(完整)高考数学选择题专项训练(二)
2020高考数学专项训练《2 函数f(x)=Asin(ωx+φ)中的求值问题》(有答案)
例题1设函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，且A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值； (2)设θ为锐角，且f(θ)＝－353，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值．例题2设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．变式1函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则ω＝__________，φ＝__________．变式2已知函数 f(x)＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6(A ＞0，x ∈R )的最小值为－2.(1)求f (0)；(2)若函数f (x )的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的曲线关于y 轴对称，求φ的最小值．串讲1已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)，若f(0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，且f(x)在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有三个零点，则ω的值是________________．串讲2把函数f(x)＝sin 2x 的图象向右平移φ2(φ>0)个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)≤|g ⎝⎛⎭⎫π6|对x ∈R 恒成立，且g ⎝⎛⎭⎫π2>g (π)，则g (x )的单调递增区间是________________．(2018·南通三模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2在一个周期内的图象如图所示．已知点P (－6，0)，Q (－2，－3) 是图象上的最低点，R 是图象上的最高点．(1)求函数f (x )的解析式；(2)记∠RPO ＝α，∠QPO ＝β(α，β 均为锐角)，求tan(2α＋β)的值．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．答案：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；(2)f (x )∈[]－3，2.解析：(1)由图象知，A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.3分所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.6分所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.7分(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，10分所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即f (x )∈[]－3，2.14分例题1答案：(1)A ＝3，ω＝2，φ＝π3；(2)12－3310.解析：(1)由图象，得A ＝3，最小正周期T ＝43×⎝⎛⎭⎫7π12＋π6＝π，所以ω＝2πT＝2，所以f(x)＝3sin (2x ＋φ)，由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－3，得2×⎝⎛⎭⎫7π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－5π3＋2k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝π3. (2)由f (θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－353，得sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－35，因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，4π3， 又sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3<0，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－45，所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ 3sin2θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π3＝3⎣⎡sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3cos π3－⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3sin π3＝3×⎝⎛⎭⎫－35×12＋45×32＝12－3310.例题2答案：(1)ω＝2；(2)－32.解析：(1)因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f(x)＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3.由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k∈Z ，解得ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12，因为－π4≤x ≤3π4，所以－π3≤x －π12≤2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.变式联想变式1 答案：2；π6. 解析：由题意得，T ＝π＝2πωω＝2，又因为f(0)＝2sin φ＝1sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.变式2答案：(1)1；(2)π3.解析：(1)因为函数f(x)＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6(A ＞0，x ∈R )的最小值为－2，所以A ＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6，所以f (0)＝2sin 5π6＝1.(2)函数f (x )的图象向左平移 φ(φ＞0)个单位长度，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋5π6，因为y＝2sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋5π6的图象关于y 轴对称，所以2(0＋φ)＋5π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，因为φ＞0，所以φ的最小值为π3.点拨：本题及变式重点考查三角函数的图象变换，要注意以下几点：(1)首先要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，将不同名函数转化为同名函数；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，若先伸缩后平移，则要注意平移的单位，即无论哪种变换，每一个变换总是对自变量而言．(2)根据平移后的函数解析式以及y ＝sin x ，y ＝cos x 奇偶性进行判断若平移后解析式为 y ＝sin(ωx ＋φ)，φ＝⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π2 （平移后为偶函数）；k π （平移后为奇函数）；若平移后解析式为y ＝cos(ωx ＋φ)，φ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π2 （平移后为奇函数）；k π （平移后为偶函数）.串讲激活串讲1 答案：143.解析：由f(0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2得π2ω－π6＝2k π＋π6或π2ω－π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即ω＝4k ＋23或ω＝4k ＋2，k ∈Z ，因为函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上有且仅有三个零点，所以T <π2<3T 2，故4<ω<6，因此k ＝1，ω＝143.串讲2答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．解析：由题意g (x )＝sin(2x －φ)，且g ⎝⎛⎭⎫π6为函数g (x )的最大值或最小值，故2×π6－φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝－k π－π6(k ∈Z )，又g ⎝⎛⎭⎫π2>g (π)，即sin(π－φ)>sin(2π－φ)，故sin φ>0，不妨取k ＝－1，φ＝5π6，满足sin φ>0.令2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，则g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．新题在线答案：(1)f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4；(2)7736. 解析：(1)因为图象在一个周期内的最低点为Q (－2，－3)，与x 轴的交点为P (－6，0)，所以A ＝3，T ＝4×(－2＋6)＝16.又T ＝2πω，所以ω＝π8，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8＋φ.将点Q (－2，－3)代入， 得－3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－2×π8＋φ，所以－π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，又|φ|≤π2， 所以φ＝－π4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4.(2)点R 的横坐标x R ＝x Q ＋12T ＝－2＋8＝6，所以R (6，3)．又因为α，β均为锐角，从而tanα＝14，tan β＝34，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×141－⎝⎛⎭⎫142＝815，所以tan(2α＋β)＝tan2α＋tan β1－tan2αtan β＝815＋341－815×34＝7736.。
