8.1.2 直线的点法式方程
直线的两点式方程
小结
1)直线的两点式方程
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
直线的截距式方程：x y 1 . ab
2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0
3)中点坐标：
x x1 x2 2
y y1 y2 2
直线方程
二元一次方程
即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0
(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？
（1）当B
0时，方程可变形为
y AxC BB
它表示过点( 0 , C )，斜率为 A 的直线.
B
B
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不
为零,于是方程可化为 x C ，它表示一条与 y 轴平
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
设:直线的方程为: x y 1
aa
把(1,2)代入得：1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条?
1
y= 2 x+3 因此，斜率为k= 1 ,它在y轴上的截距是3.
2
令y=0 得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.
由以上可知L与x 轴,y轴的交点
分别为A(-6，0)B(0，3),过
A，B做直线,为L的图形.
练习
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?
解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，
y2 x0 32 30
直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT教学课件
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点 和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。 问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l n ,
写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤； 反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为 坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的 定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
3:扩张特点：组织商业公司，以印度和北美作为 扩张重点
4:扩张简况(17世纪初开始) 印度：在西、东海岸建立殖民地 北美：沿大西洋沿岸建立殖民地
英国对印度的侵略
英法在北美殖民地
争夺殖民地的斗争
• 英荷：三次英荷战争，英国夺得新尼德 兰，荷兰丧失海上强国地位
• 英法：在欧、亚、美 争霸，通过七年 战争，英国夺得印度和北美大 片土 地
（2）求过点 B(3, 4) 且垂直于直线 l2 : 3x 7 y 6 0 的直线方程。 例 3 能否把直线方程 2x 3y 5 0化为点方向式方程？点法向式方程？若能， 它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察 x、y 的系数与方向向 量和法向量有什么联系？ 变式：直线 ax by c 0 的方向向量可以表示为？
直线的两点式方程公式例题解析
直线的两点式方程公式例题解析直线是几何学中的重要概念，也是数学中常见的研究对象。
在解析几何中，我们经常需要确定直线的方程，以便进行进一步的计算和分析。
直线的两点式方程公式是一种常用的表示方法，本文将以例题的形式，深入解析直线的两点式方程公式的应用。
例题1已知直线 L 过点 A(2, 3) 和点 B(4, 5)，求直线 L 的两点式方程。
解析：直线的两点式方程公式可以表示为：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)其中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是直线上的两个已知点的坐标。
根据题目中的已知信息，我们可以得到：(x - 2)/(4 - 2) = (y - 3)/(5 - 3)化简得到直线 L 的两点式方程：(x - 2)/2 = (y - 3)/2进一步整理得到：x - y = 1所以，直线 L 的两点式方程为x - y = 1。
例题2已知直线 L 过点 A(-1, 2) 和点 B(3, -4)，求直线 L 的两点式方程。
解析：同样地，我们可以利用直线的两点式方程公式求解。
根据题目中的已知信息，我们可以得到：(x - (-1))/(3 - (-1)) = (y - 2)/(-4 - 2)化简得到直线 L 的两点式方程：(x + 1)/4 = (y - 2)/(-6)进一步整理得到：3(x + 1) = -2(y - 2)展开化简后得到直线 L 的两点式方程：3x + 3 = -2y + 4整理得到：3x + 2y = 1所以，直线 L 的两点式方程为3x + 2y = 1。
通过以上两个例题的解析，我们可以发现，利用直线的两点式方程公式可以方便地求解直线的方程。
通过已知的两个点的坐标，我们可以确定直线的两点式方程，进而进行后续的计算和分析。
在实际应用中，直线的两点式方程公式可用于描述直线的性质、确定直线的位置和方向等。
它是解析几何中的重要工具，对于深入理解和研究直线的性质具有重要意义。
直线的两点式方程 课件
类型 2 直线的截距式方程及应用 [典例 2] 直线 l 过点 P43，2，且与 x 轴、y 轴的正 半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程； (2)当△AOB 的面积为 6 时，求直线 l 的方程． 解：(1)设直线 l 的方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)， 由题意知，a＋b＋ a2＋b2＝12.
