直线的点法向式方程
空间直线的点法式方程公式
空间直线的点法式方程公式
空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用点法式方程公式来表示。
点法式方程公式是指通过直线上的一点和直线的方向向量来表示直线的方程。
在三维空间中，点法式方程公式可以表示为：
(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c
其中，(x0, y0, z0)是直线上的一点，(a, b, c)是直线的方向向量。
点法式方程公式的优点是可以用来表示任意方向的直线，而不仅仅是水平或垂直的直线。
此外，它还可以用来表示直线的位置和方向，因为它包含了直线上的一点和直线的方向向量。
在实际应用中，点法式方程公式可以用来解决许多问题。
例如，可以用它来计算两条直线的交点，或者计算一条直线与一个平面的交点。
此外，它还可以用来计算直线的长度、角度和距离等。
需要注意的是，点法式方程公式只适用于直线，而不适用于曲线。
如果要表示曲线，需要使用其他的方程形式，如参数方程或极坐标方程。
点法式方程公式是三维空间中表示直线的一种常用方式。
它可以用来表示直线的位置和方向，以及解决许多实际问题。
在学习和应用中，需要注意其适用范围和注意事项，以充分发挥其作用。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
第二节 直线方程的点向式与点斜式
典例解析
【举一反三3】 已知直线l的法向量n＝(－3，2)，并且与 x轴、y轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程．
解：∵直线l的法向量n＝(－3，2)， ∴可设直线l的方程为－3x＋2y＋C＝0， 又∵直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为12， ∴ 1 | C | | C | ＝12，解得C＝±12，
它的一个法向量为_(_－__2_，__1_) ． 8．直线ax－y＋a＝0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是
___a_－__1__．
【提示】 分别令x＝0，y＝0得直线在y轴、x轴上的 截距分别为a，－1，所以直线在两坐标轴上的截距之和 为a－1.
同步精练
9．经过点A(2，1)，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线l 的方程为__3_x_－__2_y－__4_＝__0_．
典例解析
【例1】 求过点P(－1,2)，一个法向量为n＝(2，1)的直 线的方程．
2x＋y＝0
【解析】 此题可由直线的点法式方程求得，也 可以由一般式用待定系数法求得．
方法一：将点P(－1，2)代入直线的点法式方程A(x －x0)＋B(y－y0)＝0，整理可得直线方程为2x＋y＝0.
方法二：由于法向量为n＝(2，1)，可设直线方程为 2x＋y＋C＝0，代入点P(－1，2)可得C＝0，即直线方程 为2x＋y＝0.
典例解析
【例2】 已知点A(－1，2)，B(－1，4)，求线段AB的垂
直平分线方程．
y＝3
【解析】 由题意可知线段AB所在的直线的斜率不
存在，∴线段AB的垂直平分线的斜率为0，∵线段AB的
中点为
1 1 2
,
2
2
4
，即其垂直平分线经过点(－1，3)，
11.1.2直线的点法向式方程(导学稿)
§11.1.2直线的点法向式方程
【课型设置：自研+互动10分钟+展示30分钟】
班级姓名编号 NO：日期: 2012-02-08
一、学习目标：1、体会点法向式方程的建立过程，理解法向量的含义，掌握点法向式方程；
2、能根据题意写出直线的点法向式方程。
11.1.2直线的点法向式方程（练习部分）
（时段：自习课 ， 时间：30分钟 ）
1.求过点P 且垂直于n 的直线l 的点方向式方程。
（1）P )0,0(，n =)1,1( （2）P )2,5(，n =)2,0(
2.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)0,3(),2,3(),8,3(--C B A 。
（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）求AB 边上中线CM 所在直线的方程； （3）求BC 边上高AD 所在直线的方程。
3.已知∆ABC 的三个顶点A （4，0）、B （6，7）、C （0，3），求此三角形BC 上高AD 所在直线方程。
4.已知原点O 在直线l 上的射影为)1,2(-H ，求直线l 的方程。
（提示：过点O 向直线l 作垂线，垂足H 为“射影”。
）
5.已知)4,7(-A 、)6,5(-B 两点，求线段AB 的垂直平分线的方程。
6.已知在ABC ∆中，
90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为)2,4(、)8,2(，向量)2,3(=d ，且d 与AC 平行，求ABC ∆的两边所在直线的方程。
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化数学中，空间直线的表示方式有很多种，其中最常见的有直线的向式方程和一般方程。
这两种方程之间的相互转化在数学中有着广泛的应用。
本文将从向式方程和一般方程的基本概念、转化方法等方面进行介绍。
一、向式方程的基本概念向式方程是指通过直线上一点和直线的方向向量，来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有点P（x0,y0,z0），且直线的方向向量为a（a1,a2,a3），则直线的向式方程可以表示为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
