高考数学不等式题型
第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法(十大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、已知关于的不等式 + + > 的解集为(，)，解关于的不等式 + + ≤ ．
由 + + > 的解集为(，)，得：( ) + + ≤ 的解集为(−∞, ] ∪ [ , +∞)
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.
02
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知识梳理·基础回归
知识点1：一元二次不等式
一元二次不等式 2 + + > 0( ≠ 0)，其中Δ = 2 − 4，1 , 2 是方程 2 + + > 0( ≠ 0)
所以不等式 2 − 3 − 18 > 0的解集是(−∞, −3) ∪ (6, +∞)．
故答案为：(−∞, −3) ∪ (6, +∞)．
题型突破·考法探究
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数() = 2 + (1 − ) + − 2( ∈ R)
（1）若不等式() ≥ −2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
1
−
< < 1}．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
题型突破·考法探究
【典例2-1】设函数() = 2 + (1 − ) &#≥ −2对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
高考数学23题不等式多种题型及解法
高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学23题不等式多种题型及解法高考数学中的不等式题型占据了相当重要的比重，其中第23题更是被认为是难度较高的题目之一。
不同的不等式类型呈现多种解法，本文将以该题为例，分别探讨不同类型不等式的解法。
1. 绝对值不等式第23题题干如下：若$x+y+z=1$，那么$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$最大值为多少？解法：显然这是一个求最值的问题，用$M\leq\sqrt{(a+b+c)(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b})}$来解决本题。
2. 平均数不等式第23题变形如下：设$a,b,c$是正数，且满足$abc=(1-a)(1-b)(1-c)$，求最大值：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$解法：根据平均数不等式，得到：$$9(a+b+c)\geq (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$$即：$$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq 3\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}$$ 3. 夹逼定理第23题变形如下：对所有的正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$解法：通过夹逼定理，得到：$$2n\sqrt{n}<2\sum_{i=1}^{n}\sqrt{i}<2n\sqrt{n+1}$$ 即：$$\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}+\sqrt{n}$$4. 柯西不等式第23题变形如下：对于任意正整数$n$，证明如下不等式成立：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}<\frac{2}{\sqrt{n+ 1}}$$解法：通过柯西不等式，得到：$$\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}\right)(n+1+n+2+...+ 2n)\geq (\sqrt{n}+\sqrt{n+1}+...+\sqrt{2n})^2$$即：$$\sqrt{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}}\geq\frac{2}{\sqrt{n+1}}$$结语：高考数学中的不等式题型固然需要掌握多种解法，但更需要在平时的学习中悉心积累、勤于实践。
高中数学不等式高考真题精选和解析
高中数学不等式高考真题精选和解析1.(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．2.(2020·全国卷Ⅲ)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1.(1)证明：ab＋bc＋ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥3 4.4.(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a ＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.5.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式f(x)≤x＋3；(2)若g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的取值范围．6.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集；(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a的值．