高考数学选择题之压轴题

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2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)

2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。

新高考数学试卷选择压轴题

1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，若存在实数a，使得f(a) = 0，则f'(a)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 22. 设A、B是两个非空集合，且A∩B=∅，则下列结论正确的是（）A. A∪B=∅B. A∩B=∅C. A∪B=∅，A∩B≠∅D. A∪B≠∅，A∩B=∅3. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a4+a7=12，a1+a5+a9=27，则数列{an}的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 在锐角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，若BC=2，则AC的取值范围是（）A. (2，4]B. [2，4]C. (2，4)D. [2，4）5. 已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=81，则q的值为（）B. 3C. 4D. 66. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，g(x) = |x-1|，则f(x)在[0,2]上的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知数列{an}是等差数列，若a1+a4+a7=12，a1+a5+a9=27，则数列{an}的前n项和Sn为（）A. n(n+1)B. n(n+2)C. n(n+3)D. n(n+4)8. 在锐角三角形ABC中，∠A=30°，∠B=60°，若BC=2，则AC的取值范围是（）A. (2，4]B. [2，4]C. (2，4)D. [2，4）9. 已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），若a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=81，则q的值为（）A. 2C. 4D. 610. 设f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，g(x) = |x-1|，则f(x)在[0,2]上的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、解答题11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值。

高考数学选择填空压轴题45道(附答案)

,
D．
1,
27 e4
21．已知方程
e x 1
x
e2 x1 x aex1
有三个不同的根，则实数
a
的
取值范围为（）
A． 1,e
B．
e,
1 2
C． 1,1
D．
1,
1 2
22．函数 f (x) ex1 ex1 a sin （x x R ，e 是自然对数的底数，
a 0 ）存在唯一的零点，则实数 a 的取值范围为( )
38．若不等式 x e2x a x ln x 1恒成立，则实数 a 的取值范
围是__________.
39．已知函数 f x ln x e a x b ，其中 e 为自然对数的底
数.若不等式
f
x
0
恒成立，则
b a
的最小值为_______.
40．已知函数
f
(x)
x
2 cos
x
，在区间上
0,
4
A．
0,
2
B．
0,
2
C． (0,2]
D． (0,2)
23．已知 a 0 ，b R ，且 ex a(x 1) b 对 x R 恒成立，则 a2b 的最大值为（）
A． 1 e5
2
B． 1 e5
3
C． 1 e3
2
D． 1 e3
3
k
24．若关于
x
的不等式
1 x
x
1 27
有正整数解，则实数
16 12
7
4
x
x
3y 6 y
的最小值为________.
8
参考答案，仅供参考

高考数学压轴卷理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校〔全国卷Ⅰ〕2021年高考数学压轴卷理〔含解析〕一、选择题〔此题一共12道小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，那么A∩B=(). A.(2,3)B.[2,3)C.[－4,2]D.(－4,3)2.(1i)(2i)z =+-，那么2||z =〔〕 A.2i +B.3i +C.5D.103.假设向量a＝1,2⎛ ⎝⎭，|b |＝a ·(b －a )＝2，那么向量a 与b 的夹角为() A.6πB.4π C.3π D.2π 4.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为 A.8B.12C.16D.245.某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间〔3,6〕内的概率为〔〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．〕A.6%B.19%C.28%D.34%6.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭〞，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如下列图的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，那么①②③处可分别填入的是() A.17?,,+1is s i i i≤=-=B.1128?,,2is s i i i≤=-=C 17?,,+12is s i i i ≤=-= D.1128?,,22i s s i i i≤=-=7.变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么2z x y =+的最大值为〔〕 A.1 B.2 C.3 D.48.九章算术中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之〔其意为：使容量均匀递减〕，上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？〔〕 A.二升B.三升C.四升D.五升9.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，3,sin a c b A ===cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么b=() A.110..假设直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆014222=+-++y x y x 截得弦长为4，那么41a b +的最小值是〔〕A.9B.4C.12D.1411.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2px =交于E ，G 两点，假设1sin 3MFG ∠=，那么抛物线C 的方程是〔〕A.2y x = B.22y x =C.24y x = D.28y x =12.函数1,0(),0x x mf x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，假设方程23()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，那么m 的取值范围是〔〕A.(1,)+∞B.(0,1)(1,)⋃+∞C.31,2⎛⎫⎪⎝⎭D.331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题〔此题一共4道小题，每一小题5分，一共20分〕13.()0,θπ∈，且sin()4πθ-=，那么tan2θ=________．14.设m 为正整数，()2mx y +展开式的二项式系数的最大值为()21m a x y ++，展开式的二项式系数的最大值为b ，假设158ab =，那么m=______．15.函数()42423,0,3,0,x x ax x f x x x ax x ⎧-->=⎨-+<⎩有四个零点，那么实数a 的取值范围是__________．16.如图，六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，给出以下结论： ①PB AE ⊥；②直线//BC 平面PAE ； ③平面PAE⊥平面PDE；④异面直线PD 与BC 所成角为45°；⑤直线PD 与平面PAB 其中正确的有_______〔把所有正确的序号都填上〕三．解答题〔本大题一一共6小题.解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题12分〕△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，24sin 4sin sin 22A BA B -+=〔1〕求角C 的大小；〔2〕4b=，△ABC 的面积为6，求边长c 的值.18.〔本小题12分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面ABCD ，122BC CD AB ===，∠ABC=∠BCD=90°，E 为PB 的中点。

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)