二、一般方程的基本概念一般方程是指通过直线上两个不同的点来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有两点P1（x1,y1,z1）和P2（x2,y2,z2），则直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
三、向式方程和一般方程的相互转化在数学中，向式方程和一般方程是可以相互转化的。
具体来说，有以下两种转化方式：1. 从向式方程转化为一般方程若已知直线L的向式方程为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3我们可以通过以下步骤将其转化为一般方程：（1）将向量a化为平面上的两个向量b和c。
具体来说，我们可以任意选取两个向量b和c，使它们与向量a不共线，然后使用向量叉积的方法求出向量n=b×c（其中×表示向量叉积）。
向量n垂直于平面，而既过点P且平行于向量a的直线L，则与平面到点P的垂线n相交于点Q，可以把向量PQ看成是平面上的向量，其分别在b、c上的投影值分别为t和s（t和s为实数）。
因此，我们可以得到以下向量表示：PQ = tb+sc（2）将向量表示化为坐标表示，具体来说，我们可以将向量b、c和n 分别表示为坐标向量：b = (x1,y1,z1)c = (x2,y2,z2) n = (a1,a2,a3)则有：PQ = tb+sc = (x-x0,y-y0,z-z0)因此，我们可以得到以下解方程组的方法：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)2. 从一般方程转化为向式方程若已知直线L的一般方程为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)我们可以通过以下步骤将其转化为向式方程：（1）选取一点P(x0,y0,z0)在直线上，我们假设刚刚选取的点为P(x0,y0,z0)。
空间直线方程的几种形式
空间直线方程的几种形式空间直线是三维空间中的一条直线，它可以用不同的形式来表示。
本文将介绍空间直线的几种常见的表示方法。
1. 参数式表示法在三维空间中，一条直线可以由一个点和一个方向向量唯一确定。
因此，我们可以用参数式表示法来表示空间直线。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的参数式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。
这个参数式表示法比较容易理解，也比较方便使用。
2. 点向式表示法点向式表示法是一种简单的直线表示方法，它只需要知道直线上的两个点和一个方向向量。
假设直线上有两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，方向向量为v(a, b, c)，则该直线的点向式表示为：r = P1 + t(P2 - P1)其中r为直线上的任意一点，t为参数，可以取任意实数。
这个表示法比较简洁，但是需要知道直线上的两个点。
3. 一般式表示法一般式表示法是一种比较复杂的直线表示方法，它可以表示任意一条直线。
假设直线的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，则该直线的一般式表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中t为参数，可以取任意实数。
这个表示法比较复杂，但是可以表示任意一条直线。
4. 交点式表示法交点式表示法是一种比较特殊的直线表示方法，它适用于两条直线的交点。
假设两条直线分别为L1和L2，它们的参数式方程分别为： L1: x = x1 + a1t1, y = y1 + b1t1, z = z1 + c1t1L2: x = x2 + a2t2, y = y2 + b2t2, z = z2 + c2t2 则L1和L2的交点可以用交点式表示为：x = x1 + a1t1 = x2 + a2t2y = y1 + b1t1 = y2 + b2t2z = z1 + c1t1 = z2 + c2t2这个表示法只适用于两条直线的交点，但是在实际问题中也比较常见。
高一数学教案：直线点法向式方程、直线的一般式方程教案
资源信息表11．1 （２）直线方程上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于y x 、的一次方程0=++c by ax （b a 、不全为零）的形式.本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力. 二、教学目标设计在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 三、教学重点及难点直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学流程设计1、概念引入从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 也是惟一确定的． 2、概念形成直线的点法向式方程在平面上过一已知点P ，且与某一方向垂直的直线l 是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)n a b =表示.直线的点法向式方程的推导设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线垂直于非零向量n ，故PQ n ⊥.根据PQ n ⊥的充要条件知0=⋅，即：00()()0a x x b y y -+-=①；反之，若11(,)x y 为方程⑤的任意一解，即1010()()0a x x b y y -+-=，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1PQ n ⊥，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l 的方程，直线l 是方程①的直线. 