平面的点法式方程与一般方程
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高等数学 第八章 第三节 平面及其方程
取法向量 n n1 n2 (10 , 15 , 5) 所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化简得 2x 3 y z 6 0
第八章 第三节
16
例7 求平行于平面 6x y 6z 5 0 而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。
• B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面。
第八章 第三节
9
例3 设平面过原点及点 (6 , 3 , 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解 设平面为 Ax By Cz D 0
由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6 , 3 , 2) 6A 3B 2C 0
C
2 2
第八章 第三节
Π1
12
特别地
n2
(1) Π 1 Π 2
n1 n2
Π1
A1 A2 B1 B2 C1 C 2 0
(2) Π 1 // Π 2
n1 // n2
n2
n1
Π2
n1
A1 B1 C1 A2 B2 C2
Π2 Π1
第八章 第三节
13
例5 研究以下各组里两平面的位置关系：
第三节 平面及其方程
教学内容
1 曲面方程与空间曲线方程的概念
2 平面的点法式方程 3 平面的一般方程 4 两平面的夹角
考研要求
掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹 角，并会利用平面的相互关系(平行，垂直，相交 等)，解决有关问题。
第八章 第三节
1
一、曲面方程与空间曲线方程的概念
引例 求到两定点 A(1 , 2 , 3) 和 B(2 , -1 , 4) 等距离 的点的轨迹方程。
3.1平面方程
即
y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
(3)
O
M1 M3
M2
M
y
平面的三点式方程.
x
例1: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的 平面的方程.
解:
根据平面的截距式方程(4), 可设平面方程为:
x y z 1 2 3 c
又平面过点M(3, 1, 2)，则有
3 2 4 1 2 3 c
即:
12x +8y + 19z +24 = 0
(三) 平面的点法式方程
z n
1. 法向量:
O
y
x
若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为 平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有方位向量 a , b
z
2. 向量式参数方程:
对于平面上任一点 M (x , y , z),
M 0 M, a , b
M0
b
M
r0
共面
M0M u a v b
O
r
a
y
x
又因为
M 0 M r r0 ，则上式可写为
3 B C = 0
C = 3B
所求平面方程为 By 3Bz = 0
即:
y 3z = 0
平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k)
空间中平面及直线的方程(3)
5-3 空间中平面与直线的方程
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面 的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1
1.平面的方程
设一平面通过已知点
P( x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C) , 求该平面的方程.
任取点 P(x, y, z) , 则有
P0P n
故
P0P n 0
z
P
n
P0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
①
称①式为平面的点法式方程,
称 n 为平面 的法向量.
平面的点法式方程（1）可以化成
Ax By Cz D 0
其中D Ax 0 By0 Cz0 是常数，x, y, z的系数A，B，C依次 是法向量向量的三个坐标分向量.
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
C1C2 | A22 B22
C
2 2
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
两平面垂直的条件
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直
P1P2 P1P3
设 P x,是y,平z面上任一点, 显然
P1P2 P1P3 0,
垂直于
P1P
P1P2 P1P3
P1P P1P2 P1P3 0.
此混合积的坐标形式为:
x x1 x2 x1 x3 x1
一、平面的点法式方程
平面∏2的法向量为 n2 ( A2 , B2 ,C2 )
则两平面夹角 的余弦为
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
n1
n2
1
平面的位置关系：
(1) 1 2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
A D, B D, C D.
a
b
c
三、两平面的夹角
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1的法向量为 n1 ( A1 , B1 ,C1 )
o x
n
M0
y
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 ① 平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
例1 求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n ( A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
第五节 平面及其方程
其对应方程为方程组
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
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2
2
2
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结束
1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
G ( x, y , z ) 0
F ( x, y , z ) 0
z
S O y
x
S2
C F ( x, y , z ) 0
S1
则方程组(1)叫做空间曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程组(1) 的图形.
