直线的点法式方程
第二节 直线方程的点向式与点斜式
典例解析
【举一反三3】 已知直线l的法向量n＝(－3，2)，并且与 x轴、y轴围成的三角形的面积为12，求直线l的方程．
解：∵直线l的法向量n＝(－3，2)， ∴可设直线l的方程为－3x＋2y＋C＝0， 又∵直线l与x轴、y轴围成的三角形的面积为12， ∴ 1 | C | | C | ＝12，解得C＝±12，
它的一个法向量为_(_－__2_，__1_) ． 8．直线ax－y＋a＝0(a≠0)在两坐标轴上截距之和是
___a_－__1__．
【提示】 分别令x＝0，y＝0得直线在y轴、x轴上的 截距分别为a，－1，所以直线在两坐标轴上的截距之和 为a－1.
同步精练
9．经过点A(2，1)，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线l 的方程为__3_x_－__2_y－__4_＝__0_．
典例解析
【例1】 求过点P(－1,2)，一个法向量为n＝(2，1)的直 线的方程．
2x＋y＝0
【解析】 此题可由直线的点法式方程求得，也 可以由一般式用待定系数法求得．
方法一：将点P(－1，2)代入直线的点法式方程A(x －x0)＋B(y－y0)＝0，整理可得直线方程为2x＋y＝0.
方法二：由于法向量为n＝(2，1)，可设直线方程为 2x＋y＋C＝0，代入点P(－1，2)可得C＝0，即直线方程 为2x＋y＝0.
典例解析
【例2】 已知点A(－1，2)，B(－1，4)，求线段AB的垂
直平分线方程．
y＝3
【解析】 由题意可知线段AB所在的直线的斜率不
存在，∴线段AB的垂直平分线的斜率为0，∵线段AB的
中点为
1 1 2
,
2
2
4
，即其垂直平分线经过点(－1，3)，
解析几何基础要点汇总
解析几何基础要点汇总
1. 基本概念
- 解析几何是研究空间中点、直线、平面的性质和相互关系的数学分支。
- 点是解析几何的基本元素，用坐标表示。
- 直线是由两个不同的点确定的，可以通过斜率和截距等方式表示。
- 平面是由三个不共线的点确定的，可以通过法向量和点法式方程表示。
2. 点的坐标表示
- 在二维空间中，点的坐标表示为 (x, y)。
- 在三维空间中，点的坐标表示为 (x, y, z)。
3. 直线的方程
- 一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
- 斜截式方程：y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
- 点斜式方程：y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 为直线上的一点，m 为斜率。
4. 平面的方程
- 一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0，其中 A、B、C、D 为常数。
- 点法式方程：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0，其中 (x0, y0, z0) 为平面上的一点，(A, B, C) 为平面的法向量。
5. 相关性质和定理
- 两点间距离公式：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 -
z1)^2)。
- 点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。
- 点到平面的距离公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)。
以上是解析几何的基础要点汇总，希望对您的学习有所帮助。
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一
5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与 坐标轴 垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截
D.5
+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在
上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线的法向量与点法式方程
【教材】中等职业教育规划教材《数学》第二册
【教学目标】
知识目标：1.理解直线的法向量的概念以及法向量与方向向量的关系；
2.根据条件，熟练地求出直线的方程。
能力目标：通过布置课前任务来培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解来训练学生的语言表达能力和逻辑思维能力；通过让学生解决生活或专业中与数学相关的问题来培养学生的分析问题、解决问题的能力。
情感目标：通过让学生解决一些生活或专业中的问题，让学生感悟数学的实用性；通过小组活动，培养学生的团队精神；通过让学生解决一系列层层深入的问题，培养学生积极探索勇于创新的精神。
【教学重点】理解掌握直线的点法式方程。
【教学难点】法向量与方向向量的关系。
【突破难点的关键】通过多媒体演示、类比举例等手段让抽象的概念具体化。
【教学方法】探究式问题教学法。
此法就是把学习问题与学生的学习活动相结合，教师引导学生发现问题、分析问题、解决问题，从而使学生独立地、创造性地完成学习任务。
【教具】多媒体投影仪，实物投影仪。
例2 求下列过点。
高二-14-直线方程
1. 点斜式方程经过定点()00,M x y且斜率为k的直线方程为()00y y k x x−=−，叫做直线的点斜式方程. 2. 斜截式方程将点斜式方程中的定点选成直线与y轴的交点()0,b，那么方程改写成y kx b=+，其中数值b称为该直线在y轴上的截距.注：（1）当0k≠时，它表示y是x的一次函数，函数图像即为我们讨论的直线;（2）当0k=时，直线与x轴平行或重合，其方程为y b=；（3）如果直线与y轴平行或重合，直线方程为x a=，a为直线在x轴上的截距.3. 两点式方程经过直线上两点()11,M x y、()22,N x y，并且不与任一坐标轴平行或重合的直线l，有12x x≠，12y y≠，用点斜式表示直线为()211121y yy y x xx x−−=−−，整理可得两个坐标对称的形式：112121y y x xy y x x−−=−−，即为直线的两点式方程.4. 直线的一般式方程方程0ax by c++=（,a b不同时为零）可表示平面直角坐标系内的一条直线，即为直线的一般式方程.5. 点法式方程（1）直线的法向量：与直线上任意一个向量都垂直的非零向量叫做该直线的法向量，如(),n a b=是直线0ax by c++=的一个法向量.（2）已知直线l上的一点()00,M x y和直线l的一个法向量(),n a b=，直线方程可以表示为()()00a x xb y y−+−=即为直线的点法式方程.第14讲直线方程知识梳理题型一、点斜式【例1】过点(5,2)P 且斜率为1−的直线的点斜式方程为________. 【难度】★【例2】经过点(3,2)−，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是 ． 