初中几何导角问题
初中几何导角问题
几何导角基础技巧一．常见几何导角模型1.外角性质（小旗模型）如图（a ）：B A BCD ∠+∠=∠由 180=∠+∠+∠ACB B A 和180=∠+∠ACB BCD 得： B A BCD ∠+∠=∠2.“飞镖”模型如图（b ）：ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠证明思路：延长BD 交AC 于点E ，在CDE ∆和ABE ∆中，由BEC A ABD ∠=∠+∠和BDC ACD BEC ∠=∠+∠得： ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠3.“8”字模型如图（c ）：D C B A ∠+∠=∠+∠证明思路：由180=∠+∠+∠AOB B A ， 180=∠+∠+∠COD D C ，COD AOB ∠=∠可得，D C B A ∠+∠=∠+∠。
4.“内角平分线”模型点P 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点。
如图（d ）：A P ∠+=∠2190 证明思路：由“飞镖”模型可得：ACP ABP A P ∠+∠+∠=∠再利用角平分线的性质可得：）（A ACP ABP ∠-=∠+∠ 18021，进而可得：A P ∠+=∠2190 5.“内外平分线”模型点P 是ABC ∠和外角ACD ∠的角平分线的交点如图（e ）：A P ∠=∠21 证明思路：由“小旗”模型可得：P PBC PCD ∠+∠=∠，A PBC A ABC PCD ∠+∠=∠+∠=∠22即可得出：A P ∠=∠216.“外角平分线”模型点P 是外角CBF ∠和外角BCE ∠的角平分线的交点如图（f ）：A P ∠-=∠2190证明：)(180PCB PBC P ∠+∠-=∠)E F (21180CB BC ∠+∠-=)2(21180ACB ABC A ∠+∠+∠-=)180(21180+∠-=AA ∠-=2190技巧与方法三角形中倒角技巧及角分线重要结论几何倒角技巧：1.三角形内角和：三角形的内角和为180°2.三角形外角定理：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和3.角平分线：角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角4.直角三角形：直角三角形两锐角互余5.平行线：平行线的性质6等腰三角形：三角形等边对等角，底角相等7.四边形内角和：四边形内角和为360°8.三角形两大基本模型：“8字”模型和“飞镖”模型的角度关系9.方程思想：设角度为未知数，利用上述倒角技巧找出等量关系。
几何导角基础技巧
几何导角基础技巧
一．常见几何导角模型
1.外角性质（小旗模型）
如图（a ）：B A BCD ∠+∠=∠
由 180=∠+∠+∠ACB B A 和 180=∠+∠ACB BCD 得：
2.“飞镖”模型
如图（b ）：ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠
证明思路：
延长BD 交AC 于点E ，在CDE ∆和中，
BDC ACD ∠=∠+得：”字模型
D C ∠+∠=
180=∠AOB ，
COD AOB ∠=∠
D C ∠+。
“内角平分线”模型
的角平分线的交点。
A ∠+2
190 证明思路：由“飞镖”模型可得：
再利用角平分线的性质可得：
，进而可得：P +=∠2
190 “内外平分线”模型
的角平分线的交点
A ∠2
1 点P 是外角CBF ∠和外角BCE ∠的角平分线的交点
如图（f ）：A P ∠-=∠2
190 证明：)(180PCB PBC P ∠+∠-=∠
技巧与方法
三角形中倒角技巧及角分线重要结论
几何倒角技巧：
1.三角形内角和：三角形的内角和为180°
2.三角形外角定理：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和
3.角平分线：角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角
4.直角三角形：直角三角形两锐角互余
5.平行线：平行线的性质
6等腰三角形：三角形等边对等角，底角相等
7.四边形内角和：四边形内角和为360°
8.三角形两大基本模型：“8字”模型和“飞镖”模型的角度关系
9.方程思想：设角度为未知数，利用上述倒角技巧找出等量关系。
初中数学倒角模型讲解教案
初中数学倒角模型讲解教案一、教学目标：1. 让学生理解倒角的概念，掌握倒角的计算方法。
2. 培养学生运用倒角模型解决实际问题的能力。
3. 提高学生对初中数学几何知识的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 倒角的概念及分类2. 倒角的计算方法3. 倒角模型的应用三、教学过程：1. 导入：利用现实生活中的事物，如建筑物、道路等，引导学生发现其中的倒角现象，引发学生对倒角的兴趣。
2. 倒角的概念及分类：（1）倒角的概念：解释倒角的概念，即两条直线相交，形成的非相邻的两个角。
（2）倒角的分类：交叉倒角、相邻倒角、对顶倒角等。
3. 倒角的计算方法：（1）交叉倒角：交叉倒角的计算公式为：交叉倒角 = 180° - (角1 + 角2)。
（2）相邻倒角：相邻倒角的计算公式为：相邻倒角 = 180° - 角1 - 角2。
（3）对顶倒角：对顶倒角的计算公式为：对顶倒角 = 角1 = 角2。
4. 倒角模型的应用：（1）解决实际问题：利用倒角模型解决生活中的实际问题，如计算道路的夹角、建筑物的倾斜度等。
（2）几何证明：运用倒角模型进行几何证明，如证明两条直线平行、证明三角形全等等。
5. 练习与巩固：设计一些有关倒角的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
6. 总结与拓展：总结本节课所学内容，强调倒角的概念、计算方法和应用。