高考数学难点2充要条件的判定习题与答案
高考数学难点2充要条件的判定习题与答案●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n}、{b n}满足：,求证：数列{a n}成等差数列的充要条件是数列{b n}也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p:－2<m<0,0<n<1;q:关于x的方程x2+mx+n=0有2个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.即有(2)必要性：∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)=(－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，答案：充要条件4.解析：若P(x0,y0)是F(x,y)=0和G(x,y)=0的交点，则F(x0,y0)+λG(x0,y0)=0，即F(x,y)+λG(x,y)=0，过P(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是、(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)。
高一数学专项训练：集合二(高考真题)
高一数学专项训练：集合二（高考真题）一、单选题1．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,72．若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B = A ．{x |–2<x <–1} B ．{x |–2<x <3} C ．{x |–1<x <1} D ．{x |1<x <3} 3．设集合则 A ．B ．C ．D ．4．设集合{}{}0,2,4,6,8,10,4,8A B ==，则AB =A ．{4,8}B ．{02,6}，C ．{026,10}，，D ．{02468,10}，，，， 5．设集合{}1,3,5,7A =，{|25}B x x =≤≤，则A B ⋂= A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}6．“1x =”是“2210x x -+=”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知集合{}2|23x x x P =-≥，{}Q |24x x =<<，则Q P ⋂=A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3- 8．已知集合{}{|32,},6,8,10,12,14A x x n n N B ==+∈=，则集合A B ⋂中的元素个数为 A ．5B ．4C ．3D ．29．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为 A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=10．设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件11．若集合{}|52x x A =-<<，{}|33x x B =-<<，则A⋂B = A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<<D ．{}|53x x -<<12．命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（ ） A ．()**,n N f n N ∀∈∉且()f n n >B ．()**,n N f n N ∀∈∉或()f n n >C ．()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n >D ．()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >13．已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,314．已知集合()(){|120}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}2,1,0,1--D ．{}1,0,1,2-15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的变分别为a 、b 、c ，则“”a b ≤是“sin sin ?A B ≤的A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件16．若集合{|24},{|3},P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 A ．{|34}x x ≤< B ．{|34}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|23}x x ≤≤17．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 A ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+<B ．()3,0,0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,,0x x x ∃∈+∞+≥18．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ⋂N 中元素的个数为 A ．2B ．3C ．5D ．719．已知集合2{|0,},{|1,}M x x x R N x x x R =≥∈=<∈，则M N ⋂=20．已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N ⋃= A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,121．设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂= A ．∅B ．C ．{}0D ．{}2-22．设命题p ：x R ∀∈，210x ，则p ⌝为A ．0x R ∀∈，2010x +> B ．0x R ∃∈，2010x +≤ C ．0x R ∃∈，2010x +<D ．0x R ∀∈，2010x +≤23．命题“，”的否定是A ．，B ．，C ．，D ．， 24．已知全集，集合，则 A ．B ．C ．D ．25．设,a b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件26．“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 27．已知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则()U C A B ⋃ 等于 A ．{6,8}B ．{5,7}C ．{4,6,7}D ．{1,3,5,6,8}28．若集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N 等于 A ．{0，1} B ．{﹣1，0，1} C ．{0，1，2} D ．{﹣1，0，1，2}29．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A∩B=A ．｛1,4｝B ．｛2，3｝C ．{9，16}D ．｛1,2}30．已知命题p ：x R ∀∈，23x x <；命题q ：x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是： A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝31．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, A = {x∈R| x≤1}, 则A B ⋂= A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]32．已知集合A B 、均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且{}()4UA B ⋃=,{}1,2B =,则UA B ⋂=A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．∅33．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是 A ．1B ．3C ．5D ．934．已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N= A ．｛-2，-1，0,1｝B ．｛-3，-2，-1，0｝C ．{-2，-1，0}D ．{-3，-2，-1 }35．已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x∈R}，N ＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N ＝ A ．{0，1，2}B ．{－1，0，1，2}C ．{－1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}36．设集合{}1,2,3,4,5,U =集合{}1,2A =，则uA =A ．{}1,2B ．{}3,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅37．已知集合，，则是的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件38．若集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B A B ⋂，，则的子集个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．16二、填空题39．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________40．