直线的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系学案
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)-高二数学(人教A版选择性必修第一册)
.
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
1.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：
(1)直线 l1，l2 的方向向量分别是
a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,
问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
如图.设正方体的棱长为1,则可求得
M 0,1,
1
2
,N
于是 =
1
2
1
2
,1,1 ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
,0,
1
2
,
1 =(1,0,1),
=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
+ = 0,
· 1 = 0,
则
得
+ = 0.
(2)平面α，β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；
(4)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
新知应用
解：
高二数学选择性必修件直线的方向向量与平面的法向量
通过平行线计算
如果两条直线平行，那么它们的方向 向量也平行。因此，可以通过一条已 知直线的方向向量来找到另一条平行 直线的方向向量。
通过平面法向量计算
如果直线与平面垂直，那么直线的方 向向量与平面的法向量平行。因此， 可以通过平面的法向量来找到与之垂 直的直线的方向向量。
XX
PART 03
平面的法向量
预备知识
01
向量的基本概念和运算
了解向量的定义、表示方法、基本运算（如加法、减法、数乘等）以及
向量的共线、垂直等性质。
02 03
平面的基本性质和表示方法
了解平面的基本性质，如平面内任意两点可以确定一条直线，平面内不 共线的三点可以确定一个平面等。同时掌握平面的表示方法，如点法式 、一般式等。
空间直角坐标系和向量的坐标表示
XX
THANKS
感谢观看
REPORTING
XX
PART 04
直线与平面的位置关系
REPORTING
直线与平面平行
定义
一条直线与一个平面无公 共点，则称这条直线与这 个平面平行。
判定定理
如果平面外一条直线与平 面内一条直线平行，那么 这条直线就与该平面平行 。
性质定理
如果一条直线与一个平面 平行，那么过这条直线的 任一平面与此平面的交线 与该直线平行。
解决实际问题
空间几何问题
在解决空间几何问题时，方向向量和法向量可以帮助我们判断线线、线面、面面的位置关系，进而求解角度、距 离等问题。
物理问题
在物理学中，方向向量和法向量也有广泛的应用。例如，在力学中可以利用方向向量表示力的方向；在电磁学中 ，可以利用法向量表示电场或磁场的方向。通过掌握方向向量和法向量的应用方法，可以更好地理解和解决物理 问题。
高中数学人教A版选修1-1第3章3-2立体几何中的向量方法教案
即 a2 = 3x2 + 2(3x2 cos )
x=
1a
3 + 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求
两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
解： 过 A1点作 A1H ⊥ 平面 AC 于点 H.
解：
设平面 AEF 的法向量为
则有
6，如图所示建立坐标系，有
为平面 AEF 的单位法向量。
分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。 解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为， 由
§3.2.2 空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
空间中的几何元素
如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 点、直线、平面的
的位置就可以用向量 OP 来表示．称向量 OP 为点的位置向量。
位置的向量表示方 法。
●P
基点 O●
2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？ l
a
P
A
AP = a( R)
∴ sin BAD = 1− 9 = 32 ， 105 35
五、小结 六、作业
∴ S ABCD =| AB | | AD | sin BAD = 8 6 ．
1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 A，预习课本 105～110 的例题。 B，书面作业:
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积．
直线的方向向量与平面的法向量预习案
直线的方向向量与平面的法向量预习案
教学目标：
1.理解直线的方向向量与平面的法向量
2.会用待定系数法求平面的法向量
重点难点：直线的方向向量与平面的法向量的求法
自学过程：
一．问题情境
在平面向量中，我们借助向量研究了平面内两条直线平行、垂直等位置关系。
如何用向量刻画空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系？
二．概念讲解
1.直线的方向向量
我们把直线l上的向量e（e0
≠）以及与e共线的非零向量叫做直线l的_______.
2.平面的法线
与平面的直线叫做平面的法线
3.平面的法向量
如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作nα
⊥。
此时，我们把向量n叫做平面α的法向量。
一个平面的法向量有个，过一个定点作平面的法向量有个
三．基础自测
1.在空间直角坐标系O—xyz中，写出平面yOz的一个法向量
2.已知A（2，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），那么平面ABC的一个单位法向量的坐标是
3.已知A()3,0,1-,B()z
,2，且直线AB的一个方向向量是)2,1
y,
a，则=
,1(-
=
y =
z
4.平面α的法向量是n，平面β的法向量是m，若β
α⊥，则m，n的关系是。
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
《用空间向量研究直线、平面的位置关系》课件与导学案
则 A(1, 0, 0) ， B(1, 2, 0) ， E (0, 0, 3) ， F (1, 2, 3) ， ∴ BE (1, 2, 3) ， AB (0, 2, 0) ，
实数对（x, y )，使得OP xa yb ，
这样点O与向量a , b 可以确定平面，
课堂探究
如下图，取定空间任意一点 O ，可以得到，空间一点 P 位于平
面ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使 = + + .
