五种点的对称点的规律
初中数学轴对称必须掌握的知识点易错点拔
初中数学轴对称必须掌握的知识点易错点拔单选题1、若点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，则（）A．m＝2，n＝0B．m＝2，n＝﹣2C．m＝4，n＝2D．m＝4，n＝﹣2答案：B解析：根据点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，﹣y）即可求得m、n值．解：∵点A（﹣4，m﹣3），B（2n，1）关于x轴对称，∴﹣4=2n，m﹣3=﹣1，解得：n=﹣2，m=2，故选：B．小提示：本题考查了坐标与图形变换-轴对称、解一元一次方程，熟练掌握关于坐标轴对称的的点的坐标特征是解答的关键．2、如图是一个正方体，小敏同学经过研究得到如下5个结论，正确的结论有（）个①用剪刀沿着它的棱剪开这个纸盒，至少要剪7刀，才能展开成平面图形；②用一平面去截这个正方体得到的截面是三角形ABC，则∠ABC=45°；③一只蚂蚁在一个实心正方体木块P点处想沿着表面爬到C点最近的路只有4条；④用一平面去截这个正方体得到的截面可能是八边形；⑤正方体平面展开图有11种不同的图形．A．1B．2C．3D．4答案：B解析：根据正方体的每个面都是正方形判断②；根据一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形判断④；根据正方体的展开图判断⑤①；根据正方体有六个面，从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，判断③．解：（1）AB、BC、AC均是相同正方形的对角线，故AB=BC=AC，△ABC是等边三角形，∠ABC=60°，②错误；（2）用一平面去截n棱柱，截面最多是（n+2）边形，正方体是四棱柱，所以截面最多是六边形，④错误；（3）正方体的展开图只有11种，⑤正确；（4）正方体的11种展开图，六个小正方形均是一连一关系，即必须是5条边相连，正方体有12条棱，所以要剪12-5=7条棱，才能把正方体展开成平面图形，①正确；（5）正方体有六个面，P点属于“前、左、下面”这三个面，所以从P到C，可以走“前+上、前+右、左+上、左+后、下+右、下+后”这六处组合的面，这其中任何一个组合的两个面展开均是相同的长方形，而P到C的最短路线是这个长方形的对角线，这些对角线均相等，故从P到C的最短路线有6条；③错误．综上所述，正确的选项是①⑤，故选B小提示：本题考查了正方体的有关知识．初中数学中的典型题型“多结论题型”，判别时方法：①容易判别的先判别，无需按顺序解答；②注意部分结论间存在有一定的关联性．AB的长为半径作弧相交于点D和点E，3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和点B为圆心，大于12直线DE交AC于点F，交AB于点G，连接BF，若BF＝3，AG＝2，则BC＝（）A．5B．4√3C．2√5D．2√13答案：C解析：利用线段垂直平分线的性质得到FB=FA，AG=BG=2，再证明FC=FB=FA=3，利用勾股定理即可解决问题．解：由作图方法得GF垂直平分AB，∴FB=FA，AG=BG=2，∴∠FBA=∠A，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠C=90°，∠FBA+∠FBC=90°，∴∠C=∠FBC，∴FC=FB，∴FB=FA=FC=3，∴AC=6，AB=4，∴BC=√AC2−AB2=√62−42=2√5．故选：C．小提示：本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时还考查了线段垂直平分线的性质．4、点A (2，-1)关于y轴对称的点 B的坐标为（）A．(2, 1)B．(-2，1)C．(2，-1)D．(-2，- 1)答案：D解析：根据点坐标关于y轴对称的变换规律即可得．解：点坐标关于y轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标相同．则点A(2,−1)关于y轴对称的点B的坐标为(−2,−1)，故选：D．小提示：本题考查了点坐标与轴对称变化，熟练掌握点坐标关于y轴对称的变换规律是解题关键．5、如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直．．．角．三角形，满足条件的格点C的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案：B解析：根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．解：如图：分情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个．故共有3个点，故选：B．小提示：本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．6、如图所示，在3×3的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有()A．6种B．5种C．4种D．2种答案：C解析：轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此解答即可．如图所示，所标数字1，2，3，4都符合要求，一共有4种方法.故选C．小提示：本题重点考查了利用轴对称设计图案，需熟练掌握轴对称图形的定义，应该多加练习．