平面的点法式方程
平面及其方程7-5
§7.5平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量：如果一非零向量垂直于一平面 .这向量就叫做该平面的法线向量.容易知道 '平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直.唯一确定平面的条件 ：当平面口上一点M o (X 0 J0 Z0)和它的一个法线向量 n^A^B *C)为已知时、平面n 的位置就完全确定了 .平面方程的建立：设M(x.y.z)是平面□上的任一点.那么向量M ^M 必与平面n 的法线向量n 垂直、即它们的数量积等于零 ：由于Tn 球A*BC)* M 0M =(x —X 0, y —y 。
, Z —Z 0).所以A(XF 0)+B(y-y 0)弋(z-Z 0)=0 .n 上任一点M 的坐标 心工所满足的方程.、如果M (x 、y .Z)不在平面r 上、那么向量M^M 与法线向量n 不垂直、从而…即不在平面□上的点M 的坐标X y .Z 不满足此方程. 由此可知、方程A(x-X 0)+B(y-y 0)P(z-Z 0)n 就是平面□的方程.而平面口就是平面方程的图 形.由于方程A (X%)怕(y-y 0)4c (z-Z 0)=0是由平面L ［上的一点M 0(X 0、y 0、Z 0)及它的一个法线向量 n=(AB 、C)确定的、所以此方程叫做平面的点法式方程.例1求过点(2Q)且以 ^(K-2. 3)为法线向量的平面的方程.解根据平面的点法式方程 '得所求平面的方程为(x-2)-2(yt3)t3z=0 * x-2y+3z£n .M 1(2 H ⑷、M 2(—1 \3 L 2)和M 3(0 ,2①的平面的方程.T因为 M 1M 2 =(—3,4, -6)、M 1M 3=(-2,3, —1)、 所以T T in= M 1M^M 1M^ -3-2这就是平面 反过来T n M 0M =0即例2求过三点 解我们可以用 T TM i M 2X M 1M 3作为平面的法线向量k-6 =14 + 9j-k . -1根据平面的点法式方程、得所求平面的方程为14(x-2)H(y+1)-(z -4H0 . 14x49y_ z_15』. 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是 x.y 的一次方程.而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线 向量来确定 '所以任一平面都可以用三元一次方程来表示.反过来、设有三元一次方程Ax +By 4Cz 4D =0.我们任取满足该方程的一组数 x o .y o .z ^即Ax o +By o 4Cz o +D =0 .把上述两等式相减 '得A(x£o )+B(y-y o )兀(z-z o )=O 、这正是通过点 M o (x o.y oQ )且以nNA 、BQ 为法线向量的平面方程 .由于方程Ax +By 4Cz *DO与方程A(x 必)+B(y-y o )七(Z-z o ) =o同解*所以任一三元一次方程Ax 也y P z +O n 的图形总是一个平面.方程Ax 4By M z +D =o 称为平面的一般方程，其中 心z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标‘即nNA'B .0).例如 '方程3x -4y +z -9=0表示一个平面 小=(3\*訂)是这平面的一个法线向量 .讨论：考察下列特殊的平面方程 .指出法线向量与坐标面、 坐标轴的关系 '平面通过的特殊点或线.Ax +By f z ^o ；By 七Z 也 n^Ax ^z P^o r Ax +By +D P ； Cz +D P 'Ax PO By +D P . 提示： 平面过原点.n =(o *B Q).法线向量垂直于 n =(A 、o rC).法线向量垂直于 n =(A *B *o ).法线向量垂直于 n=(o *o *C)、法线向量垂直于 n=(A .o ,o b 法线向量垂直于 n=(o 占,o b 法线向量垂直于例3求通过x 轴和点(4L 1)的平面的方程.解 平面通过x 轴、一方面表明它的法线向量垂直于 点、即DP .因此可设这平面的方程为By 弋z^o .x 轴*平面平行于 y 轴、平面平行于 z 轴、平面平行于x 轴和y 轴，平面平行于 y 轴和z 轴r 平面平行于 x 轴和z 轴r 平面平行于 xOy 平面.yOz 平面. zOx 平面.X 轴、即AR ；另一方面表明 它必通过原又因为这平面通过点(4 *-3 *7) *所以有—BB-Cn 、或 C 」B .将其代入所设方程并除以B （B 如）、便得所求的平面方程为y ；z=0.例4设一平面与X 、y 、z 轴的交点依次为 P （a *0 * 0）、Q （0、b *0）、R （0 , 0、c ）三点、求这平面的 方程（其中乂&?€）.解 j a ^D =0, f bB +D =0, pc +D=0,A=-D 、B=-D r C=—D a b c 将其代入所设方程、得 -Dx-Dy-Dz+D =0 、 a b c X +上也=1 . a b c '上述方程叫做平面的截距式方程 *而a 、b 、c 依次叫做平面在 X 、y 、z 轴上的截距.三、两平面的夹角两平面的夹角：两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.设平面n 1和rb 的法线向量分别为 n 1N A 1占1 C ）和n 2=（A 2旧2、C 2）、那么平面n 1和rb 的夹角e 、―AAA_A应是（n 1, n 2）和（Til , n 2）F —g ,改）两者中的锐角、因此、cos 日^cosg ,匹）！.按两向量夹角余弦的坐标表示式.平面n 1和rt 的夹角e 可由来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面口 1和巧垂直相当于A1A2怕辰 QC2=0； 平面□ 1和n 2平行或重合相当于 A =BL -C!.A ， B, C 2例5求两平面 x-yPz-6=0和2x 为七-5=0的夹角. 