2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，00h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a 0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)(学生版+解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-752.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4B.6C.325D.3653.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.10114.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=( )A.5B.22C.10D.51045.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，过F 1，F 2作圆O ：x 2+y 2=a 2的切线，四条切线围成的四边形F 1AF 2B 的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1C.x 22-y 22=1D.2x 23-2y 25=16.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+38.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0B.2C.1D.39.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1B.a >1C.1<a <4D.a >410.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1B.2C.3D.411.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13D.-23,100 12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.613.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-eB.a >-eC.a <-3D.a <-3或a >-e 14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316B.12或3316C.2D.1215.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.1716.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0)B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )试卷第2页，共38页A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-51299918.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<122.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为5723.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为13225.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为126.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.228.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( )A.0B.-12020C.-1eD.-1202329.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x ，g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且f x +g x =sin x +cos x2，则( )A.f x =cos2xB.g x =sin2xC.f g x <g f xD.f g x >g f x30.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)定义一：关于一个函数f x x ∈D ，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得在x ∈D 时，kx +m 1≤f x ≤kx +m 2恒成立，则称函数f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数x 0，使得函数f x 在x 0,+∞ 内有一个宽度为ε的通道，则称f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函试卷第2页，共38页数为( )A.f x =ln xB.f x =sin xx C.f x =x2-1 D.f x =e-x31.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)对∀x∈R，x 表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=x 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是( )A.∀x∈R，x<x +1B.y=x ，x∈R的奇函数C.函数y=x-x x∈R的值域为0,1D.∀x,y∈R,x +y ≤x+y恒成立32.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)函数f(x)=e x x+ln x-x，下列结论正确的是( )A.函数f(x)有且仅有一个零点B.x=1是函数f(x)的极值点C.若f(x)≥a恒成立，则a∈-∞,e-1D.若f x1=f x2且x1≠x2，则x1+x2>133.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N∗)的非负整数，它的概率分布列为：X0123⋯nP p0p1p2p3⋯p n其中p i(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅,n)满足p i∈0,1，ni=0p i=1．E X 为随机变量X的期望．定义由X生成的函数f x =p0+p1x+p2x2+⋅⋅⋅+p n x n，g x 为函数f x 的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由生成的函数为f x ，则( )A.g0 =p1B.f1 <p0+1C.f2 =2254D.E X =g134.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)若6a=2，6b=3，则下列不等关系正确的有( )A.b a>1B.ab<14C.a2+b2<12D.1a b+13b>235.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )A.该椭圆的离心率为3-12B.该椭圆的离心率为2-3C.该椭圆的焦距为32-63D.该椭圆的焦距为23-136.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知函数f x =e x+e-x-cos2x，若f x1>f x2，则( )A.f x 为偶函数B.f x 在-∞,0上为增函数C.x21>x22D.e x1-x2>137.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知a =(cos x ,sin x ),b =(cos x ,3cos x )，函数f (x )=a ⋅b，则下列选项正确的是( )A.函数f (x )的值域为-12,32B.将函数y =sin x +12图像上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π12个单位长度，可得函数f (x )图像C.函数f (x )是奇函数D.函数f (x )在区间[0,2π]内所有零点之和为14π338.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =2x +2,-2≤x ≤1ln x -1,1<x ≤e，若关于x 的方程f x =m 恰有两个不同解x 1,x 2x 1<x 2 ，则(x 2-x 1)f x 2 的取值可能是( )A.-3B.-1C.0D.239.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f x =e x 2x -1x -1，则下列结论正确的是( )A.不等式f x <0的解集为12,1 B.函数f x 在0,1 单调递减，在32,+∞ 单调递增C.函数f x 在定义域上有且仅有两个零点D.若关于x 的方程f x =m 有解，则实数m 的取值范围是-∞,1 ∪32,+∞ 40.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=xe x，过点(a ,b )作曲线f (x )的切线，下列说法正确的是( )A.当a =0，b =0时，有且仅有一条切线B.当a =0时，可作三条切线，则00时，可作两条切线D.当0<a <2时，可作两条切线，则b 的取值范围为4-a e 2或aea 三、填空题41.(2022·广东佛山·高三阶段练习)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是____________．42.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1+a 2+⋯+a n -1-a n =-2(n ≥2且n ∈N ∗)，且a 2=4，则a n =___________．43.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，BD 交AC 于E ，AB =2，则AE =__________.试卷第2页，共38页44.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2A 1B 1，且存在一个半径为r 的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R ，则Rr=__________．45.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知P 1，P 2是曲线C :y =2|ln x |上的两点，分别以P 1，P 2为切点作曲线C 的切线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，切线l 1交y 轴于A 点，切线l 2交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.46.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)对于集合A ，B ，定义集合A -B ={x |x ∈A 且x ∉B }. 己知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足a 1=4，b 1=2，b n +2=b n +1+2b n ，a 3=b 3+2．设数列{a n }和{b n }中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A -B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，则数列{c n }的前30项和S 30=_________.47.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x =log a 2x 2+x a >0且a ≠1 在区间0，12内恒有f x >0，则f x 的单调递增区间为_________.48.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x +1 ,x >012x +1,x ≤0，若m <n ，且f m =f n ，则n -m 的取值范围是________．49.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PB =4,AD =22，当AB ⋅PD 最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.50.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知F 是抛物线C :y 2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM的延长线交y 轴于点N ，若3FM =2MN，则FN =___________.51.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA 21+PA 2 2+⋯+PA 28的取值范围是_______．52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (其中a 为常数)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，若f (x 1)>mx 2恒成立，则实数m 的取值范围是______.53.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若曲线y =a ln x +x 2a >0 的切线的倾斜角的取值范围是π3,π2 ，则a =______.四、双空题54.(2022·广东深圳·高三阶段练习)在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，动点P x ,y ,z 同时满足下列两个条件：①0≤x ,y ,z ≤1；②x 2+y 2+z 2>1.设所有动点P 构成的几何体Γ的表面积为S ，体积为V ，则V =______，S =______.55.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)设函数f x =2x -a ,x <1,4x -a x -2a ,x ≥1. ①若a =1，则f x 的最小值为________；②若f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．试卷第2页，共38页2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-75【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为a cos α-sin α ，故a 2cos α-sin α 2a 2=14，故1-2sin αcos α=14，即sin αcos α=38⇒sin αcos αsin 2α+cos 2α=38⇒tan αtan 2α+1=38⇒3tan 2α-8tan α+3=0，解得tan α=4-73或tan α=4+73.因为0°<α<45°，则0<tan α<1，故tan α=4-73.故选：A2.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4 B.6C.325D.365【答案】C【解析】因为一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，所以14(x 1+x 2+x 3+x 4)=3，14[(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2]=2，所以x 1+x 2+x 3+x 4=12，(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=8，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的平均数为151+(2x 1-5)+(2x 2-5)+(2x 3-5)+(2x 4-5) =151+2(x 1+x 2+x 3+x 4)-20=15×(1+24-20)=1，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的方差为15(1-1)2+(2x 1-5-1)2+(2x 2-5-1)2+(2x 3-5-1)2+(2x 4-5-1)2 =15(2x 1-6)2+(2x 2-6)2+(2x 3-6)2+(2x 4-6)2=154(x 1-3)2+4(x 2-3)2+4(x 3-3)2+4(x 4-3)2=45(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=45×8=325，故选：C 3.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.1011【答案】C【解析】由a n=S nn+2n-1得S n=na n-2n n-1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=na n-n-1a n-1-4n-1，整理得a n-a n-1=4，所以a n是公差为4的等差数列，又因为a1=1，所以a n=4n-3，从而S n+3n=n a1+a n2+3n=2n2+2n=2n n+1，所以1S n+3n=12n n+1=121n-1n+1，所以数列1S n+3n的前10项和为12×1-12+12-13+⋅⋅⋅+110-111=12×1-111=511．故选：C4.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=( )A.5B.22C.10D.5104【答案】C【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2πr1l+2πr2l=2π，则r1+r2l=1，所以r1=23l,r2=13l，所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，所以V甲V乙=13πr21h113πr22h2=49l2×53l19l2×223l=10.故选：C.5.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1-2,0，F 22,0，过F1，F2作圆O：x2+y2=a2的切线，四条切线围成的四边形F1AF2B的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x23-y2=1B.x2-y23=1C.x22-y22=1 D.2x23-2y25=1试卷第2页，共38页【答案】B【解析】如图，由题意c =a 2+b 2=2，因为四边形F 1AF 2B 的面积为833，所以直角三角形AOF 2面积为233，即12OF 2 OA =233，OA =233，AF 2 =OF 2 2+OA 2=433，12a ×AF 2 =233，a =1，b =3，双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选：B .6.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞【答案】B【解析】若a =0时，f x =1,x <0,x 2-4x +3,x ≥0.，∴f x min =f 2 =-1；若a <0时，当x <a 时，f x =1-ax 单调递增，当x →-∞时，f x →-∞，故f x 没有最小值；若a >0时，x <a 时，f x =-ax +1单调递减，f x >f a =1-a 2，当x ≥a 时，f x min =-1,0<a <2 a 2-4a +3,a ≥2，若函数f x 有最小值，需1-a 2≥-10<a <2 或1-a 2≥a 2-4a +3a ≥2，解得0<a ≤2.故选：B7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+3【答案】C【解析】由sin C =23sin B sin A ，可得c =23b sin A ，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，两式结合得：a 2=12b 2sin 2A +b 2-2b ×23b sin A cos A ，即a 2b 2=12sin 2A +1-23sin2A =7-6cos2A -23sin2A ，即a 2b2=7-43sin 2A +π3 ,A ∈(0,π)，则当A =7π12时，a 2b 2 max =7+43，则b 2a 2 min =17+43=7-43，故由λ=ba可得其最小值为7-43=2-3 ，故选：C8.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0 B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x -3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .9.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1 B.a >1C.1<a <4D.a >4【答案】A 【解析】∵f (x )=x 2+a x =x +ax(a >0)，∴f (x )=1-a x 2=x 2-ax 2=x +a x -a x 2，∴当0<x <a 时，f (x )<0，当x >a 时，f (x )>0，可知，f (x )在(0,a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增，∴f (x )在x =a 处取得极小值，又∵在区间(a ,a +1)上有最小值，∴a <a <a +1，解得0<a <1．故选：A ．10.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】当ln x =0时x =1；当ln x >0时x >1；当ln x <0时0<x <1．∴sgn ln x =1,x >10,x =1-1,0<x <1．∴f x =sgn ln x -ln x =1-ln x ,x >1-ln x ,x =1-1-ln x ,0<x <1．当x >1时令f x =0，即1-ln x =0，解得x =e >1成立；当x =1时令f x =0，即-ln x =0，解得x =1成立；当0<x <1时令f x =0，即-1-ln x =0，解得x =1e∈0,1 成立．综上可得解f x =0得x =e 或x =1或x =1e．所以函数f x 的零点个数为3．故选：C11.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x试卷第2页，共38页>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13 D.-23,100 【答案】A【解析】由f x =lg x +x 2+1 -22x+1可知，x ∈R ，故f x +f -x =lg x +x 2+1 -22x +1+lg -x +x 2+1 -22-x+1=lg x +x 2+1 -x +x 2+1 -22x +1+2⋅2x2x+1=lg1-2=-2 ，即f x +1+f -x +1=0，令g (x )=f (x )+1 ，则g x +g -x =0，即g (x )=f (x )+1为奇函数，因为函数y =lg x +x 2+1 为R 上的单调增函数，y =22x +1为R 上的单调减函数故f x =lg x +x 2+1 -22x +1为单调增函数，则g (x )=f (x )+1也单调递增；不等式f 2x +1 +f x >-2，即f 2x +1 +1+f x +1>0，即g 2x +1 +g x >0,g 2x +1 >-g x =g (-x )，故2x +1>-x ,x >-13 ，即f 2x +1 +f x >-2解集为-13,+∞ ，故选:A12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.6【答案】A 【解析】请在此输入详解！13.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-e B.a >-e C.a <-3 D.a <-3或a >-e【答案】A【解析】f x =x -2 e x ，设经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的切点为x 0,x 0-3 e x 0，则f x 0 =x 0-2 e x.又切线经过0,a ，故由题意x 0-3 e x-a x 0=x 0-2 e x 0有3个解.化简有a =x 0-3 e x 0-x 0x 0-2 e x 0，即a =-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解.设g x =-x 2+3x -3 e x ，则g x =-x 2+x e x ，令g x =0有x =0或x =1，故当x ∈-∞,0 时，g x <0，g x 单调递减；当x ∈0,1 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈1,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.又g 0 =-3，g 1 =-e ，且g -1 =-7e>g 1 ，g 2 =-e 2<g 0 ，故要a=-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解，则-3<a <-e .故选：A14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316 B.12或3316C.2D.12【答案】C【解析】令t =x +1t ≥2 ，则x +1x 2+a =t t 2-2t +1+a =1t +1+a t-2，函数f x =x +1x 2+a 在1,+∞ 上的最大值为23且f (x )>0，即转化为g t =t +1+a t -2t ≥2 的最小值为32.g(t )=1-1+a t 2=t 2-(1+a )t 2，g (t )=0⇒t =1+a (负值舍去)，1+a ≤2，即0<a ≤3时，g (t )在[2,+∞)上单调递增，g (t )min =g 2 =1+a 2=32，解得a =2；当1+a >2，即a >3时，2≤t <1+a 时，g (t )<0，g (t )递减，t >1+a 时，g (t )>0，g (t )递增，g (t )min =g 1+a =21+a -2=32，解得a =3316<3，舍去．故a =2故选：C ．15.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】如图，过点B 作BD 垂直准线x =-2于点D ，则由抛物线定义可知：|BF |=|BD |=3，设直线AB 为x =my +4， A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C -2,y C ，不妨设m >0，则y 1>0,y 2<0，所以x 2+2=3，解得：x 2=1，则y 22=8x 2=8，解得：y 2=-22，则B 1,-22 ，所以-22m +4=1，解得：m =324，则直线AB 为x =324y +4，所以当x =-2时，即324y +4=-2，解得：y C =-42，则C -2,-42 ，联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2-8my -32=0，则y 1y 2=-32，所以y 1=82，其中S △BCF S △ACF =BC AC =y 2-y C y 1-y C =22122=16.故选：C16.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0) B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)【答案】B【解析】函数f (x )=x (ln x -ax )，则f ′(x )=ln x -ax +x (1x-a )=ln x -2ax +1，令f ′(x )=ln x -2ax +1=0得ln x =2ax -1，试卷第2页，共38页函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，等价于f ′(x )=ln x -2ax +1有两个零点，等价于函数y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a =12时，直线y =2ax -1与y =ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0，12)．故选B ．17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-512999【答案】A【解析】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f (-x +1)，所以f -x =f (x +2)，又f x 为奇函数，即f -x =-f (x )所以-f x =f x +2 ⇒f x +4 =-f x +2 =f x ，所以f x 的周期为4，f log 22023 =f log 22023-12 =f log 220234096 =-f log 240962023 =-f 2-log 240962023=-f log 220231024 =-2log 220231024-1 =-20231024-1=-9991024.故选：A .18.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】f (x )=x 2+(a 2+2)x +a 2+1 e x =(x +1)(x +a 2+1)e x .①当a =0时，f (x )=(x +1)2e x ≥0，故f (x )在R 上单调递增，f (x )无最小值.②当a ≠0时，令f (x )=0，得x =-1或x =-a 2-1.又-a 2-1<-1，故当x <-a 2-1时，f (x )>0，f (x )单调递增；当-a 2-1<x <-1时，f (x )<0，f (x )单调递减；当x >-1时，f (x )>0，f (x )单调递增.故f (x )在x =-1处取得极小值.综上，函数f (x )在x =-1处取得极小值⇔a ≠0.所以“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的充分不必要条件.故选：A .19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3 B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9【答案】C【解析】∵f x -1为奇函数，∴f x 图像关于点0,1 对称，由f x -kx -1=0得：f x =kx +1，则方程的根即为f x 与直线y =kx +1的交点，作出f x 图像如图所示，①当k ≥5-12-0，即k ≥2时，如图中y =k 1x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；②当3-12-0≤k <5-12-0，即1≤k <2时，如图中y =k 2x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有7个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 7，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 7 =7f 0 =7；③当2-14-0<k <3-12-0，即14<k <1时，如图中y =k 3x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；④当k =2-14-0=14时，如图中y =k 4x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有3个交点x 1,x 2,x 3，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +f x 3 =3f 0 =3；⑤当k <2-14-0，即k <14时，如图中y =k 5x +1和y =k 6x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有且仅有一个交点0,1 ，∴f x 1 =1.综上所述：f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为1,3,5,7 .故选：C .二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410试卷第2页，共38页C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110 D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项【答案】BCD【解析】对于选项A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于选项B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥3时，a n =3⋅2n -2+410，所以a 99=3×297+410，故B 正确；对于选项C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4+0.7+310(21+22+⋯+229)+410×29=3×23010+12110，故C 正确；对于选项D ，由a n =3⋅2n -2+410≤300有：n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D 正确.故选：BCD .21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<1【答案】BC【解析】对于A ，因为4=a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|ab |，所以|ab |≤2，当且仅当a =b =2时取等，故A 错误；对于B ，因为|a +b |≤22，即|a +b |2≤2，可看作部分圆x 2+y 2=4(xy ≠0)上的点(a ,b )到直线x +y =0的距离不大于2，因为圆心(0,0)在直线x +y =0上，半径为2，故|a +b |2≤2恒成立，故B 正确；对于C ，因为|ab |≤2，所以log 2|a |+log 2|b |=log 2|ab |≤log 22=1，故C 正确；对于D ，因为a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，令a =b =2，此时1|a |+1|b |=2>1，故D 错误.故选：BC .22.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3×13 3=19，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为6×13 3=29，B 不正确；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为C 23C 12×13 3+13 3=727，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，P (A )=727，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率P (AB )=C 12C 12×13 3+13 3=527，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=57，D 正确.故选：ACD23.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE【答案】BD【解析】对于A ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⎳AA 1，易知AA 1与AF 不垂直，故错误；对于B ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，取B 1C 1的中点H ，连接A 1H ,GH ，如下图，易知GH ⎳EF ，则∠A 1GH 为直线A 1G 与EF 夹角或其补角，∵AB =2，∴GH =EF =2，A 1H =A 1G =5，在△A 1GH 中，cos ∠A 1GH =A 1G 2+GH 2-A 1H 22⋅A 1G ⋅GH=1010，因此，直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010，故正确；对于C ，根据题意作图如下：易知三棱柱ABG -DCF 的体积V 1=14×2×2×2=2，试卷第2页，共38页三棱锥G -ABE 的体积V 2=13⋅S △ABE ⋅GB =13⋅12⋅AB ⋅BE ⋅GB =13，四棱锥F -AECD 的体积V 3=13⋅S 四边形AECD ⋅FC =13⋅S □ABCD -S △ABE ⋅FC =1，三棱锥G -AEF 的体积V =V 1-V 2-V 3=23，故错误；对于D ，连接D 1F ,D 1A ，作图如下：易知AD 1⎳EF ，则A ,E ,F ,D 1共面，∵A 1G ⎳D 1F ，则A 1G ,AF ,AE 共面，即存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE，故正确；故选：BD .24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为132【答案】BD【解析】1级Farey 数列F 1 各项为：01，11，A 错误；6级Farey 数列F 6 ：01，16，15，14，13，25，12，35，23，34，45，56，11，共有13项，中间项为12，各项的和为132，故B 正确，C 错误，D 正确.故选:BD .25.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为1【答案】ACD【解析】函数f x =e x x 2-3x +3 =e x x -32 2+34>0，选项B 错误；f x =e x x x -1 ，x <0或x >1时，f x >0，0<x <1时，f x <0.如图，f x 在-∞,0 ，1,+∞ 单调递增，f x 在0,1 单调递减，选项A 正确；f 0 =3，f 1 =e ，当x 趋近正无穷时，f x 趋近正无穷，当x 趋近负无穷时，f x 趋近0，选项C 正确；如图，当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则一定有t ≥0，而f 2 =e 2>3，所以t (t ∈Z )的最大值为1，选项D 正确.故选：ACD .26.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π【答案】BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆柱的外接球的半径为R ，由4r +2h =12，得2r +h =6，又2R =4r 2+h 2，0<r <3，圆柱的体积为V =πr 2h =πr 26-2r =2πr 23-r ，则V =6πr 2-r ，当0<r <2时，V >0，当r >2时，V <0，故函数V =2πr 23-r 在0,2 上单调递增，在2,3 上单调递减，所以r =2时，V 取最大值8π，所以0<V ≤8π，圆柱的外接球的表面积S =4πR 2=π4r 2+h 2 =π4r 2+6-2r 2 =4π2r 2-6r +9 ，函数S =4π2r 2-6r +9 在0,32 上单调递减，在32,3 上单调递增，所以r =32时，S 取最小值18π，所以18π≤S <36π.故选：BC .27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.2【答案】CD【解析】根据题意知：b a =12，c =5，故a =2，b =1，双曲线方程为x 24-y 2=1，则A -2,0 ，B 2,0 ，设P x 0,y 0 ，则x 024-y 02=1，x 0>0，y 0>0，k 1+k 2=y 0x 0+2+y 0x 0-2=2x 0y 0x02-4=x 02y 0，根据渐近线方程知：0<y 0x 0<12，故k 1+k 2=x02y 0>1.故选：CD .28.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情试卷第2页，共38页。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)(解析版)

