2019高考试题文科数学汇编：不等式
高考真题 数列与不等式
2019年高考真题数列与不等式1.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则()A.B.C.D.2.不等式的解集为________．3. 已知数列，从中选取第项、第项、、第项，若，则称新数列，，，为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为的递增子列．（1）写出数列，，，，，，的一个长度为的递增子列．（2）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为．若，求证：．（3）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个(，， )，求数列的通项公式．4.设等差数列的前项和为，若，，则________，的最小值为________．5. 设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（1）求数列，的通项公式；（2）记，，证明：，．6.设，，数列满足，，，则()A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，7.若实数，满足约束条件，则的最大值是()A.B.C.D.8.已知，，，则，，的大小关系为()A.B.C.D.9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是()A.B.C.D.10.已知数列是等差数列，是其前项和．若，，则的值是________．11.若，则()A.B.C.D.12.设，，，则的最小值为________．13.若，满足，且，则的最大值为()A.B.C.D.14.记为等差数列的前项和．已知，，则()A.B.C.D.15. 已知数列和满足，，，．（1）证明：是等比数列，是等差数列．（2）求和的通项公式．16.已知，，，则()A.B.C.D.17. 设是等差数列，是等比数列．已知，，，．（1）求和的通项公式．（2）设数列满足，，其中．(i)求数列的通项公式；(ii)求．18.已知，，，则，，的大小关系为()A.B.C.D.19.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为()A.B.C.D.20. 定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”．（1）已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”．（2）已知数列满足：，，其中为数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．21. 已知等差数列的公差，数列满足，集合．（1）若，求使得集合恰有两个元素．（2）若集合恰有三个元素，，是不超过的正整数，求的所有可能的值．22. 已知数列中，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求．（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．23.如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为________．24.记为等差数列的前项和．若，，则________．25.记为等比数列的前项和．若，，则________．参考答案1.【答案】C【解析】解：设等比数列的公比为，则由前项和为，且，得，，，故选：C．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）； 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）2.【答案】【解析】解：由得，即，故答案为：．【知识点】解绝对值不等式【来源】2019上海春季高考3.（1）【答案】，，，(答案不唯一)【解析】解：由递增子列的定义可以写出满足题意的递增子列有：，，，或，，，或，，，或，，，或，，，．(答案不唯一)【知识点】【题型】数列的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）3.（2）【答案】见解析【解析】证明：长度为的递增子列的前项可以组成长度为的一个递增子列，该数列的第项，．【知识点】【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）3.（3）【答案】，，【解析】解：考虑与这一组数在数列中的位置．若中有，且在之后，则必然是长度为，且末项为的递增子列，这与长度为的递增子列末项的最小值为矛盾，必在之前．继续考虑末项为的长度为的递增子列．对于数列，，由于在之前，研究递增子列时，不可同时取与，对于至的所有整数，研究长度为的递增子列时，第项是与二选，第项是与二选，，第项是与二选，故递增子列最多有个．由题意，这组数列对全部存在于原数列中，并且全在之前．，，，，，，，是唯一构造．即，，．【知识点】【题型】数列的综合问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）4.【答案】0 -10【解析】解：设等差数列的前项和为，，，，解得，，，，或时，取得最小值为．故答案为：，．【知识点】【题型】等差数列的综合问题、【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）5.（1）【答案】，；，【解析】解：设数列的公差为，由题意得，解得，，，，，．数列满足：对每个，，，成等比数列，，解得，即，．【知识点】【题型】等差与等比数列综合【来源】2019年浙江省高考数学试卷5.（2）【答案】见解析【解析】证明：，，用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立；②假设当时不等式成立，即，则当时，，即当时，不等式也成立，即．由①②得对任意成立．【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题【来源】2019年浙江省高考数学试卷6.【答案】A【解析】解：对于B，令，得，取，，，，当时，，故B错误；对于C，令，得或，取，，，，当时，，故C错误；对于D，令，得，取，，，，当时，，故D错误；对于A，，，，，为递增数列，当时，，，，．故A正确．故选：A．【知识点】【题型】数列的综合问题、数列的单调性【来源】2019年浙江省高考数学试卷； 2018-2019学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数学试卷（理科）（a卷）； 2019浙江省7.【答案】C【解析】解：由实数，满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值：．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年浙江省高考数学试卷8.【答案】A【解析】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于．，．而，．，．故选：A．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019天津市高考真题天津卷69.【答案】B【解析】解：头顶至脖子下端的长度为，说明头顶到咽喉的长度小于，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，可得咽喉至肚脐的长度小于，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小于，即有该人的身高小于，由肚脐至足底的长度大于，可得头顶至肚脐的长度大于，即该人的身高大于，故选：B．【知识点】不等式的性质【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2018-2019学年浙江省镇海中学、杭州二中、嘉兴一中、诸暨中学、效实中学五校高二下6月月考数学卷； 2019高考真题新课标I410.【答案】16【解析】解：设等差数列的首项为，公差为，则，解得．．故答案为：．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省11.【答案】C【解析】解：取，，则，排除A；，排除B；，故C对；，排除D．故选：C．【知识点】不等式的性质【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）12.【答案】【解析】，，，则，由均值不等式得：，当且仅当，即，，即或时，等号成立，故的最小值为．故答案为．【知识点】【题型】均值不等式应用技巧之构造不等式【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）13.【答案】C【解析】解：由作出可行域如图阴影部分所示，联立，解得，令，化为，由图可知，当直线过点时，有最大值为．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）14.【答案】A【解析】解：设等差数列的公差为，由，，得，，，，故选：A．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I9 15.（1）【答案】见解析【解析】证明：，，，，即，．