直线的法向量与点法式方程
空间坐标系直线的表达式
空间坐标系直线的表达式在三维空间中，直线是一种基本的几何元素，它可以用数学表达式来描述。
我们可以通过空间中的点或向量来定义一条直线的表达式。
直线的一般表达式一条直线可以用一个参数方程组表示为：$$ \\begin{cases} x = x_0 + at \\\\ y = y_0 + bt \\\\ z = z_0 + ct \\end{cases} $$ 其中x0,y0,z0是直线上的一点，a,b,c为方向向量或者直线的方向比例。
点向式另一种表示直线的方法是点向式，也被称为对称式，即$$ \\frac{x - x_0}{l} = \\frac{y - y_0}{m} = \\frac{z - z_0}{n} $$其中(l,m,n)是直线的方向向量。
参数方程式直线也可以用参数方程式表示，形式为$$ \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x_0\\\\ y_0 \\\\ z_0 \\end{pmatrix} + t\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c\\end{pmatrix} $$其中 $\\begin{pmatrix} x_0 \\\\ y_0 \\\\ z_0 \\end{pmatrix}$ 是直线上的一点，$\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix}$ 是直线的方向向量。
对称式直线还可以通过对称式表达为$$ \\frac{x - x_0}{a} = \\frac{y - y_0}{b} = \\frac{z - z_0}{c} $$其中(a,b,c)是直线的方向向量。
距离点法式如果已知直线上的一个点P0(x0,y0,z0)和与直线平行的一个法向量(A,B,C)，直线的方程可以表示为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0标准方向向量形式直线的标准方向向量形式为$$ \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x_0\\\\ y_0 \\\\ z_0 \\end{pmatrix} + t\\begin{pmatrix} l \\\\ m \\\\ n\\end{pmatrix} $$其中 $\\begin{pmatrix} l \\\\ m \\\\ n \\end{pmatrix}$ 为直线的方向向量。
平面问题求解的三大方程
平面问题求解的三大方程
平面问题求解通常使用以下三个方程：
1. 平面方程：平面方程是通过平面上的一个点和平面的法向量来定义的。
通常使用一般式方程表示，形式为 Ax + By + Cz +
D = 0，其中 A、B、C 为平面的法向量的分量，D 为一个常数。
2. 法线方程：法线方程是通过平面上的一个点和平面的法向量来定义的。
通常使用参数方程表示，形式为 x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中 (x0, y0, z0) 是平面上的一个点，(a, b, c)
是平面的法向量的分量，t 是一个参数。
3. 点法式方程：点法式方程是通过平面上的一个点和平面上的两个向量来定义的。
通常使用点法式方程表示，形式为 (P -
P0)·n = 0，其中P 是平面上的一个点，P0 是平面上的已知点，n 是平面的法向量。
符号·表示内积运算。
这三个方程可以用于解决平面相关的问题，如确定平面的位置、确定平面上的点、计算平面与直线的交点等。
如何求解直线与平面的交点
如何求解直线与平面的交点直线与平面的交点求解是几何学中常见的问题，解决这个问题可以帮助我们更好地理解直线和平面的关系。
在这篇文章中，我将介绍一种通用的方法来求解直线与平面的交点，希望对大家有所帮助。
在求解直线与平面的交点之前，我们需要先了解一些基本的概念和定理。
首先，我们知道平面可以由一个点和一个法向量来确定，而直线可以由一个点和一个方向向量来确定。
根据这个特性，我们可以通过点法式和参数方程的方法来求解直线与平面的交点。
点法式的求解方法：1. 假设直线的方程为L: P = P0 + t * v，其中P是直线上的一点，P0是直线上的已知点，v是直线的方向向量。
2. 假设平面的方程为n · (P - P1) = 0，其中n是平面的法向量，P1是平面上的已知点。
3. 令直线上的点满足平面方程，即将直线方程代入平面方程中，解出参数t。
4. 将求解得到的参数t带入直线方程，求得交点P。
参数方程的求解方法：1. 假设直线的方程为L: x = x0 + a * t, y = y0 + b * t, z = z0 + c * t，其中(x0, y0, z0)是直线上的已知点，a、b、c是直线的方向向量的分量。
2. 假设平面的方程为n · (P - P1) = 0，其中n是平面的法向量，P1是平面上的已知点。
3. 将直线的参数方程代入平面方程，消去参数t，得到一元二次方程。
4. 解一元二次方程，求得参数t的值。
5. 将求解得到的参数t带入直线方程，求得交点P。
上述方法是求解直线与平面交点的两种常用方法，具体使用哪种方法取决于问题的具体情况。
在实际求解过程中，我们可以根据题目的要求和已知条件选择合适的方法来应用。
除了点法式和参数方程的求解方法外，还有其他一些几何学定理可以用于求解直线与平面的交点。
例如，对称性定理可以帮助我们在已知一个交点的情况下求解另一个交点；垂直定理可以帮助我们判断直线是否与平面垂直。
直线的法向量与点法式方程
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
令 x ，0得 y 2a 3
由三角形面积公式，得
S 1 | a || 2a | 3
2
3
解得a 3
所以直线 l的方程为
2x 3y 6 0或2x 3y 6 0
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