2023年新高考数学选填压轴题汇编(六)一、单选题1.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)函数f x =A sin ωx +π4ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3，要得到函数g x =A cos ωx 的图象，只需将f x 的图象( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π4个单位C.向左平移π4个单位D.向右平移3π4个单位【答案】A【解析】由题意，函数f x =A sin ωx +π4 ω>0 的图象与x 轴的两个相邻交点间的距离为π3∴ 周期T =2π3，由周期公式：T =2πω∴T =2π3=2πω解得： ω=3∴f x =A sin 3x +π4 =A sin3x +π12要得到g x =A cos3x ，即g x =A cos3x =A sin 3x +π2=A sin3x +π6 由题意，可得f x 向左平移π12个单位可得g x .故选：A .2.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)若函数f x =e x -a -1 x +1在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是( )A.2,e +1B.2,e +1C.-∞,2 ∪e +1,+∞D.-∞,2 ∪e +1,+∞【答案】A【解析】∵f (x )=e x -(a -1)x +1，∴f (x )=e x -a +1，若f (x )在(0,1)上不单调，则f (x )在(0,1)上有变号零点，又∵f (x )单调递增，∴f 0 ∙f 1 <0，即(1-a +1)(e -a +1)<0，解得2<a <e +1．∴a 的取值范围是(2,e +1)．故选：A ．3.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知圆C :x 2+y 2-10y +21=0与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是A.2B.53C.52D.5【答案】C【解析】由双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，可得其一条渐近线的方程为y =b a x ，即bx -ay =0，又由圆C :x 2+y 2-10y +21=0，可得圆心为C (0,5)，半径r =2，则圆心到直线的距离为d =-5a b 2+(-a )2=5a c ，则5a c =2，可得e =c a =52，故选C ．4.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)过圆x 2+y 2=64上的动点作圆C :x 2+y 2=16的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为( )A.4πB.6πC.8πD.12π【答案】A 【解析】设圆x 2+y 2=64的动点为P m ,n ，过P 作圆C 的切线，切点分别为A ,B ，则过P ,A ,B 的圆是以PO 直径的圆，该圆的方程为：x x -m +y y -n =0.由x 2+y 2=16x x -m +y y -n =0 可得AB 的直线方程为：mx +ny =16.原点到直线mx +ny =16的距离为16 m 2+n 2=1664=2，故圆C 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为4π，故选：A .5.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.16π9B.8π9C.16π27D.8π27【答案】A【解析】设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，则由题意可得r 2=3-x3，∴x =3-32r ，∴圆柱的体积为V (r )=πr 23-32r (0<r <2)，则V (r )=169π∙34r ∙34r ∙3-32r ≤16π9∙34r +34r +3-32r 33=16π9．当且仅当34r =3-32r ，即r =43时等号成立．∴圆柱的最大体积为16π9，故选：A ．6.(2022·福建省福州延安中学高三开学考试)已知2sin 2x +cos 2y =1，则sin 2x +cos 2y 的取值范围是( )A.0,12B.12,1C.22,1D.12,22【答案】B【解析】∵2sin 2x +cos 2y =1，∴cos 2y =1-2sin 2x ，∴0≤1-2sin 2x ≤1，∴0≤sin 2x ≤12，又sin 2x +cos 2y =sin 2x +1-2sin 2x =1-sin 2x ∈12,1，∴sin 2x +cos 2y 的取值范围是12,1.故选：B7.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为偶函数，f (x +2)为奇函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b .若f (0)+f (3)=4，则f 92=( )A.-2B.32C.-72D.72【答案】A【解析】因为f (x +1)为偶函数，则f (x +1)的图像关于y 轴对称，所以f (x )关于x =1对称，则f (0)=f (2)，试卷第2页，共40页因为f (x +2)为奇函数，则f (x +2)的图像关于原点对称，且f (2)=0，所以f (x )关于(2,0)对称，则f (3)=-f (1)，因为当x ∈[1,2]时，f (x )=ax +b ，所以f (1)=a +b ，f (2)=2a +b =0，因为f (0)+f (3)=4，所以f (2)-f (1)=a =4，故f (2)=2a +b =8+b =0⇒b =-8，从而当x ∈[1,2]时，f (x )=4x -8，故f 92 =-f -12 =-f 52 =f 32 =4×32-8=-2.故选：A .8.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)设函数f x 是奇函数f x x ≠0 的导函数，f -1 =-2．当x >0时，f x >2，则使得f x >2x 成立的x 的取值范围是( )A.-∞,-1 ∪0,1 B.-1,0 ∪1,+∞ C.-∞,-1 ∪1,+∞ D.-1,0 ∪0,1【答案】B【解析】因为当x >0时，f x >2，所以f 'x -2>0，故令g x =f x -2x ，则g 'x =f 'x -2>0，故g x 在0,+∞ 上单调递增.因为f -1 =-2，所以g -1 =f -1 +2=0，又因为f x 为奇函数，所以g x =f x -2x 为奇函数，所以g 1 =0，且在区间-∞,0 上，g x 单调递增.所以使得f x >2x ，即g x >0成立的x 的取值范围是-1,0 ∪1,+∞ .故选：B9.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)若函数f x =x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m 的值A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在f (0)=b ,f (1)=1+a +b ,f -a 2 =b -a 24中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．10.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)设函数f (x )的定义域为R ，f (x +1)为奇函数，f (x +2)为偶函数，当x ∈[1,2]时，f (x )=a ⋅2x +b ．若f (0)+f (3)=6，则f log 296 的值是( )A.-12 B.-2 C.2 D.12【答案】B【解析】f (x +1)为奇函数，即其图象关于(0,0)点对称，所以f (x )的图象关于(1,0)点对称，f (x +2)为偶函数，即其图象关于y 轴对称，因此f (x )的图象关于直线x =2对称，所以f (1)=0，f (0)=-f (2)，f (3)=f (1)，所以f (1)=2a +b =0，f (0)+f (3)=-f (2)=-(4a +b )=6，由此解得a =-3，b =6，所以x ∈[1,2]时，f (x )=-3⋅2x +6，由对称性得f (x +2)=f (2-x )=-f (1-(1-x ))=-f (x )，所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x )，f (x )是周期函数，周期为4，6<log 296<7，f (log 296)=f (log 296-4)=f (4-log 296+4)=f log 225696 =f log 283 =-3×83+6=-2，故选：B ．11.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f x =x 2+4a -3 x +3a ,x <0log ax +1 +1,x ≥0(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程f x =2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.12,23 ∪34B.23,34 C.13,23 ∪34D.13,34【答案】C【解析】函数f x 在R 上单调递减，则3-4a 2≥00<a <102+4a -3 ⋅0+3a ≥log a 0+1 +1，解得13≤a ≤34，在同一直角坐标系中，画出函数y =f x 和函数y =2-x 的图象，如图：由图象可知，在0,+∞ 上，f x =2-x 有且仅有一个解，故在-∞,0 上，f x =2-x 有且仅有一个解，当3a >2即a >23时，由x 2+4a -3 x +3a =2-x ，即x 2+4a -2 x +3a -2=0,x <0，则Δ=(4a -2)2-43a -2 =0，解得a =34或1(舍去)，当a =34时，方程可化为x +12 2=0,x =-12符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为13,23 ∪34.故选：C .12.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知正实数a ,b 满足abe a +ln b +1=0，则( )A.b >1eB.a <1C.ab =1D.e a <1b【答案】D【解析】因为abe a +ln b +1=0，所以ae a =-ln b -1b>0，故ln b +1<0，即0<b <1e，故选项A 错误；若a =1，则eb +ln b +1=0，作出函数y =ln x 与y =-ex -1的图象如图所示：显然有交点，则方程eb +ln b +1=0有解，故选项B 错误；若ab =1，则e a -ln a +1=0，即e a =ln a -1，作出函数y =e x 与y =ln x -1的图象如图所示：显然无交点，则方程e a -ln a +1=0无解，故选项C 错误；因为abe a +ln b +1=0，则ae a +1b =-ln bb=-ln b ⋅e -ln b >ae a ，且-ln b >0，令f x =xe x (x >0)，则fx =x +1 e x >0，所以f x在区间,+∞ 上单调递增，所以f -ln b >f a ，即-ln b >a ，因此e a <1b，故选项D 正确.故选：D13.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =ln x x 2，若f x <m -1x2在(0,+∞)上恒成立，e =2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是( )试卷第2页，共40页A.m >eB.m >e2C.m >1D.m >e【答案】B【解析】若f x <m -1x 2在(0,+∞)上恒成立，即f x +1x2<m 在(0,+∞)上恒成立，令g (x )=f (x )+1x 2=ln x +1x 2，故只需g (x )max <m 即可，g (x )=1x ⋅x 2-(ln x +1)⋅2xx 4=-2ln x -1x 3，令g(x )=0，得x =e -12，当0<x <e-12时，g(x )>0；当x >e-12时，g (x )<0，所以g (x )在0，e-12上是单调递增，在e -12,+∞ 上是单调递减，所以当g (x )max =g e -12 =e2，所以实数m 的取值范围是m >e2.故选：B .14.(2022·河北省唐县第一中学高三开学考试)定义运算a *b ，a *b ={a b a ≤ba >b，例如1*2=1，则函数y =1*2x 的值域为A.0,1 B.-∞,1 C.1,+∞ D.0,1【答案】D【解析】当1≤2x 时，即x ≥0时，函数y =1*2x =1当1>2x 时，即x <0时，函数y =1*2x =2x ∴f (x )=1，x ≥02x ，x <0由图知，函数y =1*2x 的值域为：(0，1]．故选D ．15.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x =log 3x ,x >03x,x ≤0，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】A【解析】画出函数的大致图象，如下图所示：∵函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰好有5个不同的零点，∴方程f x2-m +2 f x +2m =0有5个根，设t =f (x )，则方程化为t 2-m +2 t +2m =0，易知此方程有两个不等的实根t 1，t 2，结合f (x )的图象可知，t 1∈0,1 ，t 2∈1,+∞ ，令h (t )=t 2-m +2 t +2m ，则由二次函数的根的分布情况得：Δ=(m +2)2-8m >0h (0)>0h (1)≤0，解得：0<m ≤1.故选：A16.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知定义在(-3,3)上的函数f (x )满足f (x )+e 4x f (-x )=0,f (1)=e 2,f (x )为f (x )的导函数，当x ∈[0,3)时，f (x )>2f (x )，则不等式e 2x f (2-x )<e 4的解集为( )A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,+∞)D.(0,1)【答案】B 【解析】令g x =f xe2x ，所以f x =e 2x g x ，因为f x +e 4x f -x =0，所以e 2x ⋅g x +e 4x ⋅e -2x g -x =0，化简得g x +g -x =0，所以g x 是-3,3 上的奇函数；gx =f x e 2x -2e 2x f x e 4x =f x -2f x e 2x，因为当0≤x <3时，f x >2f x ，所以当x ∈0,3 时，g x >0，从而g x 在0,3 上单调递增，又g x 是-3,3 上的奇函数，所以g x 在-3,3 上单调递增；考虑到g 1 =f 1 e 2=e 2e2=1，由e 2x f 2-x <e 4，得e 2x e 22-x g 2-x <e 4，即g 2-x <1=g 1 ，由g x 在-3,3 上单调递增，得-3<2-x <3,2-x <1,解得1<x <5，所以不等式e 2x f 2-x <e 4的解集为1,5 ，故选：B .17.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线C :y 2-x 2=5与直线x =±2所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体Γ，下列平面图形绕其对称轴(虚线所示)旋转一周所得几何体与Γ的体积相同的是( )A.图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B.图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C.图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D.图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【解析】由y 2-x 2=5x =2得：y =±3，则当y =t 5<t <3 与C 相交于两点时，内圆半径r =t 2-5，则在该位置旋转一周所得圆环面积为4π-t2-5 π=9-t 2 π；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y 轴建立平面直角坐标系，试卷第2页，共40页对于③，双曲线实轴长为25，③中y 轴的最短距离为6-232-22=6-25，不合题意，③错误；对于④，几何体Γ母线长为6，④中y 轴的最长距离为25+232-22=45，不合题意，④错误；对于①，在y 轴的最短距离为6-2×3-32-22 =25，母线长为6，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与①中图形相交时，两交点之间距离为232-3+5-t 2，此时圆环面积为4π-32+3+5-t 2 π=-t 2+23+5 t -14-25 π，不合题意，①错误对于②，在y 轴的最长距离为25+2×3-32-22 =6，矩形高为25，与几何体Γ吻合；当y =t 5<t <3 与②中图形相交时，两交点之间距离为232-t 2=29-t 2，此时圆面积为9-t 2 π，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B .18.(2022·辽宁·高三开学考试)已知函数f x 满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则2022k =0f (k )= ( )A.12B.14C.-14D.-12【答案】A【解析】4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，令x =1,y =0得：4f 1 f 0 =2f 1 ，因为f 1 =14，所以f 0 =12，令x =n ，y =1得：4f n f 1 =f n +1 +f n -1 ，即f n =f n +1 +f n -1 ，则f n +1 =f n +2 +f n ，上面两式子联立得：f n +2 =-f n -1 ，所以f n -1 =-f n -4 ，故f n +2 =f n -4 ，故f x 是以6为周期的函数，且f 0 +f 1 +f 2 +f 3 +f 4 +f 5 =f 0 +f 1 +f 2 -f 0 -f 1 -f 2 =0，所以2022k =0f (k )= 3375k =0f (k )+f 2022 =0+ f 2022 =f 0 =12故选：A19.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知△ABC ，I 是其内心，内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ，则( )A.AI =13(AB +AC )B.AI =cAB a +bACaC.AI =bAB a +b +c +cAC a +b +cD.AI =cAB a +b +bACa +c 【答案】C【解析】延长AI ,BI ,CI ，分别交BC ,AC ,AB 于D ,E ,F .