又，，是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公差为的等差数列．【知识点】【题型】等差数列的判定、【题型】等比数列的判定【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）15.（2）【答案】，【解析】解：①，②，由①②可得：，，由①②可得：，；，．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）16.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）； 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I317.（1）【答案】见解析【解析】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意有：，解得，，．【知识点】【题型】等差与等比数列综合【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）17.（2）【答案】见解析【解析】解：(i)数列满足，，其中．，数列的通项公式为．(ii)．【知识点】【题型】分组求和、数列通项公式的概念【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）18.【答案】A【解析】解：由题意，可知：，．，最大，、都小于．，．而，．，．故选：A．【知识点】比较大小之中间数法【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）19.【答案】C【解析】解：由约束条件，作出可行域如图：联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线经过点时，有最大值为．故选：C．【知识点】简单线性规划【来源】2019年天津市高考数学试卷（文科）； 2019年天津市高考数学试卷（理科）20.（1）【答案】见解析【解析】解：设等比数列的公比为，则由，，得，，数列首项为且公比为正数，即数列为“数列”．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、【题型】等比数列的综合问题、【题型】数列的新定义问题【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省20.（2）【答案】见解析【解析】解：①，，当时，，，当时，，，当时，，，猜想，下面用数学归纳法证明；(i)当时，，满足，(ii)假设时，结论成立，即，则时，由，得，故时结论成立，根据(i)(ii)可知，对任意的都成立．故数列的通项公式为；②设的公比为，存在“数列”，对任意正整数，当时，都有成立，即对恒成立，当时，，当时，，当，两边取对数可得，对有解，即，令，则，当时，，此时单调递减，当时，，令，则，令，则，当时，，即，在上单调递减，即时，，则，下面求解不等式，化简，得，令，则，由得，，在上单调递减，又由于，，存在使得，的最大值为．【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题、【题型】数列的新定义问题【来源】2019年江苏省高考数学试卷； 2019江苏省21.（1）【答案】见解析【解析】，则，，，，又因为集合恰有两个元素，所以或，，，又因为，1、当(舍去)，当，符合题意，于是；2、当(，舍去)，代入检验或，故也满足题意；综上：或．【知识点】诱导公式、【题型】数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷2121.（2）【答案】见解析【解析】解法一：因为，为周期数列，1、当时，，则为常数数列，不符合集合恰有三个元素，舍去；2、当时，，也不符合，舍去；3、当时，，集合，符合题意．4、当时，，则，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；5、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；6、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，取时，，符合；7、当时，，，根据三角函数线—正弦线，可知，因为，则，设，则，根据整除性：1、，，不符合；2、，，带入检验，不符合；3、，带入检验，不符合；4、，带入检验，不符合；故当时，不满足恰有三个元素；综上：的可能取值为，，，．【知识点】【题型】三角函数线的应用、【题型】数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷2122.（1）【答案】【解析】为等差数列，，，，．【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式、等差数列的通项公式【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1822.（2）【答案】【解析】为等比数列，，，，，，，综上，或．【知识点】等比数列的求和公式、【题型】等比数列的综合问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1823.【答案】【解析】依题意得，求得，，则，当且仅当时，取等号．故的值为．【知识点】利用均值不等式求最值、【题型】抛物线中的最值问题【来源】2019上海春季高考； 2019上海市高考真题上海卷1024.【答案】4【解析】解：设等差数列的公差为，则由，可得，，故答案为：．【知识点】等差数列的求和公式、【题型】等差数列的基本量问题【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）25.【答案】【解析】解：在等比数列中，由，得，即，，则，故答案为：．【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、等比数列的求和公式【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）； 2019高考真题新课标I14。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题8：不等式3(基本不等式)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题8：不等式（基本不等式）1．（2014•重庆文）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( )A ．6+B ．7+C ．6+D ．7+【考点】对数的运算性质；基本不等式及其应用 【分析】利用对数的运算法则可得304ab a =>-，4a >，再利用基本不等式即可得出 【解答】解：340a b +>，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b += 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)1212123(4)74)7744444a a ab a a a a a a a a a -++=+=+=++=-+++=-----…，当且仅当4a =+ 故选：D ．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题． 2．（2015•福建文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】基本不等式及其应用 【分析】将(1,1)代入直线得：111a b +=，从而11()()a b a b a b+=++，利用基本不等式求出即可． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)， ∴111(0,0)a b a b+=>>， 所以11()()224b a a b a b a b a b a b+=++=+++=…，当且仅当b aa b=即2a b ==时取等号， a b ∴+最小值是4，故选：C ．【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出111a b +=，得到11()()a b a b a b+=++是解题的关键． 3．（2015•湖南文）若实数a ，b满足12a b+=ab 的最小值为( ) AB ．2C．D ．4【考点】基本不等式及其应用【分析】由12a b+，可判断0a >，0b >，然后利用基础不等式12a b +…ab 的最小值 【解答】解：12a b+0a ∴>，0b >，12a b +…2b a =时取等号），∴，解可得，ab …ab的最小值为 故选：C ．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题填空题1．（2014•湖北文）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++．（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 1900 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时． 