拓展学生思维，引导学生发现倒角在其他学科和生活中的应用。
四、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生的掌握程度。
3. 课后反馈：收集学生的课后反馈，了解学生对倒角模型的理解和应用情况。
五、教学资源：1. 课件：制作倒角模型的课件，展示倒角的概念、计算方法和应用。
2. 练习题：设计一些有关倒角的练习题，巩固学生的知识。
3. 现实生活中的例子：收集一些现实生活中的倒角现象，作为教学素材。
数学初中教材几何题解析
数学初中教材几何题解析几何题在初中数学教材中占有重要位置，不仅需要掌握几何图形的性质和基本概念，还需要解答各种几何问题。
本文将对几何题的解析方法和技巧进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握几何知识。
一、线段和角的相关问题1. 设AB为一线段，P为AB的中点，若AP=4cm，BP=6cm，求线段AB的长度。
解析：由题意可知，AP=BP，所以AB是AP的两倍，即AB=2*AP=2*4cm=8cm。
2. 已知△ABC中，∠B=90度，AC=6cm，BC=8cm，求∠A和∠C 的度数。
解析：由三角形的性质知，∠A+∠C+∠B=180度，又已知∠B=90度，所以∠A+∠C+90度=180度，化简得∠A+∠C=90度。
又由正弦定理知，sin∠A/AC=sin∠C/BC，代入已知数据可得sin∠A/6cm=sin∠C/8cm，解得∠A=30度，∠C=60度。
二、平行四边形和三角形的相关问题1. 设ABCD是一个平行四边形，E为BC的中点，若AD=8cm，BE=5cm，求AC的长度。
解析：由平行四边形的性质知，BE=AD，所以AC是BE的两倍，即AC=2*BE=2*5cm=10cm。
2. 在△ABC中，AB=AC，BD为角A的平分线，AC=6cm，BD=4cm，求△ABC的周长。
解析：由题意可知，△ABC是一个等边三角形，即AB=AC=BC=6cm，所以△ABC的周长为6+6+6=18cm。
三、相似三角形和比例的运用1. 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，且AB/DE=2/3，BC/EF=5/6，求AC/DF的值。
解析：根据相似三角形的定义，对应角相等，且对应边的比例相等，所以AB/DE=BC/EF=AC/DF，代入已知数据可得AC/DF=(AB/DE)*(EF/BC)=(2/3)*(6/5)=4/5。
2. 已知△ABC和△ADE相似，且AB=4cm，AC=6cm，AD=9cm，求AE的长度。
解析：根据相似三角形的定义，对应角相等，且对应边的比例相等，所以AB/AD=AC/AE，代入已知数据可得4/9=6/AE，解得AE=6*9/4=13.5cm。
三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型(学生版)
三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“飞镖”模型(“燕尾”模型)图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①∠BCD =∠A +∠B +∠D ；②AB +AD >BC +CD 。
条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12(∠A +∠C )。
条件：如图3，线段AO 平分∠DAB ，线段CO 平分∠BCD ；结论：∠O =12(∠D -∠B )。
飞镖模型结论的常用证明方法：1(2023·重庆·八年级专题练习)请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．(即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C =180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB =150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．2(2023·广东河源·八年级校考期末)(1)模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究∠ADB与∠A、∠B、∠C的数量关系并给出证明；(2)模型应用：如图2，DE平分∠ADB，CE平分∠ACB，∠A=24°，∠B= 66°，请直接写出∠E的度数．3(2022秋·广西八年级期中)如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=48°，∠D=10°，则∠P 的度数()A.19°B.20°C.22°D.25°4(2023·广东·八年级期中)如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：(1)AB+AC>AD+BC；(2)AB+AC>AP+BP+CP.5(2023·福建三明·八年级统考期末)如图1所示的图形，像我们常见的符号--箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：(1)观察“箭头四角形”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；应用：(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在ΔABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=60°，则∠ABX+∠ACX=；②如图°3，∠ABE、∠ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF相交于点F，若∠BAC=60°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数；拓展：(3)如图4，BO i，CO i分别是∠ABO、∠ACO的2020等分线(i=1，2，3，⋯，2018，2019)，它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、⋯、O2019．已知∠BOC=m°，∠BAC=n°，则∠BO1000C=度．模型2、风筝模型(鹰爪模型)图1图21)风筝(鹰爪)模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2)风筝(鹰爪)模型(变形)：结论：∠A+∠O=∠2-∠1。
