人教A版 利用空间向量证明空间中的位置关系 学案
人教A版 利用空间向量证明空间中的位置关系 学案
第七节立体几何中的向量方法第一课时利用空间向量证明空间中的位置关系知识体系必备知识1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.(3)确定平面的法向量①直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.②待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由错误!未找到引用源。
解方程组求得.(4)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2方向向量分别为n1,n2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=01.易错点:(1)直线方向向量的求法一般利用直线(线段)所在的向量作为方向向量,但是直线上的任意线段、与直线平行的线段都可以作为方向向量.(2)平面法向量的求法①先选取平面内任意两个不共线向量,再利用法向量与这两个向量垂直,数量积为零,构造方程组,赋值法求法向量.②选取平面内的向量时,应尽量选取“简单”“特殊”的向量,例如与坐标轴平行的向量、二面角的轴所在的向量,可以简化求法向量的运算过程.2.注意点:直线的方向向量、平面的法向量与线线、线面、面面位置关系(1)方向向量和法向量平行、垂直⇔线线和面面的平行、垂直.(2)方向向量和法向量平行⇔线面垂直.(3)方向向量和法向量垂直⇔线面平行.基础小题1.给出下列说法:①一条直线的单位方向向量是唯一的;②一个平面的单位法向量是唯一的;③已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),则平面ABC的一个单位法向量是(1,1,1);④已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是错误!未找到引用源。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)-高二数学(人教A版选择性必修第一册)
.
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
1.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：
(1)直线 l1，l2 的方向向量分别是
a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,
问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
如图.设正方体的棱长为1,则可求得
M 0,1,
1
2
,N
于是 =
1
2
1
2
,1,1 ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
,0,
1
2
,
1 =(1,0,1),
=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
+ = 0,
· 1 = 0,
则
得
+ = 0.
(2)平面α，β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；
(4)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
新知应用
解：
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
141用空间向量研究直线平面的位置关系任务单-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性
编号：NO.25 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系学科：高二数学 数学组 时间： 2024年 月 日★ 学习目标1、理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示；2、理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联；1、理解向量坐标法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的原理，并能简单应用 ★ 独学内化梳理空间中的平行与垂直：★ 合学探究1、(1)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k ＝______________.(2)若直线l 的方向向量为a ＝(2,0,4)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－1)，则直线l 与平面α的位置关系为________________.2.已知线段AB 的两端点坐标为A(9,3,4),B(9,2,1),则直线AB( )A.与坐标平面xOy 平行B.与坐标平面yOz 平行 空间中直线与直线平行 空间中直线与平面的平行 空间中平面与平面的平行12//u u λ⇔∃12u u λ=.u 是直线l n 是平面α的法向量，l α⊄，则 1//0l u n u n α⇔⊥⇔=⋅12,n n 分别是平面量，则 12////n n βλ⇔⇔∃12n n λ=.l 1的方向向量为，a 2，a 3)，直线l 2的方向向量为v ＝(b 1，b 2，b 3)，2⇔u ·v ＝0⇔a 1b 1a 3b 3＝0b ，c )，平面α的法向量是n ＝(a 2，b 2，c 2)，C.与坐标平面xOz平行D.与坐标平面yOz相交3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点, 求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1 F.★检学作业1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.。
高二数学人教A版2019选择性导学案1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系(第1课时)_1
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时）导学案学习目标1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.会求直线的方向向量与平面的法向量.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.4.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断．重点难点●重点：会求直线的方向向量与平面的法向量●难点：能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系课前预习自主梳理知识点一空间中点、直线和平面的向量表示1．空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．2．空间中直线的向量表示式：如图，a是直线l的方向向量，点A和点P为直线l上的点，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得．②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由唯一确定．3．空间平面的向量表示式：取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由唯一确定．4．