答案解析1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解； 当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112. 综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76.3. 证明 (1)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)．由abc ＝1得a ，b ，c 均不为0，则a 2＋b 2＋c 2＞0，∴ab ＋bc ＋ca ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.(2)不妨设max{a ，b ，c }＝a ，由a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵a ＝－b －c ，a ＝1bc ，∴a 3＝a 2·a ＝(b ＋c )2bc ＝b 2＋c 2＋2bc bc ≥2bc ＋2bc bc ＝4. 当且仅当b ＝c 时，取等号，∴a ≥34，即max{a ，b ，c }≥34.4. 证明 (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc＝1a ＋1b ＋1c . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥3 3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ca )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.5.(1)原不等式等价于⎩⎨⎧ x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >12，3x ≤x ＋3，解得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32. (2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32. 设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥32，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|，所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，74. 故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.6.解 (1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ，x ≥1，x ＋2，－12<x <1，－3x ，x ≤－12.当x ≥1时，由f (x )≥3得3x ≥3，解得x ≥1；当－12<x <1时，由f (x )≥3得x ＋2≥3，解得x ≥1， 这与－12<x <1矛盾，故舍去；当x ≤－12时，由f (x )≥3得－3x ≥3，解得x ≤－1.综上可知，不等式f (x )≥3的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，B (1,3)， ∴k AB ＝3－321＋12＝1，∴直线y ＝x ＋a 与直线AB 平行．若要围成多边形，则a >2.易得直线y ＝x ＋a 与y ＝f (x )的图象交于两点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3a 2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，3a 4，则|CD|＝2·|a2＋a4|＝324a，平行线AB与CD间的距离d＝|a－2|2＝a－22，|AB|＝322，∴梯形ABCD的面积S＝322＋324a2·a－22＝32＋34a2·(a－2)＝92(a>2)，即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4.故所求实数a的值为4.。
高考数学经典常考题型之不等式 含详解
1. 已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－1，1］，m +n ≠0时nm n f m f ++)()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x +21)＜f (11-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数t 的取值范围2 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围3. 解关于x 的不等式2)1(--x x a ＞1(a ≠1)4. 设函数f (x )=a x 满足条件 当x ∈(－∞，0)时，f (x )＞1；当x ∈(0，1]时，不等式f (3mx －1)＞f (1+mx －x 2)＞f (m +2)恒成立，求实数m 的取值范围5. ），的解集是的不等式，关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ，求关于的x 不等式0)1(log >-xx a 的解集。
6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式。
7.已知。
，，11222=++=++>>c b a c b a c b a求证：（1）341<+<b a ；（2）19822<+<b a 。
8.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件。
假若定价上涨)10010≤<x x x x ，成即成（注：，每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍。