专题 三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(学生版)
专题03三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①A B C D+<+。
∠+∠=∠+∠；②AB CD AD BC8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D∠例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．(1)如图1，线段AD ，BC 交于点E ，连接AB ，CD ，判断AD BC +与AB CD +的大小关系，并说明理由；(2)如图2，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上任意一点，在OA ，OB 上截取OE OF =，连接PE ，PF ．求证：PE PF =；(3)如图3，在ABC 中，AB AC >，P 为角平分线AD 上异于端点的一动点，求证：PB PC BD CD ->-．七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又(1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，说明：(2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：①如图3，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，度数．②在图4中，AP 平分BAD ∠的外角∠模型2、“A”字模型例4．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，DAE ∠的两边上各有一点,B C ，连接BC ，求证180DBC ECB A +∠=︒∠+∠．例5．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在ABC 中，40A ∠=︒，现将一块直角三角板放在ABC 上，使三角板的两条直角边分别经过点,B C ，直角顶点D 落在ABC 的内部，则ABD ACD +=∠∠（）．A ．90︒B ．60︒C ．50︒D ．40︒例6．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，若沿图中虚线剪去A ∠，则12∠+∠=__________；（2）如图2，在ABC 中，40A ∠=︒，剪去A ∠后成为四边形，则12∠+∠=__________；（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳12∠+∠与A ∠的关系是______________；（4）若没有剪去A ∠，而是将A ∠折成如图3的形状，试探究12∠+∠与A ∠的关系，并说明理由．解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．∠模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
人教版初中数学七年级上册教学课件 第四章 几何图形初步 角 角的比较与运算
课堂小结
比较 度量法；叠合法. 角 运算 度与度、分与分、秒与秒分别相加、减.分秒 相加时逢60要进位，相减时借1作60.
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
分析：∠AOB是 平角， ∠BOC=∠AOB-∠AOC .
解：由题意可知，∠AOB是平角， ∠AOB＝∠AOC＋∠BOC,
所以∠BOC＝ ∠AOB－∠AOC ＝180°－ 53°17′ ＝126°43′.
例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的 角（精确到分）?
解：360°÷7＝51°+3°÷7 ＝51°+180′÷7 ≈51°26′.
【课本P136 练习 第1题】
2. 估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法 检验.
【课本P136 练习 第2题】
3. 如图，把一个蛋糕等分成8份，每份 中的角是多少度？如果要使每份中的角 是15°，这个蛋糕应等分成多少份？
【课本P136 练习 第3题】
4. 如图，О是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线， ∠COD=31°28‘，求∠AOD的度数.
D C
E
A
O
B
2. 如果EC落在∠BOD的内部，那么∠AEC小 于∠BOD，记作∠AEC＜∠BOD.
C D
E
AO
B
3. 如果EC落在∠BOD的外部，那么∠AEC大于 ∠BOD，记作∠AEC＞∠BOD.
思考 图中共有几个角？它们之间有什么关 系？
图中共有 3 个角.
∠AOC是∠AOB与∠BOC的 和 .记作∠AOC= ∠AOB+∠BOC ；∠AOB是∠AOC与∠BOC的 差 ，记作：∠AOB=∠AOC-∠BOC ；类似地， ∠BOC= ∠AOC-∠AOB .