内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形ABD 和三角形ACD 中，由正弦定理得：BD sin 12∠BAC =c sin ∠ADB ,CD sin 12∠BAC =bsin ∠ADC ，由于sin ∠ADB =sin ∠ADC ，所以BD c =CD b ,BD CD =c b ，BD BD +CD =c b +c ,BD a =c b +c ,BD =acb +c，同理可得c BD =AI DI ，c BD +c =AI DI +AI =AIAD ，AI =c ⋅AD BD +c =c ac b +c+c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅AD .所以AD =AB +BD =AB +c b +c BC =AB +c b +c AC -AB=b b +c AB +c b +c AC，则AI =b +c a +b +c ⋅AD =b +c a +b +c ⋅b b +c AB +c b +c AC =b a +b +c AB +ca +b +c AC .故选：C 20.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知不等式x ln x +(x +1)k <2x ln2的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是( )A.0,34ln 43 B.34ln 43,23ln2C.23ln2,+∞D.34ln 43,23ln2【答案】D【解析】由x ln x +x (k -ln4)+k <0可得：k (x +1)<x ln4-x ln x ，设f (x )=k (x +1),g (x )=x ln4-x ln x ，g (x )=ln4-ln x -1，x ∈0,4e时，g (x )>0，g (x )单调递增，x ∈4e ,+∞ 时，g (x )<0，g (x )单调递减，则当x =4e时函数g x 取得最大值，如示意图：由图可知，当k ≤0时，整数解超过了2个，不满足题意；当k >0时，需满足f 2 <g 2 f 3 ≥g 3 得：34ln 43≤k <23ln2．故选择：D ．21.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)若α，β∈0，π2，且(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，则下列结论正确的是( )A.α+β=π2B.α+β2=π2C.2α-β=π2D.α-β=π2【答案】C【解析】∵α，β∈0，π2，∴cos α≠0.由(1+cos2α)(1+sin β)=sin2αcos β，可得2cos 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β，即cos α(1+sin β)=sin αcos β.∴cos α=sin αcos β-cos αsin β=sin α-β ，∴sin α-β =sin π2-α.∵α，β∈0，π2 ，∴-π2<α-β<π2，且0<π2-α<π2.由于函数y =sin x 在x ∈-π2，π2 上单调递增，∴α-β=π2-α，即2α-β=π2.故选:C .二、多选题22.(2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度(船底到水面的距离)为4m .安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙(船底到海底的距离)，下表给出了某港口在某试卷第2页，共40页季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m 时刻水深/m 时刻水深/m 0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数f x 来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有( )A.f x =2.5cos π6x+5 B.f x =2.5sin π6x+5C.该货船在2：00至4：00期间可以进港 D.该货船在13：00至17：00期间可以进港【答案】BCD【解析】依据表格中数据知，可设函数为f x =A sin ωx +k ，由已知数据求得A =2.5，k =5，周期T =12，所以ω=2πT =π6﹐所以有f x =2.5sin π6x +5，选项A 错误；选项B 正确；由于船进港水深至少要6.25，所以2.5sin π6x +5≥6.25，得sin π6x ≥12，又0≤x ≤24⇒0≤π6x ≤4π，则有π6≤π6x ≤5π6或13π6≤π6x ≤17π6，从而有1≤x ≤5或13≤x ≤17，选项C ，D 都正确.故选：BCD23.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，则( )A.函数f x +π12 为奇函数B.函数f x 在π3,π2上单调递增C.函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像关于x =π6对称，则a 的最小值是π3D.若方程f x =a 在π6,2π3 上有2个不同实根x 1,x 2，则x 1-x 2 的最大值为π2【答案】AC【解析】因为函数f x =3sin 2x +φ -π2<φ<π2 的图像关于直线x =π3对称，所以，2×π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，解得φ=-π6+k π,k ∈Z ，因为-π2<φ<π2，所以φ=-π6，即f x =3sin 2x -π6，所以，对于A 选项，函数f x +π12 =3sin2x ，是奇函数，故正确；对于B 选项，当x ∈π3,π2 时，2x -π6∈π2,5π6，由于函数y =sin x 在π2,5π6 上单调递减，所以函数f x 在π3,π2 上单调递减，故错误；对于C 选项，函数f x 的图像向右平移a a >0 个单位长度得到的函数图像对应的解析式为g x =3sin 2x -2a -π6，若g x 图像关于x =π6对称，则2×π6-2a -π6=π2+k π,k ∈Z ，解得a =-π6+k π2,k ∈Z ，由于a >0，故a 的最小值是π3，故正确；对于D 选项，当x ∈π6,2π3时，2x -π6∈π6,7π6，故结合正弦函数的性质可知，若方程f x =a 在π6,2π3上有2个不同实根x 1,x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1-x 2 取得最大值时满足2x 1-π6=π6且2x 2-π6=5π6，所以，x 1-x 2 的最大值为π3，故错误.故选：AC 24.(2022·福建省福州屏东中学高三开学考试)已知定义在R 上的奇函数f x 图象连续不断，且满足f x +2 =f x ，则以下结论成立的是( )A.函数f x 的周期T =2B.f 2019 =f 2020 =0C.点1,0 是函数y =f x 图象的一个对称中心D.f x 在-2,2 上有4个零点【答案】ABC【解析】定义在R 上的奇函数f (x )图象连续不断，且满足f (x +2)=f (x )，所以函数的周期为2，所以A 正确；f (-1+2)=f (-1)，即f (1)=f (-1)=-f (1)，所以f (1)=f (-1)=0，所以f (2019)=f (1)=0，f (2020)=f (0)=0，所以B 正确；f x +2 =f x =-f -x ⇒f x +2 +f -x =0⇒f x 图象关于1,0 对称，所以C 正确；f (x )在[-2，2]上有f (-2)=f (-1)=f (0)=f (1)=f (2)=0，有5个零点，所以D 不正确；故选：ABC ．25.(2022·福建省福州第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=-x 2-2x ,x <0f (x -2),x ≥0，以下结论正确的是( )A.f (-3)+f (2019)=-3B.f x 在区间4,5 上是增函数C.若方程f (x )=kx +1恰有3个实根，则k ∈-12,-14D.若函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则6i =1x i f x i 的取值范围是0,6【答案】BCD【解析】函数f (x )的图象如图所示：对A ，f (-3)=-9+6=-3，f (2019)=f (1)=f (-1)=1，所以f (-3)+f (2019)=-2，故A 错误；对B ，由图象可知f x 在区间4,5 上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知k ∈-12,-14，直线f (x )=kx +1与函数图象恰有3个交点，故C 正确；对D ，由图象可得，当函数y =f (x )-b 在(-∞,4)上有6个零点x i (i =1,2,3,4,5,6)，则01eC.f (x 0)+2x 0<0D.f (x 0)+2x 0>0【答案】AD试卷第2页，共40页【解析】函数f (x )=x ln x +x 2,(x >0),∴f (x )=ln x +1+2x ,∵x 0是函数f (x )的极值点，∴f x 0 =0，即∴ln x 0+1+2x 0=0，∴f 1e =2e >0,当x >1e时，f x >0∵x →0,f (x )→-∞,∴0<x 0<1e,即A 选项正确,B 选项不正确;f x 0 +2x 0=x 0ln x 0+x 20+2x 0=x 0ln x 0+x 0+2 =x 01-x 0 >0,即D 正确,C 不正确.故答案为:AD .27.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)设函数f x =sinπxx 2-x +54，则下列结论正确的是( )A.f x 的最大值为1B.f x ≤4xC.曲线y =f x 存在对称轴D.曲线y =f x 存在对称中心【答案】ABC【解析】A ：因为x 2-x +54=x -12 2+1≥1,sinπx ≤1，所以sinπx ≤x 2-x +54⇒sinπx x 2-x +54≤1⇒f (x )≤1，当且仅当x =12时，f x =1故A 正确；B ：f x ≤4x 等价于sinπx ≤4x 3-x 2+54x ，设g x =x -sin x ,x ∈0,+∞ ，g (x )=1-cos x ≥0，所以函数g (x )=x -sin x 在x ∈[0,+∞)时单调递增，因此有g (x )≥g (0)=0-sin0=0，即x ≥sin x ,x ∈0,+∞ ，而设函数h (x )=x -sin x ，h (-x )=-x -sin (-x ) =x -sin x =h (x )，所以h (x )=x -sin x 是实数集上的偶函数，因此有x ≥sin x ，即πx ≥sinπx ，4x x 2-x +54 ≥4x ×1=4x ，f x ≤πx x 2-x +54≤πx ≤4x ，故B 正确；C ：因为f 12+x -f 12-x =sinπ12+x 12+x -12 2+1-sinπ12-x 12-x -12 2+1=cosπx -cosπx x 2+1=0，所以曲线y =f x 关于直线x =12对称，故C 正确；D ：设曲线y =f x 存在对称点，设为(a ,b )，则有f (a +x )+f (a -x )=2b ，当x =0时，则有2f (a )=2b ⇒f (a )=b ，当x =a 时，则有f (2a )=2b ⇒2f (a )=f (2a )，即sin2a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54⇒2sin a πcos a π(2a )2-2a +54=2⋅sin a πa 2-a +54，因此有sin a π=0，所以a 为整数，b =f a =sin a πa 2-a +54=0，令x =12，f a +12 +f a -12=0，而f a +12 +f a -12 =sinπa +12 a +12-12 2+1+sinπa -12a -12-12 2+1=cos a πa 2+1-cos a π(a -1)2+1，显然f a +12 +f a -12=0不恒成立，故D 不正确.故选：ABC .28.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球；乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A 1,A 2,A 3表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是( )A.P B =25B.P B |A 1 =511C.事件B 与事件A 1不相互独立D.A 1,A 2,A 3两两互斥【答案】BD 【解析】P A 1 =510=12,P A 2 =210=15,P A 3 =310，又P B |A 1 =511,P B |A 2 =411,P B |A 3 =411，故B 正确.故P (B )=P B |A 1 P A 1 +P B |A 2 P A 2 +P B |A 3 P A 2=511×12+411×15+411×310=922，故A 错误.P B P A 1 =922×12=944,P BA 1 =P B |A 1 P A 1 =522，故P B P A 1 ≠P BA 1 ，所以事件B 与事件A 1不相互独立，根据互斥事件的定义可得A 1,A 2,A 3两两互斥，故选：BD .29.(2022·福建·福州十八中高三开学考试)已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(0<ω<10，0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.ω=2B.ω=3C.f (x )在5π12,11π12上单调递增D.f (x )图像关于直线x =2π3对称【答案】AC【解析】由图可知： x =0，y =32；可得：ω×0+φ=2π3+2k π,k ∈Z ，所以φ=2π3+2k π,k ∈Z 又0<φ<π，所以φ=2π3；由x =π6，y =0，可得π6ω+2π3=π+2k π,k ∈Z ，所以ω=2+12k ,k ∈Z又0<ω<10，可得ω=2，所以A 选项正确，B 选项错误；所以函数的解析式为：f (x )=sin 2x +2π3 ，则f (x )在R 上的增区间满足：-π2+2k π≤2x +2π3≤π2+2k π,k ∈Z解得增区间为-7π12+k π,-π12+k π,k ∈Z ，所以当k =1时，函数f (x )的单调增区间为5π12,11π12，所以C 选项正确；当x =2π3时，f 2π3 =sin2π=0≠±1，所以直线x =2π3不是f (x )的对称轴，所以D 选项不正确；故选：AC ．30.(2022·福建·闽江学院附中高三开学考试)关于函数f (x )=sin |x |+|sin x |，下列叙述正确的是( )A.f (x )是偶函数B.f (x )在区间π2,π单调递增C.f (x )的最大值为2 D.f (x )在[-π,π]有4个零点【答案】AC【解析】f (-x )=sin -x +sin (-x ) =sin x +sin x =f (x )，f (x )是偶函数，A 正确；x ∈π2,π 时，f (x )=sin x +sin x =2sin x ，单调递减，B 错误；试卷第2页，共40页f (x )=sin x +sin x ≤1+1=2，且f π2=2，因此C 正确；在[-π,π]上，-π<x <0时，f (x )=sin (-x )+(-sin x )=-2sin x >0，0<x <π时，f (x )=sin x +sin x =2sin x >0，f (x )的零点只有π,0,-π共三个，D 错．故选：AC ．31.(2022·江苏·常州市平陵高级中学高三开学考试)已知关于x 的不等式a (x -1)(x +3)+2>0的解集是x 1,x 2 ，其中x 1<x 2，则下列结论中正确的是( )A.x 1+x 2+2=0 B.-3<x 1<x 2<1C.x 1-x 2 >4D.x 1x 2+3<0【答案】ACD【解析】由题设，a (x -1)(x +3)+2=ax 2+2ax -3a +2>0的解集为x 1,x 2 ，∴a <0，则x 1+x 2=-2x 1x 2=2a-3<0，∴x 1+x 2+2=0，x 1x 2+3=2a<0，则A 、D 正确；原不等式可化为f (x )=a (x -1)(x +3)>-2的解集为x 1,x 2 ，而f(x )的零点分别为-3,1且开口向下，又x 1<x 2，如下图示，∴由图知：x 1<-3<1<x 2，x 1-x 2 >4，故B 错误，C 正确.故选：ACD .32.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )+f (-x )=0，f (x )+f (x +6)=0，且对任意的x 1,x 2∈[-3，0]，当x 1≠x 2时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则以下判断正确的是( )A.函数f (x )是偶函数B.函数f (x )在[-9，-6]上单调递增C.x =2是函数f (x +1)的对称轴D.函数f (x )的最小正周期是12【答案】BCD【解析】因为定义在R 上的函数f (x ) 满足f (x )+f (-x )=0，即f (-x )=-f (x )，故函数f (x )是奇函数，故A 错误；因为f (x )+f (x +6)=0，故f (x +6)=-f (x )，而f (-x )=-f (x )，所以f (x +6)=f (-x )，即f (x )的图象关于x =3对称，则x =2是函数f (x +1)的对称轴，故C 正确；因为f (x +6)=f (-x )，所以f (x +12)=-f (x +6)=f (x )，故12是函数f (x )的周期；对任意的x 1,x 2∈[-3，0] ，当x 1≠x 2 时，都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)<x 1f (x 2)+x 2f (x 1) ，即(x 1-x 2)⋅[f (x 1)-f (x 2)]<0，故x ∈[-3，0]时，f (x )单调递减，又因为f (x )为奇函数，所以x ∈[0，3]时，f (x )单调递减，又因为f (x )的图象关于x =3对称，故x ∈[3,6]时，f (x )单调递增，因为12是函数f (x )的周期，故函数f (x )在[-9,-6] 单调性与x ∈[3,6]时的单调性相同，故函数f (x )在[-9,-6]上单调递增，故B 正确，作出函数f (x )的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数f (x )的最小正周期，D 正确；故选：BCD33.(2022·江苏·盐城市伍佑中学高三开学考试)已知函数f (x )=ln (x +1)x，下列选项正确的是( )A.函数f (x )在(-1，0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数B.当x 1>x 2>0时，f (x 1)x 22>f (x 2)x 21C.