我们把方程00()()0a x x b y y -+-=叫做直线l 的点法向式方程，非零向量n 叫做直线l 的法向量.3、概念深化从上面的推导看，法向量是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是),(v u ，则它的一个法向量是),(u v -. 4、例题解析例1 已知点()()4321，，，B A -，求AB 的垂直平分线l 的点法向式方程. 解 由中点公式，可以得到AB 的中点坐标为()3,1，()2,4=→--AB 是直线l 的法向量，所以，AB 的垂直平分线l 的点法向式方程.()()03214=-+-y x [说明]关键在于找点和法向量！例2已知点)2,1(),6,1(--B A 和点)3,6(C 是三角形的三个顶点，求 （1）BC 边所在直线方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线方程.解（1）因为BC 边所在直线的一个方向向量＝（7，5），且该直线经过点)2,1(--B ，所以BC 边所在直线的点方向式方程为5271+=+y x （2）因为BC 边上的高AD 所在的直线的一个法向量为＝（7，5），且该直线经过点)6,1(A ，所以高AD 所在直线的点法向式方程为0)6(5)1(7=-+-y x５、巩固练习练习11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于yx ,的二元一次方程表示；那么每一个关于yx ,的二元一次方程0=++c by ax （a ，b 不同时为0）是否都表示一条直线呢？2、概念形成直线的一般式方程的定义直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为,x y 的二元一次方程0ax by c ++=.反之，任意二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为都是直线方程么？回答是肯定的.首先，当0b ≠时，方程可化为()0cax b y b ++=，根据直线点法向式方程可知，这是过点(0,)cb -，以(,)a b 为一个法向量的直线；当0b =时，方程为0axc +=，由于0a ≠，方程化为c x a =-，表示过点(,0)ca -且垂直于x 轴的直线.所以二元一次方程0ax by c ++=(,0)a b 不全为是直线的方程，叫做直线的一般式方程. ３、例题解析例1 ABC ∆中，已知)2,1(-A 、)4,3(B ，求AB 边的中垂线的一般式方程.解 直线过AB 中点(1,3)D ，(4,2)n AB ==，则其点法向式方程为4(1)2(3)0x y -+-=，整理为一般式方程250x y +-=. [说明]点法向式方程化为一般式方程. 例2（1）求过点(2,5)A -且平行于直线1:4390l x y --=的直线方程；（2）求过点(3,4)B -且垂直于直线2:3760l x y +-=的直线方程.解 （1）解一：(4,3),(3,4n d =-=，又直线过点(2,5)A -，故直线的方程为4(2)3(5)x y +=-化简得43230x y -+=.解二：(4,3),n =-又直线过点(2,5)A -，故直线的点法向式方程为4(2)3(5)0x y +--=化简得43230x y -+=. 解三：设与1:4390l x y --=平行的直线方程为430x y c -+=，又直线过点(2,5)A -故4(2)350c --⋅+=，23c =，所以直线的方程是43230x y -+=.（2）解一：1l的法向量1(3,7)n =为所求直线的方向向量，又直线过点(3,4)B -，故直线的方程为7(3)3(4)x y -=+化简得73330x y --=. 解二：设与2:3760l x y +-=垂直的直线方程为730x y c -+=，又直线过点(3,4)B -故733(4)0c ⋅-⋅-+=，33c =-，所以直线的方程是73330x y --=.[说明]一般地，与直线0ax by c ++=平行的直线可设为0()ax by c c c ''++=≠其中；而与直线0ax by c ++=垂直的直线可设为0bx ay c ''-+=.例3能否把直线方程0532=++y x 化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x 、y 的系数与方向向量和法向量有什么联系？解： 2131+=-+y x 、2131-+=+y x 、23132+=-+y x 、4164-=-+y x …… 2(1)3(1)0x y +++=、4（x+4）+6(y-1)=0……能够化成点方向式的形式，并且有无数个！所有的方向向量之间存在：一个非零实数λ，使得()2,321-==→→λλd d ； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！所有的法向量之间存在：一个非零实数λ，使得()3,221λλ==→→n n 变式：直线0=++c by ax 的方向向量可以表示为()a b -,λ 直线0=++c by ax 的法向量可以表示为()b a ,λ[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系.三、巩固练习 练习11.1（3） 补充练习1、（1）若直线过两点(,0),(0,)A a B b ，则,a b 分别叫做该直线在,x y 轴上的截距.当0ab ≠时，求直线AB 的方程；（2）若过点(4,3)P -的直线l 在两坐标轴上截距相等，求直线l 的方程. 2、 已知直线l 过点(2,3)P -且与,x y 轴分别交于,A B 两点.