到了质疑，原因是目前尚未建立一个世界上公认的检测碳纳米管储氢的检测标准）目前根据理论推算和反复验证，大家普遍认为可逆储/放氢量在%（质 量密度百分比）左右，但是即使是只有%也是迄今为止最好的储氢材料。 氢的储运技术是制约氢能发展的最主要技术瓶颈，目前其研究主要集中在高压储氧 罐、轻金属材料、复杂氢化物材料、有机液态材料等氢储运技术。将氢气经特殊处理溶解在液态材料中，实现氢能的常态化、安全化应用，甚至用普通矿泉 水瓶也能装运，这一愿景正在逐渐接近现实。业界认为该技术处于国际领先水平，并有可能引发氢能利用革命。 [] 4年 月 日，中国地质大学(武汉)可持续能 源实验室开发的液态储氢技术已经完成了实验室阶段的研究，正准备进行大规模中试和工程化试验。 [] 团队利用不饱和芳香化合物催化加氢的方法，成功攻 克了氢能在常温常压下难以贮存和释放这一技术瓶颈，实现了氢能液态常温常压运输，而且克服了传统高压运输高成本、高风险的弊病，所储氢在温和条件 下加催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
解析几何的主要思想： 用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数 运算。
问题2：平面几何的基本图形是: 点与线; 如何定义直线的方程？
定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程 f (x, y) 0 ，
变式 1：求经过点 B 、C 两点的直线 l 的点方向式方程？
变式 2：求 ABC中，平行于 BC 边的中位线 MN 所在直线的点方向方程？ຫໍສະໝຸດ 巩固练习 练习 11.1（1）
例 1：观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向
量？
① x3 y5
3
4
② 4x 4 7y 6 ③ x 1 ④ y 2
例 2：已知点 A4，6，B 3，1和 C4， 5，求经过点 A 且与 BC 平行的直线 l
的点方向式方程？
满足（1）直线l 上所有的点的坐标(x, y) 都满足方程；
（2）以方程 f (x, y) 0 的所有的解(x, y) 为坐标的点都在直线l 上。
那么我们把方程 f (x, y) 0 叫做直线 l 的方程，直线 l 叫做方程 f (x, y) 0 的直
线。
定 [>.× 年] /+ . (7) . ～. 74 H .4777(4) 稳定 + .(7) .～.4 H .4 777() .() 年 /+ 4H 4.7() . ()×- s [4.( ) MeV] - H 4 .() > .×- s (/+) H .44 4() . (7)×- s [.(4) MeV] -# 7H 7.7()# .()×-# s [()# MeV] /+# 备注：画上#号的数据代表没有经过实验的证明，只是理论推测而已，而用括号括起来的代表数据不确定性氢是 一种能量密度很高的清洁可再生能源，但其特； 少儿英语培训加盟 少儿英语培训加盟 ； 殊性质导致难以常温常压储存，泄漏后 有爆炸危险。若能突破储存技术便可以广泛用于各种动力设备。中国利用特殊溶液大量吸收氢气，一立方米可以吸收超过公斤，平常可以稳定储存，加入催 化剂便可释放氢气，储氢材料可重复使用次。该技术国际领先，或引发氢能利用革命。 [] 保存氢气方法很多，但是高效的储氢方法主要有：液化储氢（成本 太高，而且需要很高的能量维持其液化）；压缩储氢（重量密度和体积密度都很低）；金属氢化物储氢（体积存储密度较高，但是重量密度低），还有一个 是现在正在研究的碳纳米管吸附储氢（已经证明在室温和不到bar(约一个大气压)的压力下，单壁碳管可以吸附%-%,多壁碳纳米管储氢可达4%,但是这些报道 都受到了质疑，原因是目前尚未建立一个世界上公认的检测碳纳米管储氢的检测标准）目前根据理论推算和反复验证，大家普遍认为可逆储/放氢量在%（质 量密度百分比）左右，但是即使是只有%也是迄今为止最好的储氢材料。 氢的储运技术是制约氢能发展的最主要技术瓶颈，目前其研究主要集中在高压储氧 罐、轻金属材料、复杂氢化物材料、有机液态材料等氢储运技术。将氢气经特殊处理溶解在液态材料中，实现氢能的常态化、安全化应用，甚至用普通矿泉 水瓶也能装运，这一愿景正在逐渐接近现实。业界认为该技术处于国际领先水平，并有可能引发氢能利用革命。 [] 4年 月 日，中国地质大学(武汉)可持续能 源实验室开发的液态储氢技术已经完成了实验室阶段的研究，正准备进行大规模中试和工程化试验。 [] 团队利用不饱和芳香化合物催化加氢的方法，成功攻 克了氢能在常温常压下难以贮存和释放这一技术瓶颈，实现了氢能液态常温常压运输，而且克服了传统高压运输高成本、高风险的弊病，所储氢在温和条件 下加催化剂释放后即可使用。储氢材料的技术性能指标超过了美国能源部颁布的车用储氢材料标准。 [] 实验室
高等数学：第九讲 空间直线的点向式方程
空间直线的 点向式方程
空间直线的一般式
定义 空间直线可看成两个不平行的平面的交线.