若方程f (|x |)=a 有2个不相等的解，则a 的取值范围为(0,+∞)D.1+12+⋯+1n -1 ln2≤ln n ，n ≥2且n ∈N +【答案】BD【解析】对于选项A ：f x =ln x +1 x ，x ∈-1,0 ∪0,+∞ .则f x =x -x +1 ln x +1x +1 x2，令g x =x -x +1 ln x +1 ,x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，则g x =-ln x +1 ，当x ∈-1,0 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈0,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.所以对任意x ∈-1,0 ∪0,+∞ ，g x <g 0 =0，即f x <0，所以f x 在-1,0 ,0,+∞ 都是减函数，故A 错误；对于选项B ：令h x =x 2f x =x ln x +1 ,x ∈0,+∞ ，则h x =x +x +1 ln x +1x +1，当x ∈0,+∞ 时，h x >0，h x 单调递增，所以当x 1>x 2>0时，h x 1 >h x 2 ，即x 12f x 1 >x 22f x 2 ，所以f x 1 x 22>f x 2 x 12，故B 正确；对于选项C ：因为y =f x 是偶函数，所以“方程f x =a 有2个不相等的解”等价于“方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解”.由A 可知，f x 在0,+∞ 上单调递减，且x →0时，f x →1；x →+∞时，f x →0，所以，当0<a <1时，方程f x =a 在0,+∞ 上有1个解，即f x =a 有2个不相等的解，故C 错误；对于选项D ：由A 知，f x 在0,12 上单调递减，则对任意x ∈0,12 ，f x ≥f 12 =2ln 32=ln 94>ln2，即ln x +1 x >ln2，所以当n ≥2时，ln 1n+1 1n>ln2，即1n ln2<ln n +1n.所以ln2=ln2，12ln2<ln 32，13ln2<ln 43，⋯，1n -1ln2<ln nn -1，以上式子相加得ln2+12ln2+13ln2+⋯+1n -1ln2≤ln2+ln 32+ln 43+⋯+ln n n -1，即1+12+13+⋯+1n -1 ln2≤ln n (n =2时，等号成立)，故D 正确.故选：BD .34.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知函数f x =A cos ωx +φ (A >0,ω>0,0<φ<π)的图象的一个最高点为-π12,3 ，与之相邻的一个对称中心为π6,0 ，将f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数g x 的图象，则( )A.g x 为偶函数B.g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12试卷第2页，共40页C.g x 为奇函数D.g x 在0,π2上只有一个零点【答案】BD 【解析】由题意，可得T 4=π6--π12 =π4，所以T =π，可得w =2πT=2，所以f x =3cos (2x +φ)，因为f -π12 =3cos 2×-π12 +φ =3，所以φ-π6=2k π,k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ=π6，即f x =3cos 2x +π6 ，所以g x =3cos 2x -π6 +π6 =3cos 2x -π6 ，可得函数g x 为非奇非偶函数，令-π+2k π≤2x -π6≤2k π,k ∈Z ，可得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ，当k =0时，函数g x 的一个单调递增区间为-5π12,π12；由2x -π6=π2+k π,,k ∈Z ，解得x =π3+k π,k ∈Z ，所以函数g x 在0,π2上只有一个零点.故选：BD35.(2022·江苏·睢宁县菁华高级中学有限公司高三阶段练习)已知f x 为函数f x 的导函数，若x 2f x +xf x =ln x ，f 1 =12，则下列结论错误的是( )A.xf x 在0,+∞ 上单调递增B.xf x 在0,+∞ 上单调递减C.xf x 在0,+∞ 上有极大值12D.xf x 在0,+∞ 上有极小值12【答案】ABC【解析】由x 2f x +xf x =ln x ，可知x >0，则xf x +f x =ln x x ，即xf x =ln xx．设g x =xf x ，则由g x =ln xx>0得x >1，由g x <0得0<x <1，所以g x =xf x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，所以当x =1时，函数g x =xf x 取得极小值g 1 =f 1 =12．故选：ABC ．36.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)若4x -4y <5-x -5-y ，则下列关系正确的是( )A.x <yB.y -3>x -3C.x >yD.13 y <3-x【答案】AD【解析】由4x -4y <5-x -5-y ，得4x -5-x <4y -5-y ，令f x =4x -5-x ，则f x <f y ．因为g x =4x ，h x =-5-x 在R 上都是增函数，所以f x 在R 上是增函数，所以x <y ，故A 正确；因为G x =x -3在0,+∞ 和-∞,0 上都单调递减，所以当x <y <0时，x -3>y -3，故B 错误；当x <0，y <0时，x ，y 无意义，故C 错误；因为y =13 x 在R 上是减函数，且x <y ，所以13 y <13 x ，即13y<3-x ，故D 正确．故选：AD ．37.(2022·重庆·临江中学高三开学考试)已知函数f x 的定义域是0,+∞ ，且f xy =f x +f y ，当x >1时，f x<0，f 2 =-1，则下列说法正确的是( )A.f 1 =0B.函数f x 在0,+∞ 上是减函数C.f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =2022D.不等式f 1x -f x -3 ≥2的解集为4,+∞【答案】ABD【解析】对于A ，令x =y =1 ，得f 1 =f 1 +f 1 =2f 1 ，所以f 1 =0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f 1 =f x +f 1x =0，所以f 1x=-f x ，任取x 1,x 2∈0,+∞ ，且x 1<x 2，则f x 2 -f x 1 =f x 2 +f 1x 1 =f x 2x 1，因为x 2x 1>1，所以f x 2x 1<0，所以f x 2 <f x 1 ，所以f x 在0,+∞ 上是减函数，故B 正确；对于C ，f 12022 +f 12021 +⋅⋅⋅+f 13 +f 12+f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2021 +f 2022 =f 12022×2022 +f 12021×2021 +⋅⋅⋅+f 13×3 +f 12×2 =f 1 +f 1+⋅⋅⋅+f 1 +f 1 =0，故C 错误；对于D ，因为f 2 =-1，且f 1x =-f x ，所以f 12=-f 2 =1，所以f 14 =f 12 +f 12 =2，所以f 1x -f x -3 ≥2等价于f 1x +f 1x -3≥f 14 ，又f x 在0,+∞ 上是减函数，且f xy =f x +f y ，所以1x x -3 ≤141x >01x -3>0，解得x ≥4，故D 正确,故选:ABD ．38.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)在棱长为3的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 在棱DC 上运动(不与顶点重合)，则点B 到平面AD 1P 的距离可以是( )A.2B.3C.2 D.5【答案】CD【解析】以D 为原点，DA ,DC ,DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0),A (3,0,0),B (3,3,0),D 1(0,0,3)，设P (0,t ,0)，所以AP =-3,t ,0 ,AD 1 =-3,0,3 ，AB =(0,3,0)，设n 1=x 1,y 1,z 1 为平面AD 1P 的法向量，则有： n 1 ⋅AP=-3x 1+ty 1=0n 1 ⋅AD 1 =-3x 1+3z 1=0，令y 1=3，可得n=(t ,3,t )，试卷第2页，共40页则点B 到平面AD 1P 的距离为d =AB ⋅nn=92t 2+9，因为0<t <3，所以距离的范围是(3,3).故选：CD .39.(2022·重庆南开中学高三阶段练习)已知a >b >1，则( )A.a ln b >b ln aB.e 1a-1b<a bC.a >e1-1bD.若b m =b +n ，则a m >a +n【答案】BC【解析】因为a >b >1，所以a ln b >b ln a ⇔ln b b>ln aa ，设函数f (x )=ln x x (x >1)，f (x )=1-ln xx 2，当x ∈(1,e )时，f (x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0，函数f (x )单调递减，所以A 选项错误；因为a >b >1，所以由e 1a-1b<a b ⇔1a -1b <ln a -ln b ⇔ln a -1a >ln b -1b，设函数g (x )=ln x -1x ，g (x )=1x +1x 2，当x ∈(0,+∞)时，g(x )>0，函数g (x )单调递增，所以B 选项正确；因为a >e 1-1b ⇔ln a >1-1b ，设函数h (a )=ln a -1-1a ，所以h (a )=a -1a 2，当a ∈1,+∞ 时，h (a )>0，函数h (a )单调递增，当a ∈0,1 时，h (a )<0，函数h (a )单调递减，所以h (a )>h (1)=0，即ln a -1-1a >0⇒ln a >1-1a，因为a >b >1，所以1a <1b ⇒1-1a >1-1b ，因此ln a >1-1a >1-1b，所以C 选项正确.令b =2,m =0，则有n =-1，又令a =3，所以a m =a 0=1,a +n =2，显然不成立，所以D 选项错误，故选：BC40.(2022·辽宁·高三开学考试)双曲线C 的两个焦点为F 1,F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】方法一(几何法，双曲线定义的应用)情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为B ，所以OB ⊥F 1N ，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的左支，OB =a ，OF 1 =c ， F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a52a -32a +2b =2a ，2b =a ，∴e =52选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，所以OB =a ，OF 1 =c ，F 1B =b ，设∠F 1NF 2=α，由cos ∠F 1NF 2=35，即cos α=35，则sin α=45，NA =32a ，NF 2 =52aNF 2 -NF 1 =2a 32a +2b -52a =2a ，所以2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a2=132选C方法二(答案回代法)A 选项e =52特值双曲线x 24-y 2=1,∴F 1-5,0 ,F 25,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =2x +5 ，∵两交点都在左支,∴N -655,-255 ，∴NF 2 =5,NF 1 =1,F 1F 2 =25，则cos ∠F 1NF 2=35，C 选项e =132特值双曲线x 24-y 29=1,∴F 1-13,0 ,F 213,0 ，过F 1且与圆相切的一条直线为y =23x +13 ，∵两交点在左右两支，N 在右支，∴N 141313,181313 ，∴NF 2 =5,NF 1 =9,F 1F 2 =213，则cos ∠F 1NF 2=35，解法三：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过F 1作圆D 的切线切点为G ，若M ,N 分别在左右支，因为OG ⊥NF 1，且cos ∠F 1NF 2=35>0，所以N 在双曲线的右支，又OG =a ，OF 1 =c ，GF 1 =b ，设∠F 1NF 2=α，∠F 2F 1N =β，在△F 1NF 2中，有NF 2 sin β=NF 1 sin α+β=2csin α，故NF 1 -NF 2 sin α+β -sin β=2c sin α即a sin α+β -sin β=c sin α，试卷第2页，共40页所以a sin αcos β+cos αsin β-sin β=csin α，而cos α=35，sin β=a c ，cos β=b c ，故sin α=45，代入整理得到2b =3a ，即b a =32，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=132若M ,N 均在左支上，同理有NF 2sin β=NF 1sin α+β=2c sin α，其中β为钝角，故cos β=-bc，故NF 2 -NF 1 sin β-sin α+β=2c sin α即a sin β-sin αcos β-cos αsin β=c sin α，代入cos α=35，sin β=a c ，sin α=45，整理得到：a 4b +2a=14，故a =2b ，故e =1+b a 2=52，故选：AC .41.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)将以下四个方程e x =a -x 、x 2=a -x (x >0)、x =a -x 、ln x =a -x 的正数解分别记为x 1,x 2,x 3,x 4，则以下判断一定正确的有( )A.x 1<x 2<x 3<x 4 B.x 1+x 2+x 3+x 4=2aC.x 3-x 1=x 4-x 2D.x 1x 4=x 2x 3【答案】BC【解析】画出y =e x ,y =x 2x >0 ,y =x ,y =ln x ,y =a -x 的图象如下图所示，y =x y =a -x ⇒x =y =a 2，由图可知x 1,x 4关于x =a 2对称，x 2,x 3关于x =a2对称，所以x 1+x 4=a ,x 2+x 3=a ，则x 1+x 2+x 3+x 4=2a ,x 1-x 2+x 4-x 3=0,x 3-x 1=x 4-x 2，所以BC 选项正确.当a =2时，x 1+x 4=x 2+x 3=2且x 2=x 3=1，x 1<x 2=x 3<x 4所以A 选项不正确，对于D 选项，x 1x 4<x 1+x 422=1=x 2x 3，所以D 选项不正确.故选：BC42.(2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习)已知函数f (x )在R 上有定义，记f (x )为函数f (x )的导函数，又f (2x -1)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )A.f 4x -2 是奇函数 B.f x -1 +f 3x -1 是奇函数C.f 4x 2-2 是偶函数 D.f (-5x -1)是偶函数【答案】BCD【解析】若f x =x +1，则f 2x -1 =2x 为奇函数，而f 4x -2 =4x -1为非奇非偶函数，所以A 选项错误.由于f 2x -1 是奇函数，所以f -2x -1 =-f 2x -1 ，对于函数f x -1 +f 3x -1 ，f -x -1 +f -3x -1 =-f x -1 -f 3x -1 =-f x -1 +f 3x -1 ，所以f x -1 +f 3x -1 是奇函数，B 选项正确.对于函数f 4x 2-2 ，f 4-x 2-2 =f 4x 2-2 ，所以函数f 4x 2-2 是偶函数，C 选项正确.对于D 选项，先证明奇函数的导数是偶函数：若f x 是定义在R 上的奇函数，则f -x =-f x ，两边求导得f -x =-f x ，即-f -x =-f x ，即f -x =f x ，所以奇函数的导数是偶函数.然后证明f -5x -1 为奇函数：由于f 5x -1 =-f -5x -1 ，所以f -5x -1 为奇函数，所以f (-5x -1)是偶函数，D 选项正确.故选：BCD43.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x 的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，图象关于y 轴对称，导函数为f x ，且当x <0时，f x >f xx，设a >1，则下列大小关系正确的是( )A.a +1 f 4aa +1 >2a f 2a B.f 2a >a f 2aC.4af a +1 a +1>a +1 f 4a a +1D.2f 2a <a +1 f 4a a +1 【答案】AD【解析】当x <0时，fx >f x x ，即f x -f x x =xf x -f x x>0，所以xf (x )-f (x )<0，构造函数g x =f x x ，则g(x )=xf (x )-f (x )x 2<0，∴当x <0时，g x 单调递减，又由题意可得f x 是偶函数，∴g x 是奇函数，则当x >0时，g x 也单调递减．对于A ，∵a >1，∴0<4a a +1<4a 2a=2a ，∴g 4aa +1 >g 2a ，即f 4a a +1 4a a +1>f 2a 2a ，∴a +1 f 4a a +1 >2a f 2a ，故A 正确；对于B ，∵a >1，∴2a >2a >0，∴g 2a <g 2a ，即f 2a2a <f 2a 2a，可得f 2a <a f 2a ，故B 错误；对于C ，∵a >1，a +1-4a a +1=a -1 2a +1>0，即a +1>4a a +1>0，∴g a +1 <g 4aa +1 ，即f a +1 a +1<f 4a a +1 4a a +1，∴4af a +1 a +1<a +1 f 4aa +1，故C 错误；对于D ，∵a >1，2a -4a a +1=2a 2+2a -4a a +1=2a a -1 a +1>0，∴2a >4aa +1>0，g 2a <g 4a a +1 ，即f 2a 2a <f 4a a +1 4a a +1，∴2f 2a <a +1 f 4a a +1 ，故D 正确．故选:AD ．44.(2022·辽宁·东北育才学校高三阶段练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ∈R 在区间7π12,5π6上单调，且满足f 7π12=-f 3π4 有下列结论正确的有( )A.f 2π3 =0B.若f 5π6-x =f x ，则函数f x 的最小正周期为π；试卷第2页，共40页。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(三)(解析版)