（1）若P 为AB 中点，求直线l 的方程；（2）若P 分AB 所成的比为2-，求l 的方程. 3、已知直线l 的方程为：(2)(12)430()a x a y a a R ++-+-=∈常数（1）求证:不论a 取何值，直线l 恒过定点；（2）记（1）中的定点为P ，若l OP ⊥（O 为原点），求实数a 的值.4、ABCD 中，三个顶点坐标依次为(2,3)-A 、(2,4)-B 、(6,1)--C ，求（1）直线AD 与直线CD 的方程；（2）D 点坐标.5、．过点)4,5(--P 作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l 的方程.6、已知两直线1110++=a x b y 和2210++=a x b y 都通过(2,3)P ,求证：经过两点111(,)Q a b ，222(,)Q a b 的直线方程是2310++=x y .四、课堂小结１.直线的点法向式方程和一般方程的推导；２．直线的点方向式方程、点法向式方程和一般方程这三种形式方程之间的互相之间的联系. ３、确定直线方程的几个要素 五、课后作业习题11.1 A 组5,6,7；B 组3，4 习题11.1 A 组8 补充作业：直线320x y -+=的单位法向量是___________.直线l 的一般式方程为2370x y -+=，则其点方向式方程可以是__________；点法向式方程可以是_____________. 过(4,3)P -且垂直y 轴的直线方程是_______________.若直线(2)30m x my -++=的法向量恰为直线30x my --=的方向向量，求实数m 的值. 已知点(2,1)P -及直线:3250l x y +-=，求：（1）过点P 且与l 平行的直线方程；（2）过点P 且与l 垂直的直线方程.正方形ABCD 的顶点A 的坐标为(4,0)-，它的中心M 的坐标为(0,3)，求正方形两条对角线,AC BD 所在的直线方程.已知,,A B C 的坐标分别为(1,3),(,0),(0,)b c ，其中,b c 均为正整数，问过这三点的直线l 是否存在？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 设直线l 的方程为(1)20()a x y a a R +++-=∈证明：直线l 过定点；若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.六、教学设计说明在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式），引导学生自主推导出直线的点法向式方程.通过对直线与二元一次方程关系的分析，引导学生经历由特殊到一般的思维过程，培养学生的探究能力.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
11.1直线的方程（2）
教学目标：掌握直线的点法向式方程.
教学难点：理解直线的点法向式方程的推导；法向量和方向向量的转化.
知识链接：
1.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a //”的充要条件是
2.已知),(11y x a =、),(22y x b =，则“b a ⊥”的充要条件是 学习探究：
探究1：已知直线l 过点)1,3(-P 且与向量)1,2(-=n 垂直，思考并回答下列问题：
（1）这样的直线是唯一的吗？（2）若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式.
探究2：已知直线l 过点),(00y x P 且与非零向量),(b a n =垂直，若),(y x Q 是直线上的任意一点，求y x 与的关系式.
例题：在ABC ∆中，已知()()1364--，，，
B A 和()54-，
C ，求： （1）高A
D 的方程. （2）BC 边的方程（2）BC 边的中垂线l 的方程.
思考1：向量),(),,(),(b a t b a n b a m -=-==与有怎样的位置关系？
思考2：如何根据直线方程求该直线的法向量和方向向量！！！！！
0:=++c by ax l ，则法向量=n 方向向量=d
练习1：已知直线l 经过A （-3,4）、B （2，-1）两点,且与向量),1(m n =垂直，求m
练习2：已知21n n 、分别是直线21l l 与的法向量，则“21l l ⊥”是“21n n ⊥”的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件 写出下列直线方程的一个法向量n ：
（1）y x 312=- （3）3=y （4）02=+x 作业（2014.12.23）
1.写出下列直线的一个法向量和一个方向向量
（1）直线0123=--y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（2）直线62)1(3=--y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（3）直线01=-x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（4）直线0=y 的一个法向量=n 一个方向向量=d
（5）直线
3
221+=-y x 的一个法向量=n 一个方向向量=d
2.依据下列条件，求出直线l 的点法向式方程：
（1）过点P （2，-3），与向量)2,3(-=n 垂直.
（2）过点P （-3，0），方向向量)5,3(=d ；
3.先求过点A （3，0），B （-2，1）两点的直线的点方向式方程，再化为一般式.
4.在ABC ∆中，()()1364--，，，
B A ，()54-，
C ，求中线BM 、高CN 的一般式方程.
5.求经过点A （1，-3），且与直线0123=+-y x 平行的直线方程.
6.求经过点A （1，-3），且与直线0123=+-y x 平行的直线方程.。