L
A1 A2
x x
B1 y C1z D1 B2 y C2 z D2
0 0
1 2
——空间直线的一般式
注 (1) A1、B1、C1与A2、B2、C2 不成比例.
(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
z
2
L
且 M 0M // s
x x0 y y0 z z0
m
n
p
——直线的点向式方程
O
x
s
L
M M0
y
空间直线的点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
s
的三个坐标 m、n、p
称为
L 方向数.
s
z
L
注意 直线的方向数 m、n、p ， 可以等于0（不全为零）.
⑴
当m=0时，直线的方程可表示为
取 s n1 n2 {3,2,1}{2,1,1} {1,5,7}
所以点向式方程为
x 3 7
y8 7
z
1
5
7
s
n2
n1s 12Fra bibliotekL谢谢
y
n
y0
z z0 p
O
x
y
x x0 0
⑵
当m=n=0
时,直线的方程可表示为
y x
y0 x0
0 0
例题讲解
例1. 求过两点M1(1,2,3)，M2(2,6,5)的直线方程.
解
向量 M1M 2 与直线平行
取 s M 1M 2 {1,4,2}
所求直线方程为
x1 y 2 z 3
空间直线的一般式
定义 空间直线可看成两个不平行的平面的交线.
L
A1 A2
x x
B1 y C1z D1 B2 y C2 z D2
0 0
1 2
——空间直线的一般式
注 (1) A1、B1、C1与A2、B2、C2 不成比例.
(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
z
2
L
且 M 0M // s
x x0 y y0 z z0
m
n
p
——直线的点向式方程
O
x
s
L
M M0
y
空间直线的点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
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的三个坐标 m、n、p
称为
L 方向数.
s
z
L
注意 直线的方向数 m、n、p ， 可以等于0（不全为零）.
⑴
当m=0时，直线的方程可表示为
取 s n1 n2 {3,2,1}{2,1,1} {1,5,7}
所以点向式方程为
x 3 7
y8 7
z
1
5
7
s
n2
n1s 12Fra bibliotekL谢谢
y
n
y0
z z0 p
O
x
y
x x0 0
⑵
当m=n=0
时,直线的方程可表示为
y x
y0 x0
0 0
例题讲解
例1. 求过两点M1(1,2,3)，M2(2,6,5)的直线方程.
解
向量 M1M 2 与直线平行
取 s M 1M 2 {1,4,2}
所求直线方程为
x1 y 2 z 3
空间直线方程PPT课件
空间直线的一般方程25直线的点向式方程其中方向向量26两直线的夹角公式求上半球与圆柱体的公共部分在2121xoy公共部分体在坐标面的投影为圆面xoz公共部分体在坐标面的投影为37页习题84282121axxoyxoz求上半球与圆柱体的公共部分在2121消去参数xoz消去参数30定义直线和它在平面上的投影直线的夹cpbnamsincos32直线与平面的位置关系
i
j k
3i 4 j k
2 1 3 1 3 2
ijk
s2 n3 n4 2 2 1
38 1
2 1 2 1 2 2
i 8
j 13
k 13
8 10i 5 j 10k
第22页/共64页
s1 s2 cos( L1 , L2 ) s1 s2
30 20 10
0.
9 16 1 100 25 100
y3
z4
1
1
2
的解。
2x y z 6 0
利用直线的参数方程求解更简便
第39页/共64页
设 x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t, y 3 t, z 4 2t
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
中得：4 2t 3 t 4 2t 6 0
t 1
代入参数方程中得： x 1, y 2, z 2
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
有单位向量，还有一般的向量。
第5页/共64页
下面导出直线的点向式方程
z
s
L
M0( x0, y0, z0 ), s (m, n, p),
M L, M ( x, y, z),
M M0
o
y
M0M// s
i
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8 10i 5 j 10k
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s1 s2 cos( L1 , L2 ) s1 s2
30 20 10
0.
