高考文数一轮复习练习： 一元二次不等式及其解法
高考数学大一轮复习第六章第二节一元二次不等式及其解法课件文.ppt
当 当
m＝0 m≠0
时时，，1函－数2xf＜(x)0＝，m则x2x－＞212x，－不m＋满1足为题二意次；函数，
需满足开口向下且方程 mx2－2x－m＋1＝0 无解，
即mΔ＝＜40－，4m1－m＜0， 不等式组的解集为空集，即 m 无解．
综上可知不存在这样的实数 m 使不等式恒成立．
角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
[题点全练]
角度一：形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 1．已知不等式 mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数 m 对所有的
实数 x，不等式恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不
存在，请说明理由．
解：要使不等式 mx2－2x－m＋1＜0 恒成立， 即函数 f(x)＝mx2－2x－m＋1 的图象全部在 x 轴下方．
13是ax2＋bx＋2＝0的两根，
则a＝－12，b＝－2．
所以a＋b＝－14．
答案：－14
1．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时 的情形．
2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意 区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
当0＜a＜1时，解为1＜x＜1a．
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜1a
．
当a＝1时，不等式的解集为∅．
当a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1
．
[由题悟法] 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0 的关系． (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨 论两根的大小关系，从而确定解集形式． [提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨 论其等于0的情况．
高考数学一轮复习 第7章 不等式 第2节 一元二次不等式及其解法课件 文
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4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
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三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
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5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________． 解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两 根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－ －113＋ ＝131a＝ ，－ba， 所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
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2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
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第七章 不等式
第二节 一元(yī yuán)二次不等式及 其解法
高考文数复习---一元二次不等式及其解法课时练习题(含答案解析)
7．不等式 x2－2ax－3a2＜0(a＞0)的解集为
．
{x|－a＜x＜3a} [x2－2ax－3a2＜0⇔(x－3a)(x＋a)＜0.
又 a＞0，则－a＜3a，所以－a＜x＜3a.]
8．关于 x 的不等式 x2＋ax＋a≤1 对一切 x∈(0,1)恒成立，则 a 的取值范围
为
．
(－∞，0] [原不等式可化为 x2＋ax＋a－1≤0，设 f(x)＝x2＋ax＋a－1，
a
＜
1 3
时
，
原
不
等
式
的
解
集
为
xx＞3a＋3＋
9a2－30a＋9 4
3a＋3－ 或x＜
9a2－30a＋9
；
4
当 a＝13时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当13＜a＜1 时，原不等式的解集为 R.
综合运用练习
1．函数 f(x)＝ln－x2＋1 4x－3的定义域是(
)
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)
又当 x∈[1,2]时，x＋2x≥2 2，当且仅当 x＝ 2时等号成立，则－x－2x≤－2 2.
∴m＞－2 2.]
3．已知一元二次不等式 f(x)＜0 的解集为xx＜－1或x＞13
，则 f(ex)＞0 的
解集为
．
{x|x＜－ln 3} [f(x)＞0 的解集为 x∈－1，13.
不等式 f(ex)＞0 可化为－1＜ex＜13，
A.xx＜－1或x＞12
B.x－1＜x＜12
C．{x|－2＜x＜1}
D．{x|x＜－2 或 x＞1}
－ba＝－1＋2， A [由题意知2a＝－1×2，
ba＝－1， 即2a＝－2，
a＝－1， 解得
高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法课件
解：(1)法一：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0， 方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝ ，x2＝6. 函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点 ( ，0)和(6,0). 所以原不等式的解集为{x| ≤x≤6}.
法二：原不等式可化为3x2－19x＋6≤0 ⇒(3x－1)(x－6)≤0⇒(x－ )(x－6)≤0. ∴原不等式的解集为{x| ≤x≤6}. (2)原不等式等价于
(3)由12x2－ax－a2＞0⇔(4x＋a)(3x－a)＞0 (xa)(xa)0,
43 ①a>0时， 解集为{x|x＜ 或x＞－ }. ②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0时，
解集为{x|x＜ 或x＞－ }.
1.解下列关于x的不等式 (1)19x－3x2≥6， (2)0＜x2－x－2≤4， (3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0).