2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(三)一、单选题1.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与抛物线C 2：y 2=2px p >0 有公共焦点F ，过F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA 与抛物线C 2相交于点B ，若点A 为线段FB 的中点，双曲线C 1的离心率为e ，则e 2=( )A.3+12B.5+12C.5+13D.5+23【答案】B 【解析】根据题意，作图如下：因为双曲线C 1和抛物线C 2共焦点，故可得a 2+b 2=p 24，又F c ,0 到y =b a x 的距离d =bca 2+b 2=b ，即AF =b ，又A 为BF 中点，则BF =2b ，设点B x ,y ，则2b =x +p 2，解得x =2b -p 2；由a 2+b 2=p 24可得OA =a ，则由等面积可知：12×BF ×OA =12×OF ×y ，解得y =4abp，则B 2b -p 2,4abp ，则x A =b ,y A =2ab p ，又点A 在渐近线y =b a x 上，即b 2a =2abp，即2a 2=pb ，又p 2=4a 2+4b 2，联立得a 4-a 2b 2-b 4=0，即b 2a 2-a 2b 2+1=0，解得b 2a2=5-12，故e 2=1+b 2a2=5+12.故选：B .2.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若对任意的x 1，x 2∈0，+∞) ，且x 1≠x 2，都有x 1f x 1 -x 2f x 2x 1-x 2<0成立，则不等式mf m -2m -1 f 2m -1 >0的解集为( )A.13，1 B.(-∞，1)C.1,∞D.-∞,13∪1,+∞ 【答案】D【解析】∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数∴g x =xf x 为定义在R 上的偶函数又∵x 1f x 1 -x 2f x 2 x 1-x 2<0∴g x =xf x 在0，+∞) 上递减，则g x 在-∞,0 上递增mf m -2m -1 f 2m -1 >0即mf m >2m -1 f 2m -1则m <2m -1 解得：m ∈-∞,13∪1,+∞ ．故选：D ．3.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sin x =x -x 33!+x 55!-x 77!+⋯+-1 n -1x 2n -12n -1 !+⋯，(其中x ∈R ，n ∈N *，n !=1×2×3×⋯×n ⋅0!=1)，现用上述公式求1-12!+14!-16!+⋯+-1 n -112n -2 !+⋯的值，下列选项中与该值最接近的是( )A.sin30∘ B.sin33∘ C.sin36∘ D.sin39∘【答案】B【解析】(sin x )=cos x =1-x 22!+x 44!-x 66!+⋯+-1 n -1x 2n -22n -2 !+⋯所以cos1=1-12!+14!-16!+⋯+(-1)n -11(2n -2)!+⋯=sin π2-1=sin 90∘-180∘π ，由于90∘-180∘π 与33∘最接近，故选：B 4.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( )A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24种,第二步,排黑车,若白车选AF ,则黑车有BE ,BG ,BH ,CE ,CH ,DE ,DG 共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14种，根据分步计数原理,共有24×14=336种,故选：B5.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=xe x -2a (ln x +x )有两个零点，则a 的最小整数值为( )A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】f (x )=xe x -2a (ln x +x )=e x +ln x -2a (ln x +x )，设t =x +ln x (x >0)，t =1+1x>0，即函数在0,+∞ 上单调递增，易得t ∈R ，于是问题等价于函数g t =e t -2at 在R 上有两个零点，g t =e t -2a ，若a ≤0，则g t >0，函数g t 在R 上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若a >0，则x ∈-∞,ln2a 时，g t <0，g t 单调递减，x ∈ln2a ,+∞ 时，g t >0，g t 单调递增.因为函数g t 在R 上有两个零点，所以g t min =g ln2a =2a 1-ln2a <0⇒a >e2，而g 0 =1>0，限定t >1 ，记φt =e t -t ，φ t =e t -1>0，即φt 在1,+∞ 上单调递增，于是φt =e t -t >φ1 =试卷第1页，共3页e -1>0⇒e t>t ，则t >2时，e t2>t 2⇒e t>t 24，此时g t >t 24-2at =t 4t -8a ，因为a >e 2，所以8a>4e >1，于是t >8a 时，g t >0.综上：当a >e2时，有两个交点，a 的最小整数值为2.故选：C .6.(2022·山东·模拟预测)已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数，在0,π3单调递减，且在该区间上没有零点，则ω的取值范围为( )A.32,2 B.1,32C.32,52D.0,32【答案】D【解析】因为函数为偶函数，且在0,π3 单调递减，所以φ=π2+k πk ∈Z ，而0<φ<π，则φ=π2，于是f (x )=A cos ωx (ω>0)，函数在0,π3 单调递减，且在该区间上没有零点，所以0<π3ω≤π2⇒ω∈0,32 .故选：D .7.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)直线x -y +1=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点F ，交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若FC=2AC ，则该椭圆的离心率是( )A.10-22B.3-12C.22-2D.2-1【答案】A【解析】由题意可知，点F -c ,0 在直线x -y +1=0上，即1-c =0，可得c =1，直线x -y +1=0交y 轴于点C 0,1 ，设点A m ,n ，FC=1,1 ，AC =-m ,1-n ，由FC =2AC 可得-2m =121-n =1 ，解得m =-12n =12，椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为E 1,0 ，则AE =1+12 2+0-12 2=102，又AF =-1+12 2+0-12 2=22，∴2a =AE +AF =10+22，因此，该椭圆的离心率为e =2c 2a =210+22=410+2=410-2 8=10-22.故选：A .8.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)已知△OAB ，OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE =12ED ，则EO ⋅EA的值为( )A.-328B.-121C.-29D.-221【答案】D【解析】由题意，作出图形，如图，∵OA =1，OB =2，OA ⋅OB=-1∴OA ⋅OB =1×2cos ∠AOB =2cos ∠AOB =-1，∴cos ∠AOB =-12，由∠AOB ∈0,π 可得∠AOB =2π3，∴AB =OA 2+OB 2-2⋅OA ⋅OB ⋅cos ∠AOB =7，又S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin ∠AOB =12⋅OD ⋅AB =32，则OD =37，∴EO ⋅EA =-OE ⋅ED +DA =-2OE 2=-29⋅OD 2=-29×37=-221.故选：D ．9.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)若函数f x =e x -2x 图象在点x 0,f x 0 处的切线方程为y =kx +b ，则k -b 的最小值为( )A.-2 B.-2+1eC.-1eD.-2-1e【答案】D【解析】由f x =e x -2x 求导得：f (x )=e x -2，于是得f (x 0)=e x 0-2，函数f (x )=e x -2x 图象在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y -(e x 0-2x 0)=(e x 0-2)(x -x 0)，整理得：y =(e x 0-2)x +(1-x 0)e x 0，从而得k =e x 0-2,b =(1-x 0)e x 0，k -b =x 0e x 0-2，令g (x )=xe x -2，则g (x )=(x +1)e x ，当x <-1时，g (x )<0，当x >-1时，g (x )>0，于是得g (x )在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,+∞)上单调递增，则g (x )min =g (-1)=-2-1e，所以k -b 的最小值为-2-1e.故选：D10.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知定义域是R 的函数f x 满足：∀x ∈R ，f 4+x +f -x =0，f 1+x 为偶函数，f 1 =1，则f 2023 =( )A.1 B.-1C.2D.-3【答案】B【解析】因为f 1+x 为偶函数，所以f x 的图象关于直线x =1对称，所以f 2-x =f x ，又由f 4+x +f -x =0，得f 4+x =-f -x ，所以f 8+x =-f -4-x =-f 6+x ，所以f x +2 =-f x ，所以f x +4 =f x ，故f x 的周期为4，所以f 2023 =f 3 =-f 1 =-1．故选:B ．11.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109∘28 ，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱ABCDEF -A B C D E F 的三个顶点试卷第1页，共3页A ,C ,E 处分别用平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 截掉三个相等的三棱锥M -ABF ,O -BCD ,N -DEF ，平面BFM ，平面BDO ，平面DFN 交于点P ，就形成了蜂巢的结构.如图，设平面PBOD 与正六边形底面所成的二面角的大小为θ，则( )A.tan θ=33tan54∘44 B.sin θ=33tan54∘44 C.cos θ=33tan54∘44D.tan θ=3tan54∘44 【答案】C【解析】先证明一个结论：如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，C -AB -C 的平面角为θ,θ∈0,π2 ，则cos θ=S △ABCS △ABC.证明：如图，在平面β内作CE ⊥AB ，垂足为E ，连接EC ，因为△ABC 在平面α内的射影为△ABC ，故CC ⊥α，因为AB ⊂α，故CC ⊥AB ，因为CE ∩AB =E ，故AB ⊥平面ECC .因为EC ⊂平面ECC ，故C E ⊥AB ，所以∠CEC 为二面角的平面角，所以∠CEC =θ.在直角三角形CEC 中，cos ∠CEC =cos θ=ECEC=S △ABCS △ABC .由题设中的第二图可得：cos θ=S △DBCS △DBO.设正六边形的边长为a ，则S △DBC =12a 2×32=34a 2，如图，在△DBO 中，取BD 的中点为W ，连接OW ，则OW ⊥BD ，且BD =3a ，∠BOD =109°28 ，故OW =32a ×1tan54°44，故S △DBO =12×3a ×32a ×1tan54°44 =34a 2×1tan54°44 ，故cos θ=33tan54°44 .故选：C .12.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知2021ln a =a +m ，2021ln b =b +m ，其中a ≠b ，若ab <λ恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.2021e 2,+∞ B.20212,+∞C.20212,+∞D.2021e 2,+∞【答案】C【解析】令f (x )=ln x -12021x ，则f (x )=1x -12021=2021-x2021x，∴当x ∈(0,2021)时，f (x )>0，当x ∈(2021,+∞)时，f (x )<0，∵f (2021)>0，∴设0<a <20211)，两式相减，得2021ln b a =b -a ，则2021ln t =a (t -1)，∴a =2021ln t t -1，b =at =2021t ln tt -1，∴ab =20212⋅t (ln t )2(t -1)2，令g (t )=t (ln t )2-(t -1)2，∴g (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，令h (t )=(ln t )2+2ln t -2t +2，则h (t )=2t(ln t +1-t )，令m (t )=ln t +1-t ，则m (t )=1t-1<0，∴函数m (t )在(1,+∞)上单调递减，∴m (t )<m (1)=0,即h (t )<0,∴h (t )<h 1 =0，∴g (t )<0，∴函数g (t )在(1,+∞)上单调递减，∴g (t )<g 1 =0，∴t (ln t )2-(t -1)2<0，∴t (ln t )2(t -1)2<1，∴ab <20212，∴实数λ的取值范围为20212,+∞ ，故选：C ．13.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)己知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A =AB ，F 1B ⋅F 2B=0，则C 的离心率为( )A.2B.5C.3+1D.5+1【答案】A 【解析】如下图示，因为F 1A =AB ，F 1B⋅F 2B =0，O 是F 1F 2中点，所以A 是F 1B 中点且F 1B ⊥F 2B ，则OA ⊥F 1B ，OF 1=OB =c ，因为直线OA 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线，所以k OA =-b a ，k F 1B =a b ，直线F 1B 的方程为y =ab (x +c )，联立y =a b (x +c )y =b ax，解得B a 2c b 2-a 2,abc b 2-a 2 ，则|OB |2=a 4c 2b 2-a 2 2+试卷第1页，共3页a 2b 2c 2b 2-a 22=c 2，整理得b 2=3a 2，因为c 2-a 2=b 2，所以4a 2=c 2，e =ca=2.故选：A14.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知函数f x =cos 2ωx 2+32sin ωx -12ω>0,x ∈R .若函数f x 在区间π,2π 内没有零点，则ω的取值范围是A.0,512 B.0,512 ∪56,1112 C.0,56D.0,512 ∪56,1112【答案】D【解析】 (1)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π,2k π+π),k ∈Z ，则{ωx +π6≥2k π2ωπ+π6≤2k π+π ，则{ω≥2k -16ω≤k +512，取k =0 ，∵ω>0, ∴0<k ≤512；(2)ωπ+π6,2ωπ+π6 ⊆(2k π+π,2k π+2π),k ∈Z ，则{ωπ+π6≥2k π+π2ωπ+π6≤2k π+2π ，解得：{ω≥2k +56ω≤k +1112，取k=0 ，∴56≤k ≤1112；综上可知：k 的取值范围是0,512 ∪56,1112，选D .15.(2022·湖南·高三开学考试)已知a =2,b =513,c =(2+e )1e ，则a ,b ,c 的大小关系为( )A.b <c <aB.c 0)，则fx =x x +2-ln 2+xx 2，令g x =x x +2-ln 2+x ,(x >0)，则g x =-x(x +2)2<0，所以g x 在0,+∞ 上单调递减，g x <g 0 =0，所以f x <0恒成立，所以f x 在0,+∞ 上单调递减，因为2<e <3，所以f 2 >f e >f 3 ，即12ln 2+2 >1e ln 2+e >13ln 2+3 ，所以ln (2+2)12>ln (2+e )1e>ln (2+3)13，所以412>(2+e )1e>513，即b <c <a .故选：A .16.(2022·湖北·高三开学考试)已知a ,b ,c 均为不等于1的正实数，且ln c =a ln b ,ln a =b ln c ，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.c >a >b B.b >c >aC.a >b >cD.a >c >b【答案】D【解析】∵ln c =a ln b ,ln a =b ln c 且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a、ln b、ln c同号.①若a、b、c∈0,1，则ln a、ln b、ln c均为负数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b；②若a、b、c∈1,+∞，则ln a、ln b、ln c均为正数，ln a=b ln c>ln c，可得a>c，ln c=a ln b>ln b，可得c>b，此时a>c>b.综上所述，a>c>b.故选：D.17.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)设f x 是定义在R上的连续的函数f x 的导函数，f x -f x +2e x<0(e为自然对数的底数)，且f2 =4e2，则不等式f x >2xe x的解集为( )A.-2,0∪2,+∞B.e,+∞C.2,+∞D.-∞,-2∪2,+∞【答案】C【解析】设g x =f xe x-2x，则g x =f x -f xe x-2=f x -f x -2e xe x，∵f x -f x +2e x<0，∴g x >0，函数g x 在R上单调递增，又f2 =4e2，∴g2 =f2e2-4=0,由f x >2xe x，可得f xe x-2x>0，即g x >0=g2 ，又函数g x 在R上单调递增，所以x>2，即不等式f x >2xe x的解集为2,+∞.故选：C．18.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知实数α，β满足αeα-3=1，βlnβ-1=e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为( )A.e3B.2e3C.2e4D.e4【答案】D【解析】因为αeα-3=1，所以αeα=e3，所以α+lnα=3．因为βlnβ-1=e4，所以lnβ+ln lnβ-1=4．联立α+lnα-3=0lnβ-1+ln lnβ-1-3=0 ，所以α与lnβ-1是关于x的方程x+ln x-3=0的两根．构造函数f x =x+ln x-3，该函数的定义域为0,+∞，且该函数为增函数，由于fα =f lnβ-1=0，所以α=lnβ-1，又α+lnα-3=0，所以lnβ-1+lnα-3=0，即lnαβ=4，解得αβ=e4．故选：D．19.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知F c,0(其中c>0)是双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点.圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A、B两点.已知l的倾斜角为30°.则tan∠AFB=( )A.-2B.-3C.-22D.-23试卷第1页，共3页【答案】C 【解析】如图所示：x 2+y 2-2cx +b 2=0，化为x -c 2+y 2=c 2-b 2=a 2，因为渐近线l 的倾斜角为30°，所以tan30∘=b a =33，圆心F c ,0 到直线y =bax 的距离为：d =bca1+b a2=b ，又AF =BF =a ，所以cos 12∠AFB =b a =33,sin 12∠AFB =63，则tan 12∠AFB =2，所以tan ∠AFB =2tan 12∠AFB1-tan 212∠AFB=2×21-2 2=-22，故选：C20.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)设函数f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +3，则满足f x +f 3-2x <6的x 的取值范围是( )A.3,+∞ B.1,+∞ C.-∞,3 D.-∞,1【答案】B【解析】假设g x =sin x +e x -e -x -x ,x ∈R ，所以g -x =sin -x +e -x -e x +x ，所以g x +g -x =0，所以g x 为奇函数，而f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x -1 +3是g x 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以f x 的对称中心为1,3 ，所以6=f x +f 2-x ，由f x =sin x -1 +e x -1-e 1-x -x +4求导得f x =cos x -1 +e x -1+e 1-x -1=e x -1+1ex -1+cos x -1 -1因为e x -1+1e x -1≥2e x -1⋅1e x -1=2，当且仅当e x -1=1e x -1即x =1，取等号，所以f x ≥0,所以f x 在R 上单调递增，因为f x +f 3-2x <6=f x +f 2-x 得f 3-2x <f 2-x 所以3-2x <2-x ，解得x >1，故选：B 二、多选题21.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)已知函数f x =log 2x ,(0<x <2)x 2-8x +13,x ≥2，若f x =a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是( )A.0<a <1B.x 1+2x 2∈22,92C.x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212D.2x 1+x 2∈22,3【答案】ACD【解析】在同一坐标系中作出函数y =f x ,y =a 的图象，如图所示：由图象知：若f x =a 有四个不同的实数解，则0<a <1，故A 正确；因为log 2x 1 =log 2x 2 ，即-log 2x 1=log 2x 2，则1x 1=x 2，所以x 1+2x 2=1x 2+2x 2,1<x 2<2，因为y =1x 2+2x 2在1,2 上递增，所以1x 2+2x 2∈3,92，故B 错误；因为x 1+x 2=1x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+x 2在1,2 上递增，所以1x 2+x 2∈2,52，而x 3+x 4=8，所以x 1+x 2+x 3+x 4∈10,212 ，故C 正确；因为2x 1+x 2=2x 2+x 2,1<x 2<2，y =1x 2+2x 2在1,2 上递减，在2,2 上递增，则2x 2+x 2∈[22,3)，故D 正确；故选：ACD22.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学模拟预测)如图，点P 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的表面上一个动点，则( )A.当P 在平面BCC 1B 1上运动时，四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变B.当P 在线段AC 上运动时，D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围是π3，π2C.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为π+42D.若F 是A 1B 1的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足PF ⎳平面B 1CD 1时，PF 长度的最小值是5【答案】ABC【解析】A 选项，底面正方形AA 1D 1D 的面积不变，P 到平面AA 1D 1D 的距离为正方体棱长，故四棱锥P -AA 1D 1D 的体积不变，A 选项正确；B 选项，D 1P 与A 1C 1所成角即D 1P 与A C 所成角，当P 在端点A ，C 时，所成角最小，为π3，当P 在AC 中点时，所成角最大，为π2，故B 选项正确；C 选项，由于P 在正方体表面，P 的轨迹为对角线AB 1，AD 1，以及以A 1为圆心2为半径的14圆弧如图，试卷第1页，共3页故P 的轨迹长度为π+42，C 正确；D 选项，FP 所在的平面为如图所示正六边形，故FP 的最小值为6，D 选项错误.故选：ABC .23.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =12z ，则( )A.1x +1y =1zB.6z <3x <4yC.xy <4z 2D.x +y >4z【答案】ABD【解析】设3x =4y =12z =t ，t >1，则x =log 3t ，y =log 4t ，z =log 12t ，所以1x +1y =1log 3t +1log 4t =log t 3+log t 4=log t 12=1z，A 正确；因为6z3x =2log 12t log 3t =2log t 3log t 12=log 129<1，则6z <3x ，因为3x4y =3log 3t 4log 4t =3log t 44log t 3=log t 64log t 81=log 8164<1，则3x <4y ，所以6z <3x <4y ，B 正确；因为x +y -4z =log 3t +log 4t -4log 12t =1log t 3+1log t 4-4log t 12=log t 3+log t 4log t 3log t 4-4log t 3+log t 4=log t 3-log t 42log t 3log t 4log t 3+log t 4 >0，则x +y >4z ，D 正确.因为1z =1x +1y =x +y xy ，则xy z =x +y >4z ，所以xy >4z 2，C 错误.故选：ABD .24.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.1]=-3，[2.1]=2.