《平面的法向量与平面向量表示》教学案1
学案3：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学习目标1．理解平面的法向量的概念，了解平面的向量表示式．2．掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理．3．会证明两平面的平行和垂直．学习重、难点1．会求平面的法向量．(重点)2．熟练运用三垂线定理及其逆定理．(重点)3．利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的平行、垂直问题．(重点、难点) 知识梳理1.用向量运算证明两直线垂直，或求两直线所成的角(1)设两条直线所成的角为θ(锐角)，则直线方向向量间的夹角与θ______________；(2)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，直线l 1与l 2的夹角为θ，则l 1⊥l 2⇔________，cos θ＝______________.名师点拨：两条直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两直线所成的角．2．法向量的概念已知平面α，如果向量n 的______________与平面α________________，则向量n 叫做平面α的法向量，或说向量n 与平面α正交．3．平面的向量表示式设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，适合条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的______________，_______________通常称为一个平面的向量表示式．4．利用法向量判断平面与平面平行与垂直设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则容易得到平面α∥平面β或α与β重合⇔n 1_________n 2； 平面α⊥平面β⇔_______________⇔_______________.名师点拨：(1)用空间向量的方法证明立体几何中的平行或垂直问题，主要运用了直线的方向向量和平面的法向量，同时也要借助空间已有的一些关于平行或垂直的定义．(2)用向量方法证明平行或垂直问题的步骤：①建立空间图形与空间向量关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建立)． ②通过向量运算研究垂直关系问题．③根据运算结果解释相关问题．5．三垂线定理及三垂线定理的逆定理三垂线定理如果在________的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条________垂直，则它也和这条斜线在平面内的________垂直．名师点拨：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．三垂线定理与逆定理主要解决异面直线垂直问题．典例精析例1已知点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，其中abc≠0，如图，求平面ABC的一个法向量.例2 已知：AB，AC分别是平面α的垂线和斜线，BC是AC在α内的射影，l ⊂α且l⊥BC(如图).求证：l ⊥AC .自我检测1.若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交2．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．l ⊂αD ．不确定3．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________．4．已知v ＝(－2,2,5)，u ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，则α与β________.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的法向量．参考答案知识梳理1. (1)相等或互补(2)v 1⊥v 2 |cos<v 1，v 2>|2． 基线 垂直3． 平面 AM →·n ＝04．∥ n 1⊥n 2 n 1·n 2＝05． 平面内 射影 斜线斜线 射影典例精析例1 解 由已知可得AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)，AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c ).n ·AB →＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0，n ·AC →＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋by ＝0，－ax ＋cz ＝0 解得y ＝a b x ，z ＝a c x . 不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量.例2 证明：取向量v ∥l ，则v ∥ α，且v ⊥ BC⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⊥ α ，l ⊂ α，所以v ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ . 又因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·v= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0. 因此v ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，得l ⊥AC. 自我检测1. B【解析】 ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥a .2． D【解析】 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.3．±(33，33，33) 【解析】 设单位法向量为n ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．⎩⎨⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·AC →＝－x ＋z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，解得n ＝±(33，33，33)． 4． 垂直 【解析】 由v ·u ＝(－2)×6＋2×(－4)＋5×4＝0可得．5． 证明 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)．DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)，DB 1→·AC →＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，所以DB 1→⊥AC →.同理，DB 1→⊥AD 1→.又因为AD 1∩AC ＝A ，所以DB 1→⊥平面ACD 1，从而DB 1→是平面ACD 1的法向量．。