上式称为空间平面 ABC 的向量表示式. 由此可
设 n1=(x1,y1,z1)是平面 ADE 的法向量,
则 n1⊥,n1⊥,
1 = 0,
1 · = 21 = 0,
得
即
1 · = 21 + 1 = 0, 1 = -21 .
令 z1=2,则 y1=-1,
所以 n1=(0,-1,2).
因为1 ·n1=-2+2=0,所以1 ⊥n1.
法向量的平面完全确定，可以表示为集合 | · = 0 .
例题解析
例 1．已知长方体 ABCD-A 1B 1C1D1 中，AB=4，BC=3，CC1 =2，M
为 AB 中点.以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
（1）求平面 BCC1B 1 的一个法向量．
从而 n
PQ n ( xu yv ) xn u yn v 0 .
所以，向量 n 也是平面 的法向量. 故
a
b
.
P
v
n
例题解析
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
直线的方向向量和平面的法向量
为n=(x，y，z ) 则 由n ⋅ DA = 0 ，n ⋅ DE = 0得
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F = (0, , −1) 2 所以 D1 F ⊥ 平 面ADE
x + 0+ 0 = 0 =0， 则x =0，不妨取y = 1，得z = −2 1 1， x + y + 2 z = 0 所以n=( 0， - 2)
或AP = ta
用向量来表示点、直线、 一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑶平面 空间中平面 α 的位置可以由 α 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定. 条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 对于平面 α 上的任 存在有序 有序实数 一点 P ,存在有序实数 对 ( x , y ) ,使得
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 注意：这里的线线平行包括线线重合， 面平行包括线在面内，面面平行包 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合. 括面面重合.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 α, β 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ；
课时小结
一、平行关系： 平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ， 平面
α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线平行 l1 // l 2 ⇔ e1 // e 2 ⇔ e 1 = λ e 2 ；
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直线的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系一、直线的方向向量
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.
直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。
1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量
为()
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)
2．已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a＝(2,0，x)是直线l的一
个方向向量，则x＝________.
考点1直线的方向向量的求解及应用
【例1】(1)已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的
一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB
上一点，且满足AP∶PB＝3∶2，则直线AB的一个方向向量为
________，点P的坐标为________．
1．应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个．
2．利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的
位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置．
基础预备
1．若直线l1的方向向量a＝(1,3x，－2)，直线l2的方向向量b＝
(－2,2y,5)，且l1⊥l2，则xy＝________.
二、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面, 记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.
1.平面的法向量是非零向量;
2.一个平面的法向量不是唯一的，其所有法向量都互相平行
3.向量是平面的法向量，若∥，则有
例1已知点A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,5)，求平面ABC的一个
法向量．
[思路点拨]可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便
可得到单位法向量．
1．利用待定系数法求平面法向量的步骤
法向量。
的），求平面
（），（练习：已知单位ABC 3,5,4AC 1,2,2AB ==
考点2平面法向量的求解及应用
例2:在正方体1111ABCD A B C D -中，求
证：1DB 是平面1ACD 的法向量
变式：求平面1ACD 的一个法向量
2．求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个取特殊值，得
另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值
时，一定要注意这个坐标不为0.
练1 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，
SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平
面SBA 与平面SCD 的法向量．
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的
中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量．
确定平面的法向量通常有两种方法：
(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．
(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法
求解平面的法向量．
三、利用的方向向量与平面的法向量判断线面位置关系
5．利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关
[提示](1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．
(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直
线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．
(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)．
3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()
A．xOy平行B．xOz平行
C．yOz平行D．yOz相交
3．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系．
(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，ν＝(－3，－9，0)．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量AB →是直线l 的一个方向向量，则向量BA →也是l 的一个方
向向量．( )
(2)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量k a 也是直线l 的一个方向向量．( )
(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反．( )
(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．( )
(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量．( )
2．已知直线l 过A (3,2,1)，
B (2,2,2)，且a ＝(2,0，x )是直线l
的一个方向向量，则x ＝( ) A ．2 B ．－2
C ．3
D ．－3
3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 4．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量． 4.图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角
梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝
AB ＝BC ＝1，AD ＝12
，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量． 1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．
2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：
(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)；
(2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；
(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－
3)，u ＝(2,0,3)；
(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．
5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平
面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：
(1)直线AB 的方向向量；
(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．
2、如图所示，已知P 、Q 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．
证明：PQ ∥平面11CD B .
．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，求平面ABC 1的一个法向量．。