直线的两点式方程 直线的一般式方程
[知识提炼·梳理]
1．直线的两点式与截距式方程
形式
两点式
截距式
条件
P1(x1，y1)和 P2(x2，在 x 轴上截距 a， y2) 其中 x1≠x2， 在 y 轴上截距 b y1≠y2
图形
方程
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
不表示垂直于坐 适用范围
标轴的直线
解：设直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b. ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为xa＋by＝1. 因为点(4，－3)在直线上，所以4a＋－b3＝1， 若 a＝b，则 a＝b＝1，所以直线方程为 x＋y＝1. 若 a＝－b，则 a＝7，b＝－7，所以直线的方程为 x －y＝7.
②当 a＝b＝0 时，直线过原点，且过点(4，－3)，所 以直线的方程为 3x＋4y＝0.
又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，得直线 l′的斜率为43， 又因为 l′过点(－1，3)， 由点斜式，知方程为 y－3＝43(x＋1)， 即 4x－3y＋13＝0.
[巧妙解法] (1)由 l′与 l 平行， 可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 m＝－9. 所以直线 l′的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将点(－1，3)代入上式，得 n＝13. 所以直线 l′的方程为 4x－3y＋13＝0.
高效课堂直线的两点式、截距式与一般式
思考2:直线l的方程可化为 其中a，b的几何意义如何？
x y 1， a b
方程
x y 1叫做直线的截距式方程， a b
思考3:过原点的直线方程能用截
距式表示吗？
思考4:与坐标轴垂直的直线方
程能用截距式表示吗？
知识探究（三）：直线方程的一般式
思考1:通过变形整理，我们发现直 线的点斜式、斜截式、两点式、截 距式方程都可以变形成右边为0，左 边是关于x，y的方程。 即：任意一条直线的方程都可以 写成Ax+By+C=0的形式（A，B不同 时为0）。
思考2:任意一条直线的方程都可以 写成Ax+By+C=0的形式，同时，关于 x，y的二元一次方程都表示直线， 方程Ax+By+C=0（A，B不同时为0） 叫做直线的一般式方程.
讨论、交流（约6分钟）
（一）讨论目标： 通过讨论每位同学要掌握两点式、截距式和一般式的特点， 并能应用其解决相关的问题。
1.求经过点P(0，5)，且在两坐 标轴上的截距之和为2的直线方程.
2.已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 3 ，求直线的点斜式和一般 式方程.
3.把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
当堂小结
老师 • 知识
学科 • 课堂情况 班长
1、6
探究（一）：直线的两点式方程
思考1:设直线l经过两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则 直线l斜率是什么？ y y
k
2 1
x2 x1
结合点斜式直线l的方程如何？ y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
8.1.2 直线的点法式方程
05
分钟
说明：一条直线的法向量不唯一，它们都是相互平行（共线）的．
点法式方程如图 所示，已知源自线 过点 ，的一个法向量为 ，
设 是直线 一动点，
则 ．
换用坐标表示，可得
归纳
讲解
强调
探研
理解
记忆
通过直线的法向量的讲解，结合向量垂直的充要条件，帮助学生了解直线的点法式方程的推导，并理解直线的点法式方程．
15
分钟
教学难点是了解直线的点法式方程的推导过程．
教学方法及教具：
采用讲授法、讨论法与直观演示法相结合完成教学，多媒体设备与作图工具辅助教学．
教学反思：
作业或思考题：
(1) 读书部分：复习教材中§8.1.2；
(2) 书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第 页中强化练习1—2．
数学学科教案设计（副页）
教学过程
数学学科教案设计（首页）
班级：课时：2授课时间：年月日
课题：§8.1.2直线的点法式方程
目的要求：
了解直线的点法式方程的推导过程，理解直线的点法式方程，会利用直线的点法式方程建立直线方程；通过数形结合的思想和转化的思想运用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
重点难点：
教学重点是理解直线的点法式方程并运用点法式方程建立直线方程．