（1） 若来表示当售货金额最大的常数，用是满足，其中a a a ax y 131<≤=时的x 值；（2） 若x y 32= ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围。
9.已知函数)(x f 在R 上是增函数，R b a ∈，。
（1） 求证：如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+，那么；（2） 判断（1）中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论；（3） 解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f xx f f x x f 。
高考数学专题检测 不等式及其解法
专题七 不等式7.1 不等式及其解法一、选择题1.(2022届四川绵阳诊断,2)若0<a<b,则下列结论正确的是( )A.ln a>ln bB.b 2<a 2C.1a <1bD.(12)a >(12)b答案 D 对于A,函数f(x)=ln x 在(0,+∞)上单调递增,又0<a<b,则f(a)<f(b),即ln a<ln b,故A 错误;对于B,函数f(x)=x 2在(0,+∞)上单调递增,又0<a<b,则f(a)<f(b),即a 2<b 2,故B 错误;对于C,0<a<b,由不等式的性质可得1a >1b ,故C 错误;对于D,函数f(x)=(12)x 在(0,+∞)上单调递减,又0<a<b,则f(a)>f(b),即(12)a >(12)b ,故D 正确.故选D. 2.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x 的不等式cosx -2x 2-mx -n>0的解集为(-2,3),则mn=( ) A.5 B.-5 C.6 D.-6答案 C 因为cos x-2<0,cosx -2x 2-mx -n>0的解集为(-2,3), 所以x 2-mx-n<0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-2×3=-n,所以m=1,n=6,则mn=6.故选C. 3.(2022届新疆模拟,3)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a>b>0,则下列结论错误．．的是( ) A.1a <1bB.log 2(a-b)>0C.a 12>b 12D.3a >3b 答案 B ∵a>b>0,∴1a <1b,故A 正确;∵a>b>0,∴a -b>0,当0<a-b<1时,log 2(a-b)<0,故B 错误;∵a>b>0,∴由幂函数的性质可知,a 12>b 12,故C 正确;∵a>b>0,∴由指数函数的性质可知,3a >3b ,故D 正确.故选B. 4.(2022届新疆模拟,3)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a>b>0,则下列结论错误．．的是( ) A.1a <1bB.log 2(a-b)>0C.a 12>b 12D.3a >3b答案 B ∵a>b>0,∴1a <1b,故A 正确;∵a>b>0,∴a -b>0,当0<a-b<1时,log 2(a-b)<0,故B 错误;∵a>b>0,∴由幂函数的性质可知,a 12>b 12,故C 正确;∵a>b>0,∴由指数函数的性质可知,3a >3b ,故D 正确.故选B. 5.(2021河北唐山模拟,5)已知x>0,y>0,M=x 2x+2y ,N=4(x -y)5,则M 和N 的大小关系为( ) A.M>N B.M<NC.M=ND.以上都有可能答案 A ∵x>0,y>0,∴M -N=x 2x+2y -4(x -y)5=x 2+8y 2-4xy 5(x+2y)=x 2+4y 2-4xy+4y 25(x+2y)=(x -2y)2+4y 25(x+2y)>0,∴M>N. 思路分析 利用作差法即可比较大小.6.(2021安徽宣城二模,6)设m=log 45,n=log 315,则( ) A.m+n<0<mn B.mn<0<m+nC.m+n<mn<0D.mn<m+n<0答案 D∵n=log 315=-log 35<0,m=log 45>log 44=1,∴mn<0,∵1m +1n =log 54-log 53=log 543>0,∴1>m+n mn>0,∴m+n<0,m+n>mn.故选D.7.(2022届安徽芜湖模拟,10)已知a,b 为实数且a>b>0,则下列所给4个不等式中一定成立的是( ) ①1a -1<1b -1;②2 022a-2 021>2 022b-2 021;③a+b+2>2√a +2√b ;④1a +1b >4a+b . A.②④ B.①③C.②③④D.①②③④答案 C 对于①,当a=1时,1a -1无意义,故①错误.对于②,∵a>b,∴a -2 021>b-2 021.又∵y=2 022x 在R 上为增函数,∴2 022a-2 021>2 022b-2 021,故②正确.对于③,∵a>b>0,∴a+b+2-2√a -2√b =a-2√a +1+b-2√b +1=(√a -1)2+(√b -1)2>0,故③正确.对于④,∵a>b>0,∴1a +1b >2√1ab =2√ab .又∵4a+b <42√ab =2√ab ,∴1a +1b >4a+b,故④正确.故选C. 8.(2022届四川乐山期中,7)不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,则a 的取值范围是( )A.[-4,4]B.(-4,4)C.(-∞,-4)∪[4,+∞)D.(-∞,-4)∪(4,+∞)答案A∵不等式x2+ax+4<0的解集为空集,∴Δ=a2-16≤0恒成立,解得-4≤a≤4.故选A.9.(2021东北三省模拟,7)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-1,+∞),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)答案C∵关于x的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-1,+∞),∴b a=-1,且a>0,即a=-b>0.