直线的法向量与点法式方程学案
教学设计4：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程
3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程教学目标 1.知识与技能(1)会求空间直线的方向向量和向量参数方程；(2)会用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行； (3)会用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角． 2．过程与方法理解、体会用向量方法解决立体几何中的平行问题及两条直线所成角的问题的思想及过程． 3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系及用向量运算求两条直线所成的角． 教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．知识点1用向量表示直线或点在直线上的位置 问题导思1．如图，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【答案】 AB →∥CD →.2．给定一个定点A 和向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，当t 取遍全体实数时，P 点的轨迹是什么？ 【答案】 一条直线． 1．直线的方向向量与直线平行或共线的非零向量，叫做此直线的方向向量． 2．空间直线的向量参数方程点A 为直线l 的定点，a 为直线l 的一个方向向量，点P 为直线l 上任一点，t 为一个任意实数．3．线段中点的向量表示式设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．知识点2：用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行1．设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则由向量共线的条件，得l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 .2．①已知两个不共线向量v 1、v 2与平面α共面，一条直线l 的一个方向向量为v ，则由共面向量定理，可得l ∥α或l 在α内⇔存在两个实数x 、y ，使v ＝x v 1＋y v 2.②如果A 、B 、C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充要 条件是存在一对实数x 、y ，使向量表达式AM →＝xAB →＋yAC →成立．3．已知不共线的向量v 1和v 2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，得α∥β或α与β重合⇔v 1∥β且v 2∥β .知识点3：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 .设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则有l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2 ，cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉| . 例题解析例1 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，如图，以AB →的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP ∶PB ＝1∶2； (2)AQ ∶QB ＝－2. 求点P 和点Q 的坐标.解 （1）由已知，得PB →＝2AP →， 即OB →－OP →＝2(OP →－OA →)， OP →＝23OA →＋13OB →.设点P 坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示，得 (x ，y ，z )＝23(2,4,0)＋13(1,3,3)，（2） 因为AQ ∶QB ＝－2，所以AQ →＝－2QB →，OQ →－OA →＝－2(OB →－OQ →)， OQ →＝－OA →＋2OB →，设点Q 的坐标为(x ，y ，z )，则上式换用坐标表示， 得(x ，y ，z )＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)， 即x ＝0，y ＝2，z ＝6. 因此，Q 点的坐标是(0,2,6).例2 如图，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，点M ，N 分别是面对角线A ′B 与面对角线A ′C ′的中点.求证：MN ∥侧面AD ′；MN ∥AD ′，并且MN ＝12AD ′.证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ， 则AM →＝12(a ＋c )，AN →＝c ＋12(a ＋b )，因此MN →＝AN →－AM →＝12(b ＋c ).因为M 不在平面AD ′内，所以MN ∥平面AD ′. 又因为b ＋c ＝AD ′→，所以MN →＝12AD ′→，因此MN ∥AD ′，MN ＝12AD ′.例3 已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点M 、N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点. 求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .证明 不妨设已知正方体的棱长为1，如图， 以A 为坐标原点O 建立空间直角坐标系.由已知， 得M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，B (1,0,0)，C (1,1,0)， A ′(0,0,1)，N ⎝⎛⎭⎫12，12，12，B ′(1,0,1)，MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0，A ′C →＝(1,1，－1)，BB ′→＝(0,0,1)， ∵MN →·A ′C →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(1,1，－1)＝0， MN →·BB ′→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0·(0,0,1)＝0. ∴MN ⊥A ′C ；MN ⊥BB ′.