直线的点向式方程
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式在空间几何学中，直线是一种基本的几何对象，描述了两个点之间的最短路径。
在三维空间中，直线的方程可以用五种不同的形式来表示。
这五种形式分别是点向式、对称式、一般式、参数式和标准式。
本文将对这五种形式进行详细的介绍和比较。
一、点向式点向式表示了直线上的一个点和直线的方向向量。
如果我们知道直线上的一个点P和它的方向向量d，那么直线上的任何一点Q都可以表示为：Q = P + td其中t是一个实数，表示从点P出发，沿着方向向量d走多远到达点Q。
点向式的优点是简单明了，易于理解和计算。
但是，它的缺点是不够精确，因为方向向量d可以有不同的长度和方向，所以同一条直线可以有多种不同的点向式。
二、对称式对称式表示了直线上的一个点和直线的对称轴。
如果我们知道直线上的一个点P和它到直线的距离d，那么直线上的任何一点Q都可以表示为：|PQ| = d其中|PQ|表示点P到点Q的距离。
对称式的优点是可以精确地表示直线的位置，而不受方向向量的影响。
但是，它的缺点是不太方便计算，因为需要计算点到直线的距离。
三、一般式一般式表示了直线的一般方程形式。
如果我们知道直线的方向向量d和一个点Q，那么直线的一般式可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C是方向向量d的三个分量，D是常数项，可以通过点Q的坐标和方向向量d计算得出。
一般式的优点是可以表示任何一条直线，而不受方向向量的限制。
但是，它的缺点是不够直观，不容易理解和计算。
四、参数式参数式表示了直线上的所有点都可以由一个参数t来表示。
如果我们知道直线上的两个点P和Q，那么直线的参数式可以表示为：x = x0 + t(x1 - x0)y = y0 + t(y1 - y0)z = z0 + t(z1 - z0)其中(x0, y0, z0)和(x1, y1, z1)分别是点P和Q的坐标，t是一个实数。
参数式的优点是可以方便地计算直线上的任何一点，而且可以通过改变参数t来遍历整条直线。
空间直线方程
二 、直线的一般式方程
空间直线可以看作是两个不平行平面的交线.由 于平面方程为三元一次方程.因此，两个系数不成比 例的三元一次方程组
A1 A2
x x
B1 y B2 y
C1z D1 0, C2 z D2 0
(2)
表示一条直线，称方
程组(2)为空间直线
的一般式方程.
第七节 空间直线方程
一、直线的点向式方程 二、直线的一般式程 三、直线的参数式方程 四、两直线间的关系 五、直线与平面之间的关系
一、直线的点向式方程
设有已知点M0(x0,y0,z0)和非零向s=(m,n,p).如何建 立过点M0且平行于向量s 的直线.
称s为该直线的方向向量. 设M(x,y,z)为所求直线上任意一点，则
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 m12 p12 m22 m22 p22
1 3 (4) 111
0，
12 (4)2 12 32 12 12
故
π 2
，可知L1与L2垂直.
例4 求过点(1,–1,0)且与直线 x 1 y 3 z 1 平行 210
4
12 (1)2 12 32 12 22
2 42 21
从而 arcsin 2 42.
21
三、两直线间的关系
两条直线的方向向量所夹的角为这两条直线的夹角.
设这两条直线的方程为
L1 :
x x1 m1
y y1 n1
z
z1 , p1
L2
:
x x2 m2
y
y2 n2
z
直线的法向量与点法式方程
r 1、已知直线的一个法向量 n ， r 求它的一个方向向量 v 。 r r
3、(1)直线的一个方向向量为 r v = (2, 2) ，则它的斜率k = r 它的一个法向量n = 。 r (2)直线的一个法向量为n = (1,1)， r 则它的一个方向向量 v = 它的斜率 k = 。
热 身 练 习
点向式方程： v2 ( x − x0 ) − v1 ( y − y0 ) = 0
x − x0 y − y0 = (v1 ≠ 0, v2 ≠ 0) v1 v2
点斜式方程： ( y − y0 ) = k ( x − x0 ) 斜截式方程： y = kx + b
直线的法向量 与点法式方程
r 与直线平行的非零向量， 平行的非零向量 直线的方向向量： 与直线平行的非零向量，用 v 表示 直线的方向向量：
不唯一，互相平行（共线） 不唯一，互相平行（共线）
r 直线的法向量：与直线垂直的非零向量， 直线的法向量：与直线垂直的非零向量， 用 n 表示 垂直的非零向量
不唯一，互相平行（共线） 不唯一，互相平行（共线）
y
r n = ( A
r r uuuu n p0 p = 0
作 业
课本86页 —第6题 练习册62页 —B组第3题
r 3、已知直线 l 的法向量为 n = (2, −3) ， 且与两坐标轴围成的三角形的面积为3， 求直线 l 的方程。 解：设直线 l与 x 轴相交于( a, 0) ， 由点法式方程，得
典 题
2( x − a ) + (−3)( y − 0) = 0
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 1、求过点 P (1, 2)，且一个法向量为 r n = (3, 4) 的直线方程。 解：由直线的点法式方程，得
高等数学：第九讲 空间直线的点向式方程
空间直线的一般式
定义 空间直线可看成两个不平行的平面的交线.