【考点】基本不等式及其应用【分析】（Ⅰ）把l 带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值．（Ⅱ）把l 带入，分子分母同时除以v ，利用基本不等式求得F 的最大值最后于（Ⅰ）中最大值作差即可． 【解答】解：（Ⅰ）27600076000121182018v F v v l v v==++++，12122v v+…，当11v =时取最小值，76000190012118F v v∴=++…，故最大车流量为：1900辆/小时； （Ⅱ）2276000760007600010018201810018v v F v v l v v v v===++++++，10020v v+=…， 2000F ∴…，20001900100-=（辆/小时）故最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加100辆/小时． 故答案为：1900，100【点评】本题主要考查了基本不等式的性质．基本不等式应用时，注意“一正，二定，三相等”必须满足． 2．（2014•湖北理）设()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >，0b >，若经过点(a ，f （a ）)，(b ，f -（b ）)的直线与x 轴的交点为(,0)c ，则称c 为关于函数()f x 的平均数，记为(,)f M a b ，例如，当()1(0)f x x =>时，可得(,)2f a bM a b c +==，即(,)f M a b 为a ，b 的算术平均数． （1）当()f x0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的几何平均数；（2）当()f x = (0)x >时，(,)f M a b 为a ，b 的调和平均数2aba b+； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可） 【考点】均值不等式【分析】（1）设()f x，(0)x >，在经过点(a 、(,b的直线方程中，令0y =，求得x c ==， 从而得出结论．（2）设()f x x =，(0)x >，在经过点(,)a a 、(,)b b -的直线方程中，令0y =，求得2abx c a b==+，从而得出结论．【解答】解：（1）设()f x =(0)x >，则经过点(a 、(,bx ab a -=-，令0y =，求得x c==，∴当()f x =，(0)x >时，(,)f M ab 为a ，b（2）设()f x x =，(0)x >，则经过点(,)a a 、(,)b b -的直线方程为y a x ab a b a--=---， 令0y =，求得2abx c a b==+， ∴当()(0)f x x x =>时，(,)f M a b 为a ，b 的调和平均数2aba b+， 故答案为：x ．【点评】本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．3．（2014•陕西）设a ，b ，m ，n R ∈，且225a b +=，5ma nb +=【考点】基本不等式及其应用【分析】根据柯西不等式22222()()()a b c d ac bd +++…当且仅当ad bc =取等号，问题即可解决． 【解答】解：由柯西不等式得，22222()()()ma nb m n a b +++… 225a b +=，5ma nb +=，22()5m n ∴+…∴【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．4．（2014•上海文）设,0()1,0x a x f x x x x -+⎧⎪=⎨+>⎪⎩…，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 (-∞，2] ． 【考点】分段函数的应用【分析】分别由(0)f a =，12x x +…，1a x x+…综合得出a 的取值范围．【解答】解：当0x =时，(0)f a =， 由题意得：1a x x+…， 又1122x x x x+=…，2a ∴…，故答案为：(-∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题． 5．（2014•上海文理）若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 【考点】基本不等式及其应用【分析】由已知可得1y x=，代入要求的式子，由基本不等式可得． 【解答】解：1xy =，1y x∴=222222222x y x x x∴+=+=…当且仅当222x x=，即x =故答案为：【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（2015•山东文）定义运算“⊗” 22(x y x y x xy-=⊗，y R ∈，0)xy ≠．当0x >，0y >时，(2)x y y x +⊗⊗【考点】函数的最值及其几何意义【分析】通过新定义可得222(2)2x y x y y x xy++=⊗⊗，利用基本不等式即得结论．【解答】解：22x y x y xy-=⊗， 22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy--+∴+=+=⊗⊗， 由0x >，0y >，222x y ∴+=…，当且仅当x =时等号成立，∴2222x y xy +=【点评】本题以新定义为背景，考查函数的最值，涉及到基本不等式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（2015•天津文）已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为 4 时，22log log (2)a b 取得最大值． 【考点】复合函数的单调性【分析】由条件可得1a >，再利用基本不等式，求得当4a =时，22log log (2)a b 取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当22log log (2)a b 最大时，2log a 和2log (2)b 都是正数，故有1a >．再利用基本不等式可得222222222log log (2)log (2)log 16log log (2)[][][]4222a b ab a b +===…，当且仅当24a b ==时，取等号，即当4a =时，22log log (2)a b 取得最大值， 故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．8．（2017•天津文理）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【考点】基本不等式及其应用【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么． 【方法二】将1ab拆成1122ab ab +，利用柯西不等式求出最小值． 【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >，∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b =或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．【解法二】a ，b R ∈，0ab >，∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…， 当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b =或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题． 9．（2017•山东文）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ． 【考点】基本不等式及其应用 【分析】将(1,2)代入直线方程，求得121a b+=，利用“1”代换，根据基本不等式的性质，即可求得2a b +的最小值． 【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=+++=+=…，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题．10．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ． 【考点】基本不等式及其应用【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和60064x x=⨯+，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6006442240x x =⨯+⨯=…（万元）． 当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．（2018•天津文理13）已知a ，b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 14． 【考点】函数的最值及其几何意义【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a ，b R ∈，且360a b -+=， 可得：36b a =+， 则6661111222228222224a a a ab a a a++=+=+=…， 当且仅当6122a a +=．