OxLeabharlann A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
3x 4y 11 0
题
2、已知点 A(3, 2), B，(1,求4线)
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
直线的法向量与点法式方程
l
x o v (B, A)
探究新知
定义：与一条直线垂直的非零向量叫做这条 直线的法向量，通常用 n (A,B) 来表示。 思考： 1、一条直线的法向量是不是唯一的？ 不唯一 2、所有的法向量具有怎样的位置关系？ 平行
探究新知
直线的法向量与方向向量的关系
n (A,B) y
布置作业
书面作业 1.巩固本节所学知识点； 2.课本P85练习9-3
课外阅读----感知伟人魅力
拓展作业
勒奈〃笛卡尔是伟大的哲学家、物 理学家、数学家、生理学家，解析几 何的创始人，被誉为“近代科学的始 祖”。请查阅他在数学方面做出的贡 献，下节课以小组为单位进行展示。
二、直线的点斜式方程
已知直线过点P(x0,y0)，斜率k
) v 1 2 ,
y y0 k ( x x0 )
动手实验
实践问题：
一条直线可以由直线上一点P(x0,y0)，和与直线 平行的方向向量 V＝(v1 , v2 )确定，试动手画一下， 一条直线是否可以通过直线上一点和与直线垂直的一个 向量确定呢？
l
n ┴ v
= （A，B） 若n
则
x o v (B, A)
试 一 试Βιβλιοθήκη v =（7，2），则它的一个法向量（
v=（B，-A）
）
探究新知
n (A,B)
y
——直线方程的点法式推导
l
直线的点向式方程：由直线上 P0 ( x0 , y0 )和直线的一 的一个点 个法向量 n (A, B)确定。
一条直线可以由直线上一点px和与直线平行的方向向量确定试动手画一下一条直线是否可以通过直线上一点和与直线垂直的一个向量确定呢
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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r 1、已知直线的一个法向量 n ， r 求它的一个方向向量 v 。 r r
3、(1)直线的一个方向向量为 r v = (2, 2) ，则它的斜率k = r 它的一个法向量n = 。 r (2)直线的一个法向量为n = (1,1)， r 则它的一个方向向量 v = 它的斜率 k = 。
热 身 练 习
点向式方程： v2 ( x − x0 ) − v1 ( y − y0 ) = 0
x − x0 y − y0 = (v1 ≠ 0, v2 ≠ 0) v1 v2
点斜式方程： ( y − y0 ) = k ( x − x0 ) 斜截式方程： y = kx + b
直线的法向量 与点法式方程
r 与直线平行的非零向量， 平行的非零向量 直线的方向向量： 与直线平行的非零向量，用 v 表示 直线的方向向量：
不唯一，互相平行（共线） 不唯一，互相平行（共线）
r 直线的法向量：与直线垂直的非零向量， 直线的法向量：与直线垂直的非零向量， 用 n 表示 垂直的非零向量
不唯一，互相平行（共线） 不唯一，互相平行（共线）
y
r n = ( A
r r uuuu n p0 p = 0
作 业
课本86页 —第6题 练习册62页 —B组第3题
r 3、已知直线 l 的法向量为 n = (2, −3) ， 且与两坐标轴围成的三角形的面积为3， 求直线 l 的方程。 解：设直线 l与 x 轴相交于( a, 0) ， 由点法式方程，得
典 题
2( x − a ) + (−3)( y − 0) = 0
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 1、求过点 P (1, 2)，且一个法向量为 r n = (3, 4) 的直线方程。 解：由直线的点法式方程，得
3( x − 1) + 4( y − 2) = 0
典 题
3x + 4 y − 11 = 0 2、已知点 A(−3, 2), B(1, −4) ，求线 段 AB 的垂直平分线的方程。 uuu r 解：由题意，向量 AB 即为所求 r 直线的一个法向量,即 n = (4, −6) ， 设法用已知的条件找到所求 线段AB 的中点坐标是(−1, −1)
即
2a 2a 令 x = 0 ，得 y = − 3
由三角形面积公式，得
2 x − 3 y − 2a = 0
1 2a S = | a || − |= 3 2 3 解得a = ±3
所以直线 l 的方程为
2 x − 3 y − 6 = 0或2 x − 3 y + 6 = 0
x
P0 ( x0 , y0 )
O
r r r v = ( B, − A) 则 v n = ( B, − A)( A, B) = B × A + (− A) × B = 0 r r r n = ( A, B ) 是直线 l 的一个法向量，则向量 的一个法向量， 所以 v ⊥ n r v = ( B, − A) 就是直线的一个方向向量。 就是直线的一个方向向量。
直线的一个法向量。 再由直线的点法式方程，得
整理，得所求直线方程为
4( x + 1) − 6( y + 1) = 0
整理，得所求直线方程为
2x − 3 y −1 = 0
直线的法向量 直线的点法式方程
r r n v k
A ( A, B ) ⇒ ( B, − A)或(− B, A) ⇒ k = − B (−k ,1) ⇐ (1, k ) ⇐ k
A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 点法式方程
(1)v = (7, 2); (2)v = (−7, −2); r r (3)v = (−7, 0); (4)v = (0, 2).
r 2、已知直线的一个方向向量 v ， r 求它的一个法向量 n 。 r r
(1)n = (3,5); (2)n = (−3, −5); r r (3)n = (−3, 0); (4)n = (0,5).