初一数学中的角的知识点
初一数学中的角的知识点角是几何中的一个重要概念，在初中数学中占有重要地位。
通过学习角的知识，我们可以更好地理解和解决与角相关的几何问题。
本文将从基本概念开始，逐步介绍初一数学中的角的知识点。
一、角的定义角可以简单理解为由两条射线或线段共同起点所形成的图形部分。
具体来说，如果两条射线或线段共同起点且不在同一条直线上，那么它们所夹的图形部分就是一个角。
角通常用大写字母表示，如∠ABC。
二、角的分类根据角的大小，角可以分为小于90度的锐角、等于90度的直角、大于90度小于180度的钝角以及等于180度的平角。
另外，小于90度的锐角和大于90度小于180度的钝角被称为锐钝角。
三、角的度量在初中数学中，我们通常用度来度量角的大小。
一个完整的角度被定义为360度，而直角为90度。
其他角的度数根据其大小进行度量，如锐角大于0度小于90度，平角为180度，钝角大于90度小于180度。
四、角的表示方法角可以通过不同的表示方法来进行描述和表示。
最常见的表示方法是用顶点和两条边的顺序来命名角，例如∠ABC表示以点B为顶点，边BA和BC为边的角。
此外，角还可以用一个字母来表示顶点，如∠A，当上下文明确时，也可以只用∠B来表示。
五、角的性质初一数学中，角有很多重要的性质。
以下是一些常见的角的性质：1.余角和补角：两个角互为余角当且仅当它们的和为90度；两个角互为补角当且仅当它们的和为180度。
2.对顶角：由两组对边所成的角相等，即∠A和∠C、∠B和∠D互为对顶角。
3.同位角：由两条平行线与一条相交线所形成的内角和外角互为同位角。
4.相邻角：由两条相交线所形成的两个角互为相邻角，它们的顶点和一条公共边重合。
5.顶角和底角：由两条平行线与一条横穿它们的直线所形成的内角和外角互为顶角和底角。
六、角的运算初一数学中，我们也需要进行一些简单的角的运算。
以下是一些常见的角的运算：1.角的加减法：当两个角的度数相等时，可以直接相加或相减；当两个角的和为90度或180度时，可以互为余角或补角。
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几何导角基础技巧
一.常见几何导角模型
1、外角性质(小旗模型)
如图(a):B A BCD ∠+∠=∠
由ο180=∠+∠+∠ACB B A 与ο180=∠+∠ACB BCD 得: B A BCD ∠+∠=∠
2、“飞镖”模型
如图(b):ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠
证明思路:
延长BD 交AC 于点E,在CDE ∆与ABE ∆中,
由BEC A ABD ∠=∠+∠与BDC ACD BEC ∠=∠+∠得: ACD A ABD BDC ∠+∠+∠=∠
3、“8”字模型
如图(c):D C B A ∠+∠=∠+∠
证明思路:由ο180=∠+∠+∠AOB B A ,
ο180=∠+∠+∠COD D C ,COD AOB ∠=∠
可得,D C B A ∠+∠=∠+∠。
4、“内角平分线”模型
点P 就是ABC ∠与ACB ∠的角平分线的交点。
如图(d):A P ∠+=∠21
90ο
证明思路:由“飞镖”模型可得:
ACP ABP A P ∠+∠+∠=∠
再利用角平分线的性质可得:
）（A ACP ABP ∠-=∠+∠ο18021,进而可得:A P ∠+=∠2
190ο 5、“内外平分线”模型
点P 就是ABC ∠与外角ACD ∠的角平分线的交点
如图(e):A P ∠=∠21
证明思路:由“小旗”模型可得:
P PBC PCD ∠+∠=∠,
A PBC A ABC PCD ∠+∠=∠+∠=∠22
即可得出:
A P ∠=∠21
6、“外角平分线”模型
点P 就是外角CBF ∠与外角BCE ∠的角平分线的交点
如图(f):A P ∠-=∠21
90ο
证明:)(180PCB PBC P ∠+∠-=∠ο
)E F (21
180CB BC ∠+∠-=ο
)2(21
180ACB ABC A ∠+∠+∠-=ο
)180(21
180οο+∠-=A
A ∠-=21
90ο
技巧与方法
三角形中倒角技巧及角分线重要结论
几何倒角技巧:
1、三角形内角与:三角形的内角与为180°
2、三角形外角定理:三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之与
3、角平分线:角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角
4、直角三角形:直角三角形两锐角互余
5、平行线:平行线的性质
6等腰三角形:三角形等边对等角,底角相等
7、四边形内角与:四边形内角与为360°
8、三角形两大基本模型:“8字”模型与“飞镖”模型的角度关系
9、方程思想:设角度为未知数,利用上述倒角技巧找出等量关系。