解 n 1=（A 1 启1 Q1）=（1、一1 *2）、n 2m A 2、B 2Q2）=（2*1 * 1）.c 1c2l_ I1'2■ (-1)'T ■ 2…I| Jcos g _lAie 日口2 "T A 2+ Bfg 2叔2 +B ：七："712+(-1)2七2722+12+12~^设所求平面的方程为Ax+By4Cz*HD=0.P （a *0 *0）、Q （0 *b *0）、R （0 ,0 ,c ）都在这平面上*所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程*即 因为点 有由此得IAA2+B 1B 2+C 1C 2IAco眄cosg,讣府魯Y A 呢W|1X2 +(-1)X1 +2咒1||AA 2+B ,B 2pi C 2|所以*所求夹角为,4,例6 一平面通过两点 M 1(1」和M 2(o 」#)且垂直于平面 x+y+z=o 、求它的方程.解 方法一：已知从点M 1到点M 2的向量为 山勻/卫、-?)、平面x+y+z=o 的法线向量为n 2=(1、 1 J). 设所求平面的法线向量为n^A 、B 、C).因为点M 1(1、1、1)和M 2(o1)在所求平面上、所以n 丄n 仁即从—2C=o 、A 亠2C . 又因为所求平面垂直于平面 x^^zT*所以n 丄m*即A+B4C=o*B=C. 于是由点法式方程*所求平面为-2CZ)£(y —1)兀(Z —1)0 即 2x —y-z=o.方法二：从点M 1到点M 2的向量为n 1 =(-1 e *-2) *平面x+y+z=o 的法线向量为“2=(1* 1 , 1). 设所求平面的法线向量因为所以所求平面方程为2(x-1)-(y-1)-(z-1)0 2x-y-z=0 .例7设P o (x o ,y o ,z o )是平面Ax+By 兀z 也=0外一点、求P o 到这平面的距离. 解 设e n 是平面上的单位法线向量.在平面上任取一点 P 1(X 1 $1 *Z 1)*则P o 到这平面的距离为|A(X o^i )+B(y o-y i )七(z o^i )|扌是示：en^7A ^B ^(A, B, C)' 活o =(xo —x 1,yo —y 1,zo —z1)、例8求点(2 J J )到平面x +y -z +1 =0的距离.解 d JAxp^y o 弋zo^DI 」仝2丁X 1—(—1門+1| _ 3 —E _J A 2 + B 2 弋2 j 12+12+(—1)273 ' n 可取为npc n2 .i:-J o 1J A 2 +B 2+C 2JAx o 怕y oy z o-(Ax1HBy 1 七Z 1)| J A 2 +B 2 七2JAx^怕yo +Czo +D|Td 斗RP oen 1 =j 12+12+(_1)2。
初中数学知识归纳空间直角坐标系中平面和直线的方程
初中数学知识归纳空间直角坐标系中平面和直线的方程在初中数学中，学习空间直角坐标系是非常重要的一部分。
掌握好平面和直线的方程，对于解题和图像的分析都有着关键的作用。
本文将对空间中平面和直线的方程进行归纳总结。
一、平面的方程在空间直角坐标系中，平面由一个点和一个法向量确定。
常见的平面方程有点法式和一般式。
1.1 点法式设平面上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，平面的法向量为(a, b, c)，则平面上任意一点M(x, y, z)到点P的位置矢量为PM = (x - x0, y - y0, z - z0)。
根据平面上的点和法向量的垂直关系，可得:a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0这就是平面的点法式方程，也可写成：ax + by + cz + d = 0其中d = -(ax0 + by0 + cz0)。
1.2 一般式将平面的点法式方程展开，可得平面的一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0其中A, B, C, D为常数，满足A² + B² + C² ≠ 0。
将一般式方程展开后，即可得到一般式方程的标准形式。
二、直线的方程直线是空间中的一个重要对象，研究直线方程可以帮助我们更好地理解直线的性质并解决相关问题。
2.1 参数方程参数方程是直线方程表示的一种常用形式。
设直线上一点P的坐标为(x0, y0, z0)，直线的方向向量为(a, b, c)，则直线上任意一点M的位置矢量为：PM = (x - x0, y - y0, z - z0)由于直线上所有点的位置矢量都与方向向量平行，可得：(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c这就是直线的参数方程形式，也可以写成：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct其中t为参数，表示直线上的不同点。
这种方程表示了直线上所有的点。
一、平面的点法式方程
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
平面的位置关系：
(1) 1 2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1 )
o x
n
M0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
例1 求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
高等数学平面
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, r n1 = { A1 , B1 , C1 }, r Π1 n2 = { A2 , B2 , C 2 },
按照两向量夹角余弦公式有
cosθ =
| A A2 + B1B2 + C1C2 | 1 A + B +C ⋅ A + B +C
2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： 两平面位置特征：
(1) Π 1⊥ Π 2 ⇐⇒ A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 = 0;
A1 B1 C1 = = . ( 2) Π 1 // Π 2 ⇐⇒ A2 B2 C 2
附： 设 P0 ( x 0 , y0 , z 0 )是平面 Ax + By + Cz + D = 0 外一点， 到平面的距离. 外一点，求 P0 到平面的距离
由平面过点( 6,−3, 2) 知 6 A − 3 B + 2C = 0