高二数学高效课堂资料教案、学案：3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
高二数学高效课堂资料教案：课题： 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示编写人：王传君教学目标：1．知识与技能掌握平面的法向量的概念及性质，并能用法向量证明相关的立体几何问题．理解平面的向量表示．2．过程与方法用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行或垂直问题．3．情感态度与价值观培养学生转化的数学思想，增强应用意识．重点：平面法向量的概念及性质．正射影的概念，三垂线定理及逆定理。
难点：利用法向量法解决几何问题．三垂线定理的证明思路。
教学方法：讲练结合教学过程：一、导入新课问题1: 如何确定一个点在空间的位置?问题2: 在空间给定一个定点A 和一个定方向(向量), 能确定一条直线在空间的位置吗?问题3: 给一个定点和两个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗? 问题4: 给一个定点和一个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?二、形成概念概念1.平面的法向量已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则叫做平面的法向量或说向量与平面正交。
nnn 由平面的法向量的定义可知，平面的法向量有无穷多个，法向量一定垂直于与平面共面的所有向量。
a bc由于垂直于同一平面的两条直线平行，所以，一个平面的所有法向量都是平行的。
m模为1的法向量，叫做单位法向量，记作n n概念2.直线与平面垂直的判定定理的向量证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
abn已知：是平面内的两条相交的直线，且求证：,a b ,n a n bn概念3.平面的向量表示空间直线可以用向量来表示，对于空间的平面也可以用向量来刻画。
设A 是空间任意一点，为空间任意一个非零向量，适合条件的点M 的集合构成什么样的图形？n 0AM n nA MM 1M 2我们可以通过空间一点和一个非零向量确定唯一的一个与该向量垂直的平面。
AM n 称此为平面的向量表达式。
概念4.用法向量证明平面与平面平行及垂直2n 1n 设分别是平面的法向量，则有12,n n ,1n 2n三、概念深化正方体AC 1棱长为1，求平面ADB 1的一个法向量。
平面法向量与平面的向量表示 人教课标版精品课件
当我们渐渐步入社会，为了生活，我们不得不努力工作，严格遵守公司的规章制度，不敢有一丝懈怠，甚至为了一份微薄的薪水，我们几乎耗尽了所有的时间和精力去做好，不是在上班，就是在去上班的路上，几乎没有自己所谓的自由时间，我想在当今社会，应该有很大一部分人是这样，没有时间交际，也没有时间旅游，更没有时间去陪伴家人……或许这就是所谓的生活的选择，到最后只能自己在心里安慰自己：有失有得，只是这个得真是我们自己所想要的吗？
平面法向量与平面的 向量表示
复习回顾
1、直线的方向向量的定义 2、如何用向量的方法证明直线与直线、直线与 平面、平面与平面的平行？ 3、如何用向量证明两直线互相垂直及求两条直 线所成的角？
1、 平面的法向量
已知平面 ，如果向量 n 的基线与平面
垂直，则向量 n 叫做平面 的法向量或说
向量 n 与平面 正交。
注意： 1、法向量是否可为零向量？
平面的法向量为非零向量
n
2、平面的法向量是否只有一个？
一个平面有无数多个法向量，一个平面的所有法
向量互相平行
3、平面的一个法向量和与平面共面的向量之间有何关系？
平面 的一个法向量垂直于与平面 共面的所有向量
直线与平面垂直的判定定理
高中数学_3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示教学设计学情分析教材分析课后反思
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教学设计研究空间几何问题时，为便于学生更加直观性地理解并掌握相关知识点，时常要借助图形，既数形结合。
本节为更好的导出法向量这一概念及相关应用，我把相关问题放在一空间长方体内来研究。
探究点一平面的法向量及平面的向量表示问题1请同学们回顾必修2所学线面垂直相关知识:线面垂直的定义，性质等。
（接下来，在直线上去有向线段记为其方向向量，引出法向量的定义。
）1．平面的法向量已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．问题2 平面的法向量有何作用？是否唯一?又具有哪些性质？由此我们引入有关法向量的两个性质。
问题3 回顾必修2所学，如何判定线面垂直？（由线面垂直导入向量与平面垂直，经过层层推导得到平面的向量表示）2．平面的向量表示设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件_____________的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．（注意：在学习的过程中要学会将复杂的文字描述转化为易理解的数学符号语言。
）巩固练习：完成以下微体验：1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交2．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是()A．l⊥αB．l∥α C．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α(以上问题为学生口答并说明理由，教师给予点评与评价。