则下列说法正确的是( )A.函数y =x -[x ]在区间[k ,k +1)(k ∈Z )上单调递增B.若函数f (x )=sin xe x -e -x，则y =[f (x )]的值域为{0}C.若函数f (x )=|1+sin2x -1-sin2x |，则y =[f (x )]的值域为{0,1}D.x ∈R ，x ≥[x ]+1【答案】AC【解析】对于A ，x ∈[k ,k +1)，k ∈Z ，有[x ]=k ，则函数y =x -[x ]=x -k 在[k ,k +1)上单调递增，A 正确；对于B ，f 3π2=sin 3π2e 3π2-e -3π2=-1e 3π2-e-3π2∈(-1,0)，则f 3π2=-1，B 不正确；对于C ，f (x )=(1+sin2x -1-sin2x )2=2-21-sin 22x =2-2|cos2x |，当0≤|cos2x |≤12时，1≤2-2|cos2x |≤2，1≤f (x )≤2，有[f (x )]=1，当12<|cos2x |≤1时，0≤2-2|cos2x |<1，0≤f (x )<1，有[f (x )]=0，y =[f (x )]的值域为{0,1}，C 正确；对于D ，当x =2时，[x ]+1=3，有2<[2]+1，D 不正确.故选：AC25.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f (x )是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令x n =f (x n -1)(n =1，2，3，⋯)，若存在正整数k 使得x k =x 0，且当0<j <k 时，x j ≠x 0，则称x 0是f (x )的一个周期为k 的周期点.若f (x )=2x ，x <122(1-x )，x ≥12，下列各值是f (x )周期为1的周期点的有( )A.0 B.13 C.23D.1【答案】AC【解析】A ：x 0=0时，x 1=f 0 =0，周期为1，故A 正确；B ：x 0=13时，x 1=f 13 =23，x 2=f 23 =23，x 3=⋯=x n =23，所以13不是f x 的周期点.故B 错误；C ：x 0=23时，x 1=x 2=⋯=x n =23，周期为1，故C 正确；D ：x 0=1时，x 1=f 1 =0，∴1不是f x 周期为1的周期点，故D 错误.故选：AC .26.(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)在数列a n 中，对于任意的n ∈N *都有a n >0，且a 2n +1-a n +1=a n ，则下列结论正确的是( )A.对于任意的n ≥2，都有a n >1B.对于任意的a 1>0，数列a n 不可能为常数列C.若0<a 1<2，则数列a n 为递增数列D.若a 1>2，则当n ≥2时，2<a n <a 1【答案】ACD 【解析】A ：由a n +1=a n a n +1+1，对∀n ∈N *有a n >0，则a n +1=an a n +1+1>1，即任意n ≥2都有a n >1，正确；B ：由a n +1(a n +1-1)=a n ，若a n 为常数列且a n >0，则a n =2满足a 1>0，错误；C ：由an a n +1=a n +1-1且n ∈N *，当1<a n +1<2时0<an a n +1<1，此时a 1=a 2(a 2-1)∈(0,2)且a 1<a 2，数列a n 递增；当a n +1>2时an a n +1>1，此时a 1=a 2(a 2-1)>a 2>2，数列a n 递减；所以0<a 1<2时数列a n 为递增数列，正确；试卷第1页，共3页D：由C分析知：a1>2时a n+1>2且数列a n递减，即n≥2时2<a n<a1，正确.故选：ACD27.(2022·山东·模拟预测)已知点P在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上运动，点Q是CD的中点，点P满足PQ⊥AC1，下列结论正确的是( )A.点P的轨迹的周长为32B.点P的轨迹的周长为62C.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为43D.三棱锥P-BCQ的体积的最大值为23【答案】BD【解析】取BC的中点为E，取BB1的中点为F，取A1B1的中点为G，取A1D1的中点为H，取DD1的中点为M，分别连接QE,EF,FG,GH,HM,MQ，由AC1⊥QE,AC1⊥EF，且QE∩EF=E，所以AC1⊥平面EFGHMQ，由题意可得P的轨迹为正六边形EFGHMQ，其中|QE|=|EF|=2，所以点P的轨迹的周长为62，所以A不正确，B正确；当点P在线段HG上运动时，此时点P到平面BCQ的距离取得最大值，此时V P-BCQ有最大值，最大值为V max=13×12×2×1×2=23，所以C不正确，D正确．故选：BD28.(2022·山东·模拟预测)正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为f(x)=2sin x+sin2x，则下列叙述不正确的是( )A.f(x)在[0,2π)内有5个零点B.f(x)的最大值为3C.(2π,0)是f(x)的一个对称中心D.当x∈0,π2时，f(x)单调递增【答案】ABD【解析】对于A，由f(x)=2sin x+sin2x=2sin x(1+cos x)，令f(x)=0，则sin x=0或cos x=-1，易知f(x)在[0,2π)上有2个零点，A错误．对于B，因为2sin x≤2,sin2x≤1，由于等号不能同时成立，所以f(x)<3，B错误．对于C，易知f(x)为奇函数，函数关于原点对称，又周期为2π，故(2π,0)是f(x)的一个对称中心．对于D，f (x)=2cos x+2cos2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，因为cos x+1≥0，所以2cos x-1>0时，即：x∈2kπ-π3,2kπ+π3(k∈Z)时，f(x)单调递增，x∈2kπ+π3,2kπ+5π3(k∈Z)时，f(x)单调递减，故D错误．故选：ABD29.(2022·山东·模拟预测)已知函数f(x)=e x,x≥0-x2-4x,x<0，方程f2(x)-t⋅f(x)=0有四个实数根x1,x2,x3,x4，且满足x1<x2<x3<x4，下列说法正确的是( )A.x1x4∈(-6ln2,0]B.x1+x2+x3+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2)C.t的取值范围为[1,4)D.x2x3的最大值为4【答案】BC【解析】f2(x)-t⋅f(x)=0⇒f(x)[f(x)-t]=0⇒f(x)=0或f(x)=t，作出y=f(x)的图象，当f(x)=0时，x1=-4，有一个实根；当t=1时，有三个实数根，∴共四个实根，满足题意；当t=4时，f(x)=t只有两个实数根，所以共三个实根，不满足题意，此时与y=e x的交点坐标为(2ln2,4).要使原方程有四个实根，等价于f(x)=t有三个实根，等价于y=f(x)与y=t图像有三个交点，故t∈[1,4)，x4∈[0,2ln2)，所以x1x4∈(-8ln2,0]，故A错误，C正确；又因为x2+x3=-4，所以x1+x2+x3+x4=-8+x4的取值范围为[-8,-8+2ln2))，B正确；因为x2+x3=-4,x2<x3<0，所以x2x3=-x2⋅-x3<-x2+x322=4，故D错误．故选：BC.30.(2022·江苏·南京市雨花台中学模拟预测)阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x2上两个不同点A,B横坐标分别为x1，x2，以A,B为切点的切线交于P点.则关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有( )A.若AB过抛物线的焦点，则P点一定在抛物线的准线上B.若阿基米德三角形PAB为正三角形，则其面积为334C.若阿基米德三角形PAB为直角三角形，则其面积有最小值14D.一般情况下，阿基米德三角形PAB的面积S=|x1-x2|24【答案】ABC【解析】由题意可知：直线AB一定存在斜率，所以设直线AB的方程为：y=kx+m，由题意可知：点A(x1,x21),B(x2,x22)，不妨设x1<0<x2，由y=x2⇒y =2x，所以直线切线PA,PB的方程分别为：y-x21=2x1(x-x1),y-x22=2x2(x-x2)，两方程联立得：y-x21=2x1(x-x1) y-x22=2x2(x-x2)，解得：x=x1+x22 y=x1x2，所以P点坐标为：x1+x22,x1x2，试卷第1页，共3页直线AB 的方程与抛物线方程联立得：y =kx +m y =x 2⇒x 2-kx -m =0⇒x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m .A ：抛物线C ：y =x 2的焦点坐标为0,14 ，准线方程为 y =-14，因为AB 过抛物线的焦点，所以m =14，而x 1x 2=-m =-14，显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|PB |，即x 1+x 22-x 1 2+(x 1x 2-x 21)2=x 1+x 22-x 2 2+(x 1x 2-x 22)2，因为 x 1≠x 2，所以化简得：x 1=-x 2，此时A (x 1,x 21),B (-x 1,x 21)， P 点坐标为：(0,-x 21)，因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有|PA |=|AB |，所以(0-x 1)2+(-x 21-x 21)2=-2x 1⇒x 1=-32，因此正三角形PAB 的边长为3，所以正三角形PAB 的面积为12×3×3⋅sin60°=12×3×3×32=334，故本选项说法正确；C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA ⊥PB 时，所以k PA ⋅k PB =-1⇒x 1+x 22-x 1x 1x 2-x 21⋅x 1+x 22-x 2x 1x 2-x 22=-1⇒x 1x 2=-14，直线AB 的方程为：y =kx +14所以P 点坐标为：k 2,-14 ，点 P 到直线AB 的距离为：k 2⋅k +-14 ×(-1)+14 k 2+(-1)2=12k 2+1，|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=[(x 1+x 2)2-4x 1x 2][1+(x 1+x 2)2]，因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-14，所以 AB =(k 2+1)(1+k 2)=1+k 2，因此直角PAB 的面积为：12×12⋅k 2+1⋅(k 2+1)=14(k 2+1)3≥14，当且仅当k =0时，取等号，显然其面积有最小值14，故本说法正确；D ：因为x 1+x 2=k ,x 1x 2=-m ，所以|AB |=(x 1-x 2)2+(x 21-x 22)2=(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=x 1-x 2 k 2+1，点P 到直线AB 的距离为：x 1+x 22⋅k +(-1)⋅x 1⋅x 2+m k 2+(-1)2=x 1+x 22⋅(x 1+x 2)+(-1)⋅x 1⋅x 2-(x 1x 2)k 2+(-1)2=12⋅(x 1-x 2)2k 2+1,所以阿基米德三角形PAB 的面积S =12⋅x 1-x 2 ⋅k 2+1⋅12⋅(x 1-x 2)2k 2+1=x 1-x 2 34，故本选项说法不正确.故选：ABC31.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知函数f (x )=x ln x ，若0<x 1<x 2，则下列结论正确的是( )A.x 2f x 1 <x 1f x 2B.x 1+f x 1 <x 2+f x 2C.f x 1 -f x 2 x 1-x 2<0D.当ln x >-1时，x 1f x 1 +x 2f x 2 >2x 2f x 1 【答案】AD【解析】对于A 选项，因为令g x =f (x )x=ln x ，在0,+∞ 上是增函数，所以当0<x 1<x 2时，g x 1 <g x 2 ，所以f (x 1)x 1<f (x 2)x 2，即x 2f x 1 <x 1f x 2 ．故A 选项正确；对于B 选项，因为令g x =f x +x =x ln x +x ，所以g ′x =ln x +2，所以x ∈e -2,+∞ 时，g ′x >0,g x 单调递增，x ∈0,e -2 时，g ′x <0,g x 单调递减．所以x 1+f x 1 与x 2+f x 2 无法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令f ′x =ln x +1，所以x ∈0,1e时，f ′x <0,f x 在0,1e 单调递减，x ∈1e ,+∞ 时，f ′x >0,f x 在1e ,+∞ 单调递增，所以当0<x 1<x 2<1e 时，f x 1 >f x 2 ，故f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立，当1e <x 1<x 2时，f x 1 <f x 2 ，f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0．故C 选项错误；对于D 选项，由C 选项知，当ln x >-1时，f x 单调递增，又因为A 正确，x 2f x 1 <x 1f x 2 成立，所以x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -2x 2f x 1 >x 1⋅f x 1 +x 2⋅f x 2 -x 2f x 1 -x 1f x 2 =x 1f x 1 -f x 2 +x 2f x 2 -f x 1 =x 1-x 2 f x 1 -f x 2 >0,故D 选项正确.故选：AD ．32.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)已知a ，b 为正实数，且ab =32a +b -42，则2a +b 的取值可以为( )A.1 B.4C.9D.32【答案】BD【解析】因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42=ab =2ab 2≤2a +b22，当且仅当2a =b 时等号成立，即32a +b -42≤2a +b22，所以2a +b -622a +b +16≥0，所以2a +b ≥42或2a +b ≤22，因为a ，b 为正实数，ab =32a +b -42，所以32a +b -42>0，所以2a +b ≥42或423<2a +b ≤22．所以2a +b ≥32或329<2a +b ≤8．故选：BD ．33.(2023·江苏·南京市第一中学模拟预测)下列不等式正确的是( )A.log 23<log 49B.log 23<lg15C.log 812>log 1215D.log 812>log 636【答案】CD【解析】选项A ：log 23=log 2232=log 49，故不正确；设f x =log 2x 3x (x ≥1)，因为x ≥1，所以f x =ln 3x ln 2x=3ln 2x 3x -2ln 3x2x ln 22x=试卷第1页，共3页ln 2x -ln 3xx ln 22x <0，所以f x 在[1,+∞)上单调递减，所以选项B ：f 1 =log 23>log 1015=lg15=f 5 ，故不正确；选项C ：f 4 =log 812>f 5 =log 1015>log 1215，故正确；选项D ：f 4 =log 812>f 18 =log 3654=log 636，故正确，故选:CD ．34.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f (x )=x ln (1+x )，则( )A.f (x )在(0,+∞)单调递增B.f (x )有两个零点C.曲线y =f (x )在点-12,f -12处切线的斜率为-1-ln2D.f (x )是偶函数【答案】AC【解析】由f (x )=x ln (1+x )知函数的定义域为(-1,+∞)，f (x )=ln (1+x )+x1+x，当x ∈(0,+∞)时，ln (1+x )>0,x1+x>0，∴f (x )>0，故f (x )在(0,+∞)单调递增，A 正确；由f (0)=0，当-1<x <0时，ln (1+x )<0,f (x )=x ln (1+x )>0，当ln (1+x )>0,f (x )>0，所以f (x )只有0一个零点，B 错误；令x =-12，f -12 =ln 12-1=-ln2-1，故曲线y =f (x )在点-12,f -12 处切线的斜率为-1-ln2，C 正确；由函数的定义域为(-1,+∞)，不关于原点对称知，f (x )不是偶函数，D 错误.故选：AC35.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >00,x =012f x +1 ,x <0，则下列说法正确的有( )A.当x ∈-3,-2 时，f x =18x +3 ln x +3B.若不等式f x -mx -m <0至少有3个正整数解，则m >ln3C.过点A -e -2,0 作函数y =f x x >0 图象的切线有且只有一条D.设实数a >0，若对任意的x ≥e ，不等式f x ≥a x e ax 恒成立，则a 的最大值是e【答案】ACD【解析】对于A ：当x ∈-3,-2 ，∴x +3∈0,1 ，f x +3 =x +3 ln x +3 ，∵f x =18f x +3 ，∴f x =18x +3 ln x +3 ，A 正确；对于B ：f x <mx +m ，画出y 1=f x 与y 2=mx +m 的图象，根据函数的图象，要想至少有3个正整数解，要满足f 3 <3m +m ，∴m >34ln3，故B 错；对于C ：设切点T x 0,y 0 则k AT =f x 0 ，∴x 0ln x 0x 0+1e2=ln x 0+1，即e 2x 0+ln x 0+1=0，设h x =e 2x +ln x +1，当x >0时，h x >0，∴h x 是单调递增函数，∴h x =0最多只有一个根，又h 1e 2 =e 2⋅1e 2+ln 1e2+1=0，∴x 0=1e 2，由f x 0 =-1得切线方程是x +y +1e2=0，故C 正确；对于D .：由题意e ln x ⋅ln x ≥a xe ax .设g x =x ⋅e x x >0 ，则g x =x +1 e x >0，于是g x 在0,+∞ 上是增函数.因为a x >0，ln x >0，所以ax≤ln x ，即a ≤x ln x 对任意的x ≥e 恒成立，因此只需a ≤x ln x min .设f x =x ln x x ≥e ，f x =ln x +1>0x ≥e ，所以f x 在e ,+∞ 上为增函数，所以f x min =f (e )=e ，所以a ≤e ，即a 的最大值是e ，选项D 正确；故选：ACD .36.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 为坐标原点，一条平行于x 轴的光线l 1从点M (5,2)射入，经过C 上的点A 反射后，再经C 上另一点B 反射后，沿直线l 2射出，经过点N ．下列说法正确的是( )A.若p =2，则|AB |=4 B.若p =2，则MB 平分∠ABN C.若p =4，则|AB |=8D.若p =4，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D ，B ，N 三点共线【答案】ABD【解析】若p =2，则抛物线C :y 2=4x ，A (1,2)，C 的焦点为F (1,0)，直线AF 的方程为：x =1，可得B (1,-2)，|AB |=4，选项A 正确；p =2时，因为|AM |=5-1=4=|AB |，所以∠A MB =∠ABM ，又AM ∥BN ，所以∠A MB =∠MB N ，所以MB 平分∠ABN ，选项B 正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2 ，C 的焦点为F (2,0)，直线AF 的方程为y =-43(x -2)，联立抛物线方程求解可得B (8,-8)，所以|AB |=252，选项C 不正确；若p =4，则抛物线C :y 2=8x ，A 12，2，延长AO 交直线x =-2于点D ，则D (-2,-8)，由C 选项可知B试卷第1页，共3页(8,-8)，所以D，B，N三点共线，故D正确.故选：ABD．37.(2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试)已知a>1，x1，x2，x3为函数f(x)=a x-x2的零点，x1<x2<x3，下列结论中正确的是( )A.x1>-1B.x1+x2<0C.若2x2=x1+x3，则x3x2=2+1 D.a的取值范围是1,e2e【答案】ACD【解析】∵a>1,f-1=a-1-1=1a-1<0,f0 =a0-0=1>0 ，∴-1<x1<0 ，故A正确；当0≤x≤1 时，1≤a x≤a,0≤x2≤1 ，f x 必无零点，故x2>1 ，∴x1+x2>0 ，故B错误；当2x2=x1+x3 时，即a x1=x21a x2=x22a x3=x23，两边取对数得x1=2log a-x1x2=2log a x2x3=2log a x3，4log a x2=2log a-x1+2log a x3 ，x22=-x1x3 ，联立方程x22=-x1x32x2=x1+x3解得x23-2x2x3-x22=0 ，由于x2>0,x3>0 ，x3x2=2+1 ，故C正确；考虑f x 在第一象限有两个零点：即方程a x=x2 有两个不同的解，两边取自然对数得x ln a=2ln x 有两个不同的解，设函数g x =x ln a-2ln x ，g x =ln a-2x=ln a x-2ln ax ，则x=x0=2ln a 时，g x =0 ，当x>x0 时，g x >0 ，当x<x0 时，g x <0 ，所以g min x =g x0=2-2ln2ln a，要使得g x 有两个零点，则必须g x0<0，即ln2ln a>1 ，解得a<e2e ，故D正确；故选：ACD.38.(2022·湖北·高三开学考试)关于函数f x =ae x+sin x,x∈-π,π，下列结论中正确的有( )A.当a=-1时，f x 的图象与x轴相切B.若f x 在-π,π上有且只有一个零点，则满足条件的a的值有3个C.存在a ，使得f x 存在三个极值点D.当a =1时，f x 存在唯一极小值点x 0，且-1<f x 0 <0【答案】BCD【解析】对于A ，f (x )=-e x +sin x ，f (x )=-e x +cos x =0，即e x =cos x ，由函数y =e x 、y =cos x 的图像可知方程有两个根：x 1∈-π2,0 ，x 2=0，f (x 2)=-1,f (x 1)=sin x 1-e x 1<0，即斜率为0的切线其切点不在x 轴上，故A 错误；对于B ，f (x )=0⇔a =-sin x e x ，令g (x )=-sin xex ，g (x )=sin x -cos x ex ，x ∈-π,-3π4 、x ∈π4,π ,g (x )>0,g (x )单调递增，x ∈-3π4,π4 ,g (x )单调递减，g (-π)=0,g -3π4 =22e 3π4,g π4 =-22e π4,g (π)=0，结合图像可知满足f (x )=0⇔a =-sin xex 在-π,π 上有且只有一个零点的a 的值有3个：0，22e3π4，-22e π4，故B 正确；对于C ，f (x )=ae x +cos x =0⇔a =-cos xex =h (x )，h (x )=2sin x +π4ex ，可知x ∈-π,-π4 ,h (x )<0,h (x )单调递减，x ∈-π4,3π4 ,h (x )>0,h (x )单调递增， x ∈3π4,π ,h (x )<0,h (x )单调递减，h (-π)=e π,h -π4 =-2e π42,h 3π4 =22e 3π4,h (π)=1e π，故a ∈1e π,22e 3π4时，a =-cos xe x =h (x )有三个实数根，f x 存在三个极值点，故C 正确；对于D ,f (x )=e x +cos x =0⇔e x =-cos x ,由图像可知此方程有唯一实根x 0，因为e 3π2>2，所以1e 3π2<12,1e 3π4<22，f -3π4 =1e3π4-22<0，x 0∈-3π4,-π2 ，f (x 0)=e x 0+sin x 0=sin x 0-cos x 0=2sin x 0-π4，可知-1<f (x 0)<0，故D 正确.故选：BCD .39.(2022·湖北·襄阳五中高三开学考试)已知函数f x =x x -1,x <15ln x x ,x ≥1，下列选项正确的是( )A.函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞B.函数f x 的值域为-∞,1C.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是5e ,+∞ D.若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是1,5e 【答案】ACD试卷第1页，共3页【解析】对于A 选项，当x <1时，f x =x x -1，则f x =-1x -12<0，当x ≥1时，f x =5ln xx ，则f x =51-ln x x2，由f x <0可得x >e ，所以，函数f x 的单调减区间为-∞,1 、e ,+∞ ，A 对；对于B 选项，当x <1时，f x =1+1x -1<1，当x ≥1时，0≤f x =5ln x x ≤f e =5e，因此，函数f x 的值域为-∞,5e，B 错；对于CD 选项，作出函数f x 的图像如下图所示：若a ≤0，由f 2x -a f x =0可得f x =0，则方程f x =0只有两个不等的实根；若a >0，由f 2x -a f x =0可得f x =0或f x =a 或f x =-a ，由图可知，方程f x =0有2个不等的实根，方程f x =-a 只有一个实根，若关于x 的方程f 2x -a f x =0有3个不相等的实数根，则a >5e，C 对；若关于x 的方程f 2x -a f x =0有5个不相等的实数根，则1≤a <5e，D 对.故选：ACD .40.(2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试)已知函数f (x )=sin 4x +π3 +cos 4x -π6，则下列结论正确的是( )A.f (x )的最大值为2B.f (x )在-π8,π12上单调递增C.f (x )在[0,π]上有4个零点D.把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象关于直线x =-π8对称【答案】ACD【解析】因为f (x )=sin π2+4x -π6+cos 4x -π6 =2cos 4x -π6，所以A 正确；当x ∈-π8,π12 时，4x -π6∈-2π3,π6 ，函数f (x )=2cos 4x -π6 在-π8,π12上先增后减，无单调性，故B 不正确；令2cos 4x -π6 =0，得4x -π6=π2+k π,k ∈Z ，故x =π6+k π4,k ∈Z ，因为x ∈[0,π]，所以k =0,1,2,3，故C 正确；把f (x )=2cos 4x -π6 的图象向右平移π12个单位长度，得到y =2cos 4x -π12 -π6=。