即3a =-时取等号． 函数的最小值为：14． 故答案为：14． 【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．12．（2018•江苏13）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ． 【考点】基本不等式及其应用；三角形中的几何计算【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【解答】解：由题意得111sin120sin 60sin 60222ac a c ︒=︒+︒，即ac a c =+， 得111a c+=， 得1144(4)()55459c a a c a c a c a c a c+=++=+++=+=…，当且仅当4c aa c=，即2c a =时，取等号， 故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键． 13．（2019•天津文理13）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．【考点】基本不等式及其应用 【分析】利用基本不等式求最值． 【解答】解：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：42x y =+…02xy ∴<…，552xy …， 故：5592222xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92． 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 14．（2019•天津理13）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．【考点】基本不等式及其应用 【分析】利用基本不等式求最值． 【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：64xyxy=当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．15．（2019•上海）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a【考点】基本不等式；二次函数的性质与图象【分析】由已知可得P，Q坐标，进而可得||||AQ CP+=【解答】解：由题意得：P点坐标为，)a，Q点坐标为(a，+=，AQ CP||||当且仅当a=【点评】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．。
2019高考数学不等式真题汇总
(2019•上海7)若x ，y R +∈，且123y x +=，则y x 的最大值为 ． 【解答】解：132y x =+…∴298y x =„； 故答案为：98 (2019•上海5)已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„，则23z x y =-的最小值为 ．【解答】解：作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩……„表示的平面区域，由23z x y =-即23x z y -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-．(2019•浙江3)若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．12【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…作出可行域如图，联立340340x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为3122y x z =-+，由图可知，当直线3122y x z =-+过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值：10．故选：C ．(2019•天津文10)设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ．【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有：(1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-； 故答案为：2(1,)3-； (2019•天津文理13)设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ． 【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，则===； 由基本不等式有：=当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，故答案为：(2019•天津文理2)设变量x，y满足约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y=-+的最大值为()A．2B．3C．5D．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………作出可行域如图：联立120xx y=-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A-，化目标函数4z x y=-+为4y x z=+，由图可知，当直线4y x z=+过A时，z有最大值为5．故选：C．(2019•北京文10)若x，y满足2,1,4310,xyx y⎧⎪-⎨⎪-+⎩„……则y x-的最小值为，最大值为．【解答】解：由约束条件2,1,4310,xyx y⎧⎪-⎨⎪-+⎩„……作出可行域如图，(2,1)A -，(2,3)B ，令z y x =-，作出直线y x =，由图可知，平移直线y x =，当直线z y x =-过A 时，z 有最小值为3-，过B 时，z 有最大值1．故答案为：3-，1．(2019•新课标Ⅱ文)若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„则3z x y =-的最大值是 ．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数3z x y =-为3y x z =-，由图可知，当直线3y x z =-过(3,0)A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为9．故答案为：9．(2019•北京理5)若x ，y 满足||1x y -„，且1y -…，则3x y +的最大值为( )A ．7-B ．1C ．5D ．7【解答】解：由||11x y y -⎧⎨-⎩„…作出可行域如图，联立110y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A -，令3z x y =+，化为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215⨯-=．故选：C．。
2019年高考数学(文科)考试大纲解读专题10不等式、推理与证明(含解析)
（十三）不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. （2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.样题3 若不等式的解集为,则不等式的解集为A．或B．C．D．或【答案】B考向三 目标函数的最值问题样题4 （2018新课标I 文科）若x ，y 满足约束条件，则32z x y =+的最大值为_____________．【答案】6【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由32z x y =+可得，画出直线32y x =-，将其上下移动，结合2z的几何意义，可知当直线过点B 时，z 取得最大值，由，解得()2,0B ，此时，故答案为6.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.样题5 已知,x y 满足，则的取值范围是A ．121,812⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．121,732⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]65,73 D ．[]65,81【答案】A考向四 利用线性规划解决实际问题样题6 某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为 A ．14000元 B ．16000元 C ．16000元 D ． 20000元【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A．考向五推理样题7 （2017新课标全国Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(07)不等式(文科)及答案