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教学过程
教师
活动
学生
活动
设计
意图
时间
(4)
方程（4）是由直线 上一点 和 的一个法向量 确定的，因此这个方程叫做直线的点法式方程．
说明：设 ，因为
，所以 ．也就是说，如果 是直线 的一个法向量，则向量 是直线 的一个方向向量．
8.2直线方程——点法式和一般式
8.2直线方程——点法式和一般式8.2 直线方程——点法式和一般式达标要求1．理解直线法向量的概念。
2．掌握直线的点法式方程，会求直线方程。
3．掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程的系数和斜率和截距的关系．基础回顾一、直线的点法式方程1、直线的法向量：与直线l 垂直的非零向量，叫做直线l 的法向量，通常用n 表示。
法向量，不是唯一的．若) , (B A n =是直线的一个法向量，则) , 0( R t t tn ∈≠也是这条直线的一个法向量．2、直线的点法式方程：过点) , (00y x P 且法向量) , (B A n =的直线方程为：0)()(00=-+-y y B x x A ．若直线的法向量为) , (B A n =，则向量) , (A B v -=或) ,(A B v -=就是直线的一个方向向量．二、直线方程的一般式1、方程0=++C By Ax （A ，B 不全为零）叫做直线的一般式方程．此方程可表示任何直线，直线方程的其他形式都可以化为一般式方程．2、向量) , (B A n =为直线0=++C By Ax 的一个法向量，向量) ,(A B v -=或) , (A B v -=是这条直线的一个方向向量，直线的斜率)0( ≠-=B BA k ．典型例题例题1 根据下列条件求直线方程．(1) 过直线01=++y x 与03=--y x 的交点，且法向量是)2 , 5(-=n ．(2) 已知两点)2 , 5(-A ，)6 , 3(A ，求线段AB 的垂直平分线方程．【分析】根据不同的条件，选择不同的方程形式．解：（1）?=--=++0301y x y x 解得：-==21y x ，即交点为)2 , 1(- 由点法式方程得：0)2(2)1(5=+--y x ．整理得所求直线方程为：0925=--y x ．（2）因为所求直线的法向量)8 , 2(-==AB n ，设线段AB 的中点为) , ( y x C ，则4235=+=x ，2262=+-=y ．所以中点C 的坐标是)2 , 4(．所求直线的点法式方程为0)2(8)4(2=-+--y x ，整理得所求直线方程为： 044=+-y x 。
【论文】直线的点法式方程
直线的“点法式”方程及其应用举例陕西省三原县南郊中学 李晓燕 郑克强（邮编：713800）先看看以下一段文字[1]：在本章讨论直线的一些问题中，我们已经应用了向量的有关知识．实际上，可以更多地应用向量解决有关直线的问题．下面作初步的介绍．1、向量与直线方程……如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．如图2，设直线l 有法向量(,)n A B = ，且经过点000(,)P x y ，则点(,)P x y 在直线l 上的充要条件是0P P n ⊥ ．因为000(,)P P x x y y =-- ，(,)n A B = 且0P P n ⊥ 的充要条件是0P P 与n 的数量积为0，于是，得到直线l 的方程00()()0A x x B y y -+-=．这个方程由直线l上一点000(,)P x y 及直线l 的法向量n 确定，称为直线l 的点法式方程．如果直线有一般式方程0Ax By C ++=且0A ≠，则可得此直线的点法式方程：()(0)0C A x B y A ++-=．这是经过点(,0)C A-，且法向量(,)n A B = 的直线方程．所以(,)n A B = 是直线0Ax By C ++=的法向量．由于法向量可以从直线的一般式方程中直接得到，应用法向量在解决某些直线问题中比较便捷。
设(,)v B A =- ，则v 与n 的数量积()0v n B A A B ⋅=-⨯+⨯= ，所以v n ⊥ ．从而(,)v B A =- 是直线0Ax By C ++=的方向向量．2、向量与直线间的位置关系设直线1l 和2l 的方程分别是1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，那么，111(,)n A B = 和222(,)n A B = 分别是直线1l 和2l 的法向量．如果1l ∥2l ，则1n ∥2n ，所以12210A B A B -=．由此可知，12210A B A B -=是直线1l ∥2l 的必要条件．如果12l l ⊥，则12n n ⊥ ，反过来也对．而12n n ⊥ 的充要条件是120n n ⋅= ，即12120A A B B +=．所以，直线12l l ⊥的充要条件是12120A A B B +=下面考虑两条直线的夹角．设直线1l 和2l 的夹角为α，两条直线的法向量的夹角为θ，则αθ=或απθ=-．所以cos cos αθ=cos θ=∴ cos α=由此式可以求得两条直线的夹角．从上述文字叙述中，我们至少获取了以下信息：1.什么是直线的点法式方程？直线一般式方程220(0,)Ax By C A B ++=+≠下同的几何意义是什么．2.直线点法式方程在研究两条直线的位置关系，例如两条直线的平行的必要条件、两条直线垂直的充要条件以及两相交直线的夹角公式等等有重要应用．实际上，采用向量方法研究有关直线及其方程问题时，还有一个优点，就是避免了采用斜率研究直线及其方程，所引起的比较复杂的讨论问题。