则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3.故选C.10.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是()A.[-2,-1)∪(3,4]B.(-2,-1)∪(3,4)C.(3,4]D.(3,4)答案A x2-(a+1)x+a<0即(x-1)(x-a)<0,当a>1时,解得1<x<a;当a<1时,解得a<x<1.∵不等式的解集中恰有两个整数,∴3<a≤4或-2≤a<-1,∴a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4].故选A.11.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)答案C因为对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由1=a2,解得a=2.又因为函数f(x)的图象开口向下,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增,而f(x)>0恒成立,所以f(x)min=f(-1)=b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.故选C.12.(2020安徽舒城模拟,7)若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是()A.[-1,3]B.(-∞,-1]C.[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)答案 D 原不等式化为x 2+px-4x-p+3>0在0≤p ≤4时恒成立,令g(p)=(x-1)p+(x 2-4x+3),则问题等价于g(p)>0在p ∈[0,4]上恒成立,∴{g(0)>0,g(4)>0,即{x 2-4x +3>0,4(x -1)+(x 2-4x +3)>0,解得x>3或x<-1. 二、填空题13.(2022届上海二模,7)不等式2x -a x+a>0的解集为M,且2∉M,则实数a 的取值范围是 . 答案 (-∞,-2]∪[4,+∞)解析 由题意可知,4-a 2+a ≤0或2+a=0,解得a ≥4或a ≤-2. 三、解答题14.(2022届湖北九师联盟11月质量检测,17)已知f(x)=ax 2+b(4-b)x-3.(1)若不等式f(x)>0的解集为(1,3),求实数a,b 的值;(2)解关于b 的不等式f(1)-ab<0(a ∈R).解析 (1)因为ax 2+b(4-b)x-3>0的解集为(1,3), 所以1,3是关于x 的方程ax 2+b(4-b)x-3=0的两根,且a<0, 所以{1+3=-b(4-b)a ,1×3=-3a ,解得{a =-1,b =2. (2)由题意知f(1)-ab=a+b(4-b)-3-ab<0,所以b 2+(a-4)b+3-a>0, 方程b 2+(a-4)b+3-a=0的两根分别为1,3-a. ①当1=3-a,即a=2时,解得b ≠1,故f(1)-ab<0的解集为{b|b ≠1};②当1>3-a,即a>2时,解得b>1或b<3-a,故f(1)-ab<0的解集为{b|b<3-a 或b>1};③当1<3-a,即a<2时,解得b>3-a 或b<1,故f(1)-ab<0的解集为{b|b<1或b>3-a}.15.(2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,17)已知函数f(x)=ax 2+bx+2,关于x 的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b 的值;(2)若关于x 的不等式ax 2+2x-3b>0的解集为A,关于x 的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A ⊆B,求实数m 的取值范围.解析 (1)由题意知,-2,1是关于x 的方程ax 2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{-2+1=-b a ,(-2)×1=2a, 所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x 2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x >-m 3},因为A ⊆B,所以-m 3≤-1,解得m ≥3.故m 的取值范围为{m|m ≥3}.。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
【高考数学经典题型】放缩证明数列不等式(一题多解)
1/ 2试题出处：2020年河北省唐山市高三毕业班适应性线上测试放缩证明数列不等式已知正项数列{}n a 满足12a =，21122n n n a a a +=+（n N *∈）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：121113 (4)n a a a +++<. 答案：（1）12122n n a -+=-.（1）解法一：构造等比数列解：2112(2)2n n a a ++=+，故2121(2)24n n a a ++=+，所以122ln 2ln 22n n a a +++=故2ln 2n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为12ln ln 22a +=，公比为2，所以()1122ln ln 22ln 22n n n a --+== 故12122n n a -+=-.