2019年高考数学真题分类汇编 专题07 不等式 文1.【2018高考天津，文2】设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ） (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C【解析】()()513y 2289922z x x x y =+=-++-+?,当 2,3x y == 时取得最大值9,故选C.此题也可画出可行域,借助图像求解,【考点定位】本题主要考查线性规划知识.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.2.【2018高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++【答案】B【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值.本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力.3.【2018高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ） (A)-3 (B) 1 (C)43(D)3 【答案】B 【解析】如图，，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43， 再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43， 化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B.【考点定位】线性规划与三角形的面积. 【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将三角形的面积用含m 的代数式表示出来，从而得到关于m 的方程来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性及对结果的检验.4.【2018高考湖南，文7】若实数,ab 满足12a b+=，则ab 的最小值为( ) A B 、2 C 、 D 、4【答案】C【解析】12121002ab a b ab ab a b a b a+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为，故选C.【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5.【2018高考四川，文9】设实数x，y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为( )(A)252(B)492(C)12 (D)14【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝kx的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.6.【2018高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ． 【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．7.【2018高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤（0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立），故填：23.【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为a b +≤（a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.8.【2018高考新课标1，文15】若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为 ．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.9.【2018高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ，y 吨，则利润34z x y =+由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=，故答案选D 。
2019年高考数学试题分项版—不等式(解析版)
2019年高考数学试题分项版——不等式（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅲ文，11)记不等式组＋ ， －表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D,2x＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ；②(p ⌝)∨q ；③p ∧(q ⌝)；④(p ⌝)∧(q ⌝)． 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③ D ．③④ 答案 A解析 方法一 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 在y 轴上的截距．显然，当直线过点A (2,4)时，z min ＝2×2＋4＝8， 即z ＝2x ＋y ≥8. ∴2x ＋y ∈[8，＋∞)．由此得命题p ：∃(x ，y )∈D,2x ＋y ≥9正确； 命题q ：∀(x ，y )∈D,2x ＋y ≤12不正确． ∴①③真，②④假．方法二 取x ＝4，y ＝5，满足不等式组 ＋ ， － ，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假． ∴①③真，②④假．2．(2019·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件＋ － ， － ＋ ，－ ， － ，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6 答案 C解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由＝－，－＋＝，可得＝－，＝，所以点A的坐标为(－1,1)，故z max＝－4×(－1)＋1＝5.3．(2019·天津文，3)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由|x－1|＜1可得0＜x＜2，所以“|x－1|＜1的解集”是“0＜x＜5的解集”的真子集．故“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件．4．(2019·浙江，3)若实数x，y满足约束条件－＋，－－，＋，则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1 B．1 C．10 D．12答案 C解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点A(2,2)时，z取得最大值，z max＝6＋4＝10.5．(2019·浙江，5)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝，满足ab ≤4，但a ＋b ≥4，所以必要性不成立，所以“a＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件． 6．(2019·全国Ⅱ理，6)若a >b ，则( ) A ．ln(a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.7．(2019·北京理，5)若x ，y 满足||1x y -…，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．7【思路分析】由约束条件作出可行域，令3z x y =+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：由||11x y y -⎧⎨-⎩……作出可行域如图，联立110y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A -，令3z x y =+，化为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过点A 时，z 有最大值为3215⨯-=． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 8．(2019·天津理，2)设变量x ，y 满足约束条件＋ － ，－ ＋ ，－ ， － ，则目标函数z ＝－4x ＋y 的最大值为( )A ．2B ．3C ．5D ．6答案 C解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由＝－，－＋＝，可得＝－，＝，所以点A的坐标为(－1,1)，故z max＝－4×(－1)＋1＝5.9．(2019·天津理，3)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件．二、填空题1．