直线的方向向量与法向量

3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 na 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 nb 0 a2 x b2 y c2 z 0
n

A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
Байду номын сангаас e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n ,那么过点A, l 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v (2,4,4) (3)u (2,3,5), v (3,1,4)
垂直 平行
相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ，则k= 4 ；若 -5 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= -8 . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= 4 .
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
l1
l2
三、平行关系：
e1
e2
线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1F 平面ADE
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2 1 1， x y 2 z 0 所以n=(0， - 2)
所以D1 F //n
巩固性训练1
量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6) 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB ， AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2) n 3 ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 y 4 x ∴ 即 ∴ ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6) ∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
l1
e1 e2
l2
线面垂直
l1 1 e1 // n1 e1 n1
l
e1
n1

若e (a1, b1, c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
证：设正方体棱长为 1，建立如图所示空 间坐标，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0 ， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
三、平行关系：
n1
1
2
n2
例4 如图，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，点 1 1 M , N 分别在对角线 BD, AE 上，且 BM BD, AN AE， 3 3 求证：MN // 平面CDE
F
z
N
E
A
D
y
M C
B
x
四、垂直关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 ,2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则

a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,e // n a2 b2 c2
面面垂直
1 2 n1 n2 n1 n1 0
n2
2
n1
1
例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,，
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n x，y，z）， （ 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB， AC n 其实平面的法向量不 是惟一的。 x，y，z） 2,1) 0， （ (2,
e1
l1
n1

设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 .
CD中点，求证：D1F 平面ADE 证明：设正方体棱长为1， 建立如图所示坐标系，则
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z)
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
则由n DA 0， DE 0得 n