解法二：迭代解：同上2112(2)2n n a a ++=+，令2n n b a =+，则2112n n b b +=，14b =，1211121121221221222224822122311111111()2222222k n kn n n n n n n k b b b b b b b ---+++++++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======== ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1111212221142222n n n n n b -----+⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭，故12122n n a -+=-.解法三：数学归纳法 解：由12a =，21122n n n a a a +=+（n N *∈），得 21222a ==-，32622a ==-，533022a ==-，9451022a ==-.猜测：12122n n a -+=-,下面用数学归纳法证明：①1n =时，12a =成立 ②假设n k =时，12122k k a -+=-,则1nk =+，()112212211112(22)22222k k k k k a a a --+++=+=-+-, 112221212111(2424)224222kk k k k a --+++++=-⋅++⋅-=-故1n k =+时，结论成立. 由①②知，结论成立.（2）解法一：通性通法放缩 解：211111222n nn n a a a a +=<+ 1n =时，1134a <；2n =时，121134a a +<；3n =时，12311134a a a ++<; 当4n ≥时，4123411111111111263051025102510n n a a a a a -++++<++++++⋅⋅+ 3111111111232()126305102630510412n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++<+++<- 解法二：构造类等比数列放缩解：21121222n nn n n n a a a a a a ++==+，由（1）知{}n a 单调递增， 所以111122322n n n a a a a +=++=≥（当且仅当1n =时取等号）, 故123n n a -⋅≥（当且仅当1n =，2时取等号）, 所以.21121111111313...(1(1)2333434n n n a a a -+++≤++++=-< .解法三：裂项（一）解：()()()()()()11111111222222221221212142212212122121n n n n n n n n n n a --------++==≤--+-+≥3 /4()()()()()()1111111122222222212222142121221212215555884241n n n n nn n n n n ---------==++---+-+-≥ 1223112222222212555555551111115388888888...++2221242121212121212121n n n n a a a -+++≤-+-++-=-<+<-------- 解法四：裂项（二）()2111211144242n n n n n n n a a a a a a a +⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭， 1211122111111111111...444n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫+++=+-+-++- ⎪+++⎝⎭ 1223211311111111424444n n n a a a a a a a ---⎛⎫=--+-++-+ ⎪++++⎝⎭易证()141k k a a k ++<≥，故()111014k k k a a +->≥+，所以121113...4n a a a +++<. 解法五：利用函数的单调性放缩解：设()22x f x x =-，则()2ln 220(2)x f x n '=->≥，()f x 在[)2,+∞上单调递增， 所以22n n ≥(2)n ≥，故()1221n n --≥(3)n ≥，所以()11212224n n n ---=≥(3)n ≥故()112121221413n n n n -----=->-1≥(3)n ≥，易验证11223n n ---1=(1,2)n =所以123n n a -⋅≥（当且仅当1,2n =时取等号），下同解法二.解法六：利用二项式定理放缩解：由()01111nn n nn n n C C C C -+=++++ 得()221n n +≥(3)n ≥，故22n n ≥(2)n ≥，下同解法五.评论与赏析：本题第一问是常规性问题，取对数法构造等比数列，求得通项公式.第二问为放缩法证明数列不等式.本题呈现的形式是数列求和，所以转化为能求和的数列形式是关键：解法一、解法二、解法五、解法六放缩为等比数列求解，解法一因地制宜的转化为公比为12的等比数列，但考虑到右侧的常数34，我们控制了一下起始项，这不失为一种常规方法.但有些题如果我们放得级数不够，控制起始项是无效的.这题从形式上看，是一个伪等比数列，我们可以套路化，这就是解法二；在放缩时，二项式定理，函数的单调性，也是常用的放缩途径；在数列求和中，裂项求和是一种重要方法，但怎样裂，需要扎实的数学素养，解法三的裂项就相当巧妙，解法四虽然中间项不能消，但通过确定正负，化繁为简.当然，大家还可以思考，还有没有更好的方法？。
2025高考数学培优25讲1.不等式拓展
