2013年高考数学选填压轴题(理科)含答案

高考理科数学选填压轴题训

题型一：集合与新定义 (2013福建理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )．D A ．A ＝N*，B ＝N

B ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}

C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝R

D ．A ＝Z ，B ＝Q

(2013广东理8)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈

X ，且三条件x ＜y ＜z ，y ＜z ＜x ，z ＜x ＜y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S

中，则下列选项正确的是( )．B

A ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∉S

B ．(y ，z ，w)∈S ，(x ，y ，w)∈S

C ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∈S

D ．(y ，z ，w)∉S ，(x ，y ，w)∉S 提示：特殊值法，令x=1,y=2,z=3,w=4即得。 题型二：平面向量

（2013北京理13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若

()c a b λμλμ=+∈R ，，则

λ

μ

= ．4 (2013湖南理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |

＝1，则|c |的取值范围是( )．A

A ．

1

1] B ．

1

2] C ．[1

1] D ．[1

2]

解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2

＋(y －1)2

＝1，|c |

可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1

为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO

1，P ′O

1，故选A ．

(2013重庆理10)在平面上，1AB ⊥2AB ，

|1OB |＝|2OB |＝1，AP ＝1AB ＋2AB .若|

OP

|＜

1

2

，则|OA |的取值范围是( )．D A

．0,2⎛ ⎝

⎦ B

．,22⎛ ⎝⎦ C

．2⎛ ⎝ D

．2

⎛ ⎝ 解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．

由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2

＋y 2

＝x 2

＋(y －b )2

＝1.

所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2

≥0.

由|OP |＜

12，得(x －a )2＋(y －b )2

＜14

， 即0≤1－x 2＋1－y 2

＜14.

所以74

＜x 2＋y 2

≤2，即2<≤所以|OA |

的取值范围是⎝，故选D ．

(2013山东理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝

λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．7/12

(2013天津理12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点. 若

1AC BE =, 则AB 的长为 .1/2

（2013浙江理17）设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈，若12,e e 的夹角

为

6π，则||

||

x b 的最大值等于________

。2 解：由已知得到：2

2

2

2

2

2

12||()||22

b b xe ye b x y xy ==+⇒=++⨯⇒

22

2

2

2||

x x b

x x

=

=

+，设

22

min 2

1(1)4||

y x t t x b =∴++=∴的最大值为4，所以答案是2。

（2013安徽理9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足

60BAD ︒∠=

2,OA OB OA OB ===则点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμ

λμ=++≤∈

所表示的

区域的面积是( )D

（A ）

（B ）

（C ） （D ）【解析】考察三点共线向量知识:

1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若PC PB PA P C B A .

在本题中，3

2cos 4cos ||||π

θθθ=⇒==⋅⋅=⋅OB OA OB OA .

建立直角坐标系，设

A(2,0),).

(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S

题型三：线性规划

（2013北京理8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪

+<⎨⎪->⎩

，

，表示的平面区域内存在点

()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）C A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝

⎭， C ．23⎛

⎫-∞- ⎪⎝⎭，

D ．53⎛

⎫-∞- ⎪

⎝

⎭， (2013广东理13)给定区域D ：44,

4,0.x y x y x +≥⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)

是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定__________条不同的直线．6

（2013广西理15）记不等式组0,

34,34,x x y x y ≥⎧⎪

+≥⎨⎪+≤⎩

所表示的平面区域为.D 若直线

()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .[1/2,4]

题型四：基本不等式

(2013山东理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2

－3xy ＋4y 2

－z ＝0，则当

xy

z

取得最大值时，212

x y z

+-的最大值为( )．B