直线的法向量和点法式方程

A(x-x0)+B(y-y0)=0
记⑴ 公⑵ 式
2(x-3)+4(y-5)=0
P 0 (3,5)
n (2, 4)
2(x+3)-4(y－5)=0
P0 (3,5) n (2, 4)
n (2, 4)
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
布 置 作 业
补充（附加）
A
三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程
（3）BC边中线方程
B B E C
解： (1) 线段AC中点E (2,4) BE (2， 3)是l BE的一个方向向量 x4 y 1 AC中线所在直线方程为： 即3x 2 y 14 0 2 3 (2) d (1 ， 5)是BC中位线的一个方向向量 x2 y4 BC 中位线所在直线方程为： 即5x y 14 0 1 5 5 3 1 5 或AB中点F ( , ), FE ( ， )是l FE的一个方向向量 2 2 2 2 x2 y4 l FE的点方向式方程是：
口
答 练 习
n
(2,3)
v
(4,5)
画出符合要求的直线
1、经过点P0
y
P0
o
图1
x
画出符合要求的直线
2、垂直于非零向量 n
y
n
o
图2
x
画出符合要求的直线 3、既经过点P0又垂直于非零向量 y
n
P0
n
x
o
图3
公 式 推 导
P0(x0 , y0)
y
l
已知直线经过点P0(x0 ,y0 )， 一个法向量n=(A,B)， 求直线的方程
(1)直线 l 的方向向量不唯一．
已知点A( x1，y1 )和B( x2，y2 )是直线 l 上不同 两点( x1 x2且y1 y2 )，求直线 l 的方向向量．
方向向量 d ( x2 x1，y2 y1 )
探究:已知直线 l 经过点P(x0,y0), l 的一个向量
d =(u,v) , 求这条直线 l 的方程.
x
n A, B
o
直 线 的 点 法 式 方 程
熟 记 公 式
P0(x0 , y0)
o
y
l
直线经过点P0(x0 ,y0 )，
n A, B
一个法向量n=(A,B)， 则直线的点法式方程
x
A(x-x0)+B(y-y0)=0
直 线 的 点 法 式 方 程
公 式 推 导
P0(x0 , o y0 )
y
P(x, y)
n A, B
(1)向量P0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 )
(2)
P0 P
,
与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3)
P0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个 熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
n
= (－3,2), P(1，－5)，
n学 以 致 用来自例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。 解：中点c的坐标 y 2 4 1, 1 3-1 分析： , l
2
o
B
c
x
1c 3， 4 2 4 ， 6 点 法向量 AB
1.直线的方向向量
l
v1
v2
P2
P1 O
如图１中，非零向量 PP , P P , v , v 都是直线 l 的方向向量 1 2 2 1 1 2
图1
1.“直线的方向向量”的定义：与直线 l 平行的 非零向量 d 叫做直线 l 的一个方向向量;.
思考：
1、一条直线的方向向量是唯一的吗？
2、这些方向向量的位置关系是怎样的？
x 3 y 5 ① 3 4
②
答案：P(3,5), d （3， 4）
4( x 4) 7( y 6)
P(4,6), d （7， 4）
概 念 形 成
垂直 的非零向量叫做这 与一条直线 平行 法 条直线的方向向量 通常用 n 表示
思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？ 2、这些法向量的位置关系是怎样的？ 3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n 的位置关系是怎样的？
设直线 l 上任意一点Q( x , y ) 则P Q=( x-x0 , y-y0 ) // d =( u , v )
v(x x0 ) - u(y y0 ) = 0.
y
v (x-x0) = u(y-y0,) 当uv 0时,方程是: x x y y u v
0 0
Q
.
直线 l
o
P( x0 , y0 ) d = ( u,v )
中点坐标公式 代入直线的点法式方程 ,
x2 y1 y2 x1 得 , 2 2
法向量 AB
用 点 法 式求直线方程
2
x,y y x -4 (x-1)-6( y+1) =0
2 1 2 1
整理得
2x+3y+1 =0
学 以 致 用
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
1 2 5 2
例1 ．已知A(1， 2)、B(4， 1)、C(3， 6)为三角形三个顶点， (1)求AC中线所在直线的方程； (2)求BC中位线所在直线的方程．
l
o
的点向式方程为:
*当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是: *当 u 0, v 0 时,直线 l 的方程是:
x x0 y y 0 , (1) u v
x x0 y y0
（u,v中只有一个为零）
(4).观察下列方程，并指出各直线 必过的一点和它们的一个方向向量。
x
1.若直线 l 过点P(x0,y0),方向向量为 d (u,v).
则 v(x x0 ) = u(y y 0 ).
y P(x , y ) 0 0 d (u,v) x
v(x x0 ) - u(y y0 ) = 0.
*当 u v 0 时, 直线 l （u,V都不为零）
(2) Ax By C 0 一个方向向量： d ( B, A)
问 的充要条件是 a1b1 +a2b2 0 题 探 究
直线 的一个法向量n=(A,B),
两向量a(a1 ,a 2 ), b (b1 ,b2 )垂直
则直线 的一个方向向量v如何表示？
v (B, A)
或v (B, A)
学 以 的直线方程。 致 用
（x 0 , y 0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
解：代入直线的点法式方程, 得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0 整理得 3x+ 4y-11 =0 练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(－1，2)， =(3，－4) (2)
求线段AB的垂直平分线方程。
反 思 小 结
1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
3、利用直线的点法式方程可以解决
（1）已知直线上一点和直线的法向量 （2）求线段的垂直平分线方程 （3）求三角形一边的高线所在直线方程