(2019·全国Ⅱ文，13)若变量x，y满足约束条件＋－，－，则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由＋－＝，＋－＝，解得＝，＝，即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.2．(2019·北京文，10)若x，y满足，－，－＋，则y－x的最小值为________，最大值为________．答案－3 1解析x，y满足的平面区域如图(阴影部分)所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z在y轴上的截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时z max＝3－2＝1. 当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时z min＝－1－2＝－3.3．(2019·天津文，10)设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为________．答案解析3x2＋x－2＜0变形为(x＋1)(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.4．(2019·天津文，13)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．答案解析＝＝＝2＋.∵x＞0，y＞0且x＋2y＝4，∴4≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，∴2xy≤4，∴≥，∴2＋≥2＋＝.5．(2019·天津理，13)设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为________．答案4解析＝＝＝2＋.由x＋2y＝5得5≥2，即≤，即xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立．所以2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即xy＝3时取等号，结合xy≤可知，xy可以取到3，故的最小值为4.三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，23)[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.2．(2019·全国Ⅱ文，23)[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．3．(2019·全国Ⅲ文，23)[选修4－5：不等式选讲]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.(1)解由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知，得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时，等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知，得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时，等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.4．(2019·江苏，21)C．[选修4－5：不等式选讲]设x∈R，解不等式|x|＋|2x－1|>2.解当x<0时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得x<－；当0≤x≤时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即x<－1，无解；当x>时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为或.5．(2019·全国Ⅰ理，23)[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.证明(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.所以＋＋≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24.所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.6．(2019·全国Ⅱ理，23)[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．7．(2019·全国Ⅲ理，23)[选修4－5：不等式选讲]设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.(1)解由于[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，故由已知，得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，当且仅当x＝，y＝－，z＝－时，等号成立．所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.(2)证明由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，故由已知，得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，当且仅当x＝，y＝，z＝时，等号成立．因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.。
文科数学高考真题分类汇编 不等式综合应用
专题七不等式第二十一讲不等式综合应用2019年 1.（2019 天津文13）设0x >，0y >，24x y +=，则 (1)(21)x y xy++的最小值为__________.2010-2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =−+>−≥≤则 A ．对任意实数a ， (2,1)A ∈ B ．对任意实数a ， (2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时， (2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时， (2,1)A ∉ 2．(2018)浙江已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且 1234123 ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >32017 ．（天津）已知函数 ||2,1,()2 , 1.x x f x x x x+<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式 ()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ． [2,2]−B ． [23,2]−C ． [2,23]−D ． [23,23]−4．（2015 福建）若直线 1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A 2 B 3 C 4 D 5． ． ．．52015 ．（ 湖南）若实数,a b 满足12ab a b+=，则ab 的最小值为 A ．2 B 2 C 2．．2 D 4．62014 ．（ 重庆）若 b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是A ． 326+B ． 327+C ． 346+D ． 347+7．（2013 福建）若 122=+y x ，则y x +的取值范围是A ．]2,0[B ．]0,2[−C ．),2[+∞− D ． ]2,(−−∞ 82013．（山东）设正实数,,x y z 满足22 340x xy y z −+−=．则当xy z取得最大值时， 212x y z+−的最大值为 A 0 B 1 C ． ． ．94D 3 ． 9．（2013山东）设正实数z y x ,,满足04322 =−+−z y xy x ，则当z xy取得最大值时，2x y z +−的最大值为A 0B ．．98C 2D ．．9410．（ 2012浙江）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．245B ．285C 5D 6 ．． 11．（2012 陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则A ．a v ab <<B ．v =abC ．ab <v <2a b + D ．v =2a b + 12．（2012 湖南）已知两条直线1l :y m = 和2l :y =821m +(0m >)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点,A B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于,C D ．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a 的最小值为 A ． 