平面的法向量：直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的．给定一个点A 和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 ．思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？提示 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或法向量．知识点二 空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示:设12,u u 分别是直线12,l l 的方向向量,则12//l l ⇔⇔,使得.2.线面平行的向量表示:设u 是直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量, l α⊄,则//l α0u n u n ⇔⊥⇔⋅=3.面面平行的向量表示:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量,则12////n n αβ⇔,λ⇔∃∈R 使得. 自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反． ( )(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行． ( )(3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行． ( )(4)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量ka 也是直线l 的一个方向向量．( ) 2.已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是 （ ） A ．(1,1,1)--- B ．(1,1,1)- C ．(1,1,1)- D ．(1,1,1)-3.若平面//αβ，且平面α的一个法向量为1(2,1,)2=-n ，则平面β的法向量可以是（）A ． 11(1,,)24-- B ．()2,1,0- C ．()1,2,0 D ． 1(,1,2)24.以下真命题共有___________个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.新课导学学习探究环节一：创设情境,引入课题引导语：我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题．环节二：观察分析,感知概念1．空间中点、直线和平面的向量表示我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．教师引导学生思考下列问题：问题1：如何确定一个点在空间的位置？思考：如何用向量表示空间中的一个点．如图,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量．环节三：抽象概括,形成概念问题2：在空间中给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一条直线在空间中的位置吗？思考我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线．如何用向量表示直线用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点．如图,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得进一步地,如图,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．你能证明这个结论吗？环节四：辨析理解,深化概念问题3：给一个定点和两个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？思考一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定,如何用向量表示这个平面？我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用．进一步地,如图1.45,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．问题4：给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面．如图1.46,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector ）．给定一个点A 和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合． 如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系?环节五：课堂练习,巩固运用例1如图1.47,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面的法向量； （2）求平面的法向量．求平面的法向量,通常只需要求出平面的一个法向量,求直线的方向向量也是如此．环节六归纳总结,反思提升请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时,涉及的数学核心素养？1.本节学习了① 空间中点的向量表示；② 直线的向量表示；③ 平面的法向量的求法④ 平面的法向量的求法2.涉及的数学核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算。
人教A版 选择性必修第一册 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件(12张)
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
a
b
P
v
n
1.2.2
空间中的平面与空间向量
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
=(0,2,-1),
∵ ∥ ,∴y(-1)-2(z-1)=0,①
∵=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量,
又=(-1,y-1,z),CE∥平面 PAB,∴ ⊥ ,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.
1
∴y=1,代入①得 z=2,∴E 是 PD 的中点,
∴当点 E 为 PD 中点时,CE∥平面 PAB.
面面平行
设n1 , n2分别是平面，的法向量，则 ∥ n1 // n2
R, 使n1 n2
2.思想方法总结
（1）向量的代数法 、几何法 （2）三点共线（3）转化与化归
0 1,
设点P满足B1 P B1C，
则B1 P 3 ,0,2 ，所以
A1 P A1 B1 B1 P 3 ,4,2
D1z
A1
C1
B1
O
A
x
1
令n A1 P 0，得 12 12 12 0，解得 ，
2
1
归纳总结
1.知识总结
位置关系
向量表示
线线平行
用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
B
所以A1C是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C 平面BDD1B1 .
例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直．
已知：如图, l , l , 求证： .
证明：取直线l的方向向量u, 平面的法向量n. 因为l , 所以u是平面的法向量.