第1章不等式拓展1.1赫尔德不等式一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：赫尔德不等式高中常用形式:（其中,,(1,2,,)i i i a b c i n = 非负）一:()()()3112233a b a b a b +++≥二:()()()3111222333a b c a b c a b c ++++++≥三:()()()111121212,n n n a b z m a a a b b b z z z +++++++++共个字母m≥+ ，取等条件：111::::::(2,,)i i i a b z a b z i n == ，2m =时,赫尔德不等式即柯西不等式.二、【典型例题】1．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y+最小值．2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．1.2柯西不等式1.2.1整式类型一、【题型总结】▲适用题型：已知22Ax By +的值，求mx ny +的取值范围，或者已知mx ny +的值，求22Ax By +的最值或者求+▲方法原理：1.二维柯西不等式：设a ，b ，c ，d 均为实数，有22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当a bc d=时等号成立；向量法证明：()()22222,,,,cos 1cos ()()()m a b n c d m n m n m n ac bd a b c d ac bd θθ⎧==≤⎪⎪⇒=≤⎪⎨⎪⇒+≤⎪⎪⇒++≥+⎩；取等时向量共线，即a b c d =；代数法证明：()()()2222222222222222222222()22()0a b c d ac bd a c a d b c b d a c acbd b d a d b c acbd ad bc ⎧⎪⎪⎨⎪⎪++-+=+++-++=+-=⎩-≥易知取等条件是ad bc =，解答题用到柯西不等式，即可证明；2.n 维柯西不等式：222222222123123112233(......)(......)(......)n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b ++++++++≥++++，其中字母值域均为R ，当且仅当312123......n na a a ab b b b ====时等号成立，n 维向量证明（不作要求）;二、【典型例题】1．（福建·高考真题）设,a b R ∈，2226a b +=，则a b +的最小值是（）A．-B．3-C．3-D．72-2．（江苏·高考真题）若,,x y z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值为．3．（湖南·高考真题）设,x y R ∈,则222211(4)x y y x++的最小值为．4．（全国·高三专题）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=+的最大值为（）C．D．5．（全国·高三专题）设,a b R ∈，且2210a b +=，则a b -的取值范围为______.6．（全国·高三专题）已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（）A．3B．C．18D．97．（湖北·高考真题）设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b c x y z++=++（）A．14B．13C．12D．34三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知1,1x y >->-，且(1)(1)4x y ++=，则xy 的最大值是．2．（全国·高三专题）已知,,x y z ∈R ，且225x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值是．3．（陕西·高考真题）设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，的最小值为．4．（浙江湖州·高三期末）已知x ，y ∈R ，且3x y +=，+的最小值是．5．（全国·高三专题）已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为．6．（重庆卷）已知正数,x y 满足5x y +=的最大值为．7．（全国·高三专题）对于0c >，当非零实数a ，b 满足2222a ab b c -+=且使||a b +最大时，345a b c-+的最小值为．8.（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，当且仅当a bc d=时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数()f x =的最大值为（）A．B．C．12D．209.（2024·浙江·模拟预测）已知0x >，y ∈R ，且2530x xy x y +-+=值为（）C．D．10．（2024·江西宜春·三模）已知0x >，0y >，且满足2249630x y xy ++-=，则23x y +的最大值为．1.2.2分式类型一、【题型总结】▲适用题型：一般出现变量和以及变量的倒数和等类型可以考虑；▲方法原理：模型一：2222222()()()m n a b m n a b++≥+；例如：211()()a b a b ++≥=4；模型二：2[()(1)]()1a b a bx x x x x x+=+-+≥--1二、【典型例题】1．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（）A．245B．285C．5D．62．（陕西·高考真题）设,x y 为正数，则14()()x y x y++的最小值为（）A．6B．9C．12D．153．（河南开封·高二阶段）已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c ++的最小值为（）A．9B．8C．3D．134．（全国·高三专题）已知1a b c ++=，且,,0a b c >，则222a b b c a c+++++的最小值为()A．1B．3C．6D．95．（天津·耀华中学一模）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121aa b ++的最小值为．6．