已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则AB =___________.高一数学专项训练：集合二（高考真题）参考答案1．C【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标II 卷） 【解析】分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}AB =.详解：{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==,{3,5}A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 2．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版） 【解析】试题分析：利用数轴可知{}21A B x x ⋂=-<<-，故选A. 【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 3．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷） 【详解】由已知{|02},{|14},A x x B y y =<<=≤≤所以，[1,2),A B ⋂=选C. 考点：不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算. 4．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析：由补集的概念，得{}0,2,6,10AB =，故选C ．【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化． 5．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版） 【解析】 试题分析：集合与集合的公共元素有3，5，故，故选B.【考点】集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题的形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算,如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算,常借助数轴求解. 6．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（重庆卷） 【详解】试题分析：1x =时，2210x x -+=成立，故是充分的，又当2210x x -+=时，即2(1)0x -=，1x =，故是必要的的，因此是充要条件．故选A ．考点：充分必要条件． 7．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷） 【详解】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q ⋂=，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.8．D【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 【详解】由已知得A B ⋂中的元素均为偶数，n ∴ 应为取偶数，故{}8,14A B ⋂= ，故选D. 9．C【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C. 10．C【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷） 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】∈:3p x <，:13q x -<<∈q p ⇒，但，∈p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型. 11．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷） 【详解】在数轴上将集合A ，B 表示出来，如图所示，由交集的定义可得，A B ⋂为图中阴影部分，即{}|32x x -<<，故选A. 考点：集合的交集运算. 12．D【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷） 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“()**,n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >故选D.考点：命题的否定 13．A【来源】2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ） 【详解】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.A B x x =-<<故选A. 14．D【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷） 【详解】试题分析：{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-≤=-≤≤，所以A B ⋂={}1,0,1,2-，故选D.考点：集合的交集运算. 15．A【分析】利用三角形中大角对大边、正弦定理边角互化，结合充分条件与不要条件的定义可得结果. 【详解】 由正弦定理得2sin sin a bR A B==（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）， 则2sin a R A =，2sin b R B =，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ≤⇔≤⇔≤，因此“”a b ≤是sin sin A B ≤的充分必要必要条件，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用、充分必要条件的判定，属于中等题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 16．A【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷） 【详解】试题分析：由已知，{|34},P Q x x ⋂=≤<选A. 考点：集合的运算. 17．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷） 【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)30,,0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是[)30000,,0x x x ∃∈+∞+<，选C.考点：全称命题与存在性命题. 18．B【详解】试题分析：{1,2,6)M N ⋂=.故选B. 考点：集合的运算. 19．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（陕西卷） 【详解】试题分析：由{|0,}[0,)M x x x R =≥∈=+∞，，所以[0,1)M N ⋂=，故选B.考点：集合间的运算. 20．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（广东卷） 【详解】试题分析：由题意知{}1,0,1,2M N ⋃=-，故选B. 【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题. 21．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷） 【详解】试题分析：由已知得，{}21B =-，，故{}2A B ⋂=，选B ． 考点：集合的运算． 22．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷） 【详解】试题分析：全称命题的否定是特称命题,所以命题p 的否定为200,10x R x ∃∈+≤,故选B.考点：命题否定 全称命题 特称命题23．D【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）【详解】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”，故选D.考点：含有一个量词的命题的否定，容易题.24．C【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷）【详解】试题分析：依题意，，故选C. 考点：补集的运算，容易题.25．D【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷）【详解】若0,2a b ==-，则22a b <，故不充分；若2,0a b =-=，则22a b >，而a b <，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.26．B【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（安徽卷）【详解】试题分析：因为，所以ln(1)ln1x +<，即10x -<<，因而“”是“”的必要而不充分条件考点：1.对数的运算；2.充要条件.27．A【来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）【详解】试题分析：由已知中U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，我们根据集合并集的运算法则求出A∈B ，再利用集合补集的运算法则即可得到答案． 解：∈U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}∈A∈B={1，2，3，4，5，7}，∈C u （A∈B ）={6，8}故选A点评：本题考查的知识点是集合补集及其运算，集合并集及其运算，属于简单题型，处理时要“求稳不求快”28．A【来源】2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（福建卷）【详解】试题分析：根据集合M 和N ，由交集的定义可知找出两集合的公共元素，即可得到两集合的交集．解：由集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，得到M∩N={0，1}．故选A点评：此题考查了交集的运算，要求学生理解交集即为两集合的公共元素，是一道基础题．29．