中点, F是BC的中点. 求证：平面EAD1 平面EFD1.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1, 0, 0), D1(0, 0, 1), E(0,1, 0),
F
1 2
, 2, 0 ,
AD1
(1, 0,1),
AE
(1,1, 0),
ED1
z
(0, 1,1),
EF
1 2
,1,
0
设n1 ( x1, y1, z1 )是平面EAD1的法向量,
那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行 、垂直关系呢？
首先来看平行的问题．
环节二：观察分析，感知概念
知识点1：空间中直线、平面的平行
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面 的关键量．
那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？ 首先来看平行的问题．
思考 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到
EF n,
DE
C y
又EF 平面ACD1, EF / / 平面ACD1. A
B
x
环节四：辨析理解，深化概念
知识点2：空间中直线、平面的垂直
思考 类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
新教材高中数学第一章空间向量与立体几何 用空间向量研究直线平面的位置关系学案人教A版选择性必修第一册
用空间向量研究直线、平面的位置关系【学习目标】1. 空间中点、直线、平面的向量表示 （1）点的向量表示在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示。
我们把向量OP →称为点P 的。
(2)直线的向量表示(3)通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：2.在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ,y ,z )；(2)找出(求出)平面内的两个的向量a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组,取其中的,即得平面的一个法向量． 3. 空间中直线、平面的平行设直线l ,m 的方向向量分别为a ,b ,平面α,β的法向量分别为μ,v ,则4. 空间中直线、平面的垂直设直线l的方向向量为a＝(a1,b1,c1),直线m的方向向量为b＝(a2,b2,c2),平面α的法向量μ＝(a3,b3,c3),平面β的法向量为v＝(a4,b4,c4),则线线垂直l⊥m⇔⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔【小试牛刀】1.判断正错(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行．()(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a＝(1,2,－2),b＝(－2,3,2),则l1⊥l2.()(3)平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(4)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直．()(5)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直．()2．若A(1,0,－1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )A．(2,2,6) B．(－1,1,3)C．(3,1,1) D．(－3,0,1)3．已知平面α的法向量为a＝(1,2,－2),平面β的法向量为b＝(－2,－4,k),若α⊥β,则k等于( ) A．5 B．4 C．－4 D．－5【经典例题】题型一求平面的法向量例 1 如图所示,在四棱锥S－ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC＝90°,SA⊥底面ABCD,且SA＝AB＝BC＝1,AD＝12,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量．[跟踪训练] 1 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量．题型二空间中直线、平面的平行问题注意：利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题．例2 已知u是平面α的一个法向量,a是直线l的一个方向向量,若u＝(3,1,2),a＝(－2,2,2),则l与α的位置关系是________．例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[跟踪训练] 2 在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.题型三空间中直线、平面的垂直问题例4 如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,AA1＝4,求证：AC⊥BC1.例5 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在直线AE 上求一点M ,使得A 1M ⊥平面AED .[跟踪训练]3 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .【当堂达标】1．下列命题中,正确命题的个数为( )①若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量,a 是直线l 的方向向量,若l 与平面α平行,则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知a ＝(2,4,5),b ＝(3,x ,y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2,则( ) A ．x ＝6,y ＝15 B ．x ＝3,y ＝152C ．x ＝3,y ＝15D ．x ＝6,y ＝1523．设直线l 1,l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1),b ＝(3,－2,m ),若l 1⊥l 2,则m 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．6 D ．104．设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为b ,若a ·b ＝0,则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→.6．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2),b ＝(x ,－2,3),且α⊥β,则x ＝________. 7．在三棱锥S －ABC 中,∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°,AC ＝2,BC ＝13,SB ＝29,则异面直线SC 与BC 是否垂直________．(填“是”或“否”)8. 如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD ⊥CD ,AB ∥CD ,AB ＝AD ＝2,CD ＝4,M 为CE 的中点． (1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：BC ⊥平面BDE ； (3)证明平面BCE ⊥平面BDE .【参考答案】【自主学习】1.位置向量方向向量方向向量2.不共线一组解3. a ∥ba ·μ＝0μ＝k v (k ∈R )4. a·b ＝0a ＝k μ(k ∈R )a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 【小试牛刀】 1.√√×√√2. A 解析 ∵A ,B 在直线l 上,∴AB →＝(1,1,3),与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量． 3. D 解析 ∵α⊥β,∴a ⊥b ,∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0,∴k ＝－5. 【经典例题】例1 解 以A 为坐标原点,AD ,AB ,AS 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0,C (1,1,0),S (0,0,1),则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0,DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ,y ,z )为平面SDC 的一个法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2,得y ＝－1,z ＝1,故平面SDC 的一个法向量为(2,－1,1)．[跟踪训练] 1解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 由题意知AB →＝(－1,1,0),BC →＝(1,0,－1)．∵n ⊥AB →,n ⊥BC →,∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1,则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．例2 l ⊂α或l ∥α解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ,所以l ⊂α或l ∥α.