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两个基本问题 : (1) 已知一曲面(曲线)作为点的几何轨迹时, 求曲面(曲线)方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 n2 0
A1 A2 B1B2 C1C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n1 n2 夹角公式: cos n1 n2
1
cos
A1 A2 B1 B2 C1C2
A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C2
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2
2
2
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1 : n1 ( A1 , B1 , C1 )
特别有下列结论：
n1 n2 cos 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 ) n1 n2
x0 y0 z0 1, 1 3 x0 3 x0
故
O
M0
y
因此所求球面方程为
x
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n2
(1) 1 2 (2) 1 // 2
n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0 n1 // n2
-空间中平面及直线的方程
的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
2(x 1) 3( y 1) 4(z 1) 0,
即
2x 3y 4z 9 0.
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铃
补例 求过三点
的平面 的方程.
解 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
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铃
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
n (0, B,C) i, 平面平行于 x 轴;
此混合积的坐标
形式为:
Z
x2 x1 y2 y1 z2 z1 0. x3 x1 y3 y1 z3 z1
例4 设已知三点 P1(0,0,1), P2(1,1,0)及P（3 1，0，1），求过该三点 的平面方程.
解 所求的平面方程是
即：y z 1 0.
x 0 y 0 z 1 1 1 1 0. 10 0
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20夹角的余弦:
cos
| A1A2 B1B2 C1C2 |
.
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面垂直的条件
平面A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20互相垂直的 充要条件是
3.1平面的方程
2. 坐标式参数方程
设点 M 0 , M 的坐标分别为 x0, y0, z0 , x, y, z ，那么 r0 x0, y0, z0, r x, y, z ；并设 a X1,Y1, Z1,b X2,Y2, Z2
x x0 ux1 vx2
则平面
的坐标式参数方程为
y
y0
uy1
vy2
， u, v
取 1
1
乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0
n
A2 B2 C2
可得法式方程
Ax
By
Cz
D
0
A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C 2
在取定符号后叫做法式化因子
选取的符号通常与常数项 D 相反的符号
例3 已知两点 M1 1, 2,3, M2 3,0, 1 ，求线段M1M2 的
垂直平分面 的方程
例4 把平分面 的方程 3x 2y 6z 14 0 化为法式方程， 求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到
平面的距离
例5 求过三点 A2,1,0, B0,1,2,C 3,0,4 的平面方程
（向量式，参数式，点位式，三点式，截距式，一般式，点法式， 法式）
平面的坐标式方程，简称法式方程为 x cos y cos z cos p 0
平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： ①一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1；
②因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数 p 0
平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化
O;i, j, k
，设点
M
的向径为
高等数学 平面及其方程
M0
O
y
x
2021/7/17
3
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
4
一、平面的点法式方程
法线向量：
z
如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
M0
O
y
x
2021/7/17
5
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
2021/7/17
M0 O
y
6
一、平面的点法式方程
法线向量： 如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就电做该平面的法线向量．
z n
唯一确定平面的条件：
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个．
过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定 x 法向量 n{A，B，C}的平面只有一个．
9
例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3)
的平面的方程． z
解 先求出这平面的法线向量 n ．
M 1M 2{3， 4， 6}，n
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一、平面的点法式方程 z
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
x
n
M
M0
y
o
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知
n { A , B , C },
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
解
(1 )
机动
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例 7
设 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 平 面 Ax By Cz D 0
外 一 点 ， 求 P0 到 平 面 的 距 离 .
解
n
P0
N
机动
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d
| Ax0 By0 Cz0 D | A B C
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量
n { A , B , C }.
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平面一般方程的几种特殊情况：
(1 ) D 0 ,
平面通过坐标原点；
平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴；
D 0, (2) A 0, D 0,
类似地可讨论 B 0 , C 0 情形.
n2
n1
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2
2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 , n 1 { A 1 , B 1 , C 1 },
1
n 2 { A 2 , B 2 , C 2 },
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例 4
设 平 面 与 x , y , z 三 轴 分 别 交 于 P ( a ,0 ,0 ) 、
Q ( 0 , b ,0 ) 、 R ( 0 ,0 , c ) （ 其 中 a 0 ， b 0 ， c 0 ） ，
求此平面方程.