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）【分析】依题意，，故{}1,4A B ⋂=【详解】依题意，，故{}1,4A B ⋂=.【学科网考点定位】本题考查集合的表示以及集合的基本运算，考查学生对基本概念的理解.30．B【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）【详解】0x =可知: 命题p ：x R ∀∈，23x x <为假命题，由函数图象可知命题32:,1q x R x x ∃∈=-为真命题，所以p q ⌝∧为真命题．考点：命题的真假判断．31．D【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津卷）【详解】因为集合A={}|22x x -≤≤，所以，故选D.【考点定位】本小题结合绝对值不等式，主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握绝对值不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.32．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷）【详解】{}1,2,3A B ⋃=,因为{}1,2B =，所以A 中必有元素3，{}3.U A C B ⋂=【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力.对于{}1,2,3A B ⋃=，{}1,2B =这两个条件，可以判断集合A 中的元素有三种情形，而指出A 中必有元素3，简化了运算，使结果判断更容易.33．C【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）【详解】∈A={0，1，2}，B={x ﹣y|x∈A ，y∈A}，∈当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∈B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∈集合B={x ﹣y|x∈A ，y∈A}中元素的个数是5个．故选C ．34．C【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.【考点定位】本小题主要考查集合的运算（交集），属容易题，掌握一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键.35．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）【详解】试题分析：求出集合M 中不等式的解集，确定出M ，找出M 与N 的公共元素，即可确定出两集合的交集．解：由（x ﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x ＜3，即M={x|﹣1＜x ＜3}，∈N={﹣1，0，1，2，3}，∈M∩N={0，1，2}．故选A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．36．B【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国大纲卷）【详解】由题意得{}3,4,5U C A =.故选B.【考点定位】补集的概念37．A【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷）【详解】当3a =时{}13A =，显然是B 的子集，但A B ⊆时，32a a ==或者故为充分不必要条件，此题也属于简单题．【考点定位】本题将集合与条件的判断有机的结合，属于小点小考的命题方法．38．C【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷）【详解】{}1,3A B ⋂=其子集个数为224=个.【考点定位】考查集合的运算及子集个数的算法，属于简单题.39．1【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）【详解】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．40．{}1,3-【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）【详解】由题意得{}1,3A B =-．.故答案为：{1,3}。
高考数学大一轮复习 数学思想专项训练(二)转化与化归
数学思想专项训练(二) 转化与化归思想一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5)C ．(－5，－2)D ．(－5，－2)∪(2，5)2．已知函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图所示，在棱长为5的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量有最大值和最小值D ．是常量4．已知点P 在直线x ＋y ＋5＝0上，点Q 在抛物线y 2＝2x 上，则|PQ |的最小值为( ) A.924B ．2 2 C.322D. 2 5．在平面直角坐标系中，若与点A (1,1)的距离为1，且与点B (2，m )的距离为2的直线l 恰有两条，则实数m 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．(1－22，1＋22)C ．[1－22，1)∪(1,1＋22]D ．(1－22，1)∪(1,1＋22)6．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞) 二、填空题7．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，对任意的x 1≥0，x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3，那么x 的取值范围为________．8．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则sin 2αcos 2β＝________.9．(2015·西城期末)已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．10．若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．三、解答题11．(2015·潍坊二检)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若函数f (x )≤t 2－2at ＋1(其中t ≠0)对所有的x ∈[－1,1]都成立，当a ∈[－1,1]时，求t 的取值范围．12．设P 是双曲线x 23－y 2＝1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1)，求|PA |＋|PF |的最小值．答案1．选D 因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得f (x 2－4)<f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.2．选C 由于函数f (x )＝a x和函数g (x )＝b x都是指数函数，则a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，f (2)＞g (2)等价于a 2＞b 2，等价于a ＞b ，所以“f (2)＞g (2)”是“a ＞b ”的充要条件．故选C.3．选D 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值．由C 1D 1∥EF ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数．于是四面体PQEF 的体积为常数．4．选A 设与直线x ＋y ＋5＝0平行且与抛物线y 2＝2x 相切的直线方程是x ＋y ＋m ＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋m ＝0，y 2＝2x消去x 得y 2＋2y ＋2m ＝0，令Δ＝4－8m ＝0，得m ＝12，因此|PQ |的最小值为直线x ＋y ＋5＝0与直线x ＋y ＋12＝0之间的距离，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－122＝924.5．选D 由题意可得，以点A (1,1)为圆心、1为半径的圆与以点B (2，m )为圆心、2为半径的圆相交，则1＜1＋(m －1)2＜9，得1－22＜m ＜1＋2 2 且m ≠1.6．选B 2x ln x ≥－x 2＋ax －3恒成立，即a ≤2ln x ＋x ＋3x恒成立．设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2(x ＞0)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.7．解析：依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，又f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，所以函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，则4f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞3等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞34，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 18x ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 18x ＜13，解得12＜x ＜2.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 8．解析：sin 2αcos 2β＝sin[α＋β＋α－β]cos[α＋β－α－β]＝ sin α＋βcos α－β＋cos α＋βsin α－βcos α＋βcos α－β＋sin α＋βsin α－β＝tan α＋β＋tan α－β1＋tan α＋βtan α－β＝1.答案：19．解析：因为命题p 是假命题，所以綈p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12＞0恒成立．