9 16 1 100 25 100
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1
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2
的解。
2x y z 6 0
利用直线的参数方程求解更简便
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设 x2 y3 z4 t
1
1
2
x 2 t, y 3 t, z 4 2t
代入题中平面方程 2 x y z 6 0
中得：4 2t 3 t 4 2t 6 0
t 1
代入参数方程中得： x 1, y 2, z 2
注：
x
同一条直线的方向向量有无穷多个。
有单位向量，还有一般的向量。
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下面导出直线的点向式方程
z
s
L
M0( x0, y0, z0 ), s (m, n, p),
M L, M ( x, y, z),
M M0
o
y
M0M// s
3.2.2-直线的两点式方程PPT优秀课件
直线 x - y =1在两坐标轴上的截距之和为 ( B )
34
A.1
B.-1
C.7
D.-7
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为： y-2 = x-0， -3-2 3-0 整理得，5x+3y-6 =0.
为 ( B) A.4x+3y-12=0
B.4x-3y+12=0
C.4x+3y-1=0
D.4x-3y+1=0
2.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( B )
A . 1 3
B . - 1 3
C . - 3 2
D . 2 3
3.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线 有几条?
这就是BC边所在直线的方程.
设 B C 的 中 点 为 M , 则 M 的 坐 标 为 （ 3 + 0 ， - 3 + 2 ） ， 即 （ 3 ， - 1 ） .
22
22
过A(-5,0),M（32， -21）的直线方程为-y1--00=3x++55, 22
整理得x+13y+5=0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
a1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.(2015·杨浦区高一检测)已知直线l经过点A(1,-2),
B(-3,2),则直线l的方程是 ( A )
02教学课件_2.2.2 直线的两点式方程(共25张PPT)
可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测
不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)
直线点向式方程
v
v
1
2
结论：（1）和（2）式都叫做直线的点向式方程。
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例 题 训
例1：求过点P（-3，1），且平行于向量v (2,1)
练
的直线方程。
分析：我们可选择（2）式来解
解：依直线的点向式方程（2）式，得直线的方程为
x (3) y 1
2
1
整理得所求的直线方程为 x 2 y 1 0
就是三个人每人分别给了九块,那就是 3*9+2(服务生偷放口袋的2元)=29块,那还 有一块钱哪去了呢???
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小结：通过本节的学习，要掌握直线点向式方程，
v (x x ) v (y y ) 0
2
0
1
0
xx yy
0
0
v
v
1
2
在实际的解题中要灵活的运用。
练习：P8 1，2，3
课后作业：P22 1-（1）（2）
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有三个人去住店,三人共住一间房, 一 晚三十块钱,每人给了十块钱,但这天刚好 了打特价,只需要25元一晚,所以老板将剩 下的五元交给服务生.让其退还给那三个 人,但服务生却从中拿出二元放入自己的 口袋,剩下的三元还给那三个人,一人一块.
在此方程中消去t,得
v (x x ) v (y y ) 0
2
0
1
0
（1）
x=x0 y
x x 当 v 0,v 0
1
2
直线L平行于y轴，方程变为
0
y0
y y 当 v 0,v 0
2
1
直线L平行于x轴，方程变为
0Байду номын сангаас
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就是三个人每人分别给了九块,那就是 3*9+2(服务生偷放口袋的2元)=29块,那还 有一块钱哪去了呢???
v (x x ) v (y y ) 0
2
0
1
0
xx yy
0
0
v
v
1
2
在实际的解题中要灵活的运用。
练习：P8 1，2，3
课后作业：P22 1-（1）（2）
有三个人去住店,三人共住一间房, 一 晚三十块钱,每人给了十块钱,但这天刚好 了打特价,只需要25元一晚,所以老板将剩 下的五元交给服务生.让其退还给那三个 人,但服务生却从中拿出二元放入自己的 口袋,剩下的三元还给那三个人,一人一块.