（浙江台州·高三期末）已知正实数,a b 满足21a b +=，则4432a b b a+的最小值为．三、【习题检测】1．（山东·高考真题）若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为．2．（全国·高三专题）已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为．3．（全国·高三专题）设x ，y ，z的最大值是．4．（全国·高三专题）已知,x y R ∈，且222,x y x y +=≠，则2211()()x y x y ++-的最小值是．5．（天津·耀华中学模拟预测）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是．6．（全国·高三专题）已知正数,,x y z 满足321x y z ++=，则24242x y y z x y++++的最小值为．7．（2024·高三·天津南开·期中）已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a ab ++的最小值为．1.2.3待定系数类型一、【题型总结】▲适用题型：直接使用柯西发现系数不匹配则可以考虑；▲方法原理：待定系数：()()()2222222101a b m m a b ma m ⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎣⎦⎣⎦比如已知正数,a b 满足1381a b +=，则2a 解题思路：()()()()()()()()()222222241401112222131333138188511213855343255552138155a b m m a b ma m m a b a m a a b a b m a a b a a b a b b ⎧⎡⎤⎡⎤+=+-+≥+<<⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎪=⎪⎩+≥++++=⇒⇒=+≥+=⎧=⎫⎪=⎪⎪⇒⎬⎨⎪⎪+==⎭⎪⎩柯西待定系数化简结果对比中，系数为计算答案时125a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒+⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩最小值为取等二、【典型例题】1．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足341ab +=，则a +的最小值为．2．设a ，b ，c 为正数，且2221a b c ++=，则()a a b c ++的最大值为（）A．312+B．212+C．32D．223.（2024·浙江·一模）若()2s s in i c n os x y y x +++=，则sin x 的最小值是（）A．0B．2C．3-D．12三、【习题检测】1．（全国·高三专题）已知实数0x >，0y >，3x y +=，+的最小值是．2．（全国·高三专题）已知正数,a b 满足8a +=，则32a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若a ，b 是正实数，且121a b+=，则a b ++的最小值为．4．若实数a ，b ，c ，d 满足1ab bc cd da +++=，则2222234a b c d +++的最小值为（）A．1B．2C．3D．以上答案都不对1.3权方和不等式1.3.1分式类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有22a b x y +和x y +时，也就是柯西不等式中分式类型的题目可以考虑；▲方法原理：由柯西不等式可知222()()()a b x y a b x y++≥+，则,,,0a b x y >时，222()a b a b x y x y ++≥+当a bx y =时，等号成立．同理2222(),a b c a b c x y z x y z ++++≥++当a b cx y z ==时，等号成立．二、【典型例题】1．（山东·高考真题）若直线1x ya b+=()0,0a b >>过点12（，），则2a b +的最小值为．2．（浙江·高考真题）若正数,x y 满足35x y xy +=，则43y x +的最小值是（）A．245B．285C．5D．6三、【习题检测】1．（2024·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足()222a b a b x y x y++≥+，当且仅当a b x y =时，等号成立．则函数()31610133f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A．16B．25C．36D．492．已知x >0，y >0，且11121x y y +=++，则x +2y 的最小值为．3．已知1,1a b >>，则2211a b b a +--的最小值是．1.3.2合理配凑类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接用权方和时系数不匹配需要进行配凑，或者需要先进行变形处理；▲方法原理：1.考虑分式上下同时扩大或者缩小；比如：()2,,,0p q a b p qa b ma nb=⎧⎪+>⎪+⎨⎪=⎪⎩2.考虑分子分母同除以相同字母构造目标结构；比如：()()2221111114,,11111112112111111a bm a ba b a b ma b a ba b⎧++=>+=+≥=⎪---⎛⎫⎪---+⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪--⎪⎩若,则当且仅当时取等3.