当a ＝0时，x ＞－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－4×12×a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0a ＞12，所以a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞10．解析：由椭圆C 的方程及焦点在x 轴上，知0＜m ＜5. 又直线y ＝kx ＋1与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)， 则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上． 则025＋12m ≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)． 答案：[1,5)11．解：因为奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，所以最大值为f (1)＝1，要使f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则1≤t 2－2at ＋1，即t 2－2at ≥0.令g (a )＝－2ta ＋t 2，可知⎩⎪⎨⎪⎧g －1≥0，g1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2t ＋t 2≥0，－2t ＋t 2≥0，解得t ≥2或t ≤－2.故t 的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞) 12．解：设F ′为双曲线的左焦点， 则|PF ′|－|PF |＝23， |PF |＝|PF ′|－23，∴|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PF ′|－23，原问题转化成了求|PA |＋|PF ′|的最小值问题，(如图)(|PA |＋|PF ′|)min ＝|AF ′|＝26.∴(|PA |＋|PF |)min ＝(|PA ＋|PF ′|)min －2 3 ＝26－2 3.。
高考逆袭卷02-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)
2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。
预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。
第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知一组数据m ，4，2，5，3的平均数为n ，且m ，n 是方程2430x x -+=的两根，则这组数据的方差为（）A ．10B C ．2D2．{(1,1)(1,2),}∣P m m R αα==-+∈ ，{(1,2)(2,3),}∣Q n n R ββ==-+∈ 是两个向量集合，则P Q 等于（）A ．{(1,2)}-B ．{(13,23)}--C ．{(2,1)}-D ．{(23,13)}--3．在ΔABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A 、B 、C 成等差数列，3a 、3b 、3c 成等比数列，则cos A cos B =（）A ．12B ．14C ．23D ．164．在三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长为3的正三角形，侧棱SA ⊥底面ABC ，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）A ．B ．2C ．2D ．5．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种A ．10B ．48C ．60D ．806．设1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 5b =，20c c +=，则()A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a 7．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数，为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．43B ．53C ．83D ．28．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作渐近线的垂线，设垂足为P （P 为第一象限的点），延长FP 交抛物线22(0)y px p =>于点Q ，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若1()2OP OF OQ =+ ，则双曲线的离心率的平方为A BC 1D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i+>+C ．若()212i z =+，则复数z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足2i 3z -=，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆10．设直线系M ：()()cos 2sin 102x y θθθπ+-=≤≤，则下面四个命题正确的是（）A ．点()0,2到M 中的所有直线的距离恒为定值B ．存在定点P 不在M 中的任意一条直线上C ．对于任意整数()3n n ≥，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()35f x f x -=-，当[]0,1x ∈时，()2f x x =.设函数()5log 1g x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =对称B ．()f x 的图象在72x =处的切线方程为174y x =-+C ．()()()()20212022202320242f f f f +++=D ．()f x 的图象与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为10第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-，命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是.13．已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=.14．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1B F 平面1A BE .以下命题正确的有.①侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒③平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为④设正方体棱长为1，则过点,,E F A 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且316cos b c a B ===，，.(1)求a 的值：(2)求证：2A B =；(3)πcos 212B ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值16．（15分）如图1，在平面五边形ABCDE 中，//AE BD ，且2DE =，60∠=︒EDB ，CD BC ==，5cos7DCB ∠=，将BCD △沿BD 折起，使点C 到P 的位置，且EP =得到如图2所示的四棱锥P ABDE -．(1)求证；PE ⊥平面ABDE ；(2)若1AE =，求平面PAB 与平面PBD 所成锐二面角的余弦值．17．（15分）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n 格的概率为()1,2,3,,25n P n =⋅⋅⋅．(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)证明：数列{}()12,3,,24n n P P n --=⋅⋅⋅为等比数列．18．（17分）焦点在x 轴上的椭圆22214x y b+=的左顶点为M ，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 为椭圆上不同三点，且当OB OC λ= 时，直线MB 和直线MC 的斜率之积为14-．(1)求b 的值；(2)若OAB 的面积为1，求2212x x +和2212y y +的值；(3)在（2）的条件下，设AB 的中点为D ，求OD AB ⋅的最大值．19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式：2312!3!!xn x x x x n =++++++e 其中!1234,e n n =⨯⨯⨯⨯⨯ 为自然对数的底数，e 2.71828= .以上公式称为泰勒公式.设()()e e e e ,22x x x xf xg x ---+==，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.(1)证明：e 1x x ≥+；(2)设()0,x ∈+∞，证明：()()f x g x x<；(3)设()()212x F x g x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0x =是()F x 的极小值点，求实数a 的取值范围.。
精选高考数学的复数选择题专项训练附答案