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教学方法及教具：
采用讲授法、讨论法与直观演示法相结合完成教学，多媒体设备与作图工具辅助教学．
教学反思：
作业或思考题：
(1) 读书部分：复习教材中§8.1.2；
(2) 书面作业：修改课堂练习并完成学习手册第 页中强化练习1—2．
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教学过程
学习过程的能力．
05
分钟
（1） ；
（2） ．
解：（1）直线 经过点 ，一个法向量是 ，一个方向向量是 ；
（2）直线 经过点 ，一个法向量是 ，一个方向向量是 ．
例题5求过点 且与向量 垂直的直线方程．
解：由直线方程的点法式，得
．故所求直线方程为 ．质疑分析讲解质疑
分析
讲解
思考
回答
理解
思考
回答
理解
通过例题的讲解，帮助学生掌握根据直线方程求法向量与方向向量的方法与技巧．
如图 所示，
图8－4
已知一个点 及一个非零向量 ，过点 作一条直线与非零向量 垂直．
这样的直线有几条？一条直线能否由一个点及直线的铅垂方向来确定？
播放
课件
质疑
引导
分析
观看
课件
思考
自我
建构
通过实例使学生自然进入新知识的学习与探索，并引导学生思考推导直线的点法式方程．
07
分钟
*观察思考 探索新知
法向量
如果一个非零向量 所在的直线与直线 垂直，则称 是 的一个法向量.
指导
思考
求解
交流
及时了解学生对运用直线点法式方程建立直线方程的常规方法的掌握情况，并查漏补缺．
35
分钟
*归纳小结 强化新知
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
（1）本次课学了哪些内容？
（2）通过本次课的学习，你会解决哪些新问题了？
（3）在学习方法上有哪些体会？
引导
提问
总结
回忆
反思
归纳
培养学生总结
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教学过程
教师
活动
学生
活动
设计
意图
时间
(4)
方程（4）是由直线 上一点 和 的一个法向量 确定的，因此这个方程叫做直线的点法式方程．
说明：设 ，因为
，所以 ．也就是说，如果 是直线 的一个法向量，则向量 是直线 的一个方向向量．
*巩固知识 典型例题
例题4写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量：
通过例题的讲解，帮助学生掌握运用直线的点法式方程建立直线方程的常规方法．
25
分钟
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教学过程
教师
活动
学生
活动
设计
意图
教学
时间
*运用知识 跟踪练习
跟踪练习4写出下列直线经过的一个点和直线的一个法向量及方向向量：
（1） ；
（2） ．
跟踪练习5求过点 且与向量 垂直的直线方程．
质疑
巡视
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班级：课时：2授课时间：年月日
课题：§8.1.2直线的点法式方程
目的要求：
了解直线的点法式方程的推导过程，理解直线的点法式方程，会利用直线的点法式方程建立直线方程；通过数形结合的思想和转化的思想运用，培养学生分析问题和解决问题的能力．
重点难点：
教学重点是理解直线的点法式方程并运用点法式方程建立直线方程．
说明：一条直线的法向量不唯一，它们都是相互平行（共线）的．
点法式方程
如图 所示，已知直线 过点 ，
的一个法向量为 ，
设 是直线 一动点，
则 ．
换用坐标表示，可得
归纳
讲解
强调
探研
理解
记忆
通过直线的法向量的讲解，结合向量垂直的充要条件，帮助学生了解直线的点法式方程的推导，并理解直线的点法式方程．
15
分钟
教师
活动
学生
活动
设计
意图
时间
*揭示新知识
上次课学习了直线的点向式方程，是通过一个点和一个方向向量来建立直线方程的．事实上，如果通过一个已知点和与已知直线垂直的向量也可建立直线方程的．
本次课研究直线的点法式方程．
介绍
说明
倾听
了解
点明教学内容
03
分钟
*创设情景新知识导入
复习回顾
向量垂直的充要条件．
观察与思考