7、下列命题中，属于假命题的是（）A．边长相等的两个等边三角形全等B．斜边相等的两个等腰直角三角形全等C．周长相等的两个三角形全等D．底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等答案：C解析：根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，逐一判断选项，即可得到答案．解：A、边长相等的两个等边三角形全等，是真命题，故A不符合题意；B、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，是真命题，故B不符合题意；C、周长相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故C符合题意；D、底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，故D不符合题意．故选：C．小提示：本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．8、如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A．10B．6C．3D．2答案：C解析：由等边三角形有三条对称轴可得答案．如图所示，n的最小值为3．故选C．小提示：本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．填空题9、∠AOB内部有一点P，OP=5，点P关于OA的对称点为M，点P关于OB的对称点为N，若∠AOB=30°，则△MON的周长为___________．答案：15解析：根据轴对称的性质可证∠MON=2∠AOB=60°；再利用OM=ON=OP，即可求出△MON的周长．解：根据题意可画出下图，∵OA垂直平分PM，OB垂直平分PN．∴∠MOA=∠AOP，∠NOB=∠BOP；OM=OP=ON=5cm．∴∠MON=2∠AOB=60°．∴△MON为等边三角形。
初中数学知识点轴对称与中心对称
初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
人教版初中数学八年级上册 作轴对称图形 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
《画轴对称图形》教学设计五、教学过程教学过程（环节）媒体名称、起止时间（’”—’”）及作用教学活动学生活动一活动引入0’0”- 0’0”借助“Focusky ”课件出示剪纸活动中的思考问题。
引领学生进行剪纸活动并出示思考题。
思考：1、展开后的图形是什么图形？2、折痕所在的直线是图形的什么？3、折痕两旁的部分形状、大小和位置有怎样的关系？4、对应点连线和折痕的位置关系是什么？动手设计剪纸并用圆规扎出一对对应点，然后剪下来，学生代表借助“希沃授课助手”展示作品，并解决思考题。
二知识梳理0’0”- 0’0”运用“Focusky ”制作的exe 课件进行知识的梳理。
1.引领回顾本章知识体系，由“平面图形是有线围成的”、“点动成线”引入轴对称图形的作图方法。
2.板书3.引领分析画轴对称图形最关键的一步：画画特殊点的对称点。
并启发运用尺规作图和三角板两种方法进行作图。
1.回顾本章知识体系。
2.归纳画轴对称图形的步骤。
3.理解并掌握作图方法。
如图，已知△直线，画出与△于直线对称的图形1.引导找出图形的关键点。
2.设疑：改变图形顶点的位置，你能发现一个点的对称点的位置有什么规律吗?1.引导探究关于坐标轴对称的点的坐标特点。
2.指导作图。
3.引导巩固平面直角坐标系内点的平移的坐标变化规律（向左或右平移n个单位：横坐标+n或-n；向上或下平移n个单位：纵坐标+n2、如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种指导合作探究和作图。
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专题13 轴对称的性质(知识点串讲)(解析版)
专题13 轴对称的性质知识网络重难突破知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．典例1（2019春•青羊区期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．典例2如图，ABC∠的度数为（）∆与△A B CC∠'=︒，则B'''关于直线l对称，98A∠=︒，28A．28︒B．54︒C．74︒D．78︒【解答】解：ABC'''关于直线l对称，∆与△A B C∴∆≅△A B C'''，ABC∴∠=∠'，C CC∠'=︒，∠=︒，28A98∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．180180982854B A C故选：B．典例3（2019春•陕西期末）下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3 个B．2 个C．1 个D．4 个【解答】解：（1）线段的对称轴有两条，说法正确；（2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，说法错误；（3）两个全等的图形不一定组成轴对称图形，说法错误；（4）两个图形关于某直线对称，则这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，说法错误；（5）到直线l距离相等的两点不一定关于l对称，说法错误；其中不正确的有4个；故选：D．