例4 已知三棱锥O —ABC (如图)，OA ＝4，OB ＝5，OC ＝3，∠AOB ＝∠BOC ＝60°， ∠COA ＝90°，M ，N 分别是棱OA ，BC 的中点. 求直线MN 与AC 所成角（精确到0.1°）.解 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，直线MN 与AC 所成的角为θ，则 MN →＝ON →－OM →＝12(b ＋c )－12a ＝12(b ＋c －a )，AC →＝c －a .∴|MN →|2＝14(b ＋c －a )2＝14(|a |2＋|b |2＋|c |2＋2b·c －2a·b －2a·c ) ＝14(42＋52＋32＋15－20－0)＝454， |AC →|2＝(c －a )2＝|a |2＋|c |2－2a·c ＝42＋32－02＝25， MN →·AC →＝12(b ＋c －a )·(c －a )＝12(b·c ＋|c |2－a·b －2a·c ＋|a |2) ＝12⎝⎛⎭⎫152＋9－10－0＋16＝454. cos θ＝|cos 〈MN →，AC →〉| ＝|MN →·AC →|MN →||AC →||＝454454×5＝3510. ∴直线MN 与AC 所成角的余弦值为3510.课堂练习1.已知O 为坐标原点，四面体OABC 中，A (0,3,5)、B (1,2,0)、C (0,5,0)，直线AD ∥BC ，并且AD 交坐标平面xOz 于点D ，求点D 的坐标． 解 ∵O 为坐标原点，∴O (0,0,0)． ∵AD 交xOz 于D ，∴D (x,0，z )． ∵AD ∥BC ，∴AD →＝λBC →， 即：(x ，－3，z －5)＝λ(－1,3,0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－3＝3λz －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1z ＝5.∴D 点坐标为(1,0,5)．2.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．证明：P A ∥平面EDB .证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 连接AC 交BD 于G ，连接EG .设DC ＝a ， 依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a2)．∵底面ABCD 是正方形， ∴G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为(a 2，a2，0)．∴P A →＝(a,0，－a )，E G →＝(a 2，0，－a 2)．∴P A →＝2EG →，∵A ∉EG ，∴P A ∥EG . 又∵EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， 且AA 1＝2，AB ＝AD ＝1. (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)求直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值．解 建立如图所示空间直角坐标系．∴A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，C (0,1,0)，A 1(1,0,2)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，2， E ⎝⎛⎭⎫12，1，2，C 1(0,1,2)． (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，A 1C →＝(－1,1，－2)， ∴EF →·A 1C →＝0. ∴EF ⊥A 1C .(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，DF →＝⎝⎛⎭⎫0，12，2， ∴cos 〈A 1C 1→，DF →〉＝122×4＋14＝3434， ∴异面直线A 1C 1与DF 所成角的余弦值为3434. 课堂小结1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)； (3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．3．证明两直线垂直，要根据具体的立体几何环境，合理选择已知向量来表示待求的向量，然后证明其数量积为零．。
直线的法向量与点法式方程
不唯一，互相平行（共线）
直线的法向量： 与直线垂直的非零向量，用n 表示
不唯一，互相平行（共线）
y n (A, B)
l P(x, y)
n p0 p 0
P0 (x0 , y0 )
v (B, A)
O
x
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 点法式方程
v (B, A) 则 v n (B, A) (A, B) B A (A) B 0
整理，得所求直线方程为
2x 3y 1 0
典 题
3、已知直线 l的法向量为 n (2，, 且3) 与
两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直
线 的方l程。
解：设直线 l与 x轴相交于 (a，, 0)
由点法式方程，得
2(x a) (3)( y 0) 0
即 2x 3y 2a 0
所以 v n
n (A, B)是直线 l 的一个法向量，则向量
v (B, A) 就是直线的一个方向向量。
A( x
x0 )
B( y
y0 )
0
1、求过点 P(1,，2)且一个法向量为
n (3的, 4直) 线方程。
解：由直线的点法式方程，得
典
3(x 1) 4( y 2) 0
令 x ，0得 y 2a 3
由三角形面积公式，得
S 1 | a || 2a | 3
2
பைடு நூலகம்
3
解得a 3
所以直线 l的方程为
2x 3y 6 0或2x 3y 6 0
点向式方程：
v2 (x x0 ) v1( y y0 ) 0
9.1.3直线的法向量和点法式方程
n A, B p(x,y)
V=（B,-A)
P0(x0 , y0)
o
x
公 式 推 导
设p(x,y)是直线上的一点， l 则p在直线L上的充分必要条件 y 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 n A, B 件可写为 p(x,y) A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点 V=（B,-A) 和直线的一个 法项量确定的，因此这个方程 o x 叫做直线的 P0(x0 , y0) 点法式方程
所以
v n.