精选高考数学的复数选择题专项训练附答案一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 答案：B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】 ，. 故选：B.解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．i=（ ） A．i -B．iCi -Di +答案：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B.解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】()211ii i i+==--. 故选：B.3．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限答案：C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】 ， ，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误； ，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-， 则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.4．已知复数()123z i i +=- （其中i 是虚数单位），则z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得，所以复数z 在复平面上所对应的点为，在第四象限， 故选：D.解析：D 【分析】先由复数的运算化简复数z ，再运用复数的几何表示可得选项. 【详解】 由已知得()()()()312317171+21+212555i i i i z i i i i ----====--， 所以复数z 在复平面上所对应的点为17,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限， 故选：D.5．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦答案：B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=，22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.6．若复数1z i =-，则1zz=-（ ）A B ．2C ．D ．4答案：A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由，得， 则， 故选：A.解析：A 【分析】 将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--=-故选：A.7．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i答案：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+，其虚部为35， 故选：A.8．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案：B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1zz =+（ ） A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -答案：A 【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可.由题意得，则. 故选：A解析：A 【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A10．已知复数z 满足202122z i i i+=+-+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C 【分析】由已知得到，然后利用复数的乘法运算法则计算，利用复数的周期性算出的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】 由题可得，，所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限， 故选：C ．解析：C 【分析】由已知得到2021(2)(2)i i i z -++-=，然后利用复数的乘法运算法则计算(2)(2)i i -++，利用复数n i 的周期性算出2021i 的值，最后利用复数的几何意义可得结果． 【详解】由题可得，2021(2)(2)5i z i i i -+=+-=--，所以复数z 在复平面内对应的点为(5,1)--，在第三象限， 故选：C ．11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）． A ．1-B ．3C ．3iD ．i -答案：B 【分析】化简，利用定义可得的虚部． 【详解】则的虚部等于 故选：B解析：B 【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部． 【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3 故选：B12．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限答案：A 【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】 因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：A.解析：A 【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i iii i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限. 故选：A.13．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1B C D ．2答案：B 【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模． 【详解】 由题意，∴．故选：B ．解析：B 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模． 【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．14．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1-答案：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+3,1a b ==，4a b +=故选：A15．3（ ）A ．i -B ．iC ．iD ．i -答案：B 【分析】首先，再利用复数的除法运算，计算结果. 【详解】 复数.故选：B解析：B【分析】首先3i i=-，再利用复数的除法运算，计算结果.【详解】3133i ii====.故选：B二、复数多选题16．已知复数z满足220z z+=，则z可能为（）.A．0 B．2-C．2i D．2i+1-答案：AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i,z a b a b R=+∈，代入原式，解出,a b的值，结合选项得出答案．【详解】令()i,z a b a bR=+∈，代入220z z+=，得222i0a b ab-+=，解得ab=⎧⎨=⎩，或2ab=⎧⎨=⎩，或2ab=⎧⎨=-⎩，所以0z=，或2iz=，或2iz=-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．下面是关于复数21iz =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-答案：ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项. 【详解】 ，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD 【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项. 【详解】()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确； 故选：ABCD. 【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．已知复数12z =-（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】计算出，即可进行判断. 【详解】 ，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； ，故C 正确； ，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD 【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】122z =-+，221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.19．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC 【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考解析：BC 【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】()234z i i +=+，34232iz i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.20．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：BD 【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，因此或，所以对应的点为或， 因此复解析：BD 【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈， 则2222724z a abi b i =+-=--， 所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-， 因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.21．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2答案：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确 选项B解析：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围22．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z =B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数答案：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC 【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z ri θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin 3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cossin332z i ππ=+=，则12z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cossin 44nnn n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.23．