课程设计一：随机数的产生及统计特性分析-实验报告

标准实验报告
实验名称：随机数的产生及统计特性分析
实验报告
学生姓名：学号：
指导教师：
实验室名称：通信系统实验室
实验项目名称：随机数的产生及统计特性分析
实验学时：6（课外）
【实验目的】
随机数的产生与测量：产生瑞利分布随机数，测量它们的均值、方差、相关函数，分析其直方图、概率密度函数及分布函数。

通过本实验进一步理解随机信号的一、二阶矩特性及概率特性。

【实验原理】
瑞利分布密度函数为：
)0
(
,0
,
)
(
2
2
2
2
>
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
≥
=
-
σ
σ
σ
x
x
e
x
x
f
x
均值与方差：EX =
σ
π
2，V ar(X）=
2
)
2
2(σ
π
-
相关函数：
⎰+∞
∞
-
-
=
+
=)
(
*)
(
)
(
)
(
)
(t
x
t
x
dt
t
x
t
x
r
x
τ
τ
均值各态历经定义：E[X(t)]以概率1等于A[X(t)],则称X(t)均值各态历经。

物理含义为：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的所有状态，因此，从任一样本函数中可以计算出其均值。

——“各态历经性”、“遍历”。

于是，实验只需在其任何一个样本函数上进行就可以了，问题得到极大简化。

【实验记录】
程序执行结果：
rayl_mean =
3.7523 err_mean = 0.7523 rayl_var = 3.8303 err_var = 0.8303
【实验分析】
可以看到，统计均值、统计方差与理论值都很接近。

当序列长度为1000时
候，均值误差为5.63%，方差误差为12.19%；当序列长度为10000时，均值误差为0.79%，方差误差为1.04%，可以看到随着序列长度增大，样本的统计均值与统计方差与理论值得误差明显减小，当序列长度足够大的时候，样本的统计均值与统计方差会趋近与理论均值与理论方差，可以用统计均值、统计方差来计算理论均值与方差。

通过比较样本的直方图，与理论的瑞利分布概率密度函数图，发现样本出现的频率分布趋近于理论概率值，可见，当样本足够大的时候，随机变量取值的频率趋近于其概率，可以用频率分布近似概率分布。

由matlab 产生N 个随机数的原理可知，这N 个随机数可以看做一条样本函数，且这个随机序列是广义各态历经的，因此，可以利用样本的时间相关函数来计算统计相关函数。

由图可知，当均值为0的时候，样本相关函数为零。

当均值不为0的时候，样本的相互函数为三角函数。

当均值为0的时候，由图知Rx(0)=0，与理论值2
2
μσ+=相等。

当均值不
为0的时候，由图，得Rx(0)= 15.60，与理论值91
.1722
=+σμ的误差为12.8%。

可见，Rx(0)的计算是正确的。

【思考题】
1、 为什么当均值mu 不为0时，()X R τ的图形是三角形？
在求自相关函数的时候，我们利用的是matlab 自带的卷积公式，即移位相乘再相加，对于我们计算的有限长度的序列，在用此方法进行多次移位之后，之前的序列后续填零，再进行相同的工作。

均值不为0时，当τ=0时，自相关函数最大，τ>0时，序列向后移，该序
列和填零后的新序列相作用，又因为计算是线性的，因此是线性递减。

τ<0与τ>0关于τ=0对称，因此()
X R τ的图形是三角形。

2、 实验中的样本数都设定为1000，试简述样本数对于结果的影响？
答：样本数决定着实验的精度，样本数越大，实验结果越接近于理论值。

样本数过小时容易与理论值产生很大偏差。

由均值误差、方差误差与理论值随样本数目的增大的曲线图很容易得出这样的结论。

【总结及心得体会】
通过本次试验，我对瑞利分布的概率密度和分布函数的形状和大致变化趋势有了更深刻的了解，并通过对由matlab 产生的服从瑞利分布的随机数的相关数字特征和相关函数进行计算，验证了瑞利分布的均值、方差表达式的正确性。

并通过改变实验中样本数观察实际结果与理论值的误差的变化领悟了样本数对于实验的重要性。

【对本实验过程及方法、手段的改进建议】
可以设定多组实验，分别采用不同的样本数，并且各组的样本数差别较大，这样能更明显的显示样本数对实验结果的影响。

Matlab程序：
sigma=3;
N=10000;
X=raylrnd(sigma,1,N);
average=sigma; %理论均值
variable=sigma; %理论方差
A VERAGE=mean(X) %随机数的均值
ERR_A VERAGE=(A VERAGE-average)/average %均值误差
V ARIABLE=var(X) %随机数的方差
ERR_V ARIABLE=(V ARIABLE-variable)/variable %方差误差
f_x=0:1:10;
cdf_f=raylcdf(f_x,sigma); %分布
pdf_f=raylpdf(f_x,sigma); %概率密度
figure(1),stairs(f_x,cdf_f);
figure(2),stem(f_x,pdf_f);
figure(3),hist(X);
max1=max(X);
[b,a]=hist(X,max1+1);
b=b/1000;
t=0:max1;
figure(4),stairs(t,b),hold on;stem(f_x+0.5,pdf_f,'r');
%相关函数
sigma=0;
X1=raylrnd(sigma,1,1000);
[RXX1,LAGS1]=xcorr(X1);
figure(5),plot(LAGS1/1000,RXX1/1000);
sigma=3;
X2=raylrnd(sigma,1,1000);
[RXX2,LAGS2]=xcorr(X2);
figure(6),plot(LAGS2/1000,RXX2/1000);
clear
clc
%误差曲线的绘制
mean1 = 3;
rayl_rnd = raylrnd(mean1 , 1 , 100000) ;
rayl_mean = mean(rayl_rnd)
err_mean = rayl_mean - mean1
rayl_var = var(rayl_rnd)
err_var = rayl_var - mean1
rayl_mean=[]; cha_mean=[];i=1;
for long = 1:100:10000
rayl_rnd = raylrnd(mean1 , 1 , long) ;
rayl_mean(i) = mean(rayl_rnd) ;
err_mean(i) = rayl_mean(i) - mean1 ;
rayl_var(i) = var(rayl_rnd) ;
err_var(i) = rayl_var(i) - mean1 ;
i=i+1;
end
t = 1:100:10000;
figure(1)
plot(t,rayl_mean); title('均值随序列长度变化曲线');grid xlabel('n');ylabel('mean')
figure(2)
plot(t,err_mean); title('均值误差随序列长度变化曲线');grid xlabel('n');ylabel('mean__err')
figure(3)
plot(t,rayl_var);title('方差随序列长度变化曲线'); grid xlabel('n');ylabel('var')
figure(4)
plot(t,err_var) ;title('方差误差随序列长度变化曲线');grid xlabel('n');ylabel('var__err')。