解
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得方程
x a
y b
结束
例 2 求 过 点 ( 1 , 1 ,1 ) ， 且 垂 直 于 平 面 x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的 平 面 方 程 .
解
机动
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二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax 0 By 0 Cz 0 ) 0 D
( 3 ) A B 0 , 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0 , B C 0 情形.
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例 3 设 平 面 过 原 点 及 点 ( 6 , 3 , 2 ) ， 且 与 平 面
4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解
机动
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A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
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例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1 ) x 2 y z 1 0 , (2) 2 x y z 1 0, (3) 2 x y z 1 0, y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
2 2 2
.
这就是点到平面距离公式
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思考题
若 平 面 x ky 2 z 0 与 平 面
2 x 3 y z 0的夹角为
4
， 求k ?
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平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
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例 1 求 过 三 点 A ( 2 , 1 ,4 ) 、 B ( 1 , 3 , 2 ) 和
C ( 0 ,2 ,3 ) 的 平 面 方 程 .
解
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M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n { A , B , C },
已知点 ( x 0 , y 0 , z 0 ).
上页下页返回结束按照两向量夹角余弦公式有
cos | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C 2
2
2
2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
(1 ) (2) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ; 1 // 2
z c
1 平面的截距式方程
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
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例 5
求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解
z
o
y
x
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三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量．
x
n
M
M0
y
o
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知
n { A , B , C },
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),
设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0
解
(1 )
机动
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例 7
设 P0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 平 面 Ax By Cz D 0
外 一 点 ， 求 P0 到 平 面 的 距 离 .
解
n
P0
N
机动
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d
| Ax0 By0 Cz0 D | A B C
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量
n { A , B , C }.
机动
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平面一般方程的几种特殊情况：
(1 ) D 0 ,
平面通过坐标原点；
平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴；
D 0, (2) A 0, D 0,
类似地可讨论 B 0 , C 0 情形.
n2
n1
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,
2
2 : A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 , n 1 { A 1 , B 1 , C 1 },
1
n 2 { A 2 , B 2 , C 2 },
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例 4
设 平 面 与 x , y , z 三 轴 分 别 交 于 P ( a ,0 ,0 ) 、
Q ( 0 , b ,0 ) 、 R ( 0 ,0 , c ) （ 其 中 a 0 ， b 0 ， c 0 ） ，
求此平面方程.
解
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得方程
x a
y b
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例 2 求 过 点 ( 1 , 1 ,1 ) ， 且 垂 直 于 平 面 x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的 平 面 方 程 .
解
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二、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax 0 By 0 Cz 0 ) 0 D
( 3 ) A B 0 , 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0 , B C 0 情形.
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例 3 设 平 面 过 原 点 及 点 ( 6 , 3 , 2 ) ， 且 与 平 面
4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解
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A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
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例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1 ) x 2 y z 1 0 , (2) 2 x y z 1 0, (3) 2 x y z 1 0, y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
2 2 2
.
这就是点到平面距离公式
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思考题
若 平 面 x ky 2 z 0 与 平 面
2 x 3 y z 0的夹角为
4
， 求k ?
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平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程， 平面称为方程的图形．
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例 1 求 过 三 点 A ( 2 , 1 ,4 ) 、 B ( 1 , 3 , 2 ) 和
C ( 0 ,2 ,3 ) 的 平 面 方 程 .
解
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M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n { A , B , C },
已知点 ( x 0 , y 0 , z 0 ).
上页下页返回结束按照两向量夹角余弦公式有
cos | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C 2
2
2
2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
(1 ) (2) 1 2 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ; 1 // 2
z c
1 平面的截距式方程
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
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例 5
求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解
z
o
y
x
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三、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 （通常取锐角） 夹角.