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高考数学压轴选择题_________班______号姓名_________________一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r（）A ．1142+a b B ．2133+a b C ．1124+a b D ．1233+a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。

每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。

在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 5、（2011广东）8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( )A. T,VB.T,VC. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ∀∈∈=∀∈∈∀∈∈U 设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭D.T,V 中每一个关于乘法是封闭6、（2012广东8）对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=g o g ；若平面向量,a b r r满足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a r r r r o o 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =r r o ( ) ()A 12 ()B 1 ()C 32 ()D 527、（2013广东8）设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =L .令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立,若(),,x y z 和 (),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B.(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D.(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈三、高考数学压轴选择题的基本类型及策略1、即时定义的新概念题策略：紧跟定义，恰当方法，合情推理，得出结论.例1（2013年福建理10）设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（） A ．*,A N B N ==B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q ==例2（2013年浙江理10）在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记)(A f B π=。

设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为045 C. 平面α与平面β平行 D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为060 例3（2013陕西理10.）设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有 (A) [－x ] ＝－[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]2、创新性题策略：利用转化与划归思想.例4（2013上海理18）在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r.若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（）.(A) 0,0m M => (B) 0,0m M <>(C) 0,0m M <=(D) 0,0m M <<例5（2013江西10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间l1l l»FG(0)x x π<<y EB BC CD =++l1l 2l ()y f x =法例6（2013年上海春季理24）已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅u u u u r u u u r u u u r，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线 4、知识综合题策略：综合利用相关知识，理顺思路，步步为营. 例7（2013年天津理8）已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是( )(A) 15⎫-⎪⎪⎝⎭ (B) 13⎫-⎪⎪⎝⎭ (C) 1513⎛+⋃ ⎝⎫-⎪⎝⎭⎪⎭ (D) 51⎛-- ⎝⎭∞ 例8（2013年全国1理12.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =L ，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n n n n n n n c a b a a a b c +++++===，则( )A.{S n }为递减数列B.{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列PBA M Fyx例9（2013年湖南理8）在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1C ．83 D ．43例10（2013年安徽理10）若函数32()=+ax +b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是（）（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）61.已知ABP ∆的三个顶点在抛物线C ：24x y =上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，3PF FM =u u u r u u u u r；（1）若||3PF =，求点M 的坐标；（2）求ABP ∆面积的最大值.2. 已知函数()xf x x ae=-()a R Î，x R Î.已知函数()y f x =有两个零点12,x x ，且12x x <.（Ⅰ）求a 的取值范围；学科网（Ⅱ）证明21x x 随着a 的减小而增大；（Ⅲ）证明 12x x +随着a 的减小而增大.3. （本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++L ，zxxk 113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a L成等差数列，且121000k a a a +++=L ，学科网求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a L的公差.4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>直线y x=被椭圆C . （Ｉ）求椭圆C 的方程；（II ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）. 点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点.（i ）设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；（ii ）求OMN ∆面积的最大值.5. （本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a 并说明理由.6. 设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x M N ∈I 时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 7. 将连续正整数1,2,,(*)n n N ∈L从小到大排列构成一个数学科网123n L ，()F n 为这个数的位数（如12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15f =），现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100)p ；（2）当2014n ≤时，求()F n 的表达式；（3）令()g n 为这个数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{|()1,100,*}S n h n n n N ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.8. 选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围. 9. 已知常数20,()ln(1).2xa f x ax x >=+-+函数（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在学科网两个极值点12,,x x 且12()()0,f x f x +>求a 的zxxk 取值范围．10. 函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率e ＝32，a ＋b ＝3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明2m －k 为定值．★★如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点P （1，32），离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．★★椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM 交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1＋1kk2为定值，并求出这个定值．★★★如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N．证明：当点P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值．二、圆锥曲线中的最值问题★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为32，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为410 5．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面积的最大值．★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l 交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2＝32，且|F2F4|＝3－1．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为A B的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．★★★如图，点P（0，－1）是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为3 4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线l：y＝kx＋14与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当12≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题★★设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；xOyBl1l2PDA（Ⅱ）设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．四、圆锥曲线与求参数★★在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 与点P ，设OP →＝tOE →，求实数t 的值．★★★已知三点O （0，0），A （－2，1），B （2，1），曲线C 上任意一点M （x ，y ）满足|MA →＋MB →|＝OM →·(OA →+OB →)＋2．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）动点Q （x 0，y 0）（－2＜x 0＜2）在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l 向：是否存在定点P （0，t ）（t ＜0），使得l 与PA ，PB 都不相交，交点分别为D ，E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数若存在，求t 的值．若不存在，说明理由．五、存在性问题★★如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2．点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线PF 1、PF 2的斜线分别为k 1、k 2． ①证明：1 k 1－3k 2＝2； ②问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率k OA 、k OB 、k OC 、k OD 满足k OA ＋k OB ＋k OC ＋k OD ＝0若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．★★★如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．（Ⅰ）求C 1，C 2的方程；（Ⅱ）设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于D ，E ．（i ）证明：MD ⊥ME ；（ii ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1，S 2．问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝1732请说明理由． y六、轨迹方程y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的两个焦点分别为F 1（－1，0），F 2（1，0），且椭（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；★★如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2p y （p ＞0），点M （x 0，y 0）在抛物线C 2上，（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）．。