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的 关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本 增加的比例x应在什么范围内？
解：(1)由题意得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000 (1＋0.6x)(0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有
2.对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是： (1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次 不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0； (3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决 定所求不等式的不等号的方向； (4)判断二次不等式两根的大小.
解下列不等式： (1)2x2＋4x＋3＞0； (2)－3x2－2x＋8≥0； (3)12x2－ax＞a2(a∈R).
高考数学一轮复习 第七章 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法 理
第2讲 一元二次不等式及其解法一、选择题 1．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．(－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2] 解析 ∵x －2x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x －，x ＋1≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ≠－1，∴x ∈(－1,2]． 答案 B2. 若集合{},{}x A x x B xx-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1 C. {}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1,选B. 答案 B3．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝ ( )． A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －ba. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋ca ＝－2，c －b a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.答案 B4．不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )．A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2>0，log 2x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2<0，log 2x <0.∴x >2或0<x <1，即不等式的解集为(0,1)∪(2，＋∞)． 答案 A5．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为 ( )．A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a <－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )>1即为－x 2－x >0， 解得－1<x <0. 答案 C6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )．A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－4)＝f (0)，故其对称轴为x ＝－b2＝－2，∴b ＝4.又f (－2)＝4－8＋c ＝0，∴c ＝4，当x ≤0时，令x 2＋4x ＋4≤1有－3≤x ≤－1；当x ＞0时，f (x )＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为 [－3，－1]∪(0，＋∞)． 答案 C 二、填空题7．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a <0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1.②⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0.综上可知：－1＜x ＜2－1. 答案 (－1，2－1)9．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋b 2－b ＋1(b ∈R )，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下， ∴当x ∈[－1,1]时，f (x )是增函数．若f (x )>0恒成立，则f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1>0，即b 2－b －2>0，∴(b －2)(b ＋1)>0，∴b >2或b <－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________. 解析 显然a ＝1不能使原不等式对x >0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2<x 3，易知x 2<0，x 3>0.当x >0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案 32三、解答题11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小．解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a >0，且0<x <m <n <1a，∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0为x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为∅. 综上所述：当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }； 当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}； 当c ＝2时，不等式的解集为∅.13．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 14．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a ＞0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 注 e 为自然对数的底数．解 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x ＞0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a x ＋ax.由于a ＞0，所以f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2，对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.。
高考数学一轮复习 22一元二次不等式及其解法检测试题(
【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 2-2一元二次不等式及其解法检测试题（2）文一、选择题1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，－2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a，解得a ＝－6，b ＝5， 不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)，故选A. 答案：A 2．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2＞0即x ＞2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4. ②当x －2＜0即x ＜2时，原不等式等价于(x －2)2≤4，解得0≤x ＜2，故选B. 答案：B3．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：原不等式可化为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]，故选D.答案：D4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)解析：①m ＝－1时，不等式为2x －6＜0，即x ＜3，不合题意．②m ≠－1时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＜0，Δ＜0，解得m ＜－1311，故选C.答案：C5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}，则函数y＝f(－x)的图像可以为( )ABCD解析：由f(x)＜0的解集为{x|x＜－3或x＞1}知a＜0，y＝f(x)的图像与x轴交点为(－3,0)，(1,0)，所以f(－x)图像开口向下，与x轴交点为(3,0)，(－1,0)．答案：B6．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)解析：把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0 ①，且f(1)＝x2－3x＋2＞0 ②即可，联立①②并解得x＜1或x＞3.故选C.答案：C7．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图像如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为( )A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－2，2)C．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：由导函数的图像知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，即－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)，故选A 项．答案：A8．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0，故选C. 答案：C9．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax 的解集为( )A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |x ＜0，或x ＞3}C ．{x |－2＜x ＜1}D ．{x |x ＜－2，或x ＞1}解析：由题意知a ＜0且－1,2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧－ba＝1，ca ＝－2，解得b ＝－a ，c ＝－2a ，所以不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c ＞2ax ，即为a (x 2＋1)－a (x －1)－2a ＞2ax ， 所以x 2－3x ＜0，解得0＜x ＜3. 