)问题4怎样求一个平面的法向量？接下来通过一个例题来说明例1 已知正方体AC1的棱长为1，求平面CB1D1的一个法向量．跟踪1已知平面α经过三点A1 (1,0,1)，B(1,1，0)，D(0，0，0)，试求平面α的一个法向量．（注意：教师在黑板上板书例一，接着由学生板书跟踪1，之后教师给予点评等。
3.2.2平面的法向量与平面的向量表示
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示峡山中学 高二数学组 2010-12-23【课标点击】(一)学习目标：1、掌握平面的法向量；2、利用平面的法向量判定平面的位置关系；3、平面的向量表示；4、线面垂直的判定定理；5、三垂线定理.(二)教学重、难点：平面的向量表示、线面垂直的判定，面面垂直的判定【课前准备】（一）知识连接：1、 空间直线的向量参数方程：a t OA OP +=或OB t OA t OP +-=)1(2、 设P 为AB 之中点则)(21OB OA OP +=3、 直线1l 与2l 的方向向量为1v 和2v ，则2121////v v l l ⇔，212121v v v v l l ⋅⇔⊥⇔⊥=04、 两直线成的角，与两直线的方向向量成角的关系5、 p 与a ，b 共面（a ，b 不共线）⇔R y x ∈∃,使b y a x p +=6、 点A 、B 、C 不共线，则点A 、B 、C 、P 共面⇔∃x 、y R ∈使AC y AB x AP += （二）问题导引：如何证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直？【学习探究】（一）自学引导：自主学习课本102页至103页部分． 1、平面的法向量2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（用向量方法证明）3、平面的向量表示：4、设1n 、2n分别是平面α、β的法向量，那么：α//β或α与β重合⇔ 21//n n αβ⊥⇔21n n ⊥5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，O A 是P A 在平面α内的射影，a α⊂，且a O A ⊥求证：a P A ⊥；证明：∵P O α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=∴a ⊥平面P O A ，∴a P A ⊥． 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a O A αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭6条斜线的射影垂直证明思路： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．（二）思考与讨论：⑴三垂线指： （PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a ）2）其实质是： （ 斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理）注意：要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用（三）典型例题:例1．在正方体111ABCD A B C D -中，求证：1D B是平面1AC D 的法向量．例2：已知正方体''''ABC D A B C D -.求证：平面''//A B D 平面'B D C .例3.如图，底面A B C D 是正方形，SA ⊥底面A B C D ，且SA AB =，E 是S C 中点. 求证：平面BD E ⊥平面A B C D .说明：一．证明垂直关系，可通过向量的数量积等于0来实现；二．要善于转化，即挖掘已知的垂直关系，将未知向已知转化（四）变式拓展：已知正方体1111ABC D A B C D -中，,E F 分别为1,BB C D 的中点， 求证：1D F ⊥平面A D E 。
高二数学人教B版选修2-1同步教学案：3.2.平面的法向量与平面的向量表示
（二）自学检测1.正方体AC 1的棱长为1，求平面AD 1B 1的一个法向量。
2.已知.:,,PC AB AB D BC AC ABC PO ⊥=⊥的中点，求证为平面3.已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，且PB BC AC PA ⊥⊥，如果底面, 求证：ABCD 是矩形。
4.已知四面体ABCD 的棱.,,BC AD BD AC CD AB ⊥⊥⊥求证：（三）合作探究探究一、已知点A （3，0，0），B （0，4，0），C （0，0，5），，如图所示，求平面ABC 的一个单位法向量。
练习、在空间直角坐标系内，设平面α经过点),,(000z y x P ，平面α的法向量为),,(C B A e =，),,(z y x M 为平面α内任意一点，求z y x ,,满足的关系式。
探究二、 已知：PA ⊥矩形ABCD ，M 、N 分别为AB 、PC 中点。
（1）求证：MN//平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45°，求证MN ⊥平面PCD 。
（四）课堂检测：1、已知A （1，0，3），B （1，2，1），B （0，2，1），则平面ABC 的一个单位法向量为_________。
2、“直线l 垂直于a 内的无数条直线”是“l ⊥a ”的_________。
3、已知点A （1，1，1），平面α⊥，且点A 在平面α内，则点M （x ，y ，z ）在平面α内的条件为_________。
4、已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--（1）求证：AP 是平面ABCD 的法向量； （2）求平行四边形ABCD 的面积．5、棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面PAC ？课堂小结本节课学了哪些重要内容？试着写下吧反思一下本节课，你收获到了什么啊本节课的数学思想有什么？。
人教版高中选修(B版)2-13.2.2平面的法向量与平面的向量表示教学设计
人教版高中选修(B版)2-13.2.2 平面的法向量与平面的向量表示教学设计教学背景在高中数学的平面向量部分，平面的法向量与平面的向量表示是一个重要而基础的概念。
通过本节课的教学，让学生了解平面的法向量的概念及其应用，并提高学生对向量的理解与运用能力。