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z =A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确； 因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.24．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1+D ．24z =答案：AB 【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限 选项A:选项B: 的虚部是 选项C:解析：AB 【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1(1)+3(1)+3(1)8-=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =-选项D : 222(1)(1)+2()2-=--=-- 故选：AB ． 【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解． 25．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=答案：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠， 所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 26．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数答案：AD 【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D. 根据，得到，再用共轭复数的定义判断. 【详解】 A ．根据共轭解析：AD 【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题； D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD 【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 27．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12答案：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当0a =时,1b =,此时zi 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.28．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =答案：AB 【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB 【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误； 复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB 【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题. 29．下列命题中，正确的是（ ） A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】 设复数，对于A ，，故A 正确． 对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为， 故复数集与解析：ABD 【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项． 【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限， 故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题． 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( ) A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y == B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)
全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练（二）一、解答题1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2()32gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。
（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。
2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln axf x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。
3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*∈N n ． 4.已知x=1是()2ln bf x x x x =-+的一个极值点（1）求b 的值； （2）求函数()f x 的单调增区间；（3）设x x f x g 3)()(-=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明理由。
5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <.（Ⅰ）证明：1ln 2x <；（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.6.设函数2()ln 4f x a x x =-，2()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.（Ⅰ）当32b =时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数()()()g x p x f x x =+在区间2[1,]e 上的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x +=-∈（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <0()g x 成立,求a 的取值范围.8.已知函数2()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=（1）若()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求、a b 的值；（2）对于任意的实数k，且、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与()y g x '=的图象有公共点；（3）在（1）的条件下，设112212(,),(,),()A x yB x y x x <是函数()y g x =的图象上两点，21021()y y g x x x -'=-，证明：102x x x <<9.（本小题满分13分）已知函数21()ln (,0).2f x x ax a R a =-∈≠（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）已知点1111(1,),(,)(1):()2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C上是否存在点00(,)M x y 满足：①1012x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ？请说明理由。
高考数学复数多选题专项训练之知识梳理与训练附解析(2)
高考数学复数多选题专项训练之知识梳理与训练附解析(2)一、复数多选题1．下列说法正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件答案：AD 【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若，则，故A 正确； 设， 由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD 【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确. 【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误； 若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠±所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 2．已知复数()(()()211z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数1z =- B ．若复数2z =，则m C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=答案：BD 【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】对于A ，时，，则，故A 错误；对于B ，若复数，则满足，解得，故B 正确； 对于C ，若复数z 为纯虚数，则满足，解得，解析：BD 【分析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误. 【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-+，()()221420412z z ++=+--+=+，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 3．