例3 证明 (1)以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ,则有D (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),C 1(0,2,2),E (2,2,1),F (0,0,1),B 1(2,2,2),所以FC 1-→＝(0,2,1),DA →＝(2,0,0),AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1,y 1,z 1)是平面ADE 的法向量,则n 1⊥DA →,n 1⊥AE →, 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2,则y 1＝－1,所以n 1＝(0,－1,2)． 因为FC 1-→·n 1＝－2＋2＝0,所以FC 1-→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ,所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1-→＝(2,0,0),设n 2＝(x 2,y 2,z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1-→,n 2⊥C 1B 1-→, 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1-→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1-→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2,得y 2＝－1,所以n 2＝(0,－1,2), 因为n 1＝n 2,所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .[跟踪训练] 2 证明 如图所示,建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设PD ＝DC ＝a .方法一连接AC ,交BD 于点G ,连接EG ,依题意得D (0,0,0),A (a,0,0),P (0,0,a ),E (0,a 2,a2)．因为四边形ABCD 是正方形,所以G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为(a 2,a2,0),所以EG →＝(a 2,0,－a 2)．又PA →＝(a,0,－a ),所以PA →＝2EG →,这表明PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ,且PA ⊄平面EDB ,所以PA ∥平面EDB .方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),DE →＝(0,a 2,a 2),EB →＝(a ,a 2,－a 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2y ＋z ＝0，ax ＋y 2－z2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令y ＝－1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1,－1,1),又PA →＝(a,0,－a ),所以n ·PA →＝(1,－1,1)·(a,0,－a )＝a －a ＝0.所以n ⊥PA →.所以PA ∥平面EDB . 例4 证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,∴AC ,BC ,C 1C 两两垂直．如图,以C 为坐标原点,CA ,CB ,CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系Cxyz . 则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0),∵AC →＝(－3,0,0),BC 1-→＝(0,－4,4),∴AC →·BC 1-→＝0.∴AC ⊥BC 1.例5 (1)证明 以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2,则D (0,0,0),A (2,0,0),E (2,2,1),F (0,1,0),A 1(2,0,2),D 1(0,0,2), ∴DA →＝D 1A 1-→＝(2,0,0),DE →＝(2,2,1),D 1F -→＝(0,1,－2)． 设平面AED 的一个法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，n 1·DE →＝x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0.令y 1＝1,得n 1＝(0,1,－2)．同理,平面A 1FD 1的一个法向量为n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝(0,1,－2)·(0,2,1)＝0,∴n 1⊥n 2, ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)解 由于点M 在直线AE 上,因此可设AM -→＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ,λ), 则M (2,2λ,λ),∴A 1M -→＝(0,2λ,λ－2)．要使A 1M ⊥平面AED ,只需A 1M -→∥n 1,即2λ1＝λ－2－2,解得λ＝25.故当AM ＝25AE 时,A 1M ⊥平面AED .[跟踪训练]3 证明 方法一 如图取D 为坐标原点,DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2,则O (1,1,0),A 1(2,0,2),G (0,2,1),B (2,2,0),D (0,0,0), ∴OA 1→＝(1,－1,2),OB →＝(1,1,0),BG →＝(－2,0,1), 而OA 1→·OB →＝1－1＋0＝0,OA 1→·BG →＝－2＋0＋2＝0. ∴OA 1→⊥OB →,OA 1→⊥BG →,即OA 1⊥OB ,OA 1⊥BG , 而OB ∩BG ＝B ,∴OA 1⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后,设面GBD 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧BG →·n ＝0BD →·n ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0－2x －2y ＝0,令x ＝1得z ＝2,y ＝－1,∴平面GBD 的一个法向量为(1,－1,2),显然A 1O →＝(－1,1,－2)＝－n , ∴A 1O →∥n ,∴A 1O ⊥平面GBD . 【当堂达标】1. C 解析 ①中平面α,β可能平行,也可能重合,结合平面法向量的概念,可知②③④正确．2. D 解析 由l 1∥l 2得,23＝4x ＝5y ,解得x ＝6,y ＝152.3. D 解析 ∵l 1⊥l 2,∴a ·b ＝0,∴－2×3－2×2＋m ＝0,∴m ＝10.4. D 解析 ∵a ·b ＝0,∴l ⊂α或l ∥α.5. ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ,B 1B ⊥平面ABC ,∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量． 6. －4解析 ∵α⊥β,∴a ·b ＝0,∴x －2＋2×3＝0,∴x ＝－4.7.是解析 如图,以A 为坐标原点,AB ,AS 所在直线分别为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系Axyz ,则由AC ＝2,BC ＝13,SB ＝29, 得B (0,17,0),S (0,0,23),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0, SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，－23,CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0,所以SC ⊥BC .8. 证明 ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ,AD ⊥ED ,ED ⊂平面ADEF , ∴ED ⊥平面ABCD .以D 为坐标原点,DA →,DC →,DE →分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,4,0),E (0,0,2),F (2,0,2)． (1)∵M 为EC 的中点,∴M (0,2,1),则BM →＝(－2,0,1),AD →＝(－2,0,0),AF →＝(0,0,2), ∴BM →＝AD →＋12AF →,故BM →,AD →,AF →共面．又BM ⊄平面ADEF ,∴BM ∥平面ADEF .(2)BC →＝(－2,2,0),DB →＝(2,2,0),DE →＝(0,0,2), ∵BC →·DB →＝－4＋4＝0,∴BC ⊥DB . 又BC →·DE →＝0,∴BC ⊥DE .又DE ∩DB ＝D ,DB ,DE ⊂平面BDE ,∴BC ⊥平面BDE .（3）证明 由(2)知BC ⊥平面BDE ,又BC ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面BDE .。
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第七节立体几何中的向量方法
第一课时利用空间向量证明空间中的位置
关系
知识体系
必备知识
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
(3)确定平面的法向量
①直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.
