专题26 平面向量的概念及其线性运算(PPT)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析
A．34b－13a
B．152a－34b
C．34a－13b
D．152b－34a
解析 由平面向量的三角形法则可知，D→E＝D→C＋C→E＝34B→C＋－13A→C＝34(A→C－ A→B)－13A→C＝－34A→B＋152A→C＝－34a＋152b.
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第五章 平面向量、复数
λ(a＋b)＝λa＋λb ＝0 时，λa＝0
3．共线向量定理
向量 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 b＝λa.
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第五章 平面向量、复数
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个 向量终点的向量，即A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An＝A→1An，特别地，一个封闭图形， 首尾连接而成的向量和为零向量．
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第五章 平面向量、复数
平面向量的线性运算方法 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、 相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
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第五章 平面向量、复数
∴m4＝－λ3，＝λ， 解得 m＝7. 故当 m＝7 时，A，B，D 三点共线．
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第五章 平面向量、复数
(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区 别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋ λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
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第五章 平面向量、复数
考点二 平面向量的线性运算
多维 探究
平面向量的线性运算是高考对平面向量的一个重要考查内容，主要考查三角形 法则及平行四边形法则的应用，考题多以选择题或填空题形式出现，属于基础题， 分值5分．
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第五章 平面向量、复数
考向 1：向量的线性运算
2．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B)． 3. O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
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第五章 平面向量、复数
VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)B→A＝O→A－O→B.( √ ) (3)向量A→B与向量C→D是共线向量，则 A，B，C，D 四点在一条直线上．( × ) (4)已知 a，b 是两个非零向量，当 a，b 共线时，一定有 b＝λa(λ 为常数)，反之 也成立．( √ )
[训练 2] (2019·山东潍坊调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于
点 O，E 为线段 AO 的中点．若B→E＝λB→A＋μB→D(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 等于( B )
A．1
B．34
C．23
D．12
解析 ∵E 为线段 AO 的中点，∴B→E＝12B→A＋12B→O＝12B→A＋1212B→D＝12B→A＋14B→D＝ λB→A＋μB→D，∴λ＋μ＝12＋14＝34.
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第五章 平面向量、复数
2．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
__三__角__形____法则
交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
__平__行__四__边__形____法则
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第五章 平面向量、复数
因为A→B＋A→D＝A→C，A→B－A→D＝D→B，所以|A→C|＝|D→B|.由对角线长相等的平行四边 形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形．
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第五章 平面向量、复数
4．(2019·宁夏银川期末)设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且B→C＋B→A＝2B→P，则 P→C＋P→A＝__0______.
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第五章 平面向量、复数
用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．
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第五章 平面向量、复数
[训练 1] 如图，已知A→B＝a，A→C＝b，D→C＝3B→D，A→E＝2E→C，则D→E等于( D )
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第五章 平面向量、复数
2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0； ②若a与a0平行，则a＝|a| a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是
( D)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a| a0的模相同，但方向不一定相 同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反 向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝3C→D，则( A )
A．A→D＝－13A→B＋43A→C
B．A→D＝13A→B－43A→C
C．A→D＝43A→B＋13A→C
D．A→D＝43A→B－13A→C
解析 A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)＝43A→C－13A→B＝－13A→B＋43A→C.
D→C＝A→B＝O→B－O→A＝b－a，B→C＝O→C－O→B＝－O→A－O→B＝－a－b.
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第五章 平面向量、复数
3．(P108 B 组 T5 改编)在平行四边形 ABCD 中，若|A→B＋A→D|＝|A→B－A→D|，则四边 形 ABCD 的形状为__矩__形____.
解析 如图，
假命题的个数是( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
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第五章 平面向量、复数
解析 对于①，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，①正确；对于②， 若|a|＝|b|，方向不确定，则 a，b 不一定相等，∴②错误；对于③，若|A→B|＝|D→C|，A→B， D→C不一定相等，∴四边形 ABCD 不一定是平行四边形，③错误；对于④，若 m＝n， n＝k，则 m＝k，④正确；对于⑤，若 a∥b，b∥c，当 b＝0 时，a∥c 不一定成立， ∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误．综上， 假命题是②③⑤⑥，共 4 个．
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第五章 平面向量、复数
(4)平行向量：方向___相__同__或__相__反___的非零向量．平行向量又叫___共__线__向__量___.规 定：0与任一向量__平__行____.