这就是说 如果 n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量 v =（B,-A)就是直线L的一个方 向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学 以 的直线方程。 致 用
得
（x 0 , y 0）
（A,B）
例9：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
解：代入直线的点法式方程,
9.1.3直线的法向量和点法式方 程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通常用v表示
y x
o
概 念 形 成
ห้องสมุดไป่ตู้
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 的位置关系是怎样的？
敬请指导
•
3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
画出符合要求的直线 1、经过点P0
y
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线的法向量和点法式方程
顾知
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用v表示
识y
回
o
x
精品课件
顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成 概与一条直线 垂平直行 的非零向量叫做
这条直线的法方向向量 通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结 反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
精品课件
业布 置 作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
精品课件
A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。 解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
精品课件
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究 问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
直线的法向量和点法式方程课件
(1)向量P0P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
r n
A,
B(2)
P0 P与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P0P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
A(x-x0)+B(y-y0)=0
熟
根据直线 l 的方程，写出直线 l 已知点P0和直线 l 的一个法向量
推
r
求直线的方程
n A, B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点Pr0(x0,y0 )，
r
一个法向量n=(A,B)，
公
n A, B 则直线的点法式方程
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
r
练(1)习pr(1－. 求1，过2点)，p，nr且一=个(3，法－向4量) 为n的直线方程.
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解：中点c的坐标
y
l
致
9.1.3直线的法向量和点法式方程教学教材
知 什么叫方向向量 ？ 识 与直一线的条方直向线向平量行的非通 零常 向用 量v r叫表 做示 这条
回
y
顾
o
x
概 与条一直条线直的线方法向平垂向行直量的非通零常向用量nr 叫表做示这 念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？ 成 2、这些法向量的位置关系是r怎样的？ r
V=（B,-A) 和直线的一个
导o P0(x0 , y0)
法项量确定的，因此这个方程
x 叫做直线的
点法式方程
直线的点法式方程
熟
y
l
记r
nA,B
公
直线经过点Pr0(x0,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
式o P0(x0 , y0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
rr 令 v =(B,-A),则 v • n =A×B+B×(-A)=0,
一个法向量n=(A,B)，
式
求直线的方程
推r
nA,B
p(x,y)
V=（B,-A)
导o P0(x0 , y0)
x
公
yl
式r
nA,B
p(x,y)
推
设p(x,y)是直线上的一点， 则p在直线L上的充分必要条件 是n.p0p=0. 用坐标表示，上述充分必要条 件可写为
A(x-x0)+B(y-y0)=0 （1） 方程（1）是由直线上的一点
所以 v n.
这就是说 如果n =(A,B)是直线L的一个法向
量，则向量v =（B,-A)就是直线L的一个方
向向量。
A(x-x0)+B(y-y0)=0
直线的法向量和点法式方程
x
概 念 形 成
o
y
x
设 方 向 向 量 v ( x, y )
n v
v (B , A)
或 v ( B , A)
Ax By 0
整 理 得 x y B A
口 答 练 习
n
( 2 , 3)
v
( 4, 5)
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0
n A, B
求直线的方程
o
x
直 线 的 点 法 式 方 程
熟 记 公 式
o
y
l
直 线 经 过 点 P0( x 0 , y 0 ) ， 一 个 法 向 量 n =(A,B)， 则直线的点法式方程
n A, B
x
P0(x0 , y0)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
B
（3）BC边中线方程
D
E C
敬请指导
直 线 的 点 法 式 方 程
公 式 推 导
P0(x0 , o0) y
y
P(x, y)
(1)向量P0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 )
,
(2) 与n=(A,B)的位置关系 P0 P n A, B
是： 垂直 ,
x (3)
P0 P
与n 垂直的充要条件是：
直线的法向量和点法式方程
知 识 回 顾
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条 直线的方向向量 通 常 用 v表 示
y x
o
知 识 回
l2
A
B
l1 顾
概 念 形 成