答案：A10．若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为( )A ．(－3,1)B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C ．∅D ．(0,1)解析：不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，即a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0，解得t ＜－3或t ＞1，故选B.答案：B 二、填空题 11．若不等式k －3x －3＞1的解集为{x |1＜x ＜3}，则实数k ＝__________. 解析：k －3x －3＞1，得1－k －3x －3＜0，即x －kx －3＜0， (x －k )(x －3)＜0，由题意得k ＝1. 答案：112．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是__________． 解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅， 所以Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)＜0，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3. 答案：(－1,3)13．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是__________．解析：由题意是x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n max ＝12，解得x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，所以λ的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]14．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a ＞0的解集为__________(用区间表示)．解析：由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12知a ＜0，且－13，12为方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系得－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，解得a ＝－12，c ＝2，∴－cx 2＋2x －a ＞0，即2x2－2x －12＜0，其解集为(－2,3)．答案：(－2,3) 三、解答题15．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析：(1)∵f (1)＞0，∴－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式的解集为∅.②当Δ＞0，即b ＞－6时，方程a 2－6a ＋3－b ＝0有两根a 1＝3－6＋b ，a 2＝3＋6＋b ， 所以不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：当b ≤－6时，原不等式的解集为∅；当b ＞－6时，原不等式的解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即 3x 2－a (6－a )x －b ＜0. ∵不等式的解集为(－1,3)，∴－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.答案：(1)当b ≤－6时，解集为∅；当b ＞－6时，解集为(3－6＋b ，3＋6＋b ) (2)⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9，或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小． 解析：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .答案：(1)当a ＞0时，解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}； (2)f (x )＜m .创新试题 教师备选 教学积累 资源共享1．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－2,1) C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：由题意x (x －2)＋2x ＋(x －2)＜0， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1. 答案：B2．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析：∵x 2＋ax ＋1≥0，在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，∴a ≥－x －1x.又－x －1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52，即 a min ＝－52.答案：C3．若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是(－4,1)，则不等式b (x 2－1)＋a (x ＋3)＋c ＞0的解为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1 B ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以－4＋1＝－b a ，－4×1＝c a，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得－43＜x ＜1.答案：A4．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )＜1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1,1)D ．(0,2)解析：由题意知，(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )[1－(x ＋y )]＜1对一切实数x 恒成立，∴－x 2＋x ＋y 2－y －1＜0对于x ∈R 恒成立，故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)＜0，∴4y 2－4y －3＜0，解得－12＜y ＜32.答案：A5．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A ．[1,19] B ．(1,19) C ．[1,19)D ．(1,19]解析：函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1. 若a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意； 若a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16a －12－12a 2＋4a －5＜0，解得1＜a ＜19.综上可知，a 的取值范围是1≤a ＜19. 答案：C6．若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy的最小值为__________． 解析：由题意：2x ＋y －3＝0⇒2x 3＋y3＝1， x ＋2y xy ＝2x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋y 3＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋53≥23·2＋53＝3， 当且仅当x ＝y ＝1时取得最小值． 答案：37．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为__________．解析：由不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，可得其解集为(0,2n ＋1)，其中整数解有2n 个，即a n ＝2n ， ∴S 100＝100×2＋2002＝10 100.答案：10 1008．若关于x 的不等式4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．解析：∵4x－2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x－2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x－2x ＋1＝(2x )2－2×2x＋1－1 ＝(2x－1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x≤4.由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x ＝1时，y 有最小值0.∴a 的取值范围为(－∞，0]． 答案：(－∞，0]。
一元二次方程、不等式：高考数学一轮复习
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核心考点
课时分层作业
名师点评 解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，
不等式的解集为R或∅)．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．
一元二次方程、不等式
能从实际情景
结合二次函数图象，
中抽象出一元
会判断一元二次方程
二次不等式.
的根的个数，以及解
一元二次不等式.
考试
要求
了解简单的分式、绝对值不等式
的解法．
第5课时
一元二次方程、不等式
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二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式
Δ＝b2－4ac
二 次 函 数 y ＝ ax2
＝0的两个根是x1和x2．
( √ )
−
(3)
≥0等价于(x－a)(x－b)≥0．
−
( × )
(4)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0．
( × )
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二、教材经典衍生
1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(
1
，
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名师点评 解含参数的一元二次不等式的步骤
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高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
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一、填空题
1．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等
式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于________．
解析：由题意：A＝{x|－1
a＝－1，b＝－2，
∴a＋b＝－3.