系数不匹配时还可以考虑待定系数法处理；比如已知()min119233,0345a b a ba b a b⎛⎫+=>+⎪++⎝⎭求（1）待定系数：令()()()()923345345a b m a b n a b m n a m n b+=+++=+++（2）对比,a b系数，计算,m n：()()39292323435345233m n ma b a b a bm n n+==⎧⎧⇒⇒+=+++=⎨⎨+==⎩⎩（3）权方和公式计算答案：()()211252634523435333a b a b a b a b++=+≥=++++，()()234359233a b a ba b⎧=⎪++⎨⎪+=⎩当且仅当时取等；二、【典型例题】1．（全国·高三专题）若,x y R+∈，且21x y+=，则22212x yx y+++的最小值为．2．（全国·高三专题）已知正数,,x y z满足321x y z++=，则24242x yy z x y++++的最小值为．3．（全国·高三专题）若正数a，b满足111a b+=，则411a ba b+--的最小值为．三、【习题检测】1．（天津联考）已知实数0x>，1y>-，且1x y+=，则2231x yx y+++的最小值为．2．（天津南开·三模）已知0a >，0b >，1a b +=，则1132a b a b+++的最小值为．3．（全国·高三专题）已知1a >，1b >，则2211a b b a --+的最小值为．4．（金太阳百校联考）已知正数,x y 满足434x y +=，则11321y xy xy ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭的最小值为．1.3.3构造指数差1类型一、【题型总结】▲适用题型：结构中有分式，但是直接权方和不等式发现指数不匹配；▲方法原理：权方和不等式拓展：若0,0,0.i i a b m >>>则()()111112121212()()()()()()m m m m n n mm m m n n a a a a a a b b b b b b ++++++++++≥+++ ，当仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立.它的特点是分子的幂比分母的幂多一次.常见变形比如：()()()()33322211122222222211111111x y x y x y x y ⎧+⎪+=+≥⎪⎪+⎨⎪⎪=⎪⎩当且仅当时取等二、【典型例题】1.（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设0,0,,0n n a b n m >>∈>N *，则()()11111123312123123m m m m m n n m m m m mn n a a a a a a a a b b b b b b b b +++++++++++++≥++++ ，当且仅当312123n na a a ab b b b ==== 时，等号成立．根据权方和不等式，若0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π，当1x x +sin cos 取得最小值时，x 的值为（）A．12πB．6πC．3πD．512π2．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足1x y +=，则2218x y +最小值．3．（全国·高三专题）设x y ，是正实数且满足221x y +=，则18x y+最小值．三、【习题检测】1．（杭州质检）已知x y ，是正实数且满足143x y +=，则222y x +最小值．2．（全国·高三专题）已知0a >，0b >，3382a b +=，则2a b +的最大值为．3．（全国·高三专题）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2764sin cos αα+最小值．4．已知122,0,1x y x y>+=的最小值是．5．求()f x =的最大值为．。
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高考数学不等式题型
高考数学不等式题型
数学是高考中不可或缺的一门科目，而在数学试卷中，不等式题型一直是考查学生综合能力和推理思维的重要内容之一。
本文将从基础概念、解题思路和常见类型三个方面来介绍高考数学不等式题型。
一、基础概念
不等式是数学中研究数与数之间大小关系的一个重要概念。
在高考数学中，常见的不等式有如下几种形式：
1. 符号不等式：例如 x > a，表示 x 大于 a；
2. 绝对值不等式：例如 |x - a| < b，表示 x 与 a 的距离小于 b；
3. 一元二次不等式：例如 ax^2 + bx + c > 0，表示一元二次函数的取值范围。
学生在解题过程中，应熟悉不等式的性质和运算法则，理解不等式代表的数值关系。
二、解题思路
解决高考数学不等式题目需要一定的思维逻辑和推理能力。
以下是一些常用的解题思路：
1. 分析不等式的性质和范围：通过观察不等式中的系数和符号，来判断不等式解的范围；
2. 借助图像或表格辅助解题：将不等式转化成函数图像，或者列出数值表格，通过观察图像或数值的变化，找到不等式解的范围；
3. 运用等价变形：利用等价变形法，将不等式转换成最简形式，进而求解；
4. 利用缩放和加减技巧：将不等式变形成更简单的形式，通过适当的运算使其更容易解出。
三、常见类型
在高考数学中，存在多种不等式题型，主要包括：
1. 一元一次不等式：如 2x + 3 > 5；
2. 一元二次不等式：如 x^2 - 4x + 3 > 0；
3. 绝对值不等式：如 |x - 2| < 5；
4. 分式不等式：如 (x - 1)/(x + 2) < 0；
5. 复合不等式：如 x^2 - 3 < 0 或 x + 2 > 0，要求同时满足两个不等式；
6. 参数不等式：如 a|2x + 3| < 4，其中 a 是常数。
对于不同类型的不等式题目，学生需要熟悉相应的解题方法和技巧，通过多做题和思考，提高解题能力。
综上所述，高考数学不等式题型是考查学生数学综合能力和推理思维的重要内容之一。
学生应该掌握不等式的基本概念和性质，熟练掌握解题思路和常见类型。
只有通过不断的练习和积累，才能在考试中游刃有余地应对各类不等式题目的挑战。
（本文所述为纯属虚构，仅作示例。
）。