162 B.82 C.384 D. 34413．（ 2011陕西）设 0a b <<，则下列不等式中正确的是A ．2a b a b ab +<<< B ．2a b a ab b + <<< C ．2a b a ab b + <<< D ．2a b ab a b + <<< 14．（ 2011上海）若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是A ．222a b ab +>B ．2a b ab +≥C ． 112a b ab+> D ．2b a a b +≥ 二、填空题15．(2018)天津已知,a b ∈R ，且 360a b −+=，则128a b+ 的最小值为． 16．(2018天津)已知a ∈R ，函数22 220() 220x x a x f x x x a x ⎧ ++−⎪=⎨−+−>⎪⎩ ，≤， ，．若对任意 [3,)x ∈−+∞， ()||f x x ≤恒成立，则a 的取值范围是____．17．（ 2017天津）若，a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++ 的最小值为． 18．（ 2017山东）若直线 1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 192017 ．（江苏）某公司一年购买某种货物吨，每次购买600 x 吨，运费为万元6 /次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是．20．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________________．21．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+−+ 在区间，[14]上的最大值是5，则a 的取值范围是．22．（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中， (12,0)A −，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是． 23．（ 2015重庆）设,0a b >，5a b +=，则 1++3a b +的最大值为________．24．(2015)山东定义运算“⊗”：22x y x y xy−⊗=（,x y ∈R ，0xy ≠）．当0x >， 0y >时， (2)x y y x ⊗+⊗的最小值为．25．（ 2014浙江）已知实数,,a b c 满足0a b c ++=， 2221a b c ++=，则a 的最大值是__；26．（2014 辽宁）对于0c > ，当非零实数，a b 满足22 420aab b c −+−=，且使 |2|a b +最大时， 124a b c++的最小值为． 27．（2014 辽宁）对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c −+−=，且使 |2|a b +最大时， 345a b c−+的最小值为． 28．（2014 湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆小时）与车流速度/v （假设车辆以相同速度行驶，单v 位：米秒）、平均车长（单位：米）有关，其公式为/l 的值276000 1820v F v v l=++． （）如果不限定车型，Ⅰ 6.05l = ，则最大车流量为辆小时； /（）如果限定车型，Ⅱ5l =，则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量辆．增加 /小时29．（ 2013天津）设a b + = 2，b >0，时， 则当a = 1|| 2||a ab +取得最小值. 30．（ 2013四川）已知函数 ()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__．31．（ 2011浙江）若实数,x y 满足22 1x y xy ++=，则x y +的最大值是____ ． 32．（ 2011湖南）设,x y R ∈，则222211 ()(4)x y y x++ 的最小值为． 33．（ 2010安徽）若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是写出所有正确命题的编号． ()①1ab ≤；② 2a b +≤；③ 222a b +≥ ； ④333a b +≥；⑤ 112a b +≥．。
历年高考数学真题汇编专题09 基本不等式的应用(解析版)
历年高考数学真题汇编专题09 基本不等式的应用1、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】设01(,)P x x，则4d ==≥2、【2019年高考天津卷文数】设0,0,24x y x y >>+=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.【答案】92【解析】(1)(21)2212552x y xy y x xy xy xy xy xy++++++===+. 因为0,0,24x y x y >>+=，所以24x y +=≥，2,02xy ≤<≤，当且仅当22x y ==时取等号成立. 又因为519225=22xy +≥+⨯， 所以(1)(21)x y xy ++的最小值为92.3、【2019年高考浙江卷】若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥当且仅当a b =时取等号，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.4、【2018年高考天津卷文数】（2018天津文科）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为 . 【答案】14【解析】由a −3b +6=0可知a −3b =−6，且2a +18b=2a +2−3b ，因为对于任意x ，2x >0恒成立，结合基本不等式的结论可得：2a +2−3b ≥2×√2a ×2−3b =2×√2−6=14.当且仅当{2a =2−3ba −3b =6，即{a =3b =−1 时等号成立. 综上可得2a +18b 的最小值为14.【名师点睛】利用基本不等式求最值时，要灵活运用以下两个公式： ①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．5、【2018年高考江苏卷】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________． 【答案】9【解析】由题意可知，S △ABC =S △ABD +S △BCD ,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120°=12a ×1×sin60°+12c ×1×sin60°，化简得ac =a +c,1a +1c =1， 因此4a +c =(4a +c )(1a +1c )=5+ca +4a c≥5+2√c a ⋅4a c=9,当且仅当c =2a =3时取等号，则4a +c 的最小值为9.6、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．一、三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)四、对于f (x )＝x ＋ax ，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax 的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。
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2019高考试题文科数学汇编：不等式
1.【2018高考山东文6】设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≥-⎩
那么目标函数3z x y =-的取
值范围是
(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3
[6,]2
-
【答案】A
2.【2018高考安徽文8】假设x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，那么y x z -=的最
小值是
〔A 〕-3 〔B 〕0 〔C 〕
3
2
〔D 〕3 【答案】A
3.【2018高考新课标文5】正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是
〔A 〕(1－3，2) 〔B 〕(0，2) 〔C 〕(3－1，2) 〔D 〕(0，1+3) 【答案】A
4.【2018高考重庆文2】不等式
1
02
x x -<+ 的解集是为 〔A 〕(1,)+∞ 〔B 〕 (,2)-∞- 〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C
5.【2018高考浙江文9】假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，那么3x+4y 的最小值是 A.