r Q n⊥{4,−1,2},
∴ 4 A − B + 2C = 0
2 ⇒ A = B = − C, 3 所求平面方程为 2 x + 2 y − 3 z = 0.
三、平面的截距式方程 平面的截距式方程 设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P (a ,0,0) 、
Ax0 + By0 + Cz0 − ( Ax1 + By1 + Cz1 ) , = 2 2 2 A + B +C
曲面与平面
⇒ − 3 B − C = 0 ⇒ C = −3 B
⇒ Π : By − 3 Bz = 0 ⇔ y − 3 z = 0
4.几类特殊平面及其方程 4.几类特殊平面及其方程 几类特殊
r 解法2： n = (0, B, C ) Q
例3 求过OX轴和点P ( 4,−3,−1)的平面Π 的方程
4.几类特殊平面及其方程 4.几类特殊平面及其方程 几类特殊 例3 求过OX轴和点P ( 4,−3,−1)的平面Π 的方程 解法1：设平面的一般方程为 Ax + By + Cz + D = 0
Q 平面 Π 过 X 轴 r ⇒ 其法向量 n ⊥ OX = (1, 0, 0) ∴ 必有： A = 0， D = 0 故设 Π的方程为： By + Cz = 0
0
+ By
0
A + B + C + Cz 0 + D |
2 2 2ຫໍສະໝຸດ 2A2 + B
+ C
2
返回主页（RETURN） 返回主页（
2
rD =0 ⇒ M 1r 2 =+( −1,+,−2)，而 MBM 2 C + + Q A M Br C 0 D = 0 且 1 − ⊥ n
即： − 2 z = 0 − —过原点。 故 Π x − yy−− z = — 2 x —过原点 即：的方程为： — + y + z = 0 — —过原点 2 0
P(x, y, z)
r n( A, B, C)
P (x0, y0, z0 ) 0
r 设平面Π 内一定点P0 ( x0 , y0 , z0 ), n = ( A, B, C ) ⊥ Π ， 则Π 的方程为： A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 — 点法式 r 其中n为Π 的法向量 r r r (不唯一，若n1 // n，则n1也是Π 的法向量)
空间几何中的平面与直线的交点计算
空间几何中的平面与直线的交点计算在空间几何中，平面与直线的交点计算是一个重要的问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器视觉、航空航天等。
本文将介绍几种计算平面与直线交点的常用方法，并且给出具体的计算步骤和实例。
一、点法式方程法点法式方程是平面方程的一种常用形式，它可以通过平面上的一个点和平面的法向量来表示。
对于一个平面 P，设平面上的一点为 A，平面的法向量为 n，则点法式方程可以表示为：n·(X - A) = 0其中，X 是平面上的一点坐标。
对于直线 L，设直线上的一点为 B，直线的方向向量为 d，则直线可以表示为：X = B + td其中，t 是参数。
要计算平面和直线的交点，只需要将直线的方程代入平面的方程，求解参数 t，然后再将参数 t 代入直线的方程即可得到交点坐标。
例1：求平面 x + y + z = 6 和直线 x = 2t, y = 3t, z = -t 的交点坐标。
解：将直线的参数方程代入平面的方程有：(2t) + (3t) + (-t) = 64t = 6t = 3/2将 t = 3/2 代入直线的参数方程有：x = 2(3/2) = 3y = 3(3/2) = 9/2z = -(3/2) = -3/2所以，平面和直线的交点坐标为 (3, 9/2, -3/2)。
二、参数方程法参数方程法是另一种计算平面与直线交点的常用方法。
对于平面P，仍设平面上的一点为 A，平面的法向量为 n。
对于直线 L，设直线上的一点为 B，直线的方向向量为 d。
则可以得到以下参数方程：x = a + lty = b + mtz = c + nt要计算平面和直线的交点，只需要将直线的参数方程代入平面的方程，求解参数 l、m、n，然后再将参数 l、m、n 代入直线的参数方程即可得到交点坐标。
例2：求平面 2x + y - z = 3 和直线 x = 2t, y = t - 1, z = 3t 的交点坐标。
高等数学 平面及其方程
M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
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一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
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一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
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M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n
平面的点法式方程
因为此平面过点 M 1，M2 ，所以
A 2C D 0 ,
①
A 2B 2C D 0 . ②
又由于所求平面与向量 a 1 , 1 , 1 平行，因此它
的法向量与 a 垂直， 即 A+B+C=0
③
解联立方程①、②、③，得 A = C，B = 2C，D = C，
所以有
Cx 2Cy Cz C 0,
消去 C ， 即为所求的平面方程为
x 2 y z 1 0.
例 5 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)， 试求该平面的方程.
解 因为所求平面通过 x 轴，所以可设它的方 程为
By + Cz = 0 .
④
由于点 M 在所求的平面上，因此有
3B C = 0 ，
将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得所求平面方 程为
y 3z = 0
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角，称为两平面的夹角. 设平面