知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．典例1（2019春•金牛区期末）如图，在正方形网格上有一个ABC．（1）画ABC ∆关于直线MN 的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）ABC ∆关于直线MN 的对称图形如图所示；（2）ABC ∆的面积11145141453222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，20227.5=---， 8.5=．典例2（2019春•罗湖区期末）如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC ∆（即三角形的顶点都在格点上）（1）在图中作出ABC ∆关于直线l 对称的△111A B C （要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应） （2）在（1）的结果下，连接1BB ，1AB ，则△11A BB 面积是 ；（3）在对称轴上有一点P ，当PBC ∆周长最小时，P 点在什么位置，在图中标出P 点．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）如图，△11A BB 面积是12442⨯⨯=，故答案为：4；（3）如图所示，点P 即为所求．知识点三 轴对称的应用（最短路径）基本问题：在直线l 上找一点P ，使得其到直线异侧两点A 、B 的距离之和最小．变式1：在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小．变式2：直线m、n交于O，P是两直线间的一点，在直线m、n上分别找一点A、B，使得PAB的周长最短．典例1（2019秋•南开区期末）如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是()A．B．C．D．【解答】解：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．典例2（2017•花都区一模）四边形ABCD中，130B D∠=∠=︒，在BC、CD上分别找一点M、N，∠=︒，90BAD使三角形AMN周长最小时，则AMN ANM∠+∠的度数为()A．80︒B．90︒C．100︒D．130︒【解答】解：延长AB到A'使得BA AB''=，连接A A'''与BC、CD分别交于'=，延长AD到A''使得DA AD点M、N．∠=∠=︒，ABC ADC90∴、A'关于BC对称，A、A''关于CD对称，A此时AMN∆的周长最小，⊥，='，MB ABBA BA∴='，同理：NA NAMA MA=''，∴∠'=∠，A NADA MAB∠''=∠，∠=∠''+∠=∠''，ANM A NAD A∠=∠'+∠=∠'，22AMN A MAB A∴∠+∠=∠'+∠''，2()AMN ANM A A∠=︒，BAD130∴∠'+∠''=︒-∠=︒A A BAD18050∴∠+∠=⨯︒=︒．AMN ANM250100故选：C．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2019春•金牛区期末）下列图形中，为轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（2019春•光明区期末）石鼓文，秦刻石文字，因其刻石外形似鼓而得名．下列石鼓文，是轴对称的是( )A．B．C．D．【解答】解：A中图形是轴对称图形，B、C、D中图形都不是轴对称图形，故选：A．3．（2019春•陕西期末）如图下面镜子里哪个是他的像？()A．A B．B C．C D．D【解答】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称．故选：B．4．（2019春•罗湖区期末）下列说法中正确的是()①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的．②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等，说法是正确；③等腰三角形的中线不一定是它的高，说法是错误；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，说法正确．故选：C．5．如图，ABC∆关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是()∆与DEFA ．//AB DF B ．B E ∠=∠C ．AB DE =D ．AD 的连线被MN 垂直平分【解答】解：A 、AB 与DF 不是对应线段，不一定平行，故错误；B 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，B E ∠=∠，正确；C 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，则ABC DEF ∆≅∆，AB DE =，正确；D 、ABC ∆与DEF ∆关于直线MN 轴对称，A 与D 的对应点，AD 的连线被MN 垂直平分，正确．故选：A ．6．