【难度】★【例3】若过点()30−，的直线1l 的倾斜角是直线2:330l x y a −+=倾斜角的两倍，则直线1l 的方程为 ．【难度】★【例4】直线l 经过点()3,1，且直线l 的一个方向向量为()2,23−−，若直线l 与x 轴交于点(),0a ，则a = . 【难度】★★【例5】已知直线l 经过点(2,1)，且和直线330x y −−=的夹角等于30°，则直线l 的方程是_________． 【难度】★★【例6】直线4380x y −−=的倾斜角的角平分线所在的直线的方程是________． 【难度】★★题型二、斜截式（截距式）【例1】已知直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2−，则l 的方程是 ． 【难度】★例题分析【例2】已知直线l 在y 轴上的截距为4，倾斜角为α，且4sin 5α=，则直线l 的斜截式方程为 ． 【难度】★【例4】若直线过点()1,1且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有 条. 【难度】★★【例6】已知直线20ax y a +−+=在两坐标轴上的截距相等，则实数a = . 【难度】★★【例7】设直线l 的方程为(1)10a x y a +++−=，若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ． 【难度】★★题型三、两点式【难度】★【例2】瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC 各顶点的坐标分别为()0,0A ，()0,2B ，()4,0C ，则其“欧拉线”的方程为 . 【难度】★★【例3】△ABC 的顶点()()()3,4,1,4,3,6A B C −−，则BC 边上的中线所在的直线方程是 ． 【难度】★★题型四、一般式【例2】若0ax by c ++=表示的直线是y 轴，则系数a ，b ，c 满足条件（ ） A ．0bc = B ．0a ≠C ．0bc =且0a ≠D ．0a ≠且0b c ==【难度】★【例3】若1122341,341x y x y +=+=，且12x x ≠，则经过()()1122,,A x y B x y 、的直线l 的一般方程为 . 【难度】★★【例4】若直线()10a x y a −−−=不通过第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(1,)+∞C ．()[),01,−∞+∞D ．0,1【难度】★★题型五、点法式【例1】若直线l 的方程为30x y −+=，则直线l 的一个法向量是_________. 【难度】★【例2】已知()2,3P 是直线l 上一点，且()1,2n =−是直线l 的一个法向量，则直线l 的方程为 ． 【难度】★【例3】已知直线l 与直线210x y +−=具有相同的法向量，且经过点(3,4)，则直线l 的方程为 ． 【难度】★★题型六、直线过定点【例2】已知直线():2130l ax a y a +−+−=，当a 变化时，直线l 总是经过定点，则定点坐标为 . 【难度】★【例3】设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m −−+=交于点(,)P x y ，则|||PA PB ⋅的最大值 ．（两直线垂直则斜率乘积为1−） 【难度】★★【例1】直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【难度】★★【例2】直线21y x =+关于直线y x =对称的直线方程为（ ） A ．310x y −+= B ．310x y −−=C ．210x y −−=D ．210x y −+=【难度】★★【例3】点(,)P x y 在第一象限内，且P 在直线:326l x y +=上移动，则xy 的最大值是____________. 【难度】★★【例4】直线:(12)(1)130l m x m y m +−+−−=分别交x 轴､y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为 . 【难度】★★【例5】如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是 ． 【难度】★★模块二：直线方程综合问题~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~例题分析【例6】已知()()1,0,0,2A B −，直线:2230l x ay a −++=上存在点P ，满足5PA PB +=，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★★【例7】设直线l 的方程为(1)20(R)a x y a a +++−=∈. （1）求证：不论a 为何值，直线必过定点M ； （2）若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 【难度】★★1. 下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是4B ．直线1y x =+的横截距为1C ．过()11,x y ，()22,x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为23−【难度】★师生总结巩固练习4. 已知一直线经过点M （﹣3，4）和点N （2，6），则这条直线的方程为 ． 【难度】★7. 若直线:20l ax y a +−−=在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．－1 C ．－2或1 D ．－1或2【难度】★★8. 平面直角坐标系中，已知直线l 过点()0,4，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线l 的方程为 ． 【难度】★★9. 直线l 过点(2,1)−，且在y 轴上的截距为在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程是 ． 【难度】★★11. 动直线()()():2130R l m x m y m m −++−=∈过定点M ，则M 的坐标为 . 【难度】★★13. 在△ABC 中，顶点A 的坐标为(3,3)，C ∠的平分线所在直线的方程为1:210l x y −+=，且边AC 上的中线所在直线的方程为2:560l x y +−=． （1）求点C 的坐标；（2）求边BC 所在直线的一般式方程． 【难度】★★1. 已知直线l 过定点()2,1P −，且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ，点O 为坐标原点．（1）若AOB 的面积为4，求直线l 的方程； （2）求OA OB +的最小值，并求此时直线l 的方程； （3）求PA PB ⋅的最小值，并求此时直线l 的方程． 【难度】★★★能力提升。
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