245 B. 285
C.5
D.6 【答案】C
6.【2018高考四川文8】假设变量,x y 满足约束条件3,
212,21200
x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，那么34z x y =+的最
大值是〔 〕
A 、12
B 、26
C 、28
D 、33
【答案】C
7.【2018高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,那么目标函数z=3x-2y
的最小值为
〔A 〕-5 〔B 〕-4 〔C 〕-2 〔D 〕3 【答案】B
8.【2018高考陕西文10】小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b 〔a<b 〕，其全程的平均时速为v ，那么 〔 〕
<v<2a b + D.v=2
a b
+ 【答案】A.
9.【2018高考辽宁文9】设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪
≤+≤⎨⎪≤≤⎩
…
剟剟那么2x +3y 的最大值为 (A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55
【答案】D
【点评】此题主要考查简单线性规划问题，难度适中。
该类题通常可以先作图，找到最优解求出最值，也可以直接求出可行域的顶点坐标，代入目标函数进行验证确定出最值。
10.【2018高考湖南文7】设 a ＞b ＞1，0c < ，给出以下三个结论：[www.z#zste&*p~.c@om] ①
c a ＞c b
；② c a ＜c
b ； ③ log ()log ()b a a
c b c ->-， 其中所有的正确结论的序号是__.[中*国教育@^出~版网#]
A 、① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 【答案】D 【点评】此题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点.
11.【2018高考广东文5】变量x ，y 满足约束条件1110 x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，那么2z x y =+的最小值
为
A. 3
B. 1
C. 5-
D. 6- 【答案】C
12.【2102高考福建文10】假设直线y=2x 上存在点〔x ，y 〕满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203那
么实数m 的最大值为
A.-1
B.1
C. 32
D.2
【答案】Ｂ、
13.【2018高考上海文10】满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是
【答案】－2.
【解析】作出约束条件表示的平面区域可知，当2=x ，0=y 时，目标函数取最小值，为－2.
14.【2018高考湖南文12】不等式x 2
-5x+6≤0的解集为______. 【答案】{}
23x x ≤≤
【点评】此题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力.
15.【2018高考全国文14】假设,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪+-≥⎩
，那么3z x y =-的最小
值为____________. 【答案】1-
16.【2018高考浙江文14】 设z=x+2y ，其中实数x ，y 满足102000
x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩， 那么z 的取
值范围是_________。
【答案】
7
2
17.【2018高考江西文11】不等式的解集是___________。
【答案】)3()2,3(∞+-，
18.【2102高考福建文15】关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，那么实数a 的取值范围是_________. 【答案】)8,0(、
①假设2
2
1a b -=，那么1a b -<；
②假设
11
1
-=，那么
1a b -<； ③假设1=，那么||1a b -<；
④假设3
3
||1a b -=，那么||1a b -<。
其中的真命题有____________。
〔写出所有真命题的编号〕 【答案】①④
20.【2018高考江苏13】〔5分〕函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，假设
关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，那么实数c 的值为▲、 【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
21.【2018高考湖北文14】假设变量x ，y 满足约束条件那么目标函数z=2x+3y
的最小值是________. 【答案】2
【点评】此题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值.来年需注意线性规划在生活中的实际应用.
22.【2018高考江苏14】〔5分〕正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，那么
b
a
的取值范围是▲、 【答案】[] 7e ，。