（2019秋•路北区期末）已知30AOB ∠=︒，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则△12POP 是( ) A ．含30︒角的直角三角形 B ．顶角是30︒的等腰三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：P 为AOB ∠内部一点，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为1P 、2P ， 12OP OP OP ∴==且12260POP AOB ∠=∠=︒，∴故△12POP 是等边三角形．故选：C ．7．（2017•青羊区校级自主招生）在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川80808A ，川22222A ，川12321A 等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A ”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作( )A．500个B．300个C．100个D．50个【解答】解：以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是99ABA，则A有09-共10种可能，B有09-共10种可能，所以9开头的组合最多是1010100⨯=个．故选：C．8．（2018春•锦江区期末）如图，ABCBD=，过点D作AB的垂线∆的周长为16．点D是AB边的中点，2∆的周长最小值为()l，E是l上任意一点，则AECA．12B．14C．16D．18【解答】解：点D是AB边的中点，2BD=，∴==，AB BD24∆的周长为16，ABC12∴+=，AC BC如图，连接BE，点D是AB边的中点，l AB⊥，l∴是AB的垂直平分线，∴=，AE BE∴+=+，AE CE BE CEBE CE BC+，+的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴当B，E，C在同一直线上时，BE CE+=，AC BCAEC∴∆的周长最小值等于12故选：A．二、填空题（共3小题）9．（2018春•深圳期末）如图，直线l是四边形ABCD的对称轴．若//AD BC，则下列结论：（1）//=．∠；（4）AO CO=；（3）BD平分ABCAB CD；（2）AB BC其中正确的有（填序号）．【解答】解：如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，∴∠=∠，3412∠=∠，AD BC，//∴∠=∠，23∴∠=∠=∠，134∴，AB BC=，故（1）（2）正确；//AB CD由轴对称的性质，AC BD⊥，∴平分ABCBD∠，AO CO=（等腰三角形三线合一），故（3）（4）正确．综上所述，正确的是（1）（2）（3）（4）．故答案为：（1）（2）（3）（4）．10．（2019春•金牛区期末）如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，当12ABC S ∆=，8AC =时，BM MN +的最小值等于 ．【解答】解：如图，AD 是BAC ∠的平分线，∴点B 关于AD 的对称点B '在AC 上，过点B '作B N AB '⊥于N 交AD 于M ，由轴对称确定最短路线问题，点M 即为使BM MN +最小的点，B N BM MN '=+， 过点B 作BE AC ⊥于E ，8AC =，20ABC S ∆=， ∴18122BE ⨯=， 解得3BE =，AD 是BAC ∠的平分线，B '与B 关于AD 对称，AB AB ∴='，ABB ∴∆'是等腰三角形，3B N BE ∴'==，即BM MN +的最小值是3．故答案为：3．11．（2019春•市中区期末）如图，AD为等边ABC∆的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE CF=，当BF CE∠=︒．+取得最小值时，AFB【解答】解：如图1，作CH BC⊥，且CH BC=，连接BH交AD于M，连接FH，⊥，∆是等边三角形，AD BCABC∠=︒，DAC∴=，30AC BC∴=，AC CHACB∠=︒，60∠=︒，BCH90∴∠=︒-︒=︒，906030ACH∴∠=∠=︒，DAC ACH30=，AE CF∴∆≅∆，()AEC CFH SAS+=+，CE FH∴=，BF CE BF FH+的值最小，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF CE此时45FCB∠=︒，∠=︒，60FBC∴∠=︒，AFB105故答案为：105．三、解答题（共2小题）12．（2019春•青羊区期末）下面的方格图是由边长为1的42个小正方形拼成的，ABC∆的顶点A、B、C 均在小正方形的顶点上．（1）作出ABC∆关于直线m对称的△A B C'''；（2）求ABC∆的面积．【解答】解：（1）如图，△A B C'''为所作；（2）ABC∆的面积11133132123 3.5222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．13．（2019春•商河县期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，网格中有一个ABC∆．（1）请直接写出ABC∆的面积为．（2）利用方格找出点A、B、C关于直线MN的对称点D、E、F，并顺次连接D、E、F三点．（3）若点P是直线MN上的一个动点，则PC PA+的最小值为．【解答】解：（1）ABC∆的面积为：12442⨯⨯=；故答案为：4；（2）如图所示：EDF∆即为所求；（3）PC PA+的最小值为：6PA PC DC+==．故答案为：6．。
