11-5重积分习题课

2014年6月8日星期日
《高等数学》第十一章 习题课
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算 例 试用三种坐标系分别计 I z dv, : x y z z .

z
2
Dz
解法1. 直角坐标系(切片法)
Dz : x 2 y 2 2z z 2 ; 0
1
z 2.
I
2
提示:由于被积函数缺 x , y ,
z
R
R 2
利用“先二后一”计算方便 . 原式 =
x
R
2
2
o
y

R 2
0
R 2
d z z dxdy R d z z dxdy
2 D1 z D2 z
z (2 R z z ) d z z 2 ( R2 z 2 ) d z
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 , 利用对称性,得
I ( x x y e
2 D x2 y2
)dxdy ,
y
x2 y2
x dxdy x y e
2 D
D1
dxdy dxdy
x y e
D2
x2 y2
yx o D2 1 x D1 1 y x
0
zd dz Dz
o
2
y

2
0
4 . z (2z z )dz 3
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x
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算 例 试用三种坐标系分别计 I z dv, : x y z z .

z
2
注：
直角坐标系（先一后二）


(b a) f 2 ( x)d x =右 a
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b
2ab a 2 b 2
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例 设函数 f (x) 连续且恒大于零, f ( x y z )dv
2 2 2
F (t )
( t )
z
D( t )
f ( x
2
在 (0,) 上 F (t ) 0, 故 F (t ) 在 (0,) 上单调增加.
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(2) 问题转化为证
0 G (t )
t 2
2
d f (r )r d r f (r 2 )r d r 0 0 t t 2 2 2 f (r ) d r f (r ) d r
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解法2. 柱面坐标系计算
a
y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y

提示: 左端积分区域如图,
交换积分顺序即可证得.
2 2 2
a
D
yx
z ln( x y z 1) 例 求 dv , 其中是 2 2 2 x y z 1
2 0 0
t
t
即证 g (t ) 0 f (r )r d r 0 f (r
2
t
2
2 2 ) d r f (r )r d r 0 0
t
因
2 2 g (t ) f (t ) f (r )(t r ) d r 0 2 0
t
故 g (t ) 在 (0, ) 单调增,又因 g (t ) 在t 0 连续 , 故有 g (t ) g (0) 0 (t 0) 2 因此 t > 0 时, F (t ) G (t ) 0 .
a a
D
b
b
1 [ f 2 ( x ) f 2 ( y )] dxd y 2 D
a xb D: a y b


1 b 2 a

dy
b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a


b a b f 2 ( x)d x b f 2 ( y )d y 利用 2 a a
2 t t
2
y )d
2
D(t )
G(t )
D( t )
f ( x
y )d
2 2
f ( x )dx
2 2 2
x
2
o (t )
t y
其中 (t ) {( x, y, z ) x y z t },
D(t ) {( x, y ) x 2 y 2 t 2 }.
面积为: 形心坐标
1 x xdxdy A D 1 y ydxdy A D
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5 x A 3 y A
[5 (1) 3 2] A 9
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2 2 例 计算二重积分 I ( x y 2 xy 2 )dxdy, D
11 543 15
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或形心公式简化计算 分块积分法
3. 消去被积函数绝对值符号
利用对称性
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例 证明:
0 d y
2 2

t
0
0 2
d f (r 2 )r d r
0
0 t

2 f (r 2 )r 2 d r
t
0
0 t
f (r 2 )r d r
两边对 t 求导, 得
F (t ) 2
t f (t ) f (r 2 )r (t r ) d r
2 0
t
0 f (r
t
2
)r d r
z x 的偶（奇）函数，则 y


f ( x, y , z )dv f ( x, y, z ) dv （ f ( x, y , z ) dv ）


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例
计算二重积分 所围成的闭区域.
其中D 为圆周 提示: 利用极坐标
原式
2 0
1 r2 2
d
0
10 3
250 r dr r 2 d x 3 2
5
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例. 计算积分
所围成. 提示:如图所示 D D 2 D1 ,
f ( x, y) x y 在 D2 内有定义且
，其中D 由
y
连续,所以
1 求 lim 4 F (t )， t 0 t
x2 y2 z 2 t 2

f ( x2 y2 z 2 ) d x d y d z
解: 在球坐标系下
4 f (r ) r d r
2 0
t
F (0) 0 ，利用洛必达法则与导数定义,得
2 f (t ) f (0) 4 f ( t ) t F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t0 t 0 t t 0 4 t
2 2 0
R
59 5 R 480
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R 2
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例
计算三重积分
其中是由 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
xoy平面上曲线
所围成的闭区域. xx 提示: 利用柱坐标 y r cos z r sin
z
o x
5 y
x5 : 0 r 10 0 2
其中D 为圆域
解:
在第一象限部分.
作辅助线 y x 将D分成
y 1
D1 , D2 两部分
( y x )dxdy ( x y )dxdy 2 dxdy
D1
D2
D1
yx
D2
o
D
1 x
2 ( 2 1) 3 2
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三、重积分的应用
1. 几何方面
面积(平面域或曲面域),体积,形心
2. 物理方面 质量,转动惯量,质心,引力 3. 其它方面
证明某些结论等
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例
证明
证:左 f ( x) dx f ( y ) d y f ( x ) f ( y ) dxd y
1 1 x 2
2
1
I dx
1 1 1
1 x 1 x
dy
1 1 x 2 y 2
2 2
1 1 x y
zdz
dx
2
o
y
1 x
2 2 2 1 x y dy 2

2
0
4 x . d 2 1 r rdr 0 3
1 2
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例
交换下列二次积分的次序：
解: 如图所示
1
y
1
x
D
o
1
f ( x , y )d
D
d x x 2 f ( x , y ) d y d x x f ( x , y ) d y