例
题 训
例2：求过点 A(1,2) 和 B(2,4) 的直线方程练源自解：先求 AB (3,2)
依直线的点向式方程（2），得
x 1 y 2 32
整理得所求直线的方程为 2x 3y 8 0
练习：求过点 A(3,1) 和 B(3,0) 的直线方程。
x 6y 3 0
小结：通过本节的学习，要掌握直线点向式方程，
P
和向量 v
的坐标成比例（图（1）），即
x
y
x 0
y 0
tv 1
tv 2
t
R
在此方程中消去t,得
v (x x ) v (y y ) 0
2
0
1
0
（1）
x=x0 y
x x 当 v 0,v 0
1
2
直线L平行于y轴，方程变为
0
y0
y y 当 v 0,v 0
2
1
直线L平行于x轴，方程变为
直线的点向式与点斜式方程
直线的点向式方程
在直角坐标系XOY中,过已知点 P (x , y ) 作与一非零向量v (v , v )
0
0
0
1
2
平行的直线L，这条直线L是唯一确定的。下面我们来求直线L的方程。
y
L
•P
P0 •
0
v x
(1)
设
P(
x,
y
)
是一动点，则点P在直线L上的充分必要条件是向量
P 0
2
1
整理得所求的直线方程为 x 2 y 1 0
练习：
1。求过点P（5，3），且平行于向量 v (2,1)
的直线方程。
x 2y 11 0
2。求过点P（5，3），且平行于向量 v (2,0)
的直线方程。
y3
求过点P（-4，2），且平行于向量
v
(3,6)
的直线方程。
2x y 6 0
0
0
y=y0
x0
x
当
v 1
0, v 2
0
时， （1）式可化为
xx yy
0
0
（2）
v
v
1
2
结论：（1）和（2）式都叫做直线的点向式方程。
例 题 训
例1：求过点P（-3，1），且平行于向量v (2,1)
练
的直线方程。
分析：我们可选择（2）式来解
解：依直线的点向式方程（2）式，得直线的方程为
x (3) y 1
v (x x ) v (y y ) 0
2
0
1
0
xx yy
0
0
v
v
1
2
在实际的解题中要灵活的运用。
练习：P8 1，2，3
课后作业：P22 1-（1）（2）
有三个人去住店,三人共住一间房, 一 晚三十块钱,每人给了十块钱,但这天刚好 了打特价,只需要25元一晚,所以老板将剩 下的五元交给服务生.让其退还给那三个 人,但服务生却从中拿出二元放入自己的 口袋,剩下的三元还给那三个人,一人一块.
例
题 训
例2：求过点 A(1,2) 和 B(2,4) 的直线方程练源自解：先求 AB (3,2)
依直线的点向式方程（2），得
x 1 y 2 32
整理得所求直线的方程为 2x 3y 8 0
练习：求过点 A(3,1) 和 B(3,0) 的直线方程。
x 6y 3 0
小结：通过本节的学习，要掌握直线点向式方程，
P
和向量 v
的坐标成比例（图（1）），即
x
y
x 0
y 0
tv 1
tv 2
t
R
在此方程中消去t,得
v (x x ) v (y y ) 0
2
0
1
0
（1）
x=x0 y
x x 当 v 0,v 0
1
2
直线L平行于y轴，方程变为
0
y0
y y 当 v 0,v 0
2
1
直线L平行于x轴，方程变为
直线的点向式与点斜式方程
直线的点向式方程
在直角坐标系XOY中,过已知点 P (x , y ) 作与一非零向量v (v , v )
0
0
0
1
2
平行的直线L，这条直线L是唯一确定的。下面我们来求直线L的方程。
y
L
•P
P0 •
0
v x
(1)
设
P(
x,
y
)
是一动点，则点P在直线L上的充分必要条件是向量
P 0
2
1
整理得所求的直线方程为 x 2 y 1 0
练习：
1。求过点P（5，3），且平行于向量 v (2,1)
的直线方程。
x 2y 11 0
2。求过点P（5，3），且平行于向量 v (2,0)
的直线方程。
y3
求过点P（-4，2），且平行于向量
v
(3,6)
的直线方程。
2x y 6 0
0
0
y=y0
x0
x
当
v 1
0, v 2
0
时， （1）式可化为
xx yy
0
0
（2）
v
v
1
2
结论：（1）和（2）式都叫做直线的点向式方程。
例 题 训
例1：求过点P（-3，1），且平行于向量v (2,1)
练
的直线方程。
分析：我们可选择（2）式来解
解：依直线的点向式方程（2）式，得直线的方程为
x (3) y 1