几种点群的对称元素及其乘法表
几种点群的对称元素及其乘法表点群是指在三维空间中的一组点的集合，这些点满足一定的对称性质。
点群是对称性的基本概念，可以用于描述晶体结构、分子结构以及固体材料。
在点群中，对称元素是指保持点群不变的操作，包括旋转、镜像和反演。
下面将介绍几种常见的点群以及它们的对称元素和乘法表。
1.点群1(C1)：对称元素：恒等元素(E)乘法表：EEE2.点群2(C2)：对称元素：恒等元素(E)、C2轴乘法表：EC2EEC2C2C2E3.点群3(C3)：对称元素：恒等元素(E)、C3轴、C3^2轴乘法表：EC3C3^2EEC3C3^2C3C3^2EC3C3^2C3C3^2E4.点群4(C4)：对称元素：恒等元素(E)、C4轴、C4^2轴、C4^3轴乘法表：EC4C4^2C4^3EEC4C4^2C4^3C4C4^2C4^3EC4^3C4^2C4^3EC4C4^2C4^3EC4^3C4^2C45.点群6(C6)：对称元素：恒等元素(E)、C6轴、C6^2轴、C6^3轴、C6^4轴、C6^5轴乘法表：EC6C6^2C6^3C6^4C6^5EEC6C6^2C6^3C6^4C6^5C6C6^2C6^3EC6^4C6^5C6C6^2C6^3EC6^4C6^5C6C6^2C6^3EC6^4C6^5C6C6^2C6^3C6^4C6^5C6C6^2C6^3C6EC6^5C6C6^2C6^3C6EC6^5除了这些点群，还有其他点群如点群5、点群7以及点群8等。
每个点群都有自己的对称元素和乘法表，它们描述了点群中各个点的排列规律和对称性质。
总结：点群是描述三维空间中点的对称性质的集合，通过对称元素和乘法表来描述其中的操作和对称性。
在点群中，不同的点群有不同的对称元素和乘法表。
以上仅介绍了几种常见的点群及其对称元素和乘法表。
两点关于一点对称公式
两点关于一点对称公式对称是数学中常见的概念，而“两点关于一点对称公式”（又称过点作对称轴公式）是对称的一种表现形式。
在解决几何问题时，这一公式常常会被用到，因此对它的理解显得至关重要。
什么是对称？对称是指一个几何图形按照某种变换规律的变形后，与它原来的位置和形状完全相同。
例如，在平面直角坐标系中，如果一个图形沿着直线 y = x 进行对称，那么它的形状就会完全翻转，并且它与原图形完全相同。
对称有很多种表现形式，涉及到旋转、平移、镜像等操作。
其中，“两点关于一点对称公式”的表现形式是为对称而生的。
什么是“两点关于一点对称公式”？“两点关于一点对称公式”是指一个点在坐标轴上的位置已知，而所求点关于这个点的对称点和已知点的距离、角度和斜率等信息已知，那么所求点的坐标可以通过这些信息进行计算而得到。
在平面直角坐标系中，设有一点 A（x1,y1）和一点 B （x2,y2），以点 C（a,b）为对称中心（即对称轴），点A 和点 B 对称。
此时可以运用“两点关于一点对称公式”进行计算，得到点 B 的坐标。
求解过程如下：1. 计算对称轴与直线 AB 之间的夹角θ。
假设直线 AB 的斜率为 k1，则有：k1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)那么对称轴的斜率 k2，可以列出方程：k2 = -1/k1该方程通常称为两条直线垂直的条件。
在计算机求解时，需要注意斜率不存在时的情况。
如果直线 AB 与 x 轴平行，则有 k1 = 0；如果直线 AB 与y 轴平行，则有 k1 不存在。
这时需要作出相应的特判操作。
夹角θ 可以用反正切函数求得：θ = arctan(k2)其中，arctan 函数是正切函数的反函数。
在实际计算中，需要注意θ 的单位与 arctan 函数的取值范围。
2. 计算点 A 到对称轴的距离 h。
因为点 B 在点 A 关于对称轴对称，所以 A 和 B 之间的距离与 A 到对称轴的距离相等。
即：h = |(b - y1) - k2 * (a - x1)| / sqrt(1 + k2^2)其中，|·| 表示取绝对值，sqrt 表示计算平方根。
点关于直线的对称点的坐标怎么求几种特殊位置的对称对称问题需要注意
一、点关于直线对称的点的解题步骤①设所求对称点A的坐标为(a，b)。
②根据所设对称点A(a，b)和已知点B(c，d)，可以表示出A、B两点之间中点的坐标为((a+c)/2，(b+d)/2)，且此中点在已知直线上。
将此点坐标代入已知直线方程，可以得到一个关于a，b的二元一次方程(1)。
因为A、B两点关于已知直线对称，所以直线AB与该已知直线垂直。
③又因为两条垂直相交直线的斜率相乘积为1，即k1*k2=1。
设已知直线的斜率为k1(已知)，则直线AB的斜率k2为1/k1。
把A、B两点坐标代入直线斜率公式：k2=(bd)/(ac)=1/k1，得到一个关于a，b的二元一次方程(2)。
④联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。
二、点关于直线对称的点的求法直线y=kx+b，斜率是K，已知点是A（a,b)，设对称点是P(x,y),则AP中点坐标是x'=(x+a)/2,y'=(y+b),一定在y=kx+b上，代入得一方程（1）又AP一定与y=kx+b垂直，则AP斜率=1/k,即（yb)/(xa)=1/k,(2)(1)(2)解得P坐标。