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确 选项B解析：ACD 【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误 【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确 故选：ACD 【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围 4．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 5．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案：BC 【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.6．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z答案：AC 【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是. 【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确； 取，；，满足，但且不解析：AC 【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确； 由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =， 因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC 【点睛】本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题. 7．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0ab ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.8．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '=答案：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠， 所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”. 反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =答案：BC 【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可 【详解】 解：由，得，所以z 的实部为1，，， 故选：BC 【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭解析：BC 【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可 【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-， 故选：BC 【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题 10．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确； 故选：BCD. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.11．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC 【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】 本题考解析：BC 【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误. 【详解】()234z i i +=+，34232iz i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.12．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】计算出，即可进行判断. 【详解】 ，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； ，故C 正确； ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD 【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】122z =-+，221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.13．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为2答案：ACD 【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD 【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性. 【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确； 复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.14．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z 的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC.15．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 答案：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正 解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.16．设复数z 满足1z i z +=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =答案：AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.17．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 答案：BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.18．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 答案：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.19．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．20．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．21．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于1答案：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.22．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.。
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高考数学选择题专项训练（二）
1、函数y =cos 4x -sin 4x 图象的一条对称轴方程是（ ）。
（A ）x =-2π （B ）x =-4π （C ）x =8
π （D ）x =4π 2、已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是（ ）。
（A ）n //α （B ）n //α或n ⊂α
（C ）n ⊂α或n 不平行于α （D ）n ⊂α
3、已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，且xy ≠0，那么y c x a +的值为（ ）。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4、如果在区间[1, 3]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +
21x 在同一点取得相同的最小值，那么下列说法不对．．
的是（ ）。
（A ）f (x )≥3 (x ∈[1, 2]) （B ）f (x )≤4 (x ∈[1, 2])
（C ）f (x )在x ∈[1, 2]上单调递增 （D ）f (x )在x ∈[1, 2]上是减函数
5、在(2+43)100展开式中，有理数的项共有（ ）。
（A ）4项 （B ）6项 （C ）25项 （D ）26项
6、等比数列{a n }的公比q <0，前n 项和为S n , T n =n
n a S ，则有（ ）。
（A ）T 1<T 9 （B ）T 1=T 9 （C ）T 1>T 9 （D ）大小不定
7、设集合A ＝ο/，集合B ＝{0}，则下列关系中正确的是（ ）
（A ）A ＝B （B ）A ⊆B （C ）A ⊂B （D ）A ⊃B
8、已知直线l 过点M （－1，0），并且斜率为1，则直线l 的方程是（ ）
（A ） x ＋y ＋1＝0 （B ）x －y ＋1＝0
（C ）x ＋y －1＝0 （D ）x ―y ―1＝0
9、已知集合A ＝{整数}，B ＝{非负整数}，f 是从集合A 到集合B 的映射，且f ：x → y ＝x 2（x ∈A ，y ∈B ），那么在f 的作用下象是4的原象是（ ）
（A ）16 （B ）±16 （C ）2 （D ）±2
10、已知函数y ＝1
-x x ,那么（ ） （A ）当x ∈（－∞，1）或x ∈（1，＋∞）时，函数单调递减
（B ）当x ∈（－∞，1）∪（1，＋∞）时，函数单调递增
（C ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递减
（D ）当x ∈（－∞，－1）∪（－1，＋∞）时，函数单调递增
11、在(2－x )8的展开式中，第七项是（ ）
（A ）112x 3 （B ）－112x 3 （C ）16x 3x （D ）－16x 3x
12、设A ＝{x | x 2＋px ＋q ＝0},B ＝{x | x 2＋(p －1)x ＋2q ＝0},
若A ∩B ＝{1}，则（ ）。
（A ） A ⊂B （B ）A ⊇B
（C ）A ∪B ＝{1, 1, 2} （D ）A ∪B ＝(1,－2)。