②待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的法向量为
n=(x,y,z),由错误!未找到引用源。
解方程组求得.
(4)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示
直线l1,l2的l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2
方向向量
分别为
n1,n2
l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方
向向量为
n,平面α
的法向量
为m
l∥αn⊥m⇔n·m=0
l⊥αn∥m⇔n=λm
平面α,β
的法向量
分别为n,m
α∥βn∥m⇔n=λm
α⊥βn⊥m⇔n·m=0
1.易错点:
(1)直线方向向量的求法
一般利用直线(线段)所在的向量作为方向向量,但是直线上的任意线段、与直线平行的线段都可以作为方向向量.
(2)平面法向量的求法
①先选取平面内任意两个不共线向量,再利用法向量与这两个向量垂直,数量积为零,构造方程组,赋值法求法向量.
②选取平面内的向量时,应尽量选取“简单”“特殊”的向量,例如与坐标轴平行的向量、二面角的轴所在的向量,可以简化求法向量的运算过程.
2.注意点:直线的方向向量、平面的法向量与线线、线面、面面位置关系
(1)方向向量和法向量平行、垂直⇔线线和面面的平行、垂直.
(2)方向向量和法向量平行⇔线面垂直.
(3)方向向量和法向量垂直⇔线面平行.
基础小题
1.给出下列说法:
①一条直线的单位方向向量是唯一的;②一个平面的单位法向量是唯一的;③已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),则平面ABC的一个单位法向量是(1,1,1);④已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是错误!未找到引用源。
.其中正确的说法有
________(只填序号).
【解析】一条直线的单位方向向量与一个平面的单位法向量有2个,它们是相反向量,故①,②错误;
对于③,平面ABC的单位法向量是(0,0,1)或(0,0,-1),故③错误;
对于④,=(-1,1,0),=(-1,0,1),
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则即错误!未找到引用源。
取n=(1,1,1),则平面ABC的一个单位法向量为错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,故④正确. 答案:④
2.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为
n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.P(2,3,3)
B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0)
D.P(3,-3,4)
【解析】选A.逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.
3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.(-1,1,1)
B.(1,-1,1)
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选C.设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
则化简得错误!未找到引用源。
所以x=y=z.结合选项知选C.
4.(教材改编)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果= (2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.(填序号)
【解析】由·=-2-2+4=0,所以⊥,所以AB⊥AP,所以①正确; 由·=-4+4+0=0,所以⊥,所以AP⊥AD,所以②正确;
由⊥,AP⊥AD,AB∩AD=A,知是平面ABCD的法向量,故③正确; 由=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),
所以与不平行,故④错误.
答案:①②③
5.直线l的方向向量s=(-1 ,1 ,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x=________.
【解析】由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±错误!未找到引用源。
.
答案:±错误!未找到引用源。
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M 是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.
【解析】以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M错误!未找到引用源。
,O错误!未找到引用源。
,
N错误!未找到引用源。
.·=错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=0,
所以ON与AM垂直.
答案:垂直。