L
A1 A2
x x
B1 y C1z D1 B2 y C2 z D2
0 0
1 2
——空间直线的一般式
注 (1) A1、B1、C1与A2、B2、C2 不成比例.
(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
z
2
L
且 M 0M // s
x x0 y y0 z z0
m
n
p
——直线的点向式方程
O
x
s
L
M M0
y
空间直线的点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
s
的三个坐标 m、n、p
称为
L 方向数.
s
z
L
注意 直线的方向数 m、n、p ， 可以等于0（不全为零）.
⑴
当m=0时，直线的方程可表示为
取 s n1 n2 {3,2,1}{2,1,1} {1,5,7}
所以点向式方程为
x 3 7
y8 7
z
1
5
7
s
n2
n1s 12Fra bibliotekL谢谢
y
n
y0
z z0 p
O
x
y
x x0 0
⑵
当m=n=0
时,直线的方程可表示为
y x
y0 x0
0 0
例题讲解
例1. 求过两点M1(1,2,3)，M2(2,6,5)的直线方程.
解
向量 M1M 2 与直线平行
取 s M 1M 2 {1,4,2}
所求直线方程为
x1 y 2 z 3
三维直线方程的五种形式
三维直线方程的五种形式在数学中，三维直线是指具有三个坐标轴上的点的集合。
三维直线也是建立立体几何体系的基础，因为绝大多数物体都是由直线和曲线组成的。
本文将详细介绍三维直线方程的五种形式。
形式一：点向式点向式是求解三维直线方程最简单的方法之一。
它利用一个点和一个方向向量来表示直线。
不妨设三维空间中的直线为L，点为P，方向向量为V，则点向式可以表示为：L: P + tV其中，t是一个实数。
通过改变t的值，可以获得L上的所有点。
如果只想求得直线上的一个点，则可以取t=0。
形式二：参数式参数式是我们在学习二维平面直线的时候就已经了解的一种方法。
具体来说，参数式是通过一组参数方程来表示直线上的所有点。
设直线 L 的参数方程为x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct则L可以表示为：L: (x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c其中，a、b、c均不为零。
参数式可以表示L上的所有点，但需要满足一个限制条件，即a、b、c不能同时为零。
形式三：标准式标准式是指利用两个点来表示直线的方程式。
设L过点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则L可以表示为：L: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z -z1)/(z2 - z1)标准式可以用来快速确定直线所在的位置。
然而，需要注意的是，标准式只有在点A和点B坐标都已知的情况下才适用。
形式四：一般式一般式是指将参数a、b、c以及点(x0,y0,z0)转换成系数A、B、C、D的式子。
具体来说，L的一般式可以表示成:Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D的计算公式如下：A = y1z2 - y2z1B = z1x2 - z2x1C = x1y2 - x2y1D = -A*x1 - B*y1 - C*z1利用一般式，可以将直线转换为平面，方便后续计算。
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化
空间直线点向式方程和一般方程的相互转化数学中，空间直线的表示方式有很多种，其中最常见的有直线的向式方程和一般方程。
这两种方程之间的相互转化在数学中有着广泛的应用。
本文将从向式方程和一般方程的基本概念、转化方法等方面进行介绍。
一、向式方程的基本概念向式方程是指通过直线上一点和直线的方向向量，来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有点P（x0,y0,z0），且直线的方向向量为a（a1,a2,a3），则直线的向式方程可以表示为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
二、一般方程的基本概念一般方程是指通过直线上两个不同的点来表示直线的方程。
具体来说，若直线L上有两点P1（x1,y1,z1）和P2（x2,y2,z2），则直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)其中，x、y、z分别表示直线上任意一点的坐标。
三、向式方程和一般方程的相互转化在数学中，向式方程和一般方程是可以相互转化的。
具体来说，有以下两种转化方式：1. 从向式方程转化为一般方程若已知直线L的向式方程为：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3我们可以通过以下步骤将其转化为一般方程：（1）将向量a化为平面上的两个向量b和c。
具体来说，我们可以任意选取两个向量b和c，使它们与向量a不共线，然后使用向量叉积的方法求出向量n=b×c（其中×表示向量叉积）。
向量n垂直于平面，而既过点P且平行于向量a的直线L，则与平面到点P的垂线n相交于点Q，可以把向量PQ看成是平面上的向量，其分别在b、c上的投影值分别为t和s（t和s为实数）。
因此，我们可以得到以下向量表示：PQ = tb+sc（2）将向量表示化为坐标表示，具体来说，我们可以将向量b、c和n 分别表示为坐标向量：b = (x1,y1,z1)c = (x2,y2,z2) n = (a1,a2,a3)则有：PQ = tb+sc = (x-x0,y-y0,z-z0)因此，我们可以得到以下解方程组的方法：(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2 = (z-z0)/a3(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)2. 从一般方程转化为向式方程若已知直线L的一般方程为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1)我们可以通过以下步骤将其转化为向式方程：（1）选取一点P(x0,y0,z0)在直线上，我们假设刚刚选取的点为P(x0,y0,z0)。
直线的方向向量与点向式方程
3X+Y-1=0
X=3
Y=-1
例3
求过点A（-2,1）和点B（1,3）.