1、2 的方程分别为
A1 x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2z D2 0 .
它们的夹角为 .
cos
cos (n1 ,n2 )
n1 n2 n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
④
则平面1、2 垂直的充要条件是 A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0；
平行的充要条件是
A1 B1 C1 . A2 B2 C2
将方程 ① 展开， 得
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0,
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三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1)
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
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Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.
四面体的球面方程.
解: 设球心为 M 0 (x0 , y0 , z0 ),则它位于第一卦限,且
x0 y0 z0 1 12 12 12
x0
y0
z0 R(半径)
z
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
从而 因此所求球面方程为
o M0 y
x
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A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1)
d
A2 B2 C2
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(点到平面的距离公式)
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例7. 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成
内容小结
1.平面基本方程:
一般式 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
点法式
截距式
x y z 1 abc
(abc 0)
三点式
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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解: 应用公式有
12 (1)1 21
cos
1.
12 (1)2 22 22 12 12 2
因此 arccos 1 .
23
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例5. 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1 )和 M 2 ( 0, 1, 1 ), 且
垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k (xk , yk , zk ) (k 1, 2,3)
的平面方程为
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特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为
x y z 1 (a ,b,c 0) abc
此式称为平面的截距式方程.
即
2x y z 0
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例6. 设
是平面
外一点,求 P0 到平面的距离d . 解:设平面法向量为 n (A, B , C), 在平面上取一点
P1(x1, y1, z1) ,则P0 到平面的距离为
d Prj n P1P0
P1P0 n n
n P0
分析:利用三点式 x a y z a b 0 0 a 0 c
按第一行展开得 (x a)bc y(a)c zab 0
即 bcx acy abz abc
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二、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
例1.求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
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说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0 (C 0)
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
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例4. 求两平面 x y 2z 6 0和2x y z 5 0 的 夹角.
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
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1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 结论：
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例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By Cz 0 代入已知点 (4, 3, 1)得
化简,得所求平面方程
例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.