三、点关于直线对称的点的相关知识点1、两个点A（x1,y1），B（x2,y2）的中点C的坐标为[（x1+x2）/2,(y1+y2）/2]；2、如果两个点关于某直线对称，则这两个点的中点在这条直线（对称轴）上;3.如果直线y=k1x+b1,与直线y=k2x+b2互相垂直，则k1•k2=1。
3、点关于直线对称点画法：过点作直线的垂线并延长至A'，使它们到直线的距离相等即可4、直线关于点对称直线画法：同样过点作直线垂线，然后再点的另外一旁截取相等距离的点，过这点作直线的平行直线即可。
四、对称问题:(l)点关于点成中心对称的对称中心恰是以这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。
设P（x0，y0）,对称中心为A(a，b)，则P关于A的对称点为P'(2ax0,2by0)。
初中数学知识点：轴对称
初中数学知识点：轴对称轴对称知识点一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上;(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线：(1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线：(1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.(2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：(1)对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;(2)三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;(3)等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
说明：等腰三角形的性质除三线合一外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
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五种点的对称点的规律
确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。
一、点关于x 轴的对称点
如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数
二、点关于y 轴的对称点
如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于
y 轴的对称点P ′的坐标是P
的横坐标互为相反数，纵坐标不变。
三、点关于原点的对称点
如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′
OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）
规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。
四、点关于一、三象限角平分线的对称点
如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC
∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′
作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证
图2 b ） ，b ） x
∵l 平分一、三象限
∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OB
Rt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|
∴P ′（b ，a ）
规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。
五、点关于二、四象限角平分线的对称点
如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a
证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC
作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B
又∵l 为二、四象限的角平分线
∴∠AOC=∠BOC
∴∠POA=∠P ′OB
又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|
∴P ′（-b ，-a ）
规律：点P 关于二、四象限
的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。
下面举例用以上规律解题
例1 在平面直角坐标系中，将点A （1，2）的横坐标乘以-1，纵坐标不变，得到点A ’，则点A 与A ’点的关系是（）
A 关于x 轴对称
B 关于y 轴对称
C 关于原点对称
D 将点A 向x 轴负方向平移一个单位得点A ’
解：将1乘以-1得-1，所以A ’（-1，2）。
由规律二知选B 。
例2 在平面直角坐标系中，点（-3，2）关于原点对称的点是（）
A （2，-3）
B （-3，-2）
C （3，2）
D （3-2）
解：由规律三知选B 。
x 图5。