(5)相等向量：长度___相__等___且方向___相__同___的向量． (6)相反向量：长度___相__等___且方向__相__反____的向量．
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第五章 平面向量、复数
解决平面向量概念问题的关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函 数图象移动混为一谈． (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是 a 方向上的单位向量．
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栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
第五章 平面向量、复数
01 课前回扣·双基落实
1．向量的有关概念 (1)向量：既有___大__小___又有___方__向___的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 __长__度__(_或__模__)_____. (2)零向量：___长__度__为__0___的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于___1_个__单__位____的向量．
解析 因为B→C＋B→A＝2B→P，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故P→C＋P→A ＝0.
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第五章 平面向量、复数
5．(2019·山东临沂月考)已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a) 共线，则λ＝__－__13____.
解析 由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)， ∴λ3＝k＝－1k，， 得kλ＝＝－13. 13，
考向 2：根据向量线性运算求参数 (2019·山东东营检测)如图所示，B→C＝3C→D，O 在线段 CD 上，且 O 不与
端点 C，D 重合，若A→O＝mA→B＋(1－m)A→C，则实数 m 的取值范围为__－__13_，__0_ .
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第五章 平面向量、复数
解析 设C→O＝kB→C，则 k∈0，13， ∴A→O＝A→C＋C→O＝A→C＋kB→C＝A→C＋k(A→C－A→B)＝(1＋k)A→C－kA→B. 又A→O＝mA→B＋(1－m)A→C，∴m＝－k. ∵k∈0，13，∴m∈－13，0.
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第五章 平面向量、复数
[变式探究] 若将本例(1)中“B→C＝2a＋8b”改为“B→C＝a＋mb”，则 m 为何值 时，A，B，D 三点共线？
解 B→C＋C→D＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 即B→D＝4a＋(m－3)b. 若 A，B，D 三点共线，则存在实数 λ，使B→D＝λA→B. 即 4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．
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平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
变条件)点C在线段AB上,且 = ,则=______,
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
2
2
1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
3
−
8
=______.
【解析】由已知画图如下,
5
3
由图形知= ,=- .
8
8
3
核心考点·分类突破
考点一 平面向量的基本概念
1.(2023·北京模拟)设a,b是非零向量,则“ = ”是“a=b”的(
[例4](1)(一题多法)(2023·连云港模拟)设e1,e2是两个不共线的向量,已知= 2e1ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若三点A,B,D共线,则k的值为(
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
【解析】选B.如图,
1
1
1
1
因为=+=+ =+ (-)=+ - ,
2
2
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1
3
所以 = -,即=3-2=3n-2m.
2
2
3.(共线与模的关系不明确致误)已知非零向量a,b,那么“a=λb”是“|a+b|=|a|-|b|”
a的积的运算
相反
当λ<0时,λa与a的方向______;
当λ=0时,λa=___
0
λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a
=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
微点拨 对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起
点,连两终点,指向被减向量的终点”.
3.共线向量定理
b=λa
向量b与非零向量a共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得______.
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
[总结反思]利用共线向量定理解题的方法
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
高考数学复习考点知识专题讲解课件26---平面向量的概念及线性运算
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新高考 大一轮复习 · 数学
2．判断下列四个命题：
①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，
则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3 解析：只有④正确． 答案：A
D．4
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新高考 大一轮复习 · 数学
【思维升华】 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线．
解析：B→F＝23B→E＝23(B→C＋C→E)
＝23b－12a＝－13a＋23b， 故选 C. 答案：C
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新高考 大一轮复习 · 数学
(2)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B等于( )
A.34A→B－14A→C C.34A→B＋14A→C
B．14A→B－34A→C D．14A→B＋34A→C
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新高考 大一轮复习 · 数学
④错误，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a ∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件； ⑤错误，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定 共线． 故填③. 答案：③
答案：A
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新高考 大一轮复习 · 数学
5．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________. 解析：∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯 一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则λ1＝＝μ2，μ， 解得 λ ＝μ＝12. 答案：12
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2．判断下列四个命题：
①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，
则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3 解析：只有④正确． 答案：A
D．4
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【思维升华】 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线．
解析：B→F＝23B→E＝23(B→C＋C→E)
＝23b－12a＝－13a＋23b， 故选 C. 答案：C
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(2)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B等于( )
A.34A→B－14A→C C.34A→B＋14A→C
B．14A→B－34A→C D．14A→B＋34A→C
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④错误，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a ∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件； ⑤错误，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定 共线． 故填③. 答案：③
答案：A
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5．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________. 解析：∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯 一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则λ1＝＝μ2，μ， 解得 λ ＝μ＝12. 答案：12
高三一轮总复习文科数课件：-平面向量的概念及其线性运算 .ppt..共42页
敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
高三一轮总复习文科数课件：-平面向 量的概念及其线性运算 .ppt..