答案：－3
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－
0.1x2(0
解析：依题意得25x≥3 000＋20x－0.1x
2
，
整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200，
因为0
3．不等式2－xx－1≥0的解集是________．
解析：2－xx－1≥0等价于
x－1x－2≤0
x≠1
，
所以不等式
2－x
x－1
≥0的解集为(1,2]．
答案：(1,2]
4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝(1－x)(1＋y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实
数x都成立，则实数a的范围是________．
解析：由题知，(x－a)⊗(x＋a)＝(1－x＋a)(1＋x＋a)＝(1＋a)2－x2<1恒成立，即
x2>(1＋a)
2－1恒成立，故只要(1＋a)2－1<0恒成立，即a2
＋2a<0，解得－2
不等式f(x)≤1的解集为________．
解析：当x≤0时，f(x)＝x
2
＋bx＋c且f(－4)＝f(0)，故其对称轴为x＝－b2＝－2，
∴b＝4.又f(－2)＝4－8＋c＝0，∴c＝4，令x2＋4x＋4≤1有－3≤x≤－1；当x>0
时，f(x)＝－2≤1显然成立，故不等式的解集为[－3，－1]∪(0，＋∞)．
答案：[－3，－1]∪(0，＋∞)
6．若关于x的不等式(2ax－1)·ln x≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的
值为________．
解析：若x＝1，则原不等式恒成立，此时a∈R；若x>1，则ln x>0，于是2ax
－1≥0，即a≥(12x)max，所以a≥12；若0 a≤(12x)min，所以a≤12.综上所述，a＝12. ＝a2－6a<0，即0 即a≥5或a≤1；根据题意，可知命题p与命题q一真一假，当命题p真且命题 ∵(12)n≤12，n∈N*； (1)若函数f(x)有最大值178，求实数a的值； 解析：(1)f(x)＝a(x＋12a)2－1＋4a24a f(x)有最大值且－1＋4a24a＝178. (2)f(x)>1，即ax ②a>0时，x>1或x<－1－1a； <0，无解； ④当－12 11．若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范 记f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)． 根据题意得 －1－2x－1<0， f2＝2x 即 ＋2x－3>0， 2x 解得x的取值范围为 12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨， 而323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张．
答案：12
7．命题p：方程x2－x＋a2－6a＝0有一正根和一负根．命题q：函数y＝x2＋(a
－3)x＋1的图象与x轴有公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”
为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由命题p，得x1x
2
q假时，a∈(1,5)；当命题q真且命题p假时，a∈(－∞，0]∪[6，＋∞)，综上，
a∈(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)．
答案：(－∞，0]∪(1,5)∪[6，＋∞)
8．若存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．
解析：本题是存在性命题，只要满足Δ＝16b2－12b>0即可，解得b<0或b>34.
答案：(－∞，0)∪(34，＋∞)
9．若关于x的不等式x2＋12x－(12)n≥0对任意n∈N*在(－∞，λ]上恒成立，则实
常数λ的取值范围是________．
解析：由已知得x2＋12x≥(12)
n对任意n∈N*
在(－∞，λ]上恒成立．
∴x2＋12x≥12在(－∞，λ]上恒成立．
解不等式x2＋12x≥12得x≤－1或x≥12，
∴当λ≤－1时，x2＋12x≥12在(－∞，λ]上恒成立．
答案：(－∞，－1]
二、解答题
10．已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R，
(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．
a≥0时不合题意．
当a<0时，x＝－12a，
解得：a＝－2或a＝－
1
8
.
2
＋x－a>1，
(x－1)(ax＋a＋1)>0.
①当a＝0时，x>1；
③当a＝－12时，(x－1)
2
1
a
围．
解析：原不等式化为(x
2
－1)m－(2x－1)<0，
f－2＝－2x
2
2
－1－2x－1<0，
2x
2
2
－2x－1<0，
－1＋7
2
同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为1206t吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24
小时内，有几小时出现供水紧张现象？
解析：(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y＝400＋60t－1206t(0≤t≤24)．
令x＝6t，
∴y＝400＋10x2－120x＝10(x－6)2＋40(0≤x≤12)，
∴当x＝6，即t＝6时，ymin＝40，
即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨．
(2)依题意400＋10x
2
－120x<80，
得x2－12x＋32<0，
解得4
83
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