教学目标1.了解平面的法向量的概念，掌握求平面的法向量的方法；2.理解平面的向量表示的概念；3.学会用向量表示平面的方程；4.能够应用所学知识解决实际问题。
教学内容本节课的主要内容为平面的法向量与平面的向量表示。
具体包括以下内容：1.平面的法向量的概念；2.求平面的法向量的方法；3.平面的向量表示的概念；4.用向量表示平面的方程；5.应用题解析。
教学步骤第一步：导入教师进入教室后，先简单介绍一下本节课的内容，让学生有一个大致的了解。
第二步：概念解释1.平面的法向量：二维空间中，对于给定平面，其法向量是正好垂直于该平面的向量。
让学生理解这个概念。
2.求平面的法向量的方法：通过两个不共线的向量叉乘得到对应平面的法向量。
让学生通过实例演示理解这个方法。
3.平面的向量表示：一个平面上的所有向量可以用一个唯一的向量表示。
让学生了解这个概念并且和平面的法向量做出比较。
第三步：公式讲解1.向量叉乘：介绍向量叉乘的定义和求法，包括其运算规则和性质。
2.用向量叉乘求平面的法向量：演示如何通过两个不共线向量叉乘求平面法向量，并和学生一起进行练习。
第四步：例题演练1.给出一个平面方程，让学生用向量表示法表示该平面；2.给出一个由点构成的平面，让学生求出该平面的法向量。
第五步：拓展为了更好地让学生掌握本节课内容，教师提供一些拓展阅读材料，让学生自主阅读。
第六步：总结在课堂结束前，教师对本节课进行总结，强调重点和难点，提出本节课的思考题。
教学反思本节课的教学效果较为良好，学生对平面的法向量与平面的向量表示的概念有了更全面的了解，同时也会运用到实际的问题中。
在实际教学中，我们可以适当增加一些例题练习，提高学生的实际运用能力。
高中数学人教B版《3.2平面的法向量与平面的向量表示》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版选修2－1第三章《3.2.2平面的法向量与平面的向量表示》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课
教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能:理解平面法向量的概念,并会求平面的法向量，了解平面法向量的应用,并能用法向量论证相关的立体几何问题
2.过程与方法:通过线线垂直和线面垂直判定以及直线方向向量的引入得到平面法向量的概念,通过实例,掌握如何求平面的法向量。
通过图象可知,平面的法向量可以代表平面判断位置关系,利用两个平面的法向量判断平面的平行和垂直。
3.情感态度与价值观:经历概念的形成过程,解题的思维过程,体验数形结合的指导作用,体会向量处理几何问题的工具作用。
认识向量的科学价值、应用价值和文化价值,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。
2学情分析
学生在高一必修2中已经学习过线线、线面、面面的垂直关系判定。
时隔一年,在空间向量中再次提出,大部分学生对基础知识把握不是很牢固。
该班级学生数学基础比较偏弱,对知识的思考、灵活运用能力较差,但是有较强的上进心。
所以在教学中,偏重基础知识的掌握,补足他们的基础层次,通过向量的学习,减弱几何的逻辑性,减少学生处理几何问题的阻力,增强学生学习数学的兴趣和动力
3重点难点
1.重点:平面法向量概念及平面的法向量求法
2.难点:平面法向量的理解及灵活运用,用法向量论证平面的位置关系。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动。
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平面与平面的位置关系
平面α的法向量为 ,平面β的法向量为
①若 ∥ ,即 = ,则α∥β②若 ⊥ ,即 · = ,则α⊥β
5.平面的向量表示是什么？如何理解？
6.三垂线定理及逆定理的内容是什么？是哪三条线？有没有其他方法来证明例2？
（二）自学检测
课堂内容展示
（一）自学指导
预习课本选修2-1 P102-105页
预习问题：
1.平面法向量的定义是什么？线面垂直判定定理的关键是什么？
2.平面法向量的性质有哪些？
3.怎样求平面的法向量？
4.如何借助平面的法向量判断两平面的平行与垂直？
判断直线与平面的位置关系
直线L的方向向量为 ,平面α的法向量为 ,且L α.
探究二、已知：PA⊥矩形ABCD，M、N分别为AB、PC中点。
（1）求证：MN//平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA＝45°，求证MN⊥平面PCD。
（四）课堂检测：
1、已知A（1，0，3），B（1，2，1），B（0，2，1），则平面ABC的一个单位法向量为_________。
2、“直线l垂直于a内的无数条直线”是“l⊥a”的_________。
3、已知点A（1，1，1），平面α⊥ ，且点A在平面α内，则点M（x，y，z）在平面α内的条件为_________。
4、已知点 是平行四边形 所在平面外一点，如果 ， ，
（1）求证： 是平面 的法向量；
（2）求平行四边形 的面积．
5、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
规律总结
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？试着写下吧
本节反思
反思一下本节课，你收获到了什么啊
本节课的数学思想有什么？
1.正方体AC1的棱长为1，求平面AD1B1的一个法向量。
2.已知
3.已知四棱锥 的底面 是平行四边形，且 ,
求证： 是矩形。
4.已知四面体 的棱
（三）合作探究
探究一、
已知点A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），，如图所示，求平面ABC的一个单位法向量。
练习、在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。
《3.2.2平面的法向量与平面向量表示》教学案1
（ ）月（ ）日
编者审稿人：星期授课类型：
教学目标1．理解平面Fra bibliotek法向量的概念，并会求平面的法向量；
2．了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；
教学重点：平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定
教学难点：对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。