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
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11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课件
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
精选ppt
17
知识点三 共线向量定理
5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( )
21
问题3 为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？
(1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存
在，所以要求a≠0；
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使
→ AB
＝λ
→ AC
，则A，B，C
三点共线．这里注意A→B与A→C有公共点A.
精选ppt
22
高频考点 考点一 向量的有关概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若A→B＝D→C，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝
μb，但a与b不一定共线．
答【规律方法】 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④ 是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法．
10
对点自测 知识点一 向量的有关概念 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
高考一轮第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算ppt
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1．下列给出的命题正确的是
A．零向量是唯一没有方向的向量 B．平面内的单位向量有且仅有一个
(
)
C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向 相同的向量
D．相等的向量必是共线向量
答案： D
返回
2．如右图所示，向量a－b等于 A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
(
)
C．e1－3e2
返回
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 盘锦模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 M、N、P 三点共线，O 为坐标原点，且 ON ＝ a15 OM ＋a6 OP (直线 MP 不过点 O)，则 S20 等于 ( A．10 C．20 B．15 D．40 )
求两个
加法 向量和 的运算
(1)交换律：a＋b＝
三角形 法则
b＋a .
(2)结合律：(a＋b)＋c ＝ a＋(b＋c) .
平行四边形 法则
返回
向量
运算
定义 求a与b的相反
法则(或几何意义)
运算律
减法
向量－b的和的
运算叫做a与b 的差 三角形 法则
返回
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
(1)|λa|＝ |λ||a| ；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：“a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b” ¿ “a＋2b＝0”， 所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．
答案： A 返回
5．(2012· 南通月考)设e1，e2是两个不共线向量，已知 AB ＝ 2e1－8e2， CB ＝e1＋3e2， CD ＝2e1－e2.
专题26平面向量的概念及其线性运算ppt课件
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为 深 入 学 习 习近平 新时代 中国特 色社会 主义思 想和党 的十九 大精神 ,贯彻全 国教育 大会精 神,充分 发挥中 小学图 书室育 人功能
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
第五章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
平面向量、复数
解决平面向量概念问题的关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函 数图象移动混为一谈． (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是 a 方向上的单位向量．
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第五章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
平面向量、复数
(4)平行向量：方向___相__同__或__相__反___的非零向量．平行向量又叫___共__线__向__量___.规 定：0与任一向量__平__行____.
平面向量、复数
4．(2019·宁夏银川期末)设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且B→C＋B→A＝2B→P，则 P→C＋P→A＝__0______.
解析 因为B→C＋B→A＝2B→P，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故P→C＋P→A ＝0.
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第五章 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
λ(a＋b)＝λa＋λb ＝0 时，λa＝0
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
平面向量的基本概念及线性运算平面向量高考一轮数学精品PPT课件
a
=
(2)减法
①减法与加法互为逆运算;
②法则:服从三角形法则.
3.实数与向量的积
(1)长度与方|向λ规|·定|如a|下: ①|λa|=
(交换律); (结合律);
.
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②λ当>0
时,λa与a的方向λ相<0同;当
时,
0
λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=
.
(2)运算律(λ:设μλ)a,μ∈R,则
∴四边形ABCD是平行四边形 ，反之 ，若四边 形 AB CD是平行四边形，则AB∥DC，且AB与DC方向相同， 因此，AB=DC.
（3）正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同；
又∵b=c,
∴b,c的长度相等且方向相同.
∴a,c的长度相等且方向相同，故a=c.
（4）不正确.当a∥b，但方向相反，即使|a|=|b|， 也不能得到a=b.
（5）正确.这是因为|a|=|b| / a=b，但a=b |a|=|b|，所以|a|=|b|是a=b的必要不充分条件.
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（6）不正确.这是因为AB=CD时，应有：|AB|=|CD|, 即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有A与C重合， B与D重合.
【评析】向量中的概念比较多，易混淆，基础性 题目的判定应从概念的本质上加以理解和应用.
∴BM= 1 BA= 1 1a- b.
6
66
∴OM=OB+BM=b+ a1- 1 b= 1 a+5 b.
66 6 6
又OD=a+b,
11
1
2
22
∴ON=OC+
3 CD= 2 OD+
6 OD= 3