2X-3Y+7=0
例 4：过直线2X-Y=0与X+Y-3=0的交点且平行于 向量V=(7，3)的直线方程。 例5:已知;ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,1),B(1,3),c(-3,-1),求BC边上中线所在的方程。
直线的方向向量与点向式方程
专业班用
知识回顾：
知识回顾Biblioteka 引例：思考：怎么样才能使母球所走路线是一条直 线？ 击球点和击球方向
直线的方向向量
思考：已知一个点和一个非零的方向向量， 是否确定唯一的一条直线？ 唯一
不唯一
是
直线的点向式方程
V2(x-x0)- v1(y-y0)=0 (1)
点向式方程
这样的两个方程是有直线上的一个点 P0(X0，Y0)和直线的一个方向向量V=(V1，V2)确 定的，所以都叫做直线的点向式方程。
X=X0
2.若果V2=0，则直线方程是什么？
Y=Y0 注意：方程（1）也说成直线（1）
课堂巩固：
例1.求通过点A（1，-2）。且方向向量为 V=（-1,3）的直线方程。
3X-7Y+11=0
2X+3Y-1=0
小结：
直线的方向向量和点向式方程
l
v
x
学以致用
(1) P (3,2), v (0,2) (2) P (2,1), v (3,0)
方程。
解：(1)由于给定的直线的方向向量 平行于y轴，所以过点(3,-2) 的直线方程为：x =3；
v
o
l
x P (3， 2)
(2)由于给定的直线的方向向量 平行于x轴，所以过点(2,-1) 的直线方程为：y=-1.
P0 ( x0 , y0 )
直线的点向式方程：由直线上 的一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和直线的一 个方向向量 v (v1 , v2 ) 确定。
设P( x, y)是直线上任意一个点，
o v (v , v ) 1 2
x
则点P在直线l上 P0 P / / v
又P0 P ( x x0 , y y0 )， v (v1 , v2 ),
y o
v
x
l
P (2， 1)
课堂竞技
1 x 1 2 1、过点C( ,4),且方向向量为v (0,1)直线方程为_________.
2 1 y=4 2、过点C( ,4),且方向向量为v ( 1, 0)直线方程为_________. 2
x0 3、过点B(0,-1)且垂直于x轴的直线方程为_________.
一个点和一个非零向量可以确定一条直线。
生活中的数学，需要你去思考
定义：与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的
方向向量，通常用 v 来表示。
1、一条直线的方向向量是不是唯一的？ 思考： 不唯一 2、所有的方向向量是具有怎样的位置关系？ 平行 l
y
v
o x
生活中的数学，需要你去探究
y
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
黄岛区职业教育中心
2013---2014学年度第一学期电子教案
学科：数学
授课人：刘桂美
使用班级： 12财1、12财2、12财3
2013年9月 2 日
2013年9 月2 日备
概念：与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的
v 表示。
：一条直线的方向向量不是唯一的。
v =(1,2)是一条直线的方向向量，v '=（2，）也是这条直线的一个方向向量。
二、点向式方程
如图已知点000(,)
P x y v =(12,v v )，0,)y 并且一个方向向量为v =(12,v v )的方程。
是直线上任意一点，则0p p v ，又
00()p p x y y =--
)0= 0，以上方程又可以写成 ，直线与x 轴垂直
教师引导学生举例说明，
习
教师提出问题由学生讨论：线
教师引导学生整理推导点向式方程
学